三角函数中参数的范围问题讲义-2027届高三数学一轮复习

三角函数中参数的范围问题 一、知识点梳理 （一）依据单调性求参数范围 思路：把单调区间 整体套进 的合法区间里，得到含 的不等式组。 先用"区间长度不超过半个周期"卡出 的上界：。 再令 落在正弦（或余弦）相应的单调区间内，解出 的取值再回代。 时先用诱导公式把系数化为正，否则整体代换的方向会反。 （二）依据对称性求参数范围 相邻两对称轴、相邻两对称中心之间的距离都是 ；对称轴与相邻对称中心之间的距离是 。 已知对称轴 与对称中心 时，，由此解出 。 对称轴方程：；对称中心横坐标：。 （三）依据零点个数求参数范围 核心是"区间里放得下几个周期"：把零点个数翻译成 与区间长度的不等式。 相邻两零点之间的距离是 ；以 在 上恰有 个零点（含端点 处的零点）为例，区间长度满足 （端点能否取等要单独验证）。 含 的问题可先设 任意，把问题转化为"在长度为 的任意区间上零点个数的范围"。 端点处零点是否计入会改变不等号取等，定完范围后必须把端点代回去验一遍。 （四）依据最值（极值点）求参数范围 把给定区间映射成 的区间，再在单位圆或正弦图像上数"极值点"的个数。 "恰有 个极大值点"即 恰好取到 次。 区间内"无最值"等价于该区间不含任何 。 含参数的极值点问题优先画简图，数相位区间跨过了几条对称轴。 二、方法导语 参数范围题的共同套路是：先把 当成一个整体 ，把已知区间翻译成 的区间，再在 的图像上数点（顶点、零点、对称轴）。 凡涉及"恰有 个"的问题，都要在数完点以后把不等号的等号单独验一遍——端点能不能取，取决于该点本身算不算数。 做完一题自查三件事： 的正负有没有先统一；映射后的相位区间端点有没有算错（尤其含 时）；"恰好 个"的不等式两边取不取等，是否回代端点验证过。 三、典型例题 例1　单调性与参数范围 若函数 （）在区间 上单调递减，求 的取值范围。 变式1　单调性：含相位的参数范围 已知函数 （）在区间 上单调递增，求 的取值范围。 例2　对称性与参数范围 已知函数 （）的一条对称轴为 ，一个对称中心为 ，求 的最小值。 变式2　对称性：由两条对称轴定 已知函数 （）的图像相邻两条对称轴为 与 ，求 的值。 例3　零点个数与参数范围 已知函数 （）在区间 上有且仅有 个零点，求 的取值范围。 变式3　零点个数：无零点条件 已知函数 （）在区间 上没有零点，求 的取值范围。 例4　最值点与参数范围 已知函数 （），若 在区间 上恰有 个极大值点，求 的取值范围。 变式4　最值点：无最值条件 已知函数 （）在区间 内不存在最值，求 的取值范围。 例5　值域与参数范围 已知函数 （）在区间 上的值域为，求 的取值范围。 变式5　值域：由值域上界定参数 已知函数 （）在区间 上的最大值为 ，求 的取值范围。 四、巩固练习 1．已知函数 （）在区间 上的值域为 ，求 的取值范围。 2．已知函数 （）的图像在区间 内恰有 条对称轴，求 的取值范围。 3．已知函数 （）在区间 上恰有 个零点，求 的取值范围。 4．已知函数 （）在区间 上恰有 个最小值点，求 的取值范围。 5．已知函数 （）在区间 上的值域为 ，求 的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角函数中参数的范围问题 一、知识点梳理 （一）依据单调性求参数范围 思路：把单调区间 整体套进 的合法区间里，得到含 的不等式组。 先用"区间长度不超过半个周期"卡出 的上界：。 再令 落在正弦（或余弦）相应的单调区间内，解出 的取值再回代。 时先用诱导公式把系数化为正，否则整体代换的方向会反。 （二）依据对称性求参数范围 相邻两对称轴、相邻两对称中心之间的距离都是 ；对称轴与相邻对称中心之间的距离是 。 已知对称轴 与对称中心 时，，由此解出 。 对称轴方程：；对称中心横坐标：。 （三）依据零点个数求参数范围 核心是"区间里放得下几个周期"：把零点个数翻译成 与区间长度的不等式。 相邻两零点之间的距离是 ；以 在 上恰有 个零点（含端点 处的零点）为例，区间长度满足 （端点能否取等要单独验证）。 含 的问题可先设 任意，把问题转化为"在长度为 的任意区间上零点个数的范围"。 端点处零点是否计入会改变不等号取等，定完范围后必须把端点代回去验一遍。 （四）依据最值（极值点）求参数范围 把给定区间映射成 的区间，再在单位圆或正弦图像上数"极值点"的个数。 "恰有 个极大值点"即 恰好取到 次。 区间内"无最值"等价于该区间不含任何 。 含参数的极值点问题优先画简图，数相位区间跨过了几条对称轴。 二、方法导语 参数范围题的共同套路是：先把 当成一个整体 ，把已知区间翻译成 的区间，再在 的图像上数点（顶点、零点、对称轴）。 凡涉及"恰有 个"的问题，都要在数完点以后把不等号的等号单独验一遍——端点能不能取，取决于该点本身算不算数。 做完一题自查三件事： 的正负有没有先统一；映射后的相位区间端点有没有算错（尤其含 时）；"恰好 个"的不等式两边取不取等，是否回代端点验证过。 三、典型例题 例1　单调性与参数范围 若函数 （）在区间 上单调递减，求 的取值范围。 ①卡区间长度　单调区间长度不能超过半个周期：。 ②整体代换　令 落在正弦的递减区间，解出 的区间再与已知区间比较。 ③定 回代　由第一步得到的 上界判断 只能取多少。 注：这类题的完整步骤是"先卡长度、再代单调区间、最后定 "；只做第二步会得到含 的一大串解，必须用第一步的 上界把 定死。 【答案】。 因为 在 上单调递减，所以区间长度不超过半个周期， 即 ，得 。 又令 ，， 得 。 要使 含在此区间内，需 且， 各乘以 得 且 ，。 由 ：若 ，得 ； 若 ，得 ，与 矛盾；若 更不可能。 所以 。 变式1　单调性：含相位的参数范围 已知函数 （）在区间 上单调递增，求 的取值范围。 ①卡区间长度　由 得 的上界。 ②整体代换　令 落在 内，并代入 。 ③定 回代　用上界排除 ，得到最终范围。 【答案】。 由 得 。 令 ，。 取 代入左端：，即 ，得 。 取 代入右端：，即 。 由 ，若 得 ；若 则 ，与 矛盾。 所以 ，此时上界为 ，再由 合并得 。 检验 ：相位区间为，恰在递增区间内，符合。 所以 。 例2　对称性与参数范围 已知函数 （）的一条对称轴为 ，一个对称中心为 ，求 的最小值。 ①用 卡距离　对称轴与对称中心之间的距离是 的奇数倍。 ②写出不等式　，解出 关于 的表达式。 ③取最小值　由 对 赋值，取最小的正 。 注：对称轴与对称中心之间的距离是 （奇数倍），而两条对称轴（或两个对称中心）之间是 的整数倍，两者不能混用。 【答案】 的最小值为 。 因为 是对称轴， 是对称中心，两者横坐标之差为 。 由对称轴与对称中心之间距离是 （）得 ，即 ，整理得 。 又 ，所以 。 当 时 ；当 时 。取最小正值 。 检验： 时 ，对称轴 与对称中心 相距 ，符合要求。 变式2　对称性：由两条对称轴定 已知函数 （）的图像相邻两条对称轴为 与 ，求 的值。 ①用对称轴间距定周期　相邻两条对称轴之间的距离是半个周期。 ②定 　由 求出 。 ③检验　把求得的 代回，确认两条直线确实是对称轴。 【答案】。 相邻两条对称轴之间的距离为， 它等于半个周期，所以 ，即 。 由 得 。 检验： 时 ，相邻对称轴间距 ，与题设一致； 且 处相位为，确为对称轴。 例3　零点个数与参数范围 已知函数 （）在区间 上有且仅有 个零点，求 的取值范围。 ①把零点翻译成周期　零点即 ，相邻两零点之间距离为 。 ②数放几个周期　 个零点要求区间长度容纳 个完整间隔、不足 个。 ③定范围　写出 的双边不等式并解出。 注：这一题的"恰好 个零点"要数清楚：区间内零点间隔是 ，要放下 个零点，区间长度 至少是 个间隔、不到 个间隔，端点处还需回代验证。 【答案】。 由 得 。 令 ，当 时 。 方程 在 上的解为，相邻两解间隔 。 要使 内恰有 个解（含 ），需 。 解得 。 检验端点： 时 ，解为 共 个，符合； 时 ，解为 共 个，不符。 所以 。 变式3　零点个数：无零点条件 已知函数 （）在区间 上没有零点，求 的取值范围。 ①映射相位区间　把 代入得相位的区间。 ②避开零点　零点处相位为 ，要求该区间内不含这样的相位。 ③解并取并集　对 分类解出 的范围后取并集。 【答案】 或 。 当 时，。 无零点即该相位区间内不含 （）， 于是存在整数 ，使该区间含于 ，即 且 。 同除以 得 且 。 当 ：； 当 ：，结合 得 ； 当 ：下界 ，上界 ，需 ，解得 ，即 时检验： 时 ，下界大于上界，无解。 当 ：上界 ，与 矛盾。 所以 的取值范围是 或 。 例4　最值点与参数范围 已知函数 （），若 在区间 上恰有 个极大值点，求 的取值范围。 ①映射相位区间　由 得相位区间 。 ②数极大值点　极大值点在相位为 处，数出恰好 个所需的区间长度。 ③解不等式　由两个不等式解出 的范围，再验端点。 注：极大值点对应相位 （间隔 ），与零点（间隔 ）的算法不同，数点前先确认数的是哪一类。 【答案】。 当 时，。 极大值点处相位为 （），在起点 右侧依次为、、。 要使区间内恰有 个极大值点，需 。 各边减 得 ， 同乘 得 。 检验端点： 时右端相位为，恰含第 个极大值点，符合； 时右端相位为，含第 个极大值点，不符合。 所以 。 变式4　最值点：无最值条件 已知函数 （）在区间 内不存在最值，求 的取值范围。 ①必要条件：区间不跨对称轴　区间长度不超过半个周期，即 ，得 。 ②映射相位区间　把 代入得相位区间，要求不含 。 ③分类解并取并集　对 分类讨论，取满足 的解。 【答案】 或 。 区间长度为 ，不含最值要求 ，得 。 当 时，。 最值点处相位为 （极大、极小合起来的间隔是 ）。 要求该相位区间内不含 ，故存在 使 且。 同除 得 与，即 。 结合 ： 得 ； 得 ，与 矛盾； 得 ，结合 得 。 合并得 或 。 验 ：相位区间为，其中含 ，是最小值点，故 不符。 所以 或 。 例5　值域与参数范围 已知函数 （）在区间 上的值域为，求 的取值范围。 ①映射相位区间　由 得。 ②用起点值　左端 处 ，正好是值域下界。 ③由最大值定右端　要取到最大值 ，相位区间必须包含，但不含 。 注：值域类问题的关键：先看端点值是不是已经给出下界，再确认要取到上界 需要相位区间跨到 ，同时不能跨过下一个 位置。 【答案】。 当 时，。 左端 时 ，恰为值域的下界。 值域取到上界 ，需 落在相位区间内，即 ，得 。 值域下界仍为 ，需右端相位不超过函数再次降到 的位置 ，即 ，得 。 检验端点： 时右端相位为 ，值域恰为 ； 时右端相位为 ，此时 ，值域仍为，符合。 所以 。 变式5　值域：由值域上界定参数 已知函数 （）在区间 上的最大值为 ，求 的取值范围。 ①映射相位区间　由 得相位区间 。 ②看起点值　起点相位为 ， 已等于题设最大值。 ③卡右端　余弦在 上的最大值恰为 （在两端的端点处取到），故右端不超过 。 【答案】。 当 时，。 起点 时 ，已是题设的最大值。 余弦函数在 上的最大值为 （在 与 处取得）； 而在 内部 处取最大值 。因此只需相位区间避开 ，且不超过 。 由于左端 ，已避开 ；右端需满足 ， 即 ，得 。 检验 ：右端相位为 ，此时 ，最大值仍为，符合； 故 。 四、巩固练习 1．已知函数 （）在区间 上的值域为 ，求 的取值范围。 【答案】。 ，当 时，相位 取遍 。 值域为 要求两件事：区间上 恒成立，并且最大值 与最小值 都能取到。 最小值 在左端 处取到，自动满足。 要使 在整个相位区间上成立，相位区间不能越过 ，即 ，得 。 要取到最大值 ，需 落在相位区间内，即 ，得 。 检验端点： 时相位区间为 ， 取遍 ，符合； 时相位区间为 ， 取遍 ，符合。 所以 。 2．已知函数 （）的图像在区间 内恰有 条对称轴，求 的取值范围。 【答案】。 对称轴满足 ，即 ，解得 。 当 时，三条对称轴依次为 。 恰有 条落在 内，即 而 （ 恒在区间内）。（ 要求 ，恒成立。） 由 得 ； 由 得 。 检验端点： 时 在区间内， 也在内，恰 条，符合； 时 也进入区间，共 条，不符合。 所以 。 3．已知函数 （）在区间 上恰有 个零点，求 的取值范围。 【答案】。 即 ，解为 ，即 ，。 当 时，零点依次为 ，相邻两零点间隔 ，且 必为零点。 恰有 个零点，即第 个零点 ，而第 个零点 。 由 得 ；由 得 。 所以 。 4．已知函数 （）在区间 上恰有 个最小值点，求 的取值范围。 【答案】。 当 时，。 余弦的最小值点在相位为 处，在起点 右侧最近的是 ，然后是 。 恰有 个最小值点，需 。 各边加 得 ， 同乘 得 。 检验端点： 时右端相位为，恰含 个最小值点，符合； 时右端相位为 ，含 个，不符合。 所以 。 5．已知函数 （）在区间 上的值域为 ，求 的取值范围。 【答案】。 当 时，设相位 ，则 的取值范围是 ，其中 。 的最大值为 ，而所求值域的上界恰为 ，说明区间内必须能取到 ，即 在 内，故 ，由 得 。 的最小值为 ，对应 。因为 ，左端点已使 ，所以只要在整段上 ，最小值就不会小于 。 要求 ，故需 ，由 得 。 当 时，相位区间 ，且 ， 取遍 ，从而 取遍 ，符合要求。 所以 。 学科网（北京）股份有限公司 $