三角函数的图像与性质6种高频考点复习讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数图像与性质，覆盖已知解析式求性质、三角恒等变换求解析式等6种高频考点，按“基础应用—综合转化—逆向探究”的逻辑层次组织知识点，通过知识点解析、例题精讲、变式训练的教学环节，帮助学生系统构建知识网络，突破性质分析难点。 资料特色在于融合数学思维与数学眼光，如考点三由图像求解析式时，引导学生通过最值、周期、特殊点提取参数信息，培养逻辑推理与直观想象能力。设置分层变式训练，从基础巩固到综合应用，确保复习实效，助力学生提升解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

2027届高三数学一轮复习讲义 三角函数：三角函数的图像与性质6种高频考点复习讲义 考点目录 已知三角函数解析式求函数性质 由三角恒等变换求函数解析式，进而求函数性质 由函数图像求函数解析式，进而求函数性质 由图像伸缩平移变换求函数解析式，进而求函数性质 已知函数性质求参数或参数范围 定义法求三角函数性质 考点一 已知三角函数解析式求函数性质 【知识点解析】 1.三角函数的图像与性质 函数 图像 定义域 ， 值域 增区间 ， ， ， 减区间 ， ， 无 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 最小正周期 对称轴 ， ， 无 对称中心 ， ， ， ※上述提及的，均需注明属于整数 2.换元法求函数（，）的性质 最小正周期 奇偶性 若为奇函数，则且；若为偶函数，则，. 增区间 令，，化简得增区间. 减区间 令，，化简得减区间. 对称轴 令，，化简得对称轴. 对称中心 令，，化简得对称中心. 在上的值域 由得，画图由图像求函数值域. 3.换元法求函数（，）的性质 最小正周期 奇偶性 若为奇函数，则且；若为偶函数，则，. 增区间 令，，化简得增区间. 减区间 令，，化简得减区间. 对称轴 令，，化简得对称轴. 对称中心 令，，化简得对称中心. 在上的值域 由得，画图由图像求函数值域. 4.换元法求函数（，）的性质 最小正周期 奇偶性 若为奇函数，则且，. 增区间 令，，化简得增区间. 对称中心 令，，化简得对称中心. 在上的值域 由得，画图由图像求函数值域. 【例题分析】 例1．（25-26高一下·广东揭阳·期末·多选）设函数，则下列结论正确的是（     ） A．的值域为 B．的图象关于直线对称 C．的最小正周期为 D．是的一个零点 【答案】ACD 【详解】因为对,，故的值域为，即A正确； ，故不是的对称轴，故B错误； 的最小正周期为，故C正确； 因，故D正确. 例2．（25-26高一下·四川绵阳·期末·多选）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度h（单位：）由关系式确定．则（   ） A．小球在开始振动（即）时， B．小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是2 C．经过往复运动一次 D．每秒钟小球能往复振动次 【答案】BCD 【分析】对于A：令，代入运算求解即可；对于BCD：根据简谐运动的振幅、周期和频率分析判断即可. 【详解】因为， 对于选项A：当时，则，故A错误； 对于选项B：因为振幅，所以小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是2，故B正确； 对于选项CD：因为函数的最小正周期，频率， 所以经过往复运动一次，每秒钟小球能往复振动次，故CD正确. 例3．（25-26高一下·河北承德·期末·多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度，可得到的图象 C．在区间上单调递增 D．在区间上的最大值与最小值的乘积为 【答案】BCD 【分析】结合正切函数的周期、图象平移规则、单调区间、最值计算等知识点逐一判断选项. 【详解】选项A：函数的最小正周期为，A错误； 选项B：将的横坐标缩短为原来的，得到； 再向右平移个单位，得到，即的图象，B正确； 选项C：当，则. 因为函数在单调递增，所以在区间上单调递增，C正确； 选项D：当时，，在该区间单调递增， 因此最小值为，最大值为，则乘积为，D正确. 例4．（25-26高一下·辽宁大连·期末·多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．函数在上单调递增 D．在上有3个实根 【答案】ACD 【分析】结合余弦型函数的周期性、对称性、单调性及零点求解方法逐一验证选项即可. 【详解】对于A：因为函数的最小正周期为，所以，故A正确； 对于B：当时， 为的最大值， 所以关于直线对称，故B错误； 对于C：当时，，因为余弦函数在单调递增， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D：令，得，因为，所以， 所以或或， 则或或，即在上有3个实根，故D正确. 【变式训练】 变式1．（2026·贵州遵义·模拟预测·多选）已知函数，则下列说法正确的是（     ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图像可由 的图像向左平移个单位长度得到 C．函数的一条对称轴为直线 D．函数在上单调递减 【答案】AC 【详解】已知函数，最小正周期为，故A正确； 的图像向左平移个单位得： ，故B错误； 正弦函数对称轴满足， 代入得，满足对称轴条件，故C正确； 令，即， 区间包含递减区间和递增区间，故D错误． 变式2．（2026·贵州安顺·模拟预测·多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为2 B．的图象关于直线对称 C．在区间上恰有2个极值点 D．把函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 【答案】AB 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质，结合极值点的意义、图象变形逐一判断即可. 【详解】对于A，函数的最大值为2，A正确； 对于B，由，得的图象关于直线对称，B正确； 对于C，当时，，则在上恰有1个极值点，C错误； 对于D，所得函数为，D错误. 变式3．（2026·河南安阳·模拟预测·多选）对于函数和，下列说法正确的是（    ） A．与有相同的最小正周期 B．与有相同的零点 C．与的图象有相同的对称轴 D．与有相同的单调递增区间 【答案】ABC 【分析】对于选项A分别求出与的最小正周期；化简可得与关于轴对称，可判断选项B、C；分别求出与的单调递增区间可判断选项D. 【详解】周期，周期， 所以与有相同的最小正周期， 选项A正确； ， 与关于轴对称， 所以与有相同的零点，图象有相同的对称轴， 选项B、C正确； 令，， 所以的单调递增区间为， 令，， 所以的单调递增区间为， 与的单调递增区间不同， 选项D错误. 考点二 由三角恒等变换求函数解析式，进而求函数性质 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 原式一般为 混合式：含平方、乘积、和差； 1. 变换工具：同角关系、和差、倍角、降幂、辅助角公式； 1. 目标：化简成单一三角函数 。 1. 常见结构： · 二次项：用降幂公式 ； · ：二倍角 ； · ：辅助角合并。 二、解题原理 1. 化简流程：降幂→展开合并→辅助角统一成单一名三角函数； 1. 化简完成后，套用考点一方法求周期、单调、最值、对称； 1. 易错控制：化简过程符号、系数、 数值不计算出错； 1. 求给定区间值域：先求相位 范围，再结合正弦曲线取值。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·辽宁辽阳·期末·多选）关于函数的叙述中，正确的有（     ） A．的最小正周期为 B．在区间内单调递增 C．的图象关于点对称 D．是偶函数 【答案】ABD 【详解】A. ， 则的最小正周期为，A正确; B.当时，，又在 上为增函数，所以在区间内单调递增，B正确； C.当时，，此时， 即的图象关于点对称，C错误； D.， 令，则， 故是偶函数，D正确. 例2．（25-26高一下·辽宁沈阳·期末·多选）已知函数，则对于下列结论，其中错误的是（    ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 【答案】ABD 【分析】利用三角恒等变换整理可得，即可求最小正周期，即可判断A；以为整体，结合正弦函数单调性判断B；代值检验，根据对称性的性质判断CD. 【详解】由， A：正弦函数的最小正周期，错误， B：当时，， 而在上单调递减，在上单调递增， 因此在区间上不单调，错误； C：当时，，而， 所以的图象关于对称，正确， D：的对称中心满足，得， 对称中心的纵坐标为，即对应的对称中心为，错误. 例3．（2026·广东深圳·模拟预测·多选）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．是曲线的一个对称中心 C．是曲线的一条对称轴 D．在区间上单调递增 【答案】ACD 【详解】. 对A：，故A正确； 对B：是曲线的一个对称中心，故B错误； 对C：时，，是曲线的一条对称轴，故C正确； 对D：，，，而，所以在上单调递增，D正确． 【变式训练】 变式1．（2026·山东东营·模拟预测·多选）已知函数，则下列说法正确的是（     ） A．最小正周期为 B．是对称轴 C．函数是奇函数 D．函数在区间上单调递增 【答案】BC 【分析】使用二倍角公式与辅助角公式将原式化简为标准的正弦型函数，再结合该函数的图像性质逐一验证各选项中的周期、对称轴、奇偶性与单调区间即可. 【详解】 . 对于A，最小正周期，故A错误， 对于B，由题意得的对称轴满足， 解，当时，是的一条对称轴，故B正确， 对于C，设， 因为，所以平移后的函数为奇函数，故C正确， 对于D，若，则， 因为，故不是的递增区间，D错误. 变式2．（2026·云南·模拟预测·多选）已知函数，则（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的最大值为2 C．函数关于对称 D．函数在区间上单调递增 【答案】ABD 【分析】化简得函数，即可得周期和最值，将代入函数判断C；由于，根据余弦函数的单调性判断D. 【详解】函数 ， 所以函数的最小正周期为，最大值为，A、B正确； 当时，， 不是最值，C错误； 当时，， 因为余弦函数在上单调递增，D正确. 变式3．（2026·山东济南·模拟预测·多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．直线是函数的图象的一条对称轴 B．将函数的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为 C．函数在区间上有3个零点 D．函数在区间上单调递增 【答案】ABD 【详解】由题意得， ，是函数的图象的一条对称轴，故A正确， 将函数的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为， 要使为奇函数，则，解得， 又，则的最小值为，故B正确， 令，则，解得， 当时，或， 函数在区间上有2个零点，故C错误， 当时，令， 在上单调递增，函数在区间上单调递增，故D正确. 考点三 由函数图像求函数解析式，进而求函数性质 【知识点解析】 一、核心知识点 图像信息对应参数： 1. 最值→求 ：； 1. 相邻零点/最值点水平距离→周期 ，再求 ； 1. 代入图像上已知点（最值点、零点）求初相 ； 1. 求出 得到完整解析式，再分析所有函数性质。 二、解题原理 1. 先求 ，再由周期求 ，最后定点求 ； 1. 求 优先选用 最值点，避免多解；用零点需区分上升零点/下降零点； 1. 求出解析式后，完全按考点一思路分析单调、对称、值域； 1. 多解取舍：结合图像增减趋势、给定范围限制 。 【例题分析】 例1．（2026·山东济南·模拟预测·多选）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．， D．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 【答案】BC 【分析】对于AB，由图可得解析式，据此可判断选项正误；对于C，由轴对称性可判断选项正误；对于D，由图象变换知识可判断选项正误. 【详解】对于AB，由图可得最小正周期为，则，结合，可得，故A错误； 由图可得，则，又，则取，得， 即，从而，故B正确； 对于C，等价于判断是否为对称轴，将代入，得，即为对称轴，故C正确； 对于D，将图像向右平移个单位长度得到图像对应的解析式为：，故D错误. 例2．（24-25高三上·福建厦门·阶段检测·多选）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的图象可由曲线向左平移个单位长度得到 C．的图象关于直线对称 D．在上的值域为 【答案】ACD 【分析】根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质，利用赋值法和代入法，可逐个判断各选项． 【详解】由函数的图象可知：, 又因为,即则得,故A正确； 因,结合函数图象可得 所以,即． 而曲线向左平移个单位长度得到,故B错误； 当时,可得,故的图象关于直线对称,故C正确； 当时,,则,故D正确． 例3．（2026·辽宁朝阳·模拟预测·多选）函数的部分图象如图所示.则（    ） A． B．图象关于轴对称 C．在内单调递增 D．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】AD 【分析】根据图象特征及所过点确定函数解析式，结合三角函数的性质判断选项ABC，根据三角函数平移变换判断选项D. 【详解】由图像可知，函数最小值为，且，因此. 由图可得：函数过点和，代入得： ，结合，得； ，结合五点法作图可得，解得， 由，可得，， 所以当时， 故，A正确. 选项B：代入，得， 函数关于中心对称，B错误. 选项C：令， 解得：单调递增区间为. 当时，增区间为，而，区间包含递减部分，因此在该区间不是单调递增，C错误. 选项D：向左平移个单位， 可得，D正确. 【变式训练】 变式1．（2026·黑龙江哈尔滨·三模·多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．当时，函数的值域为 D．的图象是由的图象先将各点的横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度得到的 【答案】AC 【分析】由函数的最值可得A值，根据周期公式可得值，可判断A；代入特殊值分析求解，可得值，即可得的解析式可判断B；根据x的范围可得的范围，结合正弦函数的性质得的值域，即可判断C；根据图象平移、伸缩变换的方法，整理化简，可判断D. 【详解】由图象得，的最大值为2，最小值为，所以， ，解得，则，故A正确； ，所以， 因为，所以令，则，所以， 则，故B错误； 当时，， 所以当时，有最小值， 当时，有最大值1，则函数的值域为，故C正确； 将的图象先将各点的横坐标变为原来的，得， 再向左平移个单位长度，得，故D错误. 变式2．（2026·浙江·二模·多选）已知函数在一个周期内的图象如图所示，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．， D．的图象关于点对称 【答案】BCD 【详解】由题意得，即， 因为，所以，A错误； 因为，所以，即， 解得，因为，所以，B正确； 因为的最小正周期为，所以，又 即，解得，，C正确； 由上可得，令， 得，所以的对称中心为， 取即得的图象关于点对称，D正确. 变式3．（2026·广东深圳·模拟预测·多选）函数的部分图象如图所示，其中轴，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期 B． C．在上单调递增 D．将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，则为偶函数 【答案】AB 【分析】求出函数的周期判断A；求出的值判断B；利用整体思想判断函数在上单调性，可判断C；求得，由正弦函数的性质判断D. 【详解】因为轴， 所以图象的一条对称轴为直线， 所以， 所以，故A正确； 易得，则， 所以， 因为的图象过点，所以， 所以，所以，， 因为，所以，故B正确； 因为， 当时，， 由正弦函数的性质可知在上是先减后增，故C错误； 将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，易知为奇函数，故D错误． 考点四 由图像伸缩平移变换求函数解析式，进而求函数性质 【知识点解析】 一、核心知识点 基础函数 变换规则（先平移后伸缩 / 先伸缩后平移） 1. 左右平移：，左加右减； 1. 横向伸缩：，横坐标变为原来 倍； 1. 纵向伸缩：，纵坐标变为原来 倍； 1. 上下平移：，上加下减； 1. 关键陷阱：先伸缩再平移时，平移单位需除以 。 二、解题原理 1. 分清变换顺序： · 先平移后伸缩：平移量直接加在 上； · 先伸缩后平移：平移量为 ； 1. 逆向题型（已知变换后图像求原函数）：变换反向操作，符号反向； 1. 得到最终标准解析式后，统一用考点一方法求解各类函数性质； 1. 检验：取特殊点代入变换前后解析式验证是否正确。 【例题分析】 例1．（2026·云南·三模·多选）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．是的一条对称轴 D．对任意的，都存在，使得 【答案】ACD 【分析】由正弦函数与余弦函数的性质求解即可. 【详解】对于A，根据题意得，， 因为的图象与的图象关于轴对称，所以， 即， 可得或， 因,则得，又因，所以，故A正确； 对于B，由A得，所以，故B错误； 对于C，由，可得，当时，，故C正确； 对于D，当时，，此时， 而当时，，此时 所以，故D正确. 例2．（2026·重庆·模拟预测·多选）已知函数，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A．当时， B．函数图象的对称轴为 C．函数的最小正周期为 D．若函数的最大值为1，则 【答案】ABD 【分析】根据诱导公式可判断A；根据余弦函数的对称轴可判断B；根据积化和差结合余弦函数的周期性可判断C；根据和差化积结合余弦函数的最值可判断D. 【详解】由题知 ， 对于A选项， ，所以A正确； 对于B选项，将代入，则， 这是函数的对称轴需要满足的条件，所以B正确； 对于C选项， ， 所以最小正周期为，所以C错误； 对于D选项， ， 所以该函数的最大值为 ，解得，所以D正确. 例3．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测·多选）已知将的图象先向左平移个单位，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，则下列结论正确的是（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数的图象关于点对称 C．函数在处取得极小值 D．曲线在处的切线斜率为 【答案】BD 【分析】先根据函数的平移变换得到，再根据正弦函数的性质及极值的定义求解判断ABC；根据导数的几何意义求解判断D. 【详解】由题意，先将图象上的所有点的横坐标缩短为原来的得到的图象， 再向右平移个单位可得的图象， 即； 对于A，当时，， 因为函数在上不单调递增， 则函数在区间上不单调递增，故A错误； 对于B，由， 则函数的图象关于点对称，故B正确； 对于C，由， 则函数在处取得最大值，也为极大值，故C错误； 对于D，由，得， 则， 所以曲线在处的切线斜率为，故D正确. 【变式训练】 变式1．（2026·山东青岛·二模·多选）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则（    ） A． B．直线是曲线的对称轴 C．在区间单调递增 D．函数是奇函数 【答案】BCD 【分析】利用图象的平移可得，结合三角函数的图象与性质依次判断选项即可. 【详解】由函数的图象向左平移个单位长度得到，故A不正确， 的对称轴满足，即，当时，，即直线是曲线的对称轴，故B正确； 令，解得：， 当时，，所以在区间单调递增，故C正确； ， 所以函数是奇函数，故D正确. 变式2．（2026·四川眉山·模拟预测·多选）把函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于原点对称，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递减 D．当在区间上存在极大值点和极小值点时，实数的取值范围为 【答案】AD 【分析】由三角恒等变换得，再由函数平移后的图象关于原点对称，可求得，从而可得，最后结合选项逐一判断即可. 【详解】因为， 将其向左平移个单位长度后， 得， 因为此函数的图象关于原点对称，所以，则， 又因为，所以，则， 所以函数的最小正周期，故A正确； 令，解得， 所以函数的对称轴为：， 所以函数图象不关于直线对称，故B错误； 当时，， 因为在上不单调递减， 所以在上不单调递减，故C错误； 当时，， 因为在区间上存在极大值点和极小值点， 所以，解得， 所以实数的取值范围为，故D正确. 变式3．（2026·广西河池·二模·多选）已知函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，下列关于函数的说法中正确的是（   ） A．的一个对称中心为 B．在的值域是 C．在区间内单调递增 D．的一条对称轴为 【答案】ACD 【分析】根据平移变换的原则，可得的解析式，代入检验，结合正弦函数的图象与性质，可判断A、C、D的正误；根据x的范围，可得的范围，根据正弦函数的图象与性质，可判断B的正误. 【详解】由题意， A：令，则， 所以的一个对称中心为，故A正确； B：当时，， 当时，， 当时，， 所以的值域为，故B错误； C：当时，， 因为为的一个单调递增区间， 所以在区间内单调递增，故C正确； D：当时，， 所以的一条对称轴为，故D正确. 考点五 已知函数性质求参数或参数范围 【知识点解析】 一、核心知识点 给出条件：周期范围、单调区间、对称轴、最值、奇偶、零点个数、恒成立值域，反求 中参数。 常见题型： 1. 已知周期求 ； 1. 给定区间单调，求 取值范围； 1. 存在对称轴/对称中心，求 ； 1. 函数为奇/偶函数，限定 ； 1. 区间内有 个零点，求 范围。 二、解题原理 1. 周期条件：直接由 列不等式； 1. 单调区间问题：令 ，保证给定 区间对应的 完整落在正弦一个单调区间内，解参数不等式； 1. 对称轴/对称中心：代入对应等式，结合参数范围求解； 1. 奇偶性：奇函数 ；偶函数在 取最值； 1. 零点个数：画出 图像，根据 区间长度限制 范围。 【例题分析】 例1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】的图象关于点中心对称， 所以，即， 所以的最小值为4． 例2．（2026·云南曲靖·二模）若曲线的一个对称中心为，则不可能是（   ） A．2 B．5 C．8 D．12 【答案】D 【详解】， ， 当时，，A满足； 当时，，B满足； 当时，，C满足； 当时，，D不满足． 例3．（2026·海南儋州·二模）若函数图象的一条对称轴为，函数图象上到直线距离最小的一个对称中心为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦型函数的最小正周期与对称中心和对称轴的关系，结合对称中心的性质进行求解即可. 【详解】设该函数的最小正周期为， 因为函数图象上到直线距离最小的一个对称中心为， 所以， 又因为， 所以，即， 又因为该函数图象的一个对称中心为， 所以， 又因为， 所以令，得. 例4．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数的图象关于直线对称，若将函数的图像向左或向右平移个单位长度后，得到函数的图象关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象的平移可得表达式，即可根据偶函数的性质求解． 【详解】由题意，则， 则由可得，当将的图象向左平移个单位， 可得， 由于的图象关于轴对称，故为偶函数，所以， 故，由于，所以的最小值， 当将的图象向右平移个单位，可得， 由于的图象关于轴对称，故为偶函数， 所以，故， 由于，所以时，的最小值. 综上的最小值. 例5．（2026·全国一卷·高考真题）已知（，）是偶函数，在区间上单调递增．则__________，__________． 【答案】 【分析】根据单调性和周期性可得.解法一：根据偶函数可得，并代入结合单调性检验即可；解法二：根据题意可得，即可得，根据导数与单调性的关系分析求解；解法三：分析可知在处取到极小值，可得，进而可得结果. 【详解】设函数的最小正周期为，由题意可知， 因为函数在上单调递增，则，即， 可得，解得， 且，，则. 解法一：因为函数为偶函数， 则，，且， 则，， 若，则， 即或，不符合题意， 若，则， 即或，符合题意； 且或； 综上所述：，. 解法二：因为， 若函数为偶函数，则，即， 且，则， 若，则，， 即或在内恒成立， 可知函数在上单调递减，不符合题意， 若，则，， 即或在内恒成立， 可知函数在上单调递增，符合题意， 且或； 综上所述：，. 解法三：因为函数为偶函数，且函数在上单调递增， 可知在处取到极小值，则，，且， 则，，则， 即或，符合题意； 且或. 例6．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上单调，则的值为______． 【答案】2或 【分析】先根据是上的偶函数求出，再根据的对称中心和单调区间列出的方程，求解. 【详解】是上的偶函数，， 又，，. 又图象关于点对称， ，. 又在区间上单调，， ，. ，又， 或. 当时，；当时，. 故答案为：2或 【变式训练】 变式1．（2026·北京·高考真题）（），将向轴正方向平移个单位，得到的函数图像与图像关于轴对称，则的取值个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】平移后函数为，与关于轴对称可知函数值互为相反数，利用正弦相等得方程，排除不恒成立情形，得到的取值个数. 【详解】将向右平移个单位得 . 由题意，与的图像关于轴对称，即恒成立， 即. 分两种情形讨论： ①，对任意不恒成立，舍去； ②，化简得 ，即. 由得， 对应，因此的取值个数为3. 变式2．（2026·甘肃兰州·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令， 得， 所以的单调递增区间为， 因为在区间上单调递增， 所以，， 解得， 当，得； 当，且，无交集； 当，由可知显然不符合题意， 所以的取值范围为． 变式3．（2026·陕西西安·三模）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据平移变换的原则得到平移后的函数解析式，再根据对称性求出即可. 【详解】将的图象向右平移个单位长度后， 得到函数的图象， 因为所得图象关于原点对称，即是奇函数， 所以，所以， 因为，所以的最小值为． 变式4．（2026·山东青岛·三模）若函数（）在上的值域为，则可以为（     ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】通过换元转化为正弦函数的区间值域问题，采用选项代入验证法，直接检验各选项对应的区间内正弦函数的取值范围，快速筛选出符合条件的值. 【详解】设，由且，得， 此时的值域为等价于. 将选项依次代入验证： 当时，，存在使，，不符合，故A错误； 当时，，的最大值为（时），最小值为（时）， 故，符合条件，故B正确； 当时，，的最大值为，，不满足值域条件，故C错误； 当时，，的最大值，则，不符合值域条件，故D错误.. 变式5．（25-26高三上·安徽淮北·阶段检测）已知函数在上单调递增，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】利用整体代入得方法得到的单调递增区间，由题意可得是的子集，根据区间长度列不等式计算得，进而可得或，分类讨论列不等式求解即可. 【详解】令，解得， 所以函数的单调递增区间为， 因为函数在上单调递增，所以是的子集， 则，解得， 因为，解得， 因为，解得，所以或， 当时，有，解得，即； 当时，有，解得； 综上，的取值范围是 故答案为：. 变式6．（25-26高三上·山东青岛·期末）已知函数在上单调递增，在上单调递减，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据正弦函数的单调性列出参数的不等式，求出不等式的解集. 【详解】因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，， 解得，所以的取值范围是. 故答案为：. 考点六 定义法求三角函数性质 【知识点解析】 一、核心知识点 函数性质 定义与求解方法 函数的奇偶性 ①若函数为偶函数，则. ②若函数为奇函数，则. 函数的单调性 定义：①对区间上任意，都有，则在该区间上递增. ②对区间上任意，都有，则在该区间上递减. 证明方法：①作差法 ②作商法 ③换元法 ④导数法 函数的周期性 定义：一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数称为周期函数，非零常数叫做这个函数的周期. 常见周期结论 ①若函数满足，则函数的周期. ②若函数满足，则函数的周期. ③若函数满足，则函数的周期. ④若函数满足，则函数的周期. ⑤若函数满足，则函数的周期. 函数性质 定义与求解方法 函 数 的 对 称 性 轴对称 ①若函数满足，则函数关于对称. ②若函数满足，则函数关于对称. 中心对称 ①若函数满足，则函数关于对称. ②若函数满足，则函数关于对称. ③若函数满足，则函数关于对称. 二、解题原理 1. 周期证明：代入 ，利用诱导公式化简证明与 相等，再证明 最小； 1. 奇偶判断：直接计算 ，和 对比； 1. 单调性证明：作差 ，结合三角符号判断正负，也可通过导数判断单调性； 1. 适用场景：抽象三角函数、未给出具体解析式的证明题； 1. 局限：计算量大，求具体单调区间、最值一般不用，多用于证明。 【例题分析】 例1．（2026·山东济南·模拟预测·多选）已知函数，其在上的零点从小到大依次为下列说法正确的是（     ） A．是最小正周期为偶函数 B．的值域为 C． D． 【答案】BC 【分析】由奇偶性与周期性的定义计算可判断A；利用二倍角的余弦与换元法求得的值域判断B；由题意得，结合余弦函数的牟称性可判断C；结合C选项求得判断D. 【详解】选项A：，所以是偶函数； 又，因此最小正周期是不是，故A错误； 选项B：， 令，则. 当时， 当时，为.故B正确； 选项C： 令，即， 解得（另一根，舍去）. 在内，（其中）的两个根， 满足（余弦函数的对称性），故C正确， 选项D，由方程， 根据C选项可知，但只有符合， 所以，故D错误. 例2．（2026·福建福州·模拟预测·多选）若函数，则关于的性质说法正确的有（   ） A．为偶函数 B．的最小正周期为 C．既有最大值也有最小值 D．有无数个零点 【答案】CD 【分析】取特殊值可排除A和B；利用二倍角余弦公式将函数转化为关于的二次函数形式，二次函数值域性质、零点定义逐一判断选项C、D. 【详解】选项A：对于函数，因，即，故不是偶函数，A错误； 选项B：对于函数，因 即，故最小正周期不为，B错误； 选项C：由二倍角公式，得， 由于，当时取最大值，当时取最小值，既有最大值也有最小值，C正确； 选项D：令，即，解得或，两个三角方程均有无数个解，因此有无数个零点，D正确. 例3．（2026·重庆·模拟预测·多选）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．的一个周期为 C．若在上单调递增，则的最大值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】通过化简函数、利用奇偶性和周期定义、并求导分析函数的单调区间与极值依次验证选项即可. 【详解】对于A，， 故为奇函数，A正确； 对于B，因，，即，故B错误； 对于C，由题意得， 令，解得，即 ， 该区间长度为，故的最大值为，C正确； 对于D，令，解得或， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因为的周期为，的周期为，故的周期为， 当时，从1降到，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 当时，从升到，此时单调递增， 所以，故D正确. 【变式训练】 变式1．（2026·安徽·模拟预测·多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点对称 D．无零点 【答案】CD 【分析】先根据函数性质的定义判断函数的周期，对称轴和对称中心，再通过换元法研究函数零点情况. 【详解】由题意得，的定义域为， 在A选项中，， 则不是的周期，故A错误， 在B选项中，若函数关于直线对称，需满足 ， ，， 则，所以的图像不关于直线对称，故B错误， 在C选项中，若函数关于点对称，需满足 ， ， ， ，故C正确， 在D选项中，令，则，即， 令，，则，所以， 令，，又因为， 当时，或， 当时，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又因为，，，， 所以在上无零点，则无零点，故D正确． 变式2．（2026·河南·模拟预测·多选）已知函数，则下列选项正确的有（    ） A．函数是偶函数 B．是函数的最小正周期 C．直线是函数的图象的一条对称轴 D．函数的值域为 【答案】BCD 【分析】选项 A，利用偶函数的定义判断；选项 B，利用周期的定义求解；选项 C，利用求解；选项 D，因为的最小正周期为，只需研究上的值域，分别求出，，时的的表达式，利用正弦函数的图像和性质求解，利用最小正周期得到的值域. 【详解】选项 A：， ， 则， ，， ，故A 错误. 选项 B： ， 再验证是否存在更小的周期， ，， ，故不是周期. 因此是最小正周期，B 正确. 选项 C： ， ， 因此 ，C 正确. 选项 D： 因为的最小正周期为，只需研究上的值域， 当时，，，， 故 ， 因为，所以，所以， 所以，即. 当时，，，， ， 因为，所以，所以， 即. 当时，，，， ， 因为，所以，所以， 所以，即. 综上可知，当时，， 因为的最小正周期为， 所以根据周期的定义可以得到的的值域为，D 正确. 变式3．（2026·宁夏石嘴山·模拟预测·多选）关于函数，以下结论正确的有（     ） A．的图象是轴对称图形 B．的最大值为1 C．是以为一个周期的周期函数 D．在上有5个零点 【答案】AC 【分析】A选项，根据奇偶性判断对称即可；B选项，根据积化和差公式化简式子，计算最值；C选项，根据判断周期；D选项，利用函数等于0解方程判断零点个数即可． 【详解】A选项，因为， 故为偶函数，图象关于y轴对称，A正确； B选项， ， 令，则；则， 当时，取最大值，此时的最大值为，B错误； C选项，因为， 故是以为一个周期的周期函数，C正确； D选项，令，则或，， 由，可得或；由，可得或或或， 解得：，，，，综上在上有4个零点，D错误． 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习讲义 三角函数：三角函数的图像与性质6种高频考点复习讲义 考点目录 已知三角函数解析式求函数性质 由三角恒等变换求函数解析式，进而求函数性质 由函数图像求函数解析式，进而求函数性质 由图像伸缩平移变换求函数解析式，进而求函数性质 已知函数性质求参数或参数范围 定义法求三角函数性质 考点一 已知三角函数解析式求函数性质 【知识点解析】 1.三角函数的图像与性质 函数 图像 定义域 ， 值域 增区间 ， ， ， 减区间 ， ， 无 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 最小正周期 对称轴 ， ， 无 对称中心 ， ， ， ※上述提及的，均需注明属于整数 2.换元法求函数（，）的性质 最小正周期 奇偶性 若为奇函数，则且；若为偶函数，则，. 增区间 令，，化简得增区间. 减区间 令，，化简得减区间. 对称轴 令，，化简得对称轴. 对称中心 令，，化简得对称中心. 在上的值域 由得，画图由图像求函数值域. 3.换元法求函数（，）的性质 最小正周期 奇偶性 若为奇函数，则且；若为偶函数，则，. 增区间 令，，化简得增区间. 减区间 令，，化简得减区间. 对称轴 令，，化简得对称轴. 对称中心 令，，化简得对称中心. 在上的值域 由得，画图由图像求函数值域. 4.换元法求函数（，）的性质 最小正周期 奇偶性 若为奇函数，则且，. 增区间 令，，化简得增区间. 对称中心 令，，化简得对称中心. 在上的值域 由得，画图由图像求函数值域. 【例题分析】 例1．（25-26高一下·广东揭阳·期末·多选）设函数，则下列结论正确的是（     ） A．的值域为 B．的图象关于直线对称 C．的最小正周期为 D．是的一个零点 例2．（25-26高一下·四川绵阳·期末·多选）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度h（单位：）由关系式确定．则（   ） A．小球在开始振动（即）时， B．小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是2 C．经过往复运动一次 D．每秒钟小球能往复振动次 例3．（25-26高一下·河北承德·期末·多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度，可得到的图象 C．在区间上单调递增 D．在区间上的最大值与最小值的乘积为 例4．（25-26高一下·辽宁大连·期末·多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．函数在上单调递增 D．在上有3个实根 【变式训练】 变式1．（2026·贵州遵义·模拟预测·多选）已知函数，则下列说法正确的是（     ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图像可由 的图像向左平移个单位长度得到 C．函数的一条对称轴为直线 D．函数在上单调递减 变式2．（2026·贵州安顺·模拟预测·多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为2 B．的图象关于直线对称 C．在区间上恰有2个极值点 D．把函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 变式3．（2026·河南安阳·模拟预测·多选）对于函数和，下列说法正确的是（    ） A．与有相同的最小正周期 B．与有相同的零点 C．与的图象有相同的对称轴 D．与有相同的单调递增区间 考点二 由三角恒等变换求函数解析式，进而求函数性质 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 原式一般为 混合式：含平方、乘积、和差； 1. 变换工具：同角关系、和差、倍角、降幂、辅助角公式； 1. 目标：化简成单一三角函数 。 1. 常见结构： · 二次项：用降幂公式 ； · ：二倍角 ； · ：辅助角合并。 二、解题原理 1. 化简流程：降幂→展开合并→辅助角统一成单一名三角函数； 1. 化简完成后，套用考点一方法求周期、单调、最值、对称； 1. 易错控制：化简过程符号、系数、 数值不计算出错； 1. 求给定区间值域：先求相位 范围，再结合正弦曲线取值。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·辽宁辽阳·期末·多选）关于函数的叙述中，正确的有（     ） A．的最小正周期为 B．在区间内单调递增 C．的图象关于点对称 D．是偶函数 例2．（25-26高一下·辽宁沈阳·期末·多选）已知函数，则对于下列结论，其中错误的是（    ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 例3．（2026·广东深圳·模拟预测·多选）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．是曲线的一个对称中心 C．是曲线的一条对称轴 D．在区间上单调递增 【变式训练】 变式1．（2026·山东东营·模拟预测·多选）已知函数，则下列说法正确的是（     ） A．最小正周期为 B．是对称轴 C．函数是奇函数 D．函数在区间上单调递增 变式2．（2026·云南·模拟预测·多选）已知函数，则（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的最大值为2 C．函数关于对称 D．函数在区间上单调递增 变式3．（2026·山东济南·模拟预测·多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．直线是函数的图象的一条对称轴 B．将函数的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为 C．函数在区间上有3个零点 D．函数在区间上单调递增 考点三 由函数图像求函数解析式，进而求函数性质 【知识点解析】 一、核心知识点 图像信息对应参数： 1. 最值→求 ：； 1. 相邻零点/最值点水平距离→周期 ，再求 ； 1. 代入图像上已知点（最值点、零点）求初相 ； 1. 求出 得到完整解析式，再分析所有函数性质。 二、解题原理 1. 先求 ，再由周期求 ，最后定点求 ； 1. 求 优先选用 最值点，避免多解；用零点需区分上升零点/下降零点； 1. 求出解析式后，完全按考点一思路分析单调、对称、值域； 1. 多解取舍：结合图像增减趋势、给定范围限制 。 【例题分析】 例1．（2026·山东济南·模拟预测·多选）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．， D．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 例2．（24-25高三上·福建厦门·阶段检测·多选）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的图象可由曲线向左平移个单位长度得到 C．的图象关于直线对称 D．在上的值域为 例3．（2026·辽宁朝阳·模拟预测·多选）函数的部分图象如图所示.则（    ） A． B．图象关于轴对称 C．在内单调递增 D．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【变式训练】 变式1．（2026·黑龙江哈尔滨·三模·多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．当时，函数的值域为 D．的图象是由的图象先将各点的横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度得到的 变式2．（2026·浙江·二模·多选）已知函数在一个周期内的图象如图所示，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．， D．的图象关于点对称 变式3．（2026·广东深圳·模拟预测·多选）函数的部分图象如图所示，其中轴，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期 B． C．在上单调递增 D．将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，则为偶函数 考点四 由图像伸缩平移变换求函数解析式，进而求函数性质 【知识点解析】 一、核心知识点 基础函数 变换规则（先平移后伸缩 / 先伸缩后平移） 1. 左右平移：，左加右减； 1. 横向伸缩：，横坐标变为原来 倍； 1. 纵向伸缩：，纵坐标变为原来 倍； 1. 上下平移：，上加下减； 1. 关键陷阱：先伸缩再平移时，平移单位需除以 。 二、解题原理 1. 分清变换顺序： · 先平移后伸缩：平移量直接加在 上； · 先伸缩后平移：平移量为 ； 1. 逆向题型（已知变换后图像求原函数）：变换反向操作，符号反向； 1. 得到最终标准解析式后，统一用考点一方法求解各类函数性质； 1. 检验：取特殊点代入变换前后解析式验证是否正确。 【例题分析】 例1．（2026·云南·三模·多选）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．是的一条对称轴 D．对任意的，都存在，使得 例2．（2026·重庆·模拟预测·多选）已知函数，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A．当时， B．函数图象的对称轴为 C．函数的最小正周期为 D．若函数的最大值为1，则 例3．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测·多选）已知将的图象先向左平移个单位，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，则下列结论正确的是（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数的图象关于点对称 C．函数在处取得极小值 D．曲线在处的切线斜率为 【变式训练】 变式1．（2026·山东青岛·二模·多选）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则（    ） A． B．直线是曲线的对称轴 C．在区间单调递增 D．函数是奇函数 变式2．（2026·四川眉山·模拟预测·多选）把函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于原点对称，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递减 D．当在区间上存在极大值点和极小值点时，实数的取值范围为 变式3．（2026·广西河池·二模·多选）已知函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，下列关于函数的说法中正确的是（   ） A．的一个对称中心为 B．在的值域是 C．在区间内单调递增 D．的一条对称轴为 考点五 已知函数性质求参数或参数范围 【知识点解析】 一、核心知识点 给出条件：周期范围、单调区间、对称轴、最值、奇偶、零点个数、恒成立值域，反求 中参数。 常见题型： 1. 已知周期求 ； 1. 给定区间单调，求 取值范围； 1. 存在对称轴/对称中心，求 ； 1. 函数为奇/偶函数，限定 ； 1. 区间内有 个零点，求 范围。 二、解题原理 1. 周期条件：直接由 列不等式； 1. 单调区间问题：令 ，保证给定 区间对应的 完整落在正弦一个单调区间内，解参数不等式； 1. 对称轴/对称中心：代入对应等式，结合参数范围求解； 1. 奇偶性：奇函数 ；偶函数在 取最值； 1. 零点个数：画出 图像，根据 区间长度限制 范围。 【例题分析】 例1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例2．（2026·云南曲靖·二模）若曲线的一个对称中心为，则不可能是（   ） A．2 B．5 C．8 D．12 例3．（2026·海南儋州·二模）若函数图象的一条对称轴为，函数图象上到直线距离最小的一个对称中心为，则（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数的图象关于直线对称，若将函数的图像向左或向右平移个单位长度后，得到函数的图象关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例5．（2026·全国一卷·高考真题）已知（，）是偶函数，在区间上单调递增．则__________，__________． 例6．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上单调，则的值为______． 【变式训练】 变式1．（2026·北京·高考真题）（），将向轴正方向平移个单位，得到的函数图像与图像关于轴对称，则的取值个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式2．（2026·甘肃兰州·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式3．（2026·陕西西安·三模）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式4．（2026·山东青岛·三模）若函数（）在上的值域为，则可以为（     ） A．4 B．2 C．1 D． 变式5．（25-26高三上·安徽淮北·阶段检测）已知函数在上单调递增，则的取值范围是__________． 变式6．（25-26高三上·山东青岛·期末）已知函数在上单调递增，在上单调递减，则的取值范围是__________． 考点六 定义法求三角函数性质 【知识点解析】 一、核心知识点 函数性质 定义与求解方法 函数的奇偶性 ①若函数为偶函数，则. ②若函数为奇函数，则. 函数的单调性 定义：①对区间上任意，都有，则在该区间上递增. ②对区间上任意，都有，则在该区间上递减. 证明方法：①作差法 ②作商法 ③换元法 ④导数法 函数的周期性 定义：一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数称为周期函数，非零常数叫做这个函数的周期. 常见周期结论 ①若函数满足，则函数的周期. ②若函数满足，则函数的周期. ③若函数满足，则函数的周期. ④若函数满足，则函数的周期. ⑤若函数满足，则函数的周期. 函数性质 定义与求解方法 函 数 的 对 称 性 轴对称 ①若函数满足，则函数关于对称. ②若函数满足，则函数关于对称. 中心对称 ①若函数满足，则函数关于对称. ②若函数满足，则函数关于对称. ③若函数满足，则函数关于对称. 二、解题原理 1. 周期证明：代入 ，利用诱导公式化简证明与 相等，再证明 最小； 1. 奇偶判断：直接计算 ，和 对比； 1. 单调性证明：作差 ，结合三角符号判断正负，也可通过导数判断单调性； 1. 适用场景：抽象三角函数、未给出具体解析式的证明题； 1. 局限：计算量大，求具体单调区间、最值一般不用，多用于证明。 【例题分析】 例1．（2026·山东济南·模拟预测·多选）已知函数，其在上的零点从小到大依次为下列说法正确的是（     ） A．是最小正周期为偶函数 B．的值域为 C． D． 例2．（2026·福建福州·模拟预测·多选）若函数，则关于的性质说法正确的有（   ） A．为偶函数 B．的最小正周期为 C．既有最大值也有最小值 D．有无数个零点 例3．（2026·重庆·模拟预测·多选）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．的一个周期为 C．若在上单调递增，则的最大值为 D．的最大值为 【变式训练】 变式1．（2026·安徽·模拟预测·多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点对称 D．无零点 变式2．（2026·河南·模拟预测·多选）已知函数，则下列选项正确的有（    ） A．函数是偶函数 B．是函数的最小正周期 C．直线是函数的图象的一条对称轴 D．函数的值域为 变式3．（2026·宁夏石嘴山·模拟预测·多选）关于函数，以下结论正确的有（     ） A．的图象是轴对称图形 B．的最大值为1 C．是以为一个周期的周期函数 D．在上有5个零点 2 学科网（北京）股份有限公司 $