第4讲三角函数的性质综合讲义-2027届高三数学一轮复习

三角函数的性质综合：周期、单调、对称与奇偶 高三数学专题复习 · 三角第四讲 0 题型概说 本讲研究的问题：函数解析式（或经化简可得到的标准形）已经给出，要求正向读取它的四类性质——周期、单调、对称、奇偶——并在性质之间相互推证：由对称推周期、由奇偶推对称、由周期迁移单调区间与函数值。前一讲（由性质反求 与  ）是”由性质解参数”，本讲是”由解析式读性质、用性质推性质”，两者的工具库一致，方向相反。 处理的总纲：先化简定形，再逐条读取，最后性质联动。非标准形先用降幂公式与辅助角公式化成 ，四类性质的公式全部作用在这个标准形上；解析式无法化简成单一正弦型时（乘积型、复合型、含参数讨论型），转到对应单元的专门方法。 识别信号总览： 题面特征 方法指向 单元 化简后求周期、对称中心；含 结构、乘积结构 化简定形与周期读法 单元一 单调区间、含参单调、区间最值、复合结构判断 单调区间的整套流程 单元二 对称轴方程、对称中心坐标、绝对值三角的对称 对称要素方程 单元三 抽象函数的奇偶、对称、周期互推， 型求值 对称-周期互推网络 单元四 单元一 周期与解析式的化简 1.1 识别特征 题面给出一个”组装过的”解析式：、、、 型的乘积或平方结构；要求最小正周期、对称中心，或先化简再讨论性质。判断标志：解析式不能直接读出 ，必须先变形。 1.2 结论与推导 结论 1.1（化简定形三件套）　任何三角解析式，按下列顺序化为 ： ① 降幂：，，； ② 同频合并：，其中 ，； ③ 切弦互化：含 的分式结构统一化弦， 常使分母整体收缩。 推导：①②即二倍角与辅助角的逆向使用；③中 ，当 时分母收缩为 ，整个分式化为单个弦函数。 结论 1.2（周期读法与乘积型周期）　标准形 的周期 （  型 ， 型减半为  ）。乘积型（如  ）与和差型：先化简；不能化成单一正弦型时，分别求各分量的周期 ，整体周期取其最小公倍数（用定义 验证最小性）。 推导：分量分别以 重复，则以 同时重复；最小性由分量周期的整数倍关系核验。 结论 1.3（定义域剔除断点）　含 的解析式化简后，弦函数形式”看起来”处处有义，但原式的定义域受 限制：列出全部限制（  自身的 、 的 、分母 等），解出并集后剔除。单调性、对称中心都必须在剔除断点后的定义域内叙述。 推导：等价变形只在不等式允许的范围内保真；漏剔断点则单调区间可能跨过无定义点。 结论 1.4（闭区间最值三步）　求 在 上的最值：①算相位区间 ；②看该区间是否含正弦的最值相位 ，含则取 ，否则最值在端点；③回代比较端点值与内部最值点。 推导：复合函数最值只可能在外层正弦的最值相位或区间端点取得。 1.3 方法决策表 题面 动作 平方、交叉项结构 降幂 + 辅助角（结论 1.1） 分式结构 切化弦，分母收缩（结论 1.1③） 求最小正周期 化简后 ；乘积型取分量周期最小公倍数（结论 1.2） 参与的化简 必剔除断点（结论 1.3） 闭区间最值 相位区间三步（结论 1.4） 例题精讲 例 1（解答题） 设函数 ． （1）化简 ，并判断 在区间 上的单调性； （2）设 为钝角三角形，角 的对边分别为 ，若 ，，，求 ． ●解析 （1）先切化弦：，故 。 由结论 1.3 剔除断点： 有义需 ； 有义需 ；分母不为零需 。三者合并即 （  ），故定义域为 。 当 时（区间内无断点），相位 ， 在该相位区间上单调递增，故 在 上单调递增。 （2） 即 。由 知 ，钝角至多一个且为最大角，故 为锐角，，此区间内唯一零点为 ，得 。 由余弦定理 ：，即 ，解得 或 。 检验： 时 ，角 为钝角，符合； 时 ，角 为直角，不符。综上 。 【答案】（1），定义域 ， 在 上单调递增；（2） 例 2（解答题） 已知函数 ． （1）求 的最小正周期； （2）当 时，求函数 的最值； （3）若 ，，求 的值． ●解析 （1）按结论 1.1 降幂：，故 。 （2） 时相位 ，该区间含最小值相位 、最大值相位 （端点），故 的取值范围为 ， 的最小值为 ，最大值为 。 （3），，则 ，。故 ，。 【答案】（1）；（2）最小值 ，最大值 ；（3） 变式训练 变 1（填空题） 函数 的最小正周期为________，最大值为________． ●解析 由积化和差 ：。两分量周期分别为 与 ，由结论 1.2 取最小公倍数，最小正周期为 。 求最大值：。令 ，，： 在 处由负变正、在 处由正变负，即 在 减、 增、 减。比较 处 与端点 、谷点 ，最大值为 。 【答案】； 变 2（解答题） 已知函数 ． （1）求 的最小正周期及单调递增区间； （2）设锐角 的内角 所对的边分别为 ，若 ，，，求 的面积． ●解析 （1）因式分解（平方差）：，故 （结论 1.1）。最小正周期 。增区间由 （  ）解得 。 （2） 即 ，。锐角三角形给出 ，相位 ，该区间内唯一的解为 ，得 。 余弦定理：，即 ， 或 。检验锐角条件： 时 ， 为钝角，舍去； 时 ，且 为最大边、 为最大角， 为锐角则各角均为锐角，符合。故 。 【答案】（1），增区间 （  ）；（2） 变 3（解答题） 已知函数 ． （1）求函数 的最小正周期，以及在 内的单调递增区间； （2）在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，，，求 的长． ●解析 （1）降幂（结论 1.1）：，最小正周期 。增带：，即 （  ）。与 取交：，得 、、。 （2） 即 ，， 得 。由 得 ；又 。余弦定理：，故 。 【答案】（1），增区间 、、；（2） 单元二 单调性与含参讨论 2.1 识别特征 题面要求单调区间、含参数的单调性、区间最值，或给出解析式判断一组关于单调与零点的命题。含 、 包装的交问题不在本讲（归导数交汇讲）；本讲主体是”化简后套带”与”复合结构拆层”。 2.2 结论与推导 结论 2.1（标准形单调区间）　 且 时， 的增区间由 解出，减区间由 解出。 时先用 把 化正（增减反转，重新合并）； 时提取负号，单调性反转后再套带。 推导：外层 的单调带固定， 在 时与 同向，不等式两边同除正数保号。 结论 2.2（复合结构同增异减）　： 增则 与 同向， 减则反向。复合三角（如  ）先定内层 在所论区间上的单调性与值域，再把值域对到外层的单调带上逐段判断；内外层单调方向相异时复合后反转。外层无单调带可依时（  的值域跨多个单调带），必须分段处理，不能整体套带。 推导：链式复合的单调性传递规则；值域跨带时同一内层单调段上外层方向可能改变。 结论 2.3（含参单调的两个模式）　模式一（有界压线性）： 在 上单调递减 ⟺ 恒成立 ⟺ ：振动项有界，线性项的系数必须压住其最大值。模式二（因式分解判号）： 能分解为 型时，逐因子定号（注意恒非正因子如 的存在会整体翻转符号），穿根列表得单调区间。 推导：模式一即”恒成立分离参数”；模式二中 的符号由各因子符号相乘而定，恒定符号的因子只改变整体的正负归属。 结论 2.4（由最值定参数）　“ 在 上的最大值为 ”定参数：化简后写出相位带，确定最大值在本区间内的取得点 （若相位带含 则在内部取得，否则在端点取得——两种情形分别核验），令 解出参数。含纵向平移参数 时，先由”最大值”定 ，再继续读其余性质。 推导：最值条件是一个方程，取得点位置由相位带与区间的相对位置唯一确定。 结论 2.5（周期迁移压缩值域）　解析式不是单一正弦型（如  ）但是周期函数时：先验证并求出周期 （定义代入  ），全直线上的值域等于一个周期段（如  ）上的值域；在周期段内用单调区间列出候选点（端点与极值点），比较得最值。 推导：周期函数在每个周期段上取值集合相同；连续函数的最值在端点或极值点取得。 2.3 方法决策表 题面 动作 标准形求单调区间 化 后套带（结论 2.1） 型复合 内层单调与值域 + 外层分段（结论 2.2） 全直线单调 分离参数压最大值（结论 2.3 模式一） 可因式分解 穿根判号（结论 2.3 模式二） 区间最值定参 定取得点再解方程（结论 2.4） 非标准形求值域 周期迁移 + 候选点比较（结论 2.5） 例题精讲 例 3（解答题） 已知函数 ，． （1）求 的最小正周期和单调递减区间； （2）当 时，求 的最大值和最小值； （3）若 ，，求 的值． ●解析 （1）降幂化简：，故 。减区间由 （  ）解得 。 （2） 时相位 ，正弦在该区间上的取值范围为 （最小值在左端点相位 取得，最大值在相位 取得），故 的最大值为 ，最小值为 。 （3） 即 。 给出相位 ，故 。于是 。 【答案】（1），单调递减区间 （  ）；（2）最大值 ，最小值 ；（3） 例 4（填空题） 已知函数 ，则下列命题正确的是________． ① 在 上单调递减； ② 若 是 小于 的最大零点， 是 大于 的最小零点，则 ； ③ 若 为 的两个相邻零点，则 ； ④ 对 ，，使得 在 上有两个零点． ●解析 令 ，。 ① 时 单调递增，且 时 。由 ，相位落在正弦的同一减区间 内，由结论 2.2”同增异减”， 在 上单调递减，①正确。 ② ⟺ 。 时两根全为负数，不参与”小于 的最大零点”的竞争（  时 ，负零点只来自  ）；对每个 ，方程 的两根之积为 ：一根在 ，另一根在 ，且互为倒数， 越大两根分别越小、越大。故”小于 的最大零点”与”大于 的最小零点”正是 时方程 的一对根，，②正确。 ③ 取 且 ，（存在： 时 从 严格增到  ），两式相减得 。由 得 ，故存在相邻零点距离大于 ，③错误。 ④ 时 在 上严格递减，，（  ），故 的零点 ，相邻零点间距 ，当 充分大时小于任意 ，④正确。 【答案】①②④ 变式训练 变 4（解答题） 已知函数 的最大值为 ． （1）求 的最小正周期和单调递增区间； （2）若 ，，求 的值． ●解析 （1）化简：。最大值 ，得 ，，最小正周期 。增区间由 解得 （  ）。 （2），即 。 给出相位 ，余弦为正：。故 。 【答案】（1），单调递增区间 （  ）；（2） 变 5（解答题） 函数 在 上的最大值为 ． （1）求函数 的最小正周期和常数 的值； （2）求函数 的单调增区间； （3）当 时，求使不等式 成立的 的取值集合． ●解析 （1）化简：。 时相位 ，正弦的最大值 在右端点相位 取得（由结论 2.4，区间含最值相位端点），故 ，解得 ，，最小正周期 。 （2）增区间由 解得 （  ）。 （3） 即 ，故 ，解得 （  ）。 【答案】（1），；（2）单调增区间 （  ）；（3） 变 6（解答题） 已知 ． （1）讨论 在 上的单调性； （2）求 的值域． ●解析 （1）。因子 恒成立（由结论 2.3 模式二，恒负号因子翻转归属），故 的符号由 反号决定： 在 内得 或 。 即 时 ； 即 时 。故 在 、 上单调递减，在 上单调递增。 （2）由结论 2.5 先验周期：，故 上值域与 上相同。候选点：极值点与端点。；；。故值域为 。 【答案】（1）在 、 上单调递减，在 上单调递增；（2） 变 7（单项选择题） 已知函数 （  ）在 上单调递减，则实数 的取值范围是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 在 上单调递减 ⟺ 恒成立 ⟺ 对一切 成立（结论 2.3 模式一）。 的最小值为 ，故 。 【答案】D 变 8（解答题） 已知函数 ． （1）当 时，求 在 上的单调递减区间； （2）若函数 的图象关于直线 对称，求不等式 的解集． ●解析 （1） 时，。减带：，得 ； 内只有 ，故减区间为 。 （2）一般地 。由结论 3.1，对称轴处取得最值：，即 ，平方：，解得 。故 ， 即 ，解得 （  ）。 【答案】（1）；（2） 单元三 对称轴、对称中心与周期联动 3.1 识别特征 题面要求对称轴方程、对称中心坐标，或解析式含绝对值结构（  型）时讨论对称；深层形态是用对称与周期联动定位最值点、求函数值。判别标志：答案形态是”“或”“的等差点列。 3.2 结论与推导 结论 3.1（对称要素方程）　：对称轴 ，即 ，轴上纵坐标 ；对称中心 ，即 。 型两者互换。 时中心在 轴上； 不影响横坐标。 推导：正弦曲线在峰谷处具有竖直对称性、在零点处具有中心对称性；相位方程的解集即等差点列。 结论 3.2（绝对值结构的对称与周期）　 型结构：周期减半（绝对值把负半波翻正）；对称轴加密一倍——原来的轴与原来的中心都成为新函数的对称轴（翻折后谷也变成对称峰）；而对称中心全部消失——翻折后的函数值恒非负，不再可能关于某点中心对称。求 型：先用诱导统一相位——，化为 再读对称。 推导： 的图象由负半波关于 轴翻折得到，原峰谷点处的轴对称性加倍；中心对称要求 ，与恒非负矛盾（除非函数恒为  ），故对称中心不复存在。 结论 3.3（轴与中心的间距网络）　同一条正弦型曲线上：相邻对称轴间距 ；相邻对称中心间距 ；相邻的轴与中心间距 ，且轴与中心交错出现。由”相邻对称轴间距为 “得 。对称性方程解出的点列公差即为上述间距。 推导：一个完整波形内有两条轴、两个中心，四点等距交错。 结论 3.4（对称-周期联动定位最值）　 以 为周期且关于 轴对称：最值点列 ； 关于点 中心对称：，且若又知轴 ，则周期为 （见结论 4.2）。幂结构函数（  型）先证一条单调段，再用周期与对称把最值位置平移到已证区间上——这是”性质联动”的典型流程：单调性给一段，对称与周期复制到全线。 推导：轴对称把两侧函数值镜像，周期平移复制，两者结合即可把局部信息推广到全域。 3.3 方法决策表 题面 动作 求对称轴 / 对称中心 相位方程解等差点列（结论 3.1） 型 统一相位 + 翻折规则（结论 3.2） 相邻对称轴距离 反算周期（结论 3.3） 幂结构 / 难化简函数求最值 一段单调 + 对称周期复制（结论 3.4） 例题精讲 例 5（解答题） 已知函数 ． （1）求 ； （2）求 的值域； （3）求曲线 的对称中心的坐标． ●解析 （1）。 （2）诱导化简：，，故 。 时正弦取满 ，值域为 。 （3）由结论 3.1，令 （  ），解得 ，对称中心为 （  ）。 【答案】（1）；（2）；（3）（  ） 例 6（单项选择题） 已知函数 ，则 图象的对称轴方程为（  ） A．（  ）　　B．（  ） C．（  ）　　D．（  ） ●解析 统一相位：，记 ，则 。由结论 3.2，绝对值翻折使周期减半： 的周期为 。 当 （此时 ，两函数值均为正，可去绝对值）时，，峰值 在 即 处取得，且此段内图象关于 对称，故 是一条对称轴；又 （  ）处 ，也是对称轴。两条轴相距 ，由周期 复制，全部对称轴为 （  ）。注意到 ，即对称轴方程为 （  ）。 【答案】C 变式训练 变 9（解答题） 已知函数 ，． （1）证明：（  ）在 上单调递增； （2）记 的最小值为 ，，数列 的前 项积为 ．求 的通项公式，并证明：对任意的 ， 成立． ●解析 （1）记 。求导：。提取公因式 ，并用 ，得 。 当 时 ：，，且 ，各取 次幂（  时指数为正偶数，幂函数在非负实数上递增）得 ；又 。两个因子均非正，故 ， 在 上单调递增。 （2） 时 ，。 时，先取周期与对称（结论 3.4）：，周期为 ；，关于 对称。由（1） 在 上递增，结合对称与周期：最大值在 处取得，最小值在 处取得。故 （该式对 也成立）。 于是 ，，，。 平方放缩：对每个 ，，累乘得 ，故 。 【答案】（1）证明见解析；（2）（  ），证明见解析 变 10（多项选择题） 已知函数 （  ）的图象关于直线 对称，则（  ） A． 的最小正周期为 B． 为奇函数 C． 在 上单调递增 D． 在 内恰有 个零点 ●解析 对称条件（结论 3.1）： 处取得最值，，两边平方整理得 ，即 。于是 。 A：，正确。B：，是奇函数，正确。C： 时相位 ： 时增、 时减，“单调递增”不必成立，错误。D：零点 ， 给 ，，恰 个，正确。 【答案】ABD 变 11（多项选择题） 已知函数 的一条对称轴为直线 ，若 在区间 上单调，且 ，则（  ） A．　　B． 在区间 上单调递减 C． 的最大值为 　　D． 的最小值为 ●解析 对称轴处取最值（结论 3.1）：，平方整理得 ，，A 错误。此时 。 B： 时相位 ，单调递减，正确。 C、D： 且 在 内单调：两端函数值互为相反数，由单调性， 关于该单调段内唯一的零点（即对称中心）对称。对称中心横坐标为 （  ），故 ， 的最小值为 （  ），D 错误（选项给  ）。 即两端到对称中心距离的两倍。完整单调减带如 ：，，和为零且区间内单调，，最大值 可以取到，C 正确。 【答案】BC 变 12（单项选择题） 函数 （ ， ）的最小正周期为 ．若 ，且 在区间 上最小值为 ，则 的最小值是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 ，即 ，由 得 ，。 时相位 ：最小值 要求区间触及最小值相位 （否则正弦在两端点间的最小值大于  ），即 ，解得 。故 的最小值为 。故选 B。 【答案】B 单元四 奇偶性与对称-周期互推网络 4.1 识别特征 题面给出抽象函数（不给解析式）的若干条件： 为奇（偶）函数、 为奇（偶）函数、、；要求判断周期、对称性、单调区间的位置，或计算 型函数值、区间求和。三角函数的对称中心与对称轴是这套网络的具象模型。 4.2 结论与推导 结论 4.1（对称条件的翻译）　统一翻译为”轴”与”中心”： 条件 翻译 关于直线 对称 关于点 中心对称 关于直线 对称 为偶函数 关于直线 对称 为奇函数 关于点 中心对称 推导： 中令 ，则 ，即 ，自变量关于 镜像。“复合平移后奇偶”把 视为新自变量， 为偶即 ，即 。 结论 4.2（对称 ⟺ 周期互推表）　设 ： 已知 推出周期 两条对称轴 与 两个对称中心 一条轴 与一个中心 奇函数 + 中心 （即两条”中心”） 偶函数 + 轴 （即两条”轴”） 推导（以一轴一心为例）：轴 给 ；中心 给 。两式联用：，故 。其余各行同理：两次同型对称复合得平移 ，两次异型复合得平移 。 结论 4.3（奇偶参与的网络与特值技巧）　 为奇函数 ⟺ 中心 ； 为偶函数 ⟺ 轴 。奇偶条件可以并入结论 4.2 的表格使用（ “偶函数+一条轴”即两条轴）。两个常用特值：①中心 中令 得 ；若又知 （连续奇函数）则 ；②” 为奇函数”中令 得 ，即 。 推导：中心对称式 对一切 成立，代入特定 即得函数值方程。 结论 4.4（周期函数求值与比大小）　计算 （  为大整数）：用周期取模 ，再落到已知解析式或对称条件上。比较 ：用周期与奇偶性把三个自变量全部平移进同一个已知单调区间，再按单调性排序。分区间的具体函数（分段给出 上的解析式）先用奇偶补出对称半区，再用周期铺满全直线。 推导：周期与奇偶都是”函数值搬运”规则；比较大小归结为把函数值搬到同一单调段上。 4.3 方法决策表 题面 动作 奇 / 偶、 先翻译成轴 / 中心（结论 4.1） 求周期 查互推表：同型对称得 ，异型得 （结论 4.2） 型 取模搬运 + 特值（结论 4.3、4.4） 比大小 / 列单调区间 平移进同一单调段（结论 4.4） 分段 + 周期 + 奇偶 奇偶补半区、周期铺全线（结论 4.4） 例题精讲 例 7（多项选择题） 已知函数 的定义域为 ， 和 均为偶函数，且当 时，．下列说法中正确的有（  ） A． 以 为周期 B．当 时， C．设函数 在区间 上的两个零点为 ，则 D．函数 在区间 上的最大值为 ●解析 为偶函数：； 为偶函数：，由结论 4.1 即轴 。 A：轴 与轴 并存，由结论 4.2 得周期 。验证： 中以 代 得 ，结合偶性 。A 正确。 B： 时 ，； 时 ，。故 ，B 选项漏掉 ，错误。 C： 时，用偶性与周期得 。设 ，，即 ，； 递减，故 ，即 ，移项因式分解 ，由 得 。C 正确。 D： 时 ，，。，零点 ，其中 ： 上增、 上减，最大值 。D 错误。 【答案】AC 例 8（多项选择题） 已知函数 的定义域为 ，其图象是一条连续不断的曲线，， 为奇函数，函数 ，且 为偶函数，则（  ） A． 是奇函数 B． 为 的一个周期 C． D． ●解析 为奇函数，即 ，中心 （结论 4.1）； 为偶函数，即 ，轴 。 A：，，相等即 对一切 成立， 时约去 得 ；又 的图象连续不断，令 趋于 取极限得 ，即 。故对一切 有 ， 是奇函数。A 正确。 B：中心 （奇函数）与中心 并存，由结论 4.2 得周期 ；又若 为周期，则 ，与中心 给出的 矛盾，故 不是周期。B 错误。 C： 为奇函数中令 ：，即 （结论 4.3 特值），故 。C 正确。 D： 奇且连续，；由 与中心 ：；由周期 ：，，，。逐个计算：，，，，，，，。每四项一组：，，共 组，。D 正确。 【答案】ACD 变式训练 变 13（单项选择题） 函数 对 ，，且 为奇函数，则下列说法正确的是（  ） A．若 时 ，则 B． 的周期为 C． 的图象关于 中心对称 D． ●解析 翻译： 即轴 ； 为奇函数即中心 。 A：中心式 中取 ：；轴式取 ：，故 ，A 错误。 B：一轴 一心 ，由结论 4.2 周期为 ，B 错误。 C：中心 结合周期 ：，故图象也关于 中心对称。C 正确。 D：；中心式取 ：，故 ，D 错误。 【答案】C 变 14（多项选择题） 已知函数 是定义域为 的偶函数， 是奇函数，则下列结论正确的是（  ） A．　　B． C． 是以 为周期的函数　　D． 的图象关于 对称 ●解析 为奇函数：令 ，，即 ，图象关于点 中心对称。 A：令 ：，。A 正确。 B：由 ，令 得 ， 未知， 不能确定。B 错误。 C：在 中以 代 ：，由偶性 ，得 ；再错位一位：，两式相减 ，周期为 。C 正确。 D：由 与偶性：，轴 ；结合周期 ，轴 也是对称轴。D 正确。 【答案】ACD 变 15（多项选择题） 已知函数 是定义在 上的偶函数，若 满足 ，且 在 上单调递增，则以下说法一定正确的是（  ） A．　　B． 为周期函数 C．　　D． 在 上单调递增 ●解析 即中心 。 A：令 ：，。A 错误。 B：中心 式与偶函数（轴  ）并存，由结论 4.2 周期为 ：，。B 正确。 C：。C 正确。 D：偶函数在 上递增，则在 上递减；由中心 ， 时 ， 上递减使 关于 递减，故 在 上递减；周期 平移， 在 上也单调递减。D 错误。 【答案】BC 变 16（多项选择题） 设 ， 都是定义在 上的奇函数，且 为单调函数，，若对任意 有 （  为常数），，则（  ） A． B． C． 为周期函数 D． ●解析 在 中令 ：（奇函数）。故 ， 单调（单射），得 ，即 。于是 。 A：，A 错误。 B：上式中取 ：，故 。B 正确。 C：令 ，则 ，即 ，从而 ， 是周期为 的周期函数。C 正确。 D：由 ， 是首项 、公差 的等差数列，，，等号成立，D 错误。 【答案】BC 变 17（单项选择题） 已知 是定义在 上周期为 的偶函数，且当 时，．设 ，，，则 的大小关系是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 时 递减、 递增，故 在 上单调递减。按结论 4.4 搬运：（周期 进 ，再由偶性入 ， ）；。三者 落在同一递减段，故 ，即 。 【答案】B 变 18（填空题） 已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则 的最大值为________． ●解析 按结论 4.1 翻译： 为偶函数，即 　①； 为奇函数，即 　②。 ① ②：，整理得 。验证： 为偶函数， 为奇函数，满足全部条件。 ，其中 ，，故最大值为 。 【答案】 变 19（多项选择题） 已知函数 的定义域为 ， 和 均为偶函数，且当 时 ，则（  ） A． B．函数 的图象关于点 中心对称 C．函数 是周期为 的周期函数 D．函数 在 上单调递增 ●解析 为偶函数（轴  ）， 为偶函数（轴 ，结论 4.1）。 A：，正确。B：轴 不是中心对称，错误。C：轴 （偶）与轴 相距 ，由结论 4.2，周期为 。亦可直接推导： 与偶函数 联用得 ，即 （  ），正确。D： 时 ，，对称轴 开口向下，故在 上单调递增，正确。 【答案】ACD 变 20（多项选择题） 已知偶函数 （ ， ）的最小正周期为 ，下列说法正确的是（  ） A． 在 上单调递减 B．直线 是曲线 的一条对称轴 C．直线 是曲线 的一条切线 D．若函数 （  ）在 上恰有三个零点、三个极值点，则 ●解析 化简：。偶函数 ⟺ 是对称轴（结论 4.1 的三角形态）：，结合 得 ，；再由 得 ，。 A： 时相位 ，余弦递减，正确。B：，对称轴处应取得最值 ，故 不是对称轴，错误。C：直线即 ，斜率 ； 要求 ，此时切点 （  ）恰在直线上（代入纵坐标为  ），相切成立，正确。D：相位 ：恰三个零点（相位  ）给 ，即 ；恰三个极值点（相位 ， ）给 ，即 。取交得 ，正确。 【答案】ACD 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角函数的性质综合：周期、单调、对称与奇偶 高三数学专题复习 · 三角第四讲 0 题型概说 本讲研究的问题：函数解析式（或经化简可得到的标准形）已经给出，要求正向读取它的四类性质——周期、单调、对称、奇偶——并在性质之间相互推证：由对称推周期、由奇偶推对称、由周期迁移单调区间与函数值。前一讲（由性质反求 与  ）是”由性质解参数”，本讲是”由解析式读性质、用性质推性质”，两者的工具库一致，方向相反。 处理的总纲：先化简定形，再逐条读取，最后性质联动。非标准形先用降幂公式与辅助角公式化成 ，四类性质的公式全部作用在这个标准形上；解析式无法化简成单一正弦型时（乘积型、复合型、含参数讨论型），转到对应单元的专门方法。 识别信号总览： 题面特征 方法指向 单元 化简后求周期、对称中心；含 结构、乘积结构 化简定形与周期读法 单元一 单调区间、含参单调、区间最值、复合结构判断 单调区间的整套流程 单元二 对称轴方程、对称中心坐标、绝对值三角的对称 对称要素方程 单元三 抽象函数的奇偶、对称、周期互推， 型求值 对称-周期互推网络 单元四 单元一 周期与解析式的化简 1.1 识别特征 题面给出一个”组装过的”解析式：、、、 型的乘积或平方结构；要求最小正周期、对称中心，或先化简再讨论性质。判断标志：解析式不能直接读出 ，必须先变形。 1.2 结论与推导 结论 1.1（化简定形三件套）　任何三角解析式，按下列顺序化为 ： ① 降幂：，，； ② 同频合并：，其中 ，； ③ 切弦互化：含 的分式结构统一化弦， 常使分母整体收缩。 推导：①②即二倍角与辅助角的逆向使用；③中 ，当 时分母收缩为 ，整个分式化为单个弦函数。 结论 1.2（周期读法与乘积型周期）　标准形 的周期 （  型 ， 型减半为  ）。乘积型（如  ）与和差型：先化简；不能化成单一正弦型时，分别求各分量的周期 ，整体周期取其最小公倍数（用定义 验证最小性）。 推导：分量分别以 重复，则以 同时重复；最小性由分量周期的整数倍关系核验。 结论 1.3（定义域剔除断点）　含 的解析式化简后，弦函数形式”看起来”处处有义，但原式的定义域受 限制：列出全部限制（  自身的 、 的 、分母 等），解出并集后剔除。单调性、对称中心都必须在剔除断点后的定义域内叙述。 推导：等价变形只在不等式允许的范围内保真；漏剔断点则单调区间可能跨过无定义点。 结论 1.4（闭区间最值三步）　求 在 上的最值：①算相位区间 ；②看该区间是否含正弦的最值相位 ，含则取 ，否则最值在端点；③回代比较端点值与内部最值点。 推导：复合函数最值只可能在外层正弦的最值相位或区间端点取得。 1.3 方法决策表 题面 动作 平方、交叉项结构 降幂 + 辅助角（结论 1.1） 分式结构 切化弦，分母收缩（结论 1.1③） 求最小正周期 化简后 ；乘积型取分量周期最小公倍数（结论 1.2） 参与的化简 必剔除断点（结论 1.3） 闭区间最值 相位区间三步（结论 1.4） 例题精讲 例 1（解答题） 设函数 ． （1）化简 ，并判断 在区间 上的单调性； （2）设 为钝角三角形，角 的对边分别为 ，若 ，，，求 ． ●解析 （1）先切化弦：，故 。 由结论 1.3 剔除断点： 有义需 ； 有义需 ；分母不为零需 。三者合并即 （  ），故定义域为 。 当 时（区间内无断点），相位 ， 在该相位区间上单调递增，故 在 上单调递增。 （2） 即 。由 知 ，钝角至多一个且为最大角，故 为锐角，，此区间内唯一零点为 ，得 。 由余弦定理 ：，即 ，解得 或 。 检验： 时 ，角 为钝角，符合； 时 ，角 为直角，不符。综上 。 例 2（解答题） 已知函数 ． （1）求 的最小正周期； （2）当 时，求函数 的最值； （3）若 ，，求 的值． ●解析 （1）按结论 1.1 降幂：，故 。 （2） 时相位 ，该区间含最小值相位 、最大值相位 （端点），故 的取值范围为 ， 的最小值为 ，最大值为 。 （3），，则 ，。故 ，。 变式训练 变 1（填空题） 函数 的最小正周期为________，最大值为________． 变 2（解答题） 已知函数 ． （1）求 的最小正周期及单调递增区间； （2）设锐角 的内角 所对的边分别为 ，若 ，，，求 的面积． 变 3（解答题） 已知函数 ． （1）求函数 的最小正周期，以及在 内的单调递增区间； （2）在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，，，求 的长． 单元二 单调性与含参讨论 2.1 识别特征 题面要求单调区间、含参数的单调性、区间最值，或给出解析式判断一组关于单调与零点的命题。含 、 包装的交问题不在本讲（归导数交汇讲）；本讲主体是”化简后套带”与”复合结构拆层”。 2.2 结论与推导 结论 2.1（标准形单调区间）　 且 时， 的增区间由 解出，减区间由 解出。 时先用 把 化正（增减反转，重新合并）； 时提取负号，单调性反转后再套带。 推导：外层 的单调带固定， 在 时与 同向，不等式两边同除正数保号。 结论 2.2（复合结构同增异减）　： 增则 与 同向， 减则反向。复合三角（如  ）先定内层 在所论区间上的单调性与值域，再把值域对到外层的单调带上逐段判断；内外层单调方向相异时复合后反转。外层无单调带可依时（  的值域跨多个单调带），必须分段处理，不能整体套带。 推导：链式复合的单调性传递规则；值域跨带时同一内层单调段上外层方向可能改变。 结论 2.3（含参单调的两个模式）　模式一（有界压线性）： 在 上单调递减 ⟺ 恒成立 ⟺ ：振动项有界，线性项的系数必须压住其最大值。模式二（因式分解判号）： 能分解为 型时，逐因子定号（注意恒非正因子如 的存在会整体翻转符号），穿根列表得单调区间。 推导：模式一即”恒成立分离参数”；模式二中 的符号由各因子符号相乘而定，恒定符号的因子只改变整体的正负归属。 结论 2.4（由最值定参数）　“ 在 上的最大值为 ”定参数：化简后写出相位带，确定最大值在本区间内的取得点 （若相位带含 则在内部取得，否则在端点取得——两种情形分别核验），令 解出参数。含纵向平移参数 时，先由”最大值”定 ，再继续读其余性质。 推导：最值条件是一个方程，取得点位置由相位带与区间的相对位置唯一确定。 结论 2.5（周期迁移压缩值域）　解析式不是单一正弦型（如  ）但是周期函数时：先验证并求出周期 （定义代入  ），全直线上的值域等于一个周期段（如  ）上的值域；在周期段内用单调区间列出候选点（端点与极值点），比较得最值。 推导：周期函数在每个周期段上取值集合相同；连续函数的最值在端点或极值点取得。 2.3 方法决策表 题面 动作 标准形求单调区间 化 后套带（结论 2.1） 型复合 内层单调与值域 + 外层分段（结论 2.2） 全直线单调 分离参数压最大值（结论 2.3 模式一） 可因式分解 穿根判号（结论 2.3 模式二） 区间最值定参 定取得点再解方程（结论 2.4） 非标准形求值域 周期迁移 + 候选点比较（结论 2.5） 例题精讲 例 3（解答题） 已知函数 ，． （1）求 的最小正周期和单调递减区间； （2）当 时，求 的最大值和最小值； （3）若 ，，求 的值． ●解析 （1）降幂化简：，故 。减区间由 （  ）解得 。 （2） 时相位 ，正弦在该区间上的取值范围为 （最小值在左端点相位 取得，最大值在相位 取得），故 的最大值为 ，最小值为 。 （3） 即 。 给出相位 ，故 。于是 。 例 4（填空题） 已知函数 ，则下列命题正确的是________． ① 在 上单调递减； ② 若 是 小于 的最大零点， 是 大于 的最小零点，则 ； ③ 若 为 的两个相邻零点，则 ； ④ 对 ，，使得 在 上有两个零点． ●解析 令 ，。 ① 时 单调递增，且 时 。由 ，相位落在正弦的同一减区间 内，由结论 2.2”同增异减”， 在 上单调递减，①正确。 ② ⟺ 。 时两根全为负数，不参与”小于 的最大零点”的竞争（  时 ，负零点只来自  ）；对每个 ，方程 的两根之积为 ：一根在 ，另一根在 ，且互为倒数， 越大两根分别越小、越大。故”小于 的最大零点”与”大于 的最小零点”正是 时方程 的一对根，，②正确。 ③ 取 且 ，（存在： 时 从 严格增到  ），两式相减得 。由 得 ，故存在相邻零点距离大于 ，③错误。 ④ 时 在 上严格递减，，（  ），故 的零点 ，相邻零点间距 ，当 充分大时小于任意 ，④正确。 变式训练 变 4（解答题） 已知函数 的最大值为 ． （1）求 的最小正周期和单调递增区间； （2）若 ，，求 的值． 变 5（解答题） 函数 在 上的最大值为 ． （1）求函数 的最小正周期和常数 的值； （2）求函数 的单调增区间； （3）当 时，求使不等式 成立的 的取值集合． 变 6（解答题） 已知 ． （1）讨论 在 上的单调性； （2）求 的值域． 变 7（单项选择题） 已知函数 （  ）在 上单调递减，则实数 的取值范围是（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 8（解答题） 已知函数 ． （1）当 时，求 在 上的单调递减区间； （2）若函数 的图象关于直线 对称，求不等式 的解集． 单元三 对称轴、对称中心与周期联动 3.1 识别特征 题面要求对称轴方程、对称中心坐标，或解析式含绝对值结构（  型）时讨论对称；深层形态是用对称与周期联动定位最值点、求函数值。判别标志：答案形态是”“或”“的等差点列。 3.2 结论与推导 结论 3.1（对称要素方程）　：对称轴 ，即 ，轴上纵坐标 ；对称中心 ，即 。 型两者互换。 时中心在 轴上； 不影响横坐标。 推导：正弦曲线在峰谷处具有竖直对称性、在零点处具有中心对称性；相位方程的解集即等差点列。 结论 3.2（绝对值结构的对称与周期）　 型结构：周期减半（绝对值把负半波翻正）；对称轴加密一倍——原来的轴与原来的中心都成为新函数的对称轴（翻折后谷也变成对称峰）；而对称中心全部消失——翻折后的函数值恒非负，不再可能关于某点中心对称。求 型：先用诱导统一相位——，化为 再读对称。 推导： 的图象由负半波关于 轴翻折得到，原峰谷点处的轴对称性加倍；中心对称要求 ，与恒非负矛盾（除非函数恒为  ），故对称中心不复存在。 结论 3.3（轴与中心的间距网络）　同一条正弦型曲线上：相邻对称轴间距 ；相邻对称中心间距 ；相邻的轴与中心间距 ，且轴与中心交错出现。由”相邻对称轴间距为 “得 。对称性方程解出的点列公差即为上述间距。 推导：一个完整波形内有两条轴、两个中心，四点等距交错。 结论 3.4（对称-周期联动定位最值）　 以 为周期且关于 轴对称：最值点列 ； 关于点 中心对称：，且若又知轴 ，则周期为 （见结论 4.2）。幂结构函数（  型）先证一条单调段，再用周期与对称把最值位置平移到已证区间上——这是”性质联动”的典型流程：单调性给一段，对称与周期复制到全线。 推导：轴对称把两侧函数值镜像，周期平移复制，两者结合即可把局部信息推广到全域。 3.3 方法决策表 题面 动作 求对称轴 / 对称中心 相位方程解等差点列（结论 3.1） 型 统一相位 + 翻折规则（结论 3.2） 相邻对称轴距离 反算周期（结论 3.3） 幂结构 / 难化简函数求最值 一段单调 + 对称周期复制（结论 3.4） 例题精讲 例 5（解答题） 已知函数 ． （1）求 ； （2）求 的值域； （3）求曲线 的对称中心的坐标． ●解析 （1）。 （2）诱导化简：，，故 。 时正弦取满 ，值域为 。 （3）由结论 3.1，令 （  ），解得 ，对称中心为 （  ）。 例 6（单项选择题） 已知函数 ，则 图象的对称轴方程为（  ） A．（  ）　　B．（  ） C．（  ）　　D．（  ） ●解析 统一相位：，记 ，则 。由结论 3.2，绝对值翻折使周期减半： 的周期为 。 当 （此时 ，两函数值均为正，可去绝对值）时，，峰值 在 即 处取得，且此段内图象关于 对称，故 是一条对称轴；又 （  ）处 ，也是对称轴。两条轴相距 ，由周期 复制，全部对称轴为 （  ）。注意到 ，即对称轴方程为 （  ）。 变式训练 变 9（解答题） 已知函数 ，． （1）证明：（  ）在 上单调递增； （2）记 的最小值为 ，，数列 的前 项积为 ．求 的通项公式，并证明：对任意的 ， 成立． 变 10（多项选择题） 已知函数 （  ）的图象关于直线 对称，则（  ） A． 的最小正周期为 B． 为奇函数 C． 在 上单调递增 D． 在 内恰有 个零点 变 11（多项选择题） 已知函数 的一条对称轴为直线 ，若 在区间 上单调，且 ，则（  ） A．　　B． 在区间 上单调递减 C． 的最大值为 　　D． 的最小值为 变 12（单项选择题） 函数 （ ， ）的最小正周期为 ．若 ，且 在区间 上最小值为 ，则 的最小值是（  ） A．　　B．　　C．　　D． 单元四 奇偶性与对称-周期互推网络 4.1 识别特征 题面给出抽象函数（不给解析式）的若干条件： 为奇（偶）函数、 为奇（偶）函数、、；要求判断周期、对称性、单调区间的位置，或计算 型函数值、区间求和。三角函数的对称中心与对称轴是这套网络的具象模型。 4.2 结论与推导 结论 4.1（对称条件的翻译）　统一翻译为”轴”与”中心”： 条件 翻译 关于直线 对称 关于点 中心对称 关于直线 对称 为偶函数 关于直线 对称 为奇函数 关于点 中心对称 推导： 中令 ，则 ，即 ，自变量关于 镜像。“复合平移后奇偶”把 视为新自变量， 为偶即 ，即 。 结论 4.2（对称 ⟺ 周期互推表）　设 ： 已知 推出周期 两条对称轴 与 两个对称中心 一条轴 与一个中心 奇函数 + 中心 （即两条”中心”） 偶函数 + 轴 （即两条”轴”） 推导（以一轴一心为例）：轴 给 ；中心 给 。两式联用：，故 。其余各行同理：两次同型对称复合得平移 ，两次异型复合得平移 。 结论 4.3（奇偶参与的网络与特值技巧）　 为奇函数 ⟺ 中心 ； 为偶函数 ⟺ 轴 。奇偶条件可以并入结论 4.2 的表格使用（ “偶函数+一条轴”即两条轴）。两个常用特值：①中心 中令 得 ；若又知 （连续奇函数）则 ；②” 为奇函数”中令 得 ，即 。 推导：中心对称式 对一切 成立，代入特定 即得函数值方程。 结论 4.4（周期函数求值与比大小）　计算 （  为大整数）：用周期取模 ，再落到已知解析式或对称条件上。比较 ：用周期与奇偶性把三个自变量全部平移进同一个已知单调区间，再按单调性排序。分区间的具体函数（分段给出 上的解析式）先用奇偶补出对称半区，再用周期铺满全直线。 推导：周期与奇偶都是”函数值搬运”规则；比较大小归结为把函数值搬到同一单调段上。 4.3 方法决策表 题面 动作 奇 / 偶、 先翻译成轴 / 中心（结论 4.1） 求周期 查互推表：同型对称得 ，异型得 （结论 4.2） 型 取模搬运 + 特值（结论 4.3、4.4） 比大小 / 列单调区间 平移进同一单调段（结论 4.4） 分段 + 周期 + 奇偶 奇偶补半区、周期铺全线（结论 4.4） 例题精讲 例 7（多项选择题） 已知函数 的定义域为 ， 和 均为偶函数，且当 时，．下列说法中正确的有（  ） A． 以 为周期 B．当 时， C．设函数 在区间 上的两个零点为 ，则 D．函数 在区间 上的最大值为 ●解析 为偶函数：； 为偶函数：，由结论 4.1 即轴 。 A：轴 与轴 并存，由结论 4.2 得周期 。验证： 中以 代 得 ，结合偶性 。A 正确。 B： 时 ，； 时 ，。故 ，B 选项漏掉 ，错误。 C： 时，用偶性与周期得 。设 ，，即 ，； 递减，故 ，即 ，移项因式分解 ，由 得 。C 正确。 D： 时 ，，。，零点 ，其中 ： 上增、 上减，最大值 。D 错误。 例 8（多项选择题） 已知函数 的定义域为 ，其图象是一条连续不断的曲线，， 为奇函数，函数 ，且 为偶函数，则（  ） A． 是奇函数 B． 为 的一个周期 C． D． ●解析 为奇函数，即 ，中心 （结论 4.1）； 为偶函数，即 ，轴 。 A：，，相等即 对一切 成立， 时约去 得 ；又 的图象连续不断，令 趋于 取极限得 ，即 。故对一切 有 ， 是奇函数。A 正确。 B：中心 （奇函数）与中心 并存，由结论 4.2 得周期 ；又若 为周期，则 ，与中心 给出的 矛盾，故 不是周期。B 错误。 C： 为奇函数中令 ：，即 （结论 4.3 特值），故 。C 正确。 D： 奇且连续，；由 与中心 ：；由周期 ：，，，。逐个计算：，，，，，，，。每四项一组：，，共 组，。D 正确。 变式训练 变 13（单项选择题） 函数 对 ，，且 为奇函数，则下列说法正确的是（  ） A．若 时 ，则 B． 的周期为 C． 的图象关于 中心对称 D． 变 14（多项选择题） 已知函数 是定义域为 的偶函数， 是奇函数，则下列结论正确的是（  ） A．　　B． C． 是以 为周期的函数　　D． 的图象关于 对称 变 15（多项选择题） 已知函数 是定义在 上的偶函数，若 满足 ，且 在 上单调递增，则以下说法一定正确的是（  ） A．　　B． 为周期函数 C．　　D． 在 上单调递增 变 16（多项选择题） 设 ， 都是定义在 上的奇函数，且 为单调函数，，若对任意 有 （  为常数），，则（  ） A． B． C． 为周期函数 D． 变 17（单项选择题） 已知 是定义在 上周期为 的偶函数，且当 时，．设 ，，，则 的大小关系是（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 18（填空题） 已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则 的最大值为________． 变 19（多项选择题） 已知函数 的定义域为 ， 和 均为偶函数，且当 时 ，则（  ） A． B．函数 的图象关于点 中心对称 C．函数 是周期为 的周期函数 D．函数 在 上单调递增 变 20（多项选择题） 已知偶函数 （ ， ）的最小正周期为 ，下列说法正确的是（  ） A． 在 上单调递减 B．直线 是曲线 的一条对称轴 C．直线 是曲线 的一条切线 D．若函数 （  ）在 上恰有三个零点、三个极值点，则 学科网（北京）股份有限公司 $