第4章 微专题7 三角函数中参数的范围问题（word教参）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（提升版）

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数中参数范围核心考点，按单调性、极值最值、零点及其他参数问题分模块梳理，通过考点解析、方法提炼、真题精讲等环节，帮助学生构建“问题类型-解题策略-实战应用”的系统复习框架，提升参数范围问题的解决能力。 讲义以“问题驱动-方法归纳-素养提升”为主线，如在极值点问题中引导学生绘制函数简图，通过数形结合分析零点或极值点个数，培养数学眼光和逻辑推理能力。设置基础例题、变式训练、综合精练三级梯度练习，配合解题策略总结，确保高效突破难点，为教师精准把握高考命题方向和复习节奏提供实用指导。

　三角函数中参数的范围问题 单调性与ω的取值范围 例1　(2025·蚌埠一模)(多选)已知函数f(x)＝sin(ω＞0)在上单调递增，则实数ω的取值可以是(　　) A．1　 B． C．6　 D．9 已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)在区间[x1，x2]上具有单调性，求ω的取值范围： (1) 根据题意可知给定区间的长度不大于该函数最小正周期的一半，即x2－x1≤T＝，求得0＜ω≤；(2) 以f(x)在给定区间上单调递增为例，利用[ωx1＋φ，ωx2＋φ]⊆(k∈Z)，解得包含k的ω的取值范围；(3) 结合(1)求出的ω的取值范围对k进行赋值，从而求出ω(不含参数)的取值范围． 变式1　(2025·泰州一调)已知ω＞0，函数f(x)＝cos在区间上单调递减，则ω的最大值为____． 极、最值(对称轴)与ω的取值范围 例2　(1)(2025·赣州一模)已知函数f(x)＝2cos，x∈(－π，0)，若f(x)恰有3个极值点，则正数ω的取值范围为__________． (2)(2025·龙岩3月质检)若函数f(x)＝sin(ω＞0，x∈R)在[0，π]内有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围是________． 处理极值、最值与参数ω结合的问题时，可通过绘制函数简图，利用三角函数的最值特性或周期性，列出关于ω的不等式，再通过解不等式求出参数的最值或取值范围． 变式2　(1)(2026·保定期中)若函数f(x)＝cos(ω＞0)在上恰有3个极值点，则ω的取值范围是(　　) A．　 B．∪ C．　 D． (2)(2026·徐州期中)若函数f(x)＝sin(ω＞0)在区间(0,2π)上恰有5个极值点，且在区间上单调，则ω的取值范围为________． 零点与ω的取值范围 例3　(2025·南京、盐城期末)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，若f(x)的图象经过点(0,1)，且f(x)在[0，π]上恰有2个零点，则实数ω的取值范围是(　　) A．　 B． C．　 D． 已知零点个数求ω的取值范围：对于区间长度为定值的动区间，若要求该区间至少含有k个零点，则需确定含有k个零点的区间长度，该长度一般和周期相关；若要求该区间至多含有k个零点，该长度需要确定包含k＋1个零点的区间长度的最小值，并确保给定区间长度小于该值． 变式3　(2025·漳州一模)已知函数f(x)＝tan(ω＞0)，若方程f(x)＝1在区间(0，π)上恰有3个实数根，则ω的取值范围是(　　) A．(2,3]　 B．[2,3) C．(3,4]　 D．[3,4) 其他参数范围 例4　(1)(2025·湛江一模)已知函数f(x)＝sin在区间(0，m)上存在唯一极大值点，则m的最大值为(　　) A．　 B．π C．　 D． (2) 已知函数f(x)＝sin(x＋φ)，0＜φ＜π，若函数f(x)在上存在最大值，但不存在最小值，则φ的取值范围是(　　) A．　 B． C．　 D． 若已知三角函数的对称性(奇偶性)，则根据三角函数的对称性(奇偶性)研究其周期性，进而运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而求出ω的取值范围． 配套精练 一、单项选择题 1．(2022·全国甲卷)设函数f(x)＝sin在区间(0，π)内恰有3个极值点、2个零点，则正数ω的取值范围是(　　) A．　 B． C．　 D． 2．已知函数f(x)＝2cos2ωx＋sin 2ωx－1(ω＞0)的图象关于点中心对称，且f(x)在上没有最小值，则ω＝(　　) A．　 B． C．　 D． 3．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)在区间上单调递增，则φ的取值范围是(　　) A．　 B． C．　 D． 4．(2025·北京卷)设函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，若f(x＋π)＝f(x)恒成立，且f(x)在上存在零点，则ω的最小值为(　　) A．8　 B．6 C．4　 D．3 5．(2025·湛江二模)若函数f(x)＝3sin x＋2cos x在[0，α]上单调递增，则当α取得最大值时，cos α＝(　　) A．－　 B．－ C．　 D． 6．(2025·天津卷)已知f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，－π＜φ＜π)在上单调递增，且x＝为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当x∈时，f(x)的最小值为(　　) A．－　 B．－ C．1　 D．0 二、多项选择题 7．(2025·常州期末)已知函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)，则下列说法正确的有(　　) A．若f(x)在[0，π]上的值域为[－1,1]，则ω的取值范围是 B．若f(x)在上恰有一条对称轴，则ω的取值范围是 C．若f(x)在上单调递增，则ω的取值范围是 D．若f(x)在上有且只有两个不同的零点，则ω的取值范围是(4,6] 8．(2025·新余一模)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象经过点(0,1)，则下列说法正确的是(　　) A．若ω＝1，则对任意的x，都有f(x＋π)＝f(x) B．若f(x)的图象关于直线x＝对称，则ω＝1＋6k(k∈N) C．若f(x)在上单调递增，则ω的取值范围是 D．若方程f(x)＝在(0，π)上恰有两个不同的实数解，则ω的取值范围是 9．设函数g(x)＝sin ωx(ω＞0)的图象向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象，已知f(x)在[0,2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的图象关于直线x＝对称 B．f(x)在(0,2π)上有且只有3个极大值点，有且只有2个极小值点 C．f(x)在上单调递增 D．ω的取值范围是 三、填空题 10．已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω＞0)，若存在x1∈[0，π]，使得f(x1)＝－2，则ω的最小值为_________． 11．(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω＞0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是_________． 12．若函数f(x)＝4cos(2x＋φ)－2(0≤φ≤π)在内恰有4个零点，则φ的取值范围是_________． 13．若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx－1在[0,2π]上恰有5个零点，且在上单调递增，则正实数ω的取值范围为_________． 14．(2025·秦皇岛一模)若函数f(x)＝sin在区间内没有零点，则正数ω的取值范围是________． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 　三角函数中参数的范围问题 单调性与ω的取值范围 例1　(2025·蚌埠一模)(多选)已知函数f(x)＝sin(ω＞0)在上单调递增，则实数ω的取值可以是(　ABD　) A．1　 B． C．6　 D．9 【解析】 因为函数f(x)＝sin(ω＞0)在上单调递增，所以k∈Z，即12k－4≤ω≤8k＋，k∈Z，则8k＋≥12k－4⇒k≤．又≥－＝，即0＜ω≤12．当k＝0时，0＜ω≤，当k＝1时，8≤ω≤．故ω∈∪． 已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)在区间[x1，x2]上具有单调性，求ω的取值范围： (1) 根据题意可知给定区间的长度不大于该函数最小正周期的一半，即x2－x1≤T＝，求得0＜ω≤；(2) 以f(x)在给定区间上单调递增为例，利用[ωx1＋φ，ωx2＋φ]⊆(k∈Z)，解得包含k的ω的取值范围；(3) 结合(1)求出的ω的取值范围对k进行赋值，从而求出ω(不含参数)的取值范围． 变式1　(2025·泰州一调)已知ω＞0，函数f(x)＝cos在区间上单调递减，则ω的最大值为____． 【解析】 因为x∈，ω＞0，所以2ωx＋∈．因为函数y＝cos t在上单调递减，而函数f(x)＝cos在上单调递减，所以⊆[0，π]，则有＋≤π，解得ω≤，则ω的最大值为． 极、最值(对称轴)与ω的取值范围 例2　(1)(2025·赣州一模)已知函数f(x)＝2cos，x∈(－π，0)，若f(x)恰有3个极值点，则正数ω的取值范围为____． 【解析】 因为ω＞0，所以当x∈(－π，0)时，ωx＋∈．因为f(x)恰有3个极值点，所以－3π≤－ωπ＋＜－2π，解得＜ω≤，即ω的取值范围为． (2)(2025·龙岩3月质检)若函数f(x)＝sin(ω＞0，x∈R)在[0，π]内有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围是____． 【解析】 对于函数f(x)＝sin，令2ωx＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z．当k＝0时，x1＝＝；当k＝1时，x2＝＝；当k＝2时，x3＝＝．由于f(x)在[0，π]内有且仅有两条对称轴，则有解得≤ω＜．所以ω的取值范围是． 处理极值、最值与参数ω结合的问题时，可通过绘制函数简图，利用三角函数的最值特性或周期性，列出关于ω的不等式，再通过解不等式求出参数的最值或取值范围． 变式2　(1)(2026·保定期中)若函数f(x)＝cos(ω＞0)在上恰有3个极值点，则ω的取值范围是(　D　) A．　 B．∪ C．　 D． 【解析】 由ω＞0，x∈，得ωx＋∈，显然∈．由于y＝cosx的极值点为x＝kπ，k∈Z，所以f(x)的极值点对应的ωx＋取0，π，2π或－π，0，π，所以或解得＜ω≤，即ω的取值范围是． (2)(2026·徐州期中)若函数f(x)＝sin(ω＞0)在区间(0,2π)上恰有5个极值点，且在区间上单调，则ω的取值范围为____． 【解析】 由x∈(0,2π)，得ωx＋∈．又函数f(x)在区间(0,2π)上恰有5个极值点，所以＜2πω＋≤，解得＜ω≤．由x∈，则ωx＋∈，又f(x)在区间上单调，由＜ω≤，知＜＋≤，所以或，解得ω∈∅或≤ω≤．综上，ω的取值范围为． 零点与ω的取值范围 例3　(2025·南京、盐城期末)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，若f(x)的图象经过点(0,1)，且f(x)在[0，π]上恰有2个零点，则实数ω的取值范围是(　B　) A．　 B． C．　 D． 【解析】 由题知f(0)＝2sin φ＝1，又|φ|＜，所以φ＝，f(x)＝2sin．当x∈[0，π]时，ωx＋∈，由题知2π≤ωπ＋＜3π，解得≤ω＜． 已知零点个数求ω的取值范围：对于区间长度为定值的动区间，若要求该区间至少含有k个零点，则需确定含有k个零点的区间长度，该长度一般和周期相关；若要求该区间至多含有k个零点，该长度需要确定包含k＋1个零点的区间长度的最小值，并确保给定区间长度小于该值． 变式3　(2025·漳州一模)已知函数f(x)＝tan(ω＞0)，若方程f(x)＝1在区间(0，π)上恰有3个实数根，则ω的取值范围是(　C　) A．(2,3]　 B．[2,3) C．(3,4]　 D．[3,4) 【解析】 当x∈(0，π)时，ωx＋∈．由题意可得tan x－1＝0在上有3个实数根，即＋3π＜ωπ＋≤＋4π，解得3＜ω≤4，即ω的取值范围是(3,4]． 其他参数范围 例4　(1)(2025·湛江一模)已知函数f(x)＝sin在区间(0，m)上存在唯一极大值点，则m的最大值为(　A　) A．　 B．π C．　 D． 【解析】 当x∈(0，m)时，2x＋∈．由f(x)在区间(0，m)上存在唯一极大值点，得＜2m＋≤，解得＜m≤，所以m的最大值为． (2) 已知函数f(x)＝sin(x＋φ)，0＜φ＜π，若函数f(x)在上存在最大值，但不存在最小值，则φ的取值范围是(　D　) A．　 B． C．　 D． 【解析】 由0≤x＜，知φ≤x＋φ＜＋φ．因为0＜φ＜π，函数f(x)在上存在最大值，但不存在最小值，所以当＋φ≥π，即φ≥时，只需满足＋φ≤，此时≤φ≤；当＋φ＜π，即φ＜时，函数一定存在最大值，要让函数无最小值，则－φ＜＋φ－，此时＜φ＜．综上，φ的取值范围是． 若已知三角函数的对称性(奇偶性)，则根据三角函数的对称性(奇偶性)研究其周期性，进而运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而求出ω的取值范围． 配套精练 一、单项选择题 1．(2022·全国甲卷)设函数f(x)＝sin在区间(0，π)内恰有3个极值点、2个零点，则正数ω的取值范围是(　C　) A．　 B． C．　 D． 【解析】 依题意可得ω＞0，因为x∈(0，π)，所以ωx＋∈．作出y＝sin t的图象如图所示，要使函数f(x)在区间(0，π)内恰有3个极值点、2个零点，则＜ωπ＋≤3π，解得＜ω≤，即ω∈． 2．已知函数f(x)＝2cos2ωx＋sin 2ωx－1(ω＞0)的图象关于点中心对称，且f(x)在上没有最小值，则ω＝(　B　) A．　 B． C．　 D． 【解析】 f(x)＝2cos2ωx＋sin 2ωx－1＝cos 2ωx＋sin 2ωx＝sin，因为f(x)的图象关于点中心对称，所以f＝sin＝0，故＋＝kπ，k∈Z，即ω＝2k－，k∈Z．当2ωx＋＝－＋2nπ，n∈Z，即x＝－＋，n∈Z时，函数f(x)取得最小值．因为f(x)在上没有最小值，ω＞0，所以≥，即0＜ω≤．由0＜ω＝2k－≤，解得＜k≤，故k＝1，得ω＝． 3．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)在区间上单调递增，则φ的取值范围是(　A　) A．　 B． C．　 D． 【解析】 令2kπ－≤2x＋φ≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－－φ≤x≤kπ＋－φ．因为f(x)在区间上单调递增，所以解得2kπ－≤φ≤2kπ＋，k∈Z．因为|φ|＜，所以－≤φ≤． 4．(2025·北京卷)设函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，若f(x＋π)＝f(x)恒成立，且f(x)在上存在零点，则ω的最小值为(　C　) A．8　 B．6 C．4　 D．3 【解析】 f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin(ω＞0)，设函数f(x)的最小正周期为T，由f(x＋π)＝f(x)可得kT＝π(k∈N*)，所以T＝＝(k∈N*)，即ω＝2k(k∈N*)．因为函数f(x)在上存在零点，且当x∈时，ωx＋∈，所以＋≥π，即ω≥3．综上，ω的最小值为4． 5．(2025·湛江二模)若函数f(x)＝3sin x＋2cos x在[0，α]上单调递增，则当α取得最大值时，cos α＝(　D　) A．－　 B．－ C．　 D． 【解析】 f(x)＝3sin x＋2cos x＝sin(x＋φ)，其中sin φ＝＞0，cos φ＝＞0，且φ为锐角．因为f(x)在[0，α]上单调递增，且φ＋x∈[φ，α＋φ]，所以[φ，φ＋α]⊆，则α的最大值为－φ，此时cos α＝cos＝sin φ＝． 6．(2025·天津卷)已知f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，－π＜φ＜π)在上单调递增，且x＝为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当x∈时，f(x)的最小值为(　A　) A．－　 B．－ C．1　 D．0 【解析】 由正弦函数的对称性可知－＝(n∈Z)，即＝，所以ω＝4n＋2．又f(x)在上单调递增，ω＞0，则≥－，所以≥⇒0＜ω≤2，所以ω＝2，则(m，k∈Z)，即因为φ∈(－π，π)，所以k＝0，m＝1，φ＝，所以f(x)＝sin．当x∈时，2x＋∈，由正弦函数的单调性可知f(x)min＝f＝sin＝－． 二、多项选择题 7．(2025·常州期末)已知函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)，则下列说法正确的有(　ACD　) A．若f(x)在[0，π]上的值域为[－1,1]，则ω的取值范围是 B．若f(x)在上恰有一条对称轴，则ω的取值范围是 C．若f(x)在上单调递增，则ω的取值范围是 D．若f(x)在上有且只有两个不同的零点，则ω的取值范围是(4,6] 【解析】 对于A，当x∈[0，π]时，ωx∈[0，ωπ]，由题知ωπ≥，即ω≥，故A正确；对于B，当x∈时，ωx∈，由题知＜≤，即＜ω≤，故B错误；对于C，当x∈时，ωx∈，由题知又ω＞0，所以0＜ω≤，故C正确；对于D，当x∈时，ωx∈，由题知2π＜≤3π，即4＜ω≤6，故D正确． 8．(2025·新余一模)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象经过点(0,1)，则下列说法正确的是(　CD　) A．若ω＝1，则对任意的x，都有f(x＋π)＝f(x) B．若f(x)的图象关于直线x＝对称，则ω＝1＋6k(k∈N) C．若f(x)在上单调递增，则ω的取值范围是 D．若方程f(x)＝在(0，π)上恰有两个不同的实数解，则ω的取值范围是 【解析】 因为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象经过点(0,1)，所以f(0)＝2sin φ＝1，即sin φ＝．又|φ|＜，所以φ＝，则f(x)＝2sin．对于A，当ω＝1时，f(x)＝2sin，则f(x＋π)＝2sin＝－2sin＝－f(x)，故A错误．对于B，若f(x)的图象关于直线x＝对称，则ω＋＝＋kπ(k∈Z)，又ω＞0，所以ω＝1＋3k(k∈N)，故B错误．对于C，当x∈时，ωx＋∈，因为f(x)在上单调递增，所以⊆，即解得0＜ω≤，即ω的取值范围是，故C正确．对于D，当x∈(0，π)时，ωx＋∈，若方程f(x)＝在(0，π)上恰有两个不同的实数解，即sin＝在(0，π)上恰有两个不同的实数解，则有＜πω＋≤，解得＜ω≤，即ω的取值范围是，故D正确． 9．设函数g(x)＝sin ωx(ω＞0)的图象向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象，已知f(x)在[0,2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是(　CD　) A．f(x)的图象关于直线x＝对称 B．f(x)在(0,2π)上有且只有3个极大值点，有且只有2个极小值点 C．f(x)在上单调递增 D．ω的取值范围是 【解析】 依题意得f(x)＝g＝sin＝sin，T＝．当x∈[0,2π]时，ωx＋∈．因为f(x)在[0,2π]上有且只有5个零点，所以5π≤2πω＋＜6π，解得≤ω＜，故D正确；对于A，令ωx＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，所以f(x)的图象关于直线x＝＋(k∈Z)对称，故A不正确；对于B，如图，根据图象可知，xA≤2π＜xB，则f(x)在(0,2π)上有3个极大值点，2个或3个极小值点，故B不正确；对于C，因为－＋T＝－＋×＝，由图可知f(x)在上单调递增，因为ω＜＜3，所以－＝＜0，所以f(x)在上单调递增，故C正确． 三、填空题 10．已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω＞0)，若存在x1∈[0，π]，使得f(x1)＝－2，则ω的最小值为____． 【解析】 由题知f(x)＝2sin，由x1∈[0，π]，得ωx1－∈．由存在x1∈[0，π]，使得f(x1)＝－2，得πω－≥，解得ω≥，所以ω的最小值为． 11．(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω＞0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是__[2,3)__． 【解析】 因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ，令f(x)＝cos ωx－1＝0，则cos ωx＝1在[0,2π]上有3个根．令t＝ωx，则cos t＝1有3个根，其中t∈[0,2ωπ]．作出y＝cos t的图象如图所示，可得4π≤2ωπ＜6π，故2≤ω＜3． 12．若函数f(x)＝4cos(2x＋φ)－2(0≤φ≤π)在内恰有4个零点，则φ的取值范围是__∪__． 【解析】 因为0≤x≤，所以φ≤2x＋φ≤＋φ．令f(x)＝4cos(2x＋φ)－2＝0，得cos(2x＋φ)＝．当0≤φ≤时，≤＋φ＜，解得≤φ≤；当＜φ≤π时，≤＋φ＜，解得≤φ≤π．综上，φ的取值范围是∪． 13．若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx－1在[0,2π]上恰有5个零点，且在上单调递增，则正实数ω的取值范围为____． 【解析】 依题意，函数f(x)＝2sin－1(ω＞0)，由f(x)＝0，得sin＝，则ωx＋＝2kπ＋或ωx＋＝2kπ＋，k∈Z．由x∈[0,2π]，得ωx＋∈．由f(x)在[0,2π]上恰有5个零点，得≤2πω＋＜，解得≤ω＜．由题意，令－≤ωx＋≤，得－≤x≤，即函数f(x)在上单调递增，因此⊆，即－≤－，且≥，解得0＜ω≤．综上，正实数ω的取值范围为． 14．(2025·秦皇岛一模)若函数f(x)＝sin在区间内没有零点，则正数ω的取值范围是____． 【解析】 由sin＝0，ω＞0，可得ωx＋＝kπ，k∈Z，即x＝－，k∈Z．令－∈，则＋＜k＜＋．又f(x)在区间内没有零点，所以区间内不存在整数．又×≥－，所以正数ω满足0＜ω≤1，则⊆(0,1)，则＋≤1，解得ω≤，则正数ω的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $