专题4.6 三角函数的图像及性质1（定义域、单调性、值域）讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦三角函数图象与性质专题，覆盖定义域、值域、单调性及参数问题等高考核心考点。以五点法作图和函数性质表格为基础，按题型分类梳理知识内在联系，通过知识梳理、题型精讲、跟踪训练和分层作业的教学流程，帮助学生系统突破难点，体现复习的针对性。 资料突出题型分类与方法指导结合，如单调性问题通过复合函数法则分析单调区间，培养学生的数学思维和推理能力。设置基础与综合分层练习，配合即时反馈，确保有限时间内高效复习，为教师把控节奏提供支撑，有效提升学生的应考能力。

专题4.6 三角函数图象与性质（定义域、值域、单调性） 知识梳理 1.五点法作正弦函数、余弦函数的图象 (1)正弦函数y=sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点:(0，0)，，1，(π，0)，，-1，(2π，0). (2)余弦函数y=cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点:(0，1)，，0，(π，-1)，，0，(2π，1). 2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质，请把表格补充完整. 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图象 定义域 R R xx≠kπ+，k∈Z 值域 [-1，1] [-1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 增区间 2kπ-，2kπ+(k∈Z) [2kπ-π，2kπ] (k∈Z) kπ-，kπ+(k∈Z) 减区间 2kπ+，2kπ+(k∈Z) [2kπ，2kπ+π](k∈Z) — 对称中心 (kπ，0)(k∈Z) (k∈Z) (k∈Z) 对称轴 x=kπ+(k∈Z) x=kπ(k∈Z) — 【题型1 三角函数的定义域】 【例1】函数y＝lg sin x＋的定义域为________． 解析：要使函数有意义，则有即解得(k∈Z)， 所以2kπ<x≤＋2kπ，k∈Z.所以函数y的定义域为. 答案： 跟踪训练 1.函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正切函数的定义域列出不等式，求解即得所求函数的定义域. 【详解】由，可得. 故选：D. 2.函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的解析式有意义，得到，即可求解函数的定义域. 【详解】由题意，函数有意义，则满足，即. 解得， 所以函数的定义域. 故选：C. 【题型2 三角函数的值域】 【例2】函数f(x)＝3sin在区间上的值域为(　　) A． B． C． D． 【解析】当x∈时，2x－∈， sin∈，故3sin∈，即此时函数f(x)的值域是. 跟踪训练 1.已知函数，则函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【分析】应用余弦函数的图象求函数值域. 【详解】因为，所以t=，则， 所以. 故选：B 2.已知，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】根据正切函数的单调性确定，再根据指数函数的单调性即可求出的值域，即得答案. 【详解】令，则， 因为在上单调递增， 所以， 又单调递减，且， 所以，即的值域是. 故选：B. 3．函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________． 解析：f(x)＝sin(2x＋)－3cos x＝－cos 2x－3cos x＝1－2cos2x－3cos x＝－2＋，因为cos x∈[－1，1]，所以当cos x＝1时，f(x)取得最小值，f(x)min＝－4. 答案：－4 4.函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________________ 【解析】　设t＝sin x－cos x，则－≤t≤，t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，则sin xcos x＝， 所以y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1. 当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－－. 所以函数y的值域为[－－，1]．【答案】　[－－，1] 【题型3 三角函数的单调性】 【例3】f(x)＝sin，试讨论f(x)在区间上的单调性． 解：令z＝2x－，易知函数y＝sin z的单调递增区间是，k∈Z. 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 设A＝，B＝，易知A∩B＝. 所以，当x∈时，f(x)在区间上单调递增，又因为－＝<T，所以f(x)在区间上单调递减． 跟踪训练 1、关于函数，下列说法正确的是（　　） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求cosx型三角函数的单调性 【分析】求函数的单调区间，再结合选项进行判断即可. 【详解】由，可得， 则函数的单调递减区间为， 由，可得， 则函数的单调递增区间为， 在上单调递增，上单调递减，故A正确，BCD错误. 故选：A. 2.函数f(x)＝sin的单调递减区间为________． f(x)＝－sin的减区间是f(x)＝sin的增区间．由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 故所给函数的单调递减区间为，k∈Z. 3.函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　) A．，k∈Z B．，k∈Z C．，k∈Z D．，k∈Z 解析：选B．由－＋kπ＜－＜＋kπ，k∈Z，得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)＝tan的单调递增区间是，k∈Z，故选B． 4.(2026·广东高州·模拟)函数在上的单调递增区间是 ． 【答案】 【详解】由，得，当时，在上的单调递增区间为，当时，在上的单调递增区间为，故答案为：． 【题型4 已知三角函数的单调区间求参数】 【例4】若函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos 2ωx在区间上单调递增，则正数ω的最大值为(　　) A． B． C． D． 【解析】　法一：因为f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos 2ωx＝sin 2ωx＋1在区间上单调递增， 所以解得ω≤，所以正数ω的最大值是.故选B． 法二：易知f(x)＝sin 2ωx＋1，可得f(x)的最小正周期T＝，所以解得ω≤.所以正数ω的最大值是.故选B． 【答案】　B 跟踪训练 1.若在上是减函数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】； 令，解得：， 的单调递减区间为， ，，， 的最大值为. 故选：B. 2.(2026·陕西汉中·模拟)已知函数，若在区间上单调递增，则的最大值为 . 【答案】 【详解】令，则，因在区间上单调递增，则，即且且，若，则不等式组的解集为空集；若，则；若，则不等式组的解集为空集，则的最大值为.故答案为： 3.(2025·湖北武汉·模拟)若函数在区间上单调，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】当时，，依题意，，解得，所以的取值范围为.故答案为： 课后作业 基础题组练 1.函数y＝tan 2x的定义域是(　　) A． B． C． D． 答案：D 2．当x∈[0，2π]，则y＝＋的定义域为(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． 解析：选C．法一：由题意得所以函数y的定义域为.故选C． 法二：当x＝π时，函数有意义，排除A，D；当x＝时，函数有意义，排除B．故选C． 3．函数y＝|cos x|的一个单调增区间是(　　) A．[－，]　　　　　　 B．[0，π] C．[π，] D．[，2π] 解析：选D．将y＝cos x的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cos x|的图象(如图)．故选D． 4．函数f(x)＝cos 2x＋sin xcos x．则下列表述正确的是(　　) A．f(x)在上单调递减 B．f(x)在上单调递增 C．f(x)在上单调递减 D．f(x)在上单调递增 解析：选D．f(x)＝cos 2x＋sin 2x＝sin， 由2x＋∈，k∈Z， 解得x∈，k∈Z， 当k＝0时，x∈， 所以函数f(x)在上单调递增，故选D． 5.函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　) A．，k∈Z B．，k∈Z C．，k∈Z D．，k∈Z 解析：选B．由－＋kπ＜－＜＋kπ，k∈Z，得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)＝tan的单调递增区间是，k∈Z，故选B． 6．已知函数f(x)＝sin 2x＋2sin2x－1在[0，m]上单调递增，则m的最大值是(　　) A． B． C． D．π 解析：选C．由题意，得f(x)＝sin 2x－cos 2x＝ sin，由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，当k＝0时，－≤x≤，即函数f(x)在上单调递增．因为函数f(x)在[0，m]上单调递增，所以0＜m≤，即m的最大值为，故选C． 7.已知函数f(x)＝2sin，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<c<b B．c<a<b C．b<a<c D．b<c<a 【解析】　a＝f＝2sin ，b＝f＝2sin ＝2，c＝f＝2sin ＝2sin ， 因为y＝sin x在上单调递增，且<<，所以c<a<b.【答案】　B 8.若的最大值为3，最小值为1，则ab的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】D【详解】当时，则得此时； 当时，得此时；综上所述，，故选：D 9．函数y＝3－2cos的最大值为________，此时x＝________． 答案：5　＋2kπ(k∈Z)10.函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________． 解析：f(x)＝sin2x＋cos x－＝1－cos2x＋cos x－＝－＋1，cos x∈[0，1]， 当cos x＝时，f(x)取得最大值1. 答案：1 10.函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________． 解析：f(x)＝sin2x＋cos x－＝1－cos2x＋cos x－＝－＋1，cos x∈[0，1]， 当cos x＝时，f(x)取得最大值1. 答案：1 11．已知函数f(x)＝－10sin2x－10sin x－，x∈的值域为，则实数m的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：选B． 记t＝sin x，x∈，则函数f(x)可转化为g(t)＝－10t2－10t－＝－10＋2. 因为函数的最大值为2，显然此时t＝－. 令g(t)＝－，得t＝－1或t＝0， 由题意知x∈，当x＝－时，t＝－1，g(－1)＝－，结合g(t)的图象及函数的值域为，可得－≤sin m≤0，解得－≤m≤0.故选B． 12．已知f(x)＝sin. (1)求f(x)的单调递增区间； (2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值． 解：(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 故f(x)的单调递增区间为，k∈Z. (2)当x∈时，≤2x＋≤，所以－1≤sin≤，所以－≤f(x)≤1， 所以当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－. 综合提升练 13．已知函数f(x)＝2sin在区间上单调递增，则ω的最大值为(　　) A． B．1 C．2 D．4 解析：选C．法一：因为x∈，所以ωx＋∈，因为f(x)＝2sin在上单调递增，所以＋≤，所以ω≤2，即ω的最大值为2，故选C． 法二：将选项逐个代入函数f(x)进行验证，选项D不满足条件，选项A、B、C满足条件f(x)在上单调递增，所以ω的最大值为2，故选C． 14.若函数f(x)＝3sin－2在区间上单调，则实数a的最大值是________． 解析：法一：令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，即2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z， 所以函数f(x)在区间上单调递减，所以a的最大值为. 法二：因为≤x≤a，所以＋≤x＋≤a＋，而f(x)在上单调， 所以a＋≤，即a≤，所以a的最大值为. 答案： 15.已知函数，既有最小值也有最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，函数，既有最小值也有最大值， ①当函数最值取得1，最小值为时， 结合函数图象可得，即； ②当取得最大值为，最小值为－1时，结合函数图象可得， 解得，综上所述，实数的取值范围为或． 故选：D. 16．设函数f(x)＝cos(ω>0)．若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________． 解析：由于对任意的实数都有f(x)≤f成立，故当x＝时，函数f(x)有最大值，故f＝1，－＝2kπ(k∈Z)，所以ω＝8k＋(k∈Z)，又ω>0，所以ωmin＝. 答案： 17． 如果圆x2＋(y－1)2＝m2至少覆盖函数f(x)＝2sin2－ cos(m>0)的一个最大值点和一个最小值点，则m的取值范围是________． 解析：化简f(x)＝2sin2－cos得f(x)＝2sin＋1，所以，函数f(x)的图象靠近圆心(0，1)的最大值点为，最小值点为， 所以只需解得m≥. 答案： 18.若函数在上的值域为，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由，则， 的值域为，则，解得. 故答案为：. 19．已知f(x)＝2sin＋a＋1. (1)求f(x)的单调递增区间； (2)当x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值； (3)在(2)的条件下，求满足f(x)＝1且x∈[－π，π]的x的取值集合． 解：(1)f(x)＝2sin＋a＋1， 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 可得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z. (2)当x＝时，f(x)取得最大值4， 即f＝2sin＋a＋1＝a＋3＝4，所以a＝1. (3)由f(x)＝2sin＋2＝1，可得sin＝－， 则2x＋＝＋2kπ，k∈Z或2x＋＝π＋2kπ，k∈Z， 即x＝＋kπ，k∈Z或x＝＋kπ，k∈Z， 又x∈[－π，π]，解得x＝－，－，，，所以x的取值集合为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.6 三角函数图象与性质（定义域、值域、单调性） 知识梳理 1.五点法作正弦函数、余弦函数的图象 (1)正弦函数y=sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点:(0，0)，，1，(π，0)，，-1，(2π，0). (2)余弦函数y=cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点:(0，1)，，0，(π，-1)，，0，(2π，1). 2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质，请把表格补充完整. 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图象 定义域 R R xx≠kπ+，k∈Z 值域 [-1，1] [-1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 增区间 2kπ-，2kπ+(k∈Z) [2kπ-π，2kπ] (k∈Z) kπ-，kπ+(k∈Z) 减区间 2kπ+，2kπ+(k∈Z) [2kπ，2kπ+π](k∈Z) — 对称中心 (kπ，0)(k∈Z) (k∈Z) (k∈Z) 对称轴 x=kπ+(k∈Z) x=kπ(k∈Z) — 【题型1 三角函数的定义域】 【例1】函数y＝lg sin x＋的定义域为________． 跟踪训练 1.函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2.函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【题型2 三角函数的值域】 【例2】函数f(x)＝3sin在区间上的值域为(　　) A． B． C． D． 跟踪训练 1.已知函数，则函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 2.已知，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 3．函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________． 4.函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________________ 【题型3 三角函数的单调性】 【例3】f(x)＝sin，试讨论f(x)在区间上的单调性． 跟踪训练 1、关于函数，下列说法正确的是（　　） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 2.函数f(x)＝sin的单调递减区间为________． 3.函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　) A．，k∈Z B．，k∈Z C．，k∈Z D．，k∈Z 4.(2026·广东高州·模拟)函数在上的单调递增区间是 ． 【题型4 已知三角函数的单调区间求参数】 【例4】若函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos 2ωx在区间上单调递增，则正数ω的最大值为(　　) A． B． C． D． 跟踪训练 1.若在上是减函数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2.(2026·陕西汉中·模拟)已知函数，若在区间上单调递增，则的最大值为 . 3.(2025·湖北武汉·模拟)若函数在区间上单调，则的取值范围为 . 课后作业 基础题组练 1.函数y＝tan 2x的定义域是(　　) A． B． C． D． 2．当x∈[0，2π]，则y＝＋的定义域为(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． 3．函数y＝|cos x|的一个单调增区间是(　　) A．[－，]　　　　　　 B．[0，π] C．[π，] D．[，2π] 4．函数f(x)＝cos 2x＋sin xcos x．则下列表述正确的是(　　) A．f(x)在上单调递减 B．f(x)在上单调递增 C．f(x)在上单调递减 D．f(x)在上单调递增 5.函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　) A．，k∈Z B．，k∈Z C．，k∈Z D．，k∈Z 6．已知函数f(x)＝sin 2x＋2sin2x－1在[0，m]上单调递增，则m的最大值是(　　) A． B． C． D．π 7.已知函数f(x)＝2sin，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<c<b B．c<a<b C．b<a<c D．b<c<a 8.若的最大值为3，最小值为1，则ab的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 9．函数y＝3－2cos的最大值为________，此时x＝________． 10.函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________． 11．已知函数f(x)＝－10sin2x－10sin x－，x∈的值域为，则实数m的取值范围是(　　) A． B． C． D． 12．已知f(x)＝sin. (1)求f(x)的单调递增区间； (2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值． 综合提升练 13．已知函数f(x)＝2sin在区间上单调递增，则ω的最大值为(　　) A． B．1 C．2 D．4 14.若函数f(x)＝3sin－2在区间上单调，则实数a的最大值是________． 15.已知函数，既有最小值也有最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16． 设函数f(x)＝cos(ω>0)．若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________． 17． 如果圆x2＋(y－1)2＝m2至少覆盖函数f(x)＝2sin2－ cos(m>0)的一个最大值点和一个最小值点，则m的取值范围是________． 18.若函数在上的值域为，则的取值范围为 . 19．已知f(x)＝2sin＋a＋1. (1)求f(x)的单调递增区间； (2)当x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值； (3)在(2)的条件下，求满足f(x)＝1且x∈[－π，π]的x的取值集合． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $