弧度制与任意角的三角函数讲义-2027届高三数学一轮复习

弧度制与任意角的三角函数 一、知识点梳理 （一）任意角与终边相同的角 角可以看成一条射线绕端点旋转而成：逆时针为正角，顺时针为负角，不转为零角。按终边位置又分为象限角与轴线角。 与角 终边相同的角的集合为 ，用弧度写就是 。 相等的角终边一定相同，终边相同的角不一定相等，它们相差 的整数倍。 象限角与轴线角的判定要先把角化到 内，再看终边落在哪个区域。 （二）弧度制与角度制互化 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作 弧度的角，记作 。 换算关系为 ，于是 ，。 角 的弧度数的绝对值 （ 为弧长， 为半径）。 弧长公式 ，扇形面积公式 。同一式子中角度与弧度不可混用。 （三）任意角三角函数的定义 设角 的终边上异于原点的点 ，它到原点的距离 ，则 ，，。 三角函数值只与角 的终边位置有关，与 在终边上的位置无关。 各象限符号口诀为"一全正、二正弦、三正切、四余弦"：第一象限全为正，第二象限只有正弦为正，第三象限只有正切为正，第四象限只有余弦为正。 由定义可直接得到 这一层关系，已知终边上一点的横纵坐标求参数时常用它列方程。 （四）三角函数线与象限符号的应用 在单位圆中，、、 分别对应三条有向线段的数量，其正负与所在象限一致，这是判断符号的直观依据。 已知 所在象限，可定 、 的终边范围：把每个象限等分， 的终边落在其中连续的两份内。 由三角函数值的符号可反推角所在的象限： 且 即第四象限。 终边落在某条直线上的角，其集合是两组相差 的解的并集，注意别漏掉反向的那一支。 二、方法导语 处理任意角问题，先"化归到熟悉的位置"：把角化到 或 内，再判定象限、终边或写集合。 弧度与角度互化只用 一个关系；求弧长、扇形面积先统一单位，再代 与 。 做完一题自查三件事：角的单位是否统一（同一式子不能既用度又用弧度）；终边相同的角写集合时有没有漏掉 的符号；由三角函数值定象限时，是否同时用了正弦与余弦两个符号。 三、典型例题 例1　终边相同的角与象限角 （1）写出与 终边相同的角的集合，并求其中位于 内的角；（2）若角 是第二象限角，判断 是第几象限角。 变式1　终边相同的角与等分角 （1）写出与 终边相同的角的集合，并求其中位于 内的角；（2）若角 是第三象限角，判断 是第几象限角。 例2　弧度与角度的互化 （1）把 化为弧度，把 化为角度；（2）已知扇形的半径为 ，圆心角为 ，求它的弧长与面积。 变式2　扇形中的弧长、面积与周长最值 （1）把 化为角度，把 化为弧度；（2）已知扇形的周长为 ，求它的面积的最大值，并求此时圆心角的弧度数。 例3　由终边上一点求三角函数值 已知角 的终边经过点 ，求 、、 的值。 变式3　由三角函数值反求终边上点的参数 已知角 的终边经过点 ，且 ，求 的值。 例4　三角函数值的符号判定 若 且 ，判断角 是第几象限角。 变式4　由三角函数值的符号定象限 若 且 ，判断角 是第几象限角。 四、巩固练习 1．（1）写出终边落在直线 上的角的集合；（2）求该集合中位于 内的角。 2．已知扇形的周长为 ，求它的面积的最大值，并求面积最大时圆心角的弧度数。 3．已知角 的终边经过点 ，求 、 的值。 4．若 是第二象限角，判断 与 各可能是第几象限角。 5．已知角 的终边与角 的终边关于 轴对称，写出 的集合；再写出与角 的终边关于原点对称的角的集合。 学科网（北京）股份有限公司 $ 弧度制与任意角的三角函数 一、知识点梳理 （一）任意角与终边相同的角 角可以看成一条射线绕端点旋转而成：逆时针为正角，顺时针为负角，不转为零角。按终边位置又分为象限角与轴线角。 与角 终边相同的角的集合为 ，用弧度写就是 。 相等的角终边一定相同，终边相同的角不一定相等，它们相差 的整数倍。 象限角与轴线角的判定要先把角化到 内，再看终边落在哪个区域。 （二）弧度制与角度制互化 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作 弧度的角，记作 。 换算关系为 ，于是 ，。 角 的弧度数的绝对值 （ 为弧长， 为半径）。 弧长公式 ，扇形面积公式 。同一式子中角度与弧度不可混用。 （三）任意角三角函数的定义 设角 的终边上异于原点的点 ，它到原点的距离 ，则 ，，。 三角函数值只与角 的终边位置有关，与 在终边上的位置无关。 各象限符号口诀为"一全正、二正弦、三正切、四余弦"：第一象限全为正，第二象限只有正弦为正，第三象限只有正切为正，第四象限只有余弦为正。 由定义可直接得到 这一层关系，已知终边上一点的横纵坐标求参数时常用它列方程。 （四）三角函数线与象限符号的应用 在单位圆中，、、 分别对应三条有向线段的数量，其正负与所在象限一致，这是判断符号的直观依据。 已知 所在象限，可定 、 的终边范围：把每个象限等分， 的终边落在其中连续的两份内。 由三角函数值的符号可反推角所在的象限： 且 即第四象限。 终边落在某条直线上的角，其集合是两组相差 的解的并集，注意别漏掉反向的那一支。 二、方法导语 处理任意角问题，先"化归到熟悉的位置"：把角化到 或 内，再判定象限、终边或写集合。 弧度与角度互化只用 一个关系；求弧长、扇形面积先统一单位，再代 与 。 做完一题自查三件事：角的单位是否统一（同一式子不能既用度又用弧度）；终边相同的角写集合时有没有漏掉 的符号；由三角函数值定象限时，是否同时用了正弦与余弦两个符号。 三、典型例题 例1　终边相同的角与象限角 （1）写出与 终边相同的角的集合，并求其中位于 内的角；（2）若角 是第二象限角，判断 是第几象限角。 ①先化到基本区间　把 加上 的整数倍，化到 内，得到与它终边相同的"主值"。 ②用主值写集合　终边与主值相同的角构成 （ 为主值），再对 取值筛出所需区间内的角。 ③等分象限定半角　把第二象限的角写成 ，两边同除以 ，再对 分奇偶讨论。 注：终边相同的角写成集合时，字母 必须注明 ；讨论 所在象限要按 的奇偶分类，两类往往落在不同的象限。 【答案】（1），故集合为 ，取 得 、；（2） 是第一象限角或第三象限角。 （1）因为 ，所以与 终边相同的角的集合为 。 令 ：由 得 ， 故 或 ，对应的角为 与 。 （2）因为 是第二象限角，所以 ， 两边同除以 得 。 当 时，，此时 是第一象限角； 当 时，，此时 是第三象限角。 综上， 是第一象限角或第三象限角。 变式1　终边相同的角与等分角 （1）写出与 终边相同的角的集合，并求其中位于 内的角；（2）若角 是第三象限角，判断 是第几象限角。 ①化到 　把 减去 的整数倍，化到基本区间。 ②写集合并筛值　用主值写集合，再对 取值筛出 内的角。 ③等分象限　写出第三象限角的不等式，两边除以 ，按 的奇偶分类。 【答案】（1），集合为 ，取 得 、；（2） 是第二象限角或第四象限角。 （1）因为 ，所以与 终边相同的角的集合为 。 令 ：由 得 ， 故 或 ，对应的角为 与 。 （2）因为 是第三象限角，所以 ， 两边同除以 得 。 当 时，， 是第二象限角； 当 时，， 是第四象限角。 综上， 是第二象限角或第四象限角。 例2　弧度与角度的互化 （1）把 化为弧度，把 化为角度；（2）已知扇形的半径为 ，圆心角为 ，求它的弧长与面积。 ①乘法而非查表　度化弧度乘 ，弧度化度乘 ，只用一个换算关系即可。 ②弧长用 　圆心角已经是弧度制，可直接代入弧长公式。 ③面积有两条路　扇形面积既可用 ，也可用 ，先算弧长再套前者更省事。 注：弧度制下弧长、面积公式才形如 与 ；若圆心角给的是角度，必须先化成弧度再代入，否则结果会差一个 。 【答案】（1），；（2）弧长 ，面积 。 （1）； 。 （2）因为 ，圆心角 ，所以弧长 。 扇形面积 。 变式2　扇形中的弧长、面积与周长最值 （1）把 化为角度，把 化为弧度；（2）已知扇形的周长为 ，求它的面积的最大值，并求此时圆心角的弧度数。 ①互化只用换算关系　弧度化度乘 ，度化弧度乘 。 ②用周长建立关系　设半径为 、弧长为 ，则 ，把 用 表示后代入面积公式。 ③配方求最值　面积化成关于 的二次函数，配方求最大值，再由 反解圆心角。 【答案】（1），；（2）面积最大值为 ，此时圆心角为 。 （1）； 。 （2）设扇形半径为 ，弧长为 ，则 ，即 。 由 得 。扇形面积 。 所以当 时， 取最大值 ，此时 ， 圆心角 。 例3　由终边上一点求三角函数值 已知角 的终边经过点 ，求 、、 的值。 ①先算 再分号　，因为 的正负决定点所在的象限，所以要对 分类。 ②按定义代入　把 、、 代入三个定义式，注意分母含 时的化简。 ③按象限校验符号　 时点在第二象限，正弦正、余弦负； 时点在第四象限，正弦负、余弦正，与结果呼应。 注：含参数的终边问题必须先判 的符号（用 ），否则会漏掉一支；答案要对 与 分别给出。 【答案】当 时，，，；当 时，，，。 因为 ，，所以 。 当 时，，点 在第二象限，于是 ，，。 当 时，，点 在第四象限，于是 ，，。 变式3　由三角函数值反求终边上点的参数 已知角 的终边经过点 ，且 ，求 的值。 ①写 　由 得 ，再写出 的表达式。 ②列方程解 　把已知的余弦值代入，得到关于 的方程，平方去根号后求解。 ③用符号定范围　因为 ，所以 ，据此舍去正根。 【答案】。 由点 得 ，则 。 因为 ，所以 ，即 。 两边平方得 ，整理得 ，所以 或 。 又由 知 ，故 。 例4　三角函数值的符号判定 若 且 ，判断角 是第几象限角。 ①由正弦定上下　 说明终边在 轴上方，即第一、二象限。 ②由正切定左右　，配合 得 ，终边在 轴左侧。 ③取交集　"上方"与"左侧"的交集就是第二象限。 注：多个符号条件要逐一翻译成"终边在哪一侧"，再取交集；由 且 可直接推出 ，这一步是解题的关键。 【答案】角 是第二象限角。 由 知角 的终边在 轴上方，所以 是第一象限角或第二象限角。 因为 ，且 ，所以 ， 即角 的终边在 轴左侧。 同时满足终边在 轴上方、又在 轴左侧的，只有第二象限。 故角 是第二象限角。 变式4　由三角函数值的符号定象限 若 且 ，判断角 是第几象限角。 ①由余弦定左右　 说明终边在 轴左侧，即第二、三象限。 ②由正切定同号　 说明正弦与余弦同号，配合 得 。 ③取交集　"左侧"与"下方"的交集是第三象限。 【答案】角 是第三象限角。 由 知角 的终边在 轴左侧，所以 是第二象限角或第三象限角。 因为 ，且 ，所以 ， 即角 的终边在 轴下方。 同时满足终边在 轴左侧、又在 轴下方的，只有第三象限。 故角 是第三象限角。 四、巩固练习 1．（1）写出终边落在直线 上的角的集合；（2）求该集合中位于 内的角。 【答案】（1）；（2） 与 。 直线 的倾斜角满足 ，在 内为 。 （1）终边落在该直线上的角为 ，也可写成 。 （2）令 ：由 得 ，故 ， 对应的角为 与 。 2．已知扇形的周长为 ，求它的面积的最大值，并求面积最大时圆心角的弧度数。 【答案】面积的最大值为 ，此时圆心角为 。 设扇形半径为 、弧长为 ，则 ，即 。 由 得 。扇形面积 。 当 时 取最大值 ，此时 ， 圆心角 。 3．已知角 的终边经过点 ，求 、 的值。 【答案】当 时，、；当 时，、。 由 得 。 当 时 ，点 在第四象限， ，。 当 时 ，点 在第二象限， ，。 4．若 是第二象限角，判断 与 各可能是第几象限角。 【答案】 是第一或第三象限角； 是第一、第二或第四象限角。 因为 是第二象限角，所以 。 两边同除以 ：。 当 时， 在第一象限；当 时， 在第三象限。故 是第一或第三象限角。 两边同除以 ：。 当 时，，在第一象限； 当 时，，在第二象限； 当 时，，在第四象限。 故 是第一、第二或第四象限角。 5．已知角 的终边与角 的终边关于 轴对称，写出 的集合；再写出与角 的终边关于原点对称的角的集合。 【答案】关于 轴对称：；关于原点对称：。 角 的终边在第一象限。 与它关于 轴对称的终边落在第四象限，对应的角为 ， 故 。 与它关于原点对称的终边落在第三象限，对应的角为 ， 故 。 学科网（北京）股份有限公司 $