重难点培优01 轻松破解三角函数中ω的取值范围问题（6大题型）（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数中ω的取值范围这一核心考点，涵盖单调性、对称性、图象平移等六大题型，知识架构从A,ω,φ对图象的影响到周期二级结论系统梳理，通过知识精讲、题型深研、分层训练的教学流程，帮助学生构建解题框架突破难点。 讲义采用“题型分类+方法提炼”策略，如结合单调性用子集法、反子集法建立不等式，培养学生数学思维与逻辑推理能力，设置巩固过关与创新提升分层练习，配合真题与模拟题精讲，确保高效复习，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

重难点培优01 轻松破解三角函数中ω的取值范围问题内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 题型深研·通法变式提能力 3 题型1 结合单调性求的取值范围 3 题型2 结合对称性求的取值范围 4 题型3 结合图象平移求的取值范围 5 题型4 结合函数最值求的取值范围 6 题型5 结合函数零点或方程的根求的取值范围 6 题型6 结合零点、对称轴、单调性等综合性质求的取值范围 7 分层进阶·双阶训练验成效 8 巩固过关 8 创新提升 10 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1 A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响 2．ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响 3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 4.函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象可以通过下列两种方式得到：(1) (2) 关键：把握先移后缩和先缩后移的区别。类比可以得到：，的图像 定理：则平移单位为（注意平移方向） 知识点2 正弦函数与的图象性质关系 周期 最大值 1，取得 A，当取得 最小值 -1，当取得 -A，当取得 单调增区间 单调减区间 对称轴 对称中心 知识点3 余弦函数与的图象性质关系 周期 最大值 1，当取得 A，当取得 最小值 -1，当取得 -A，当取得 单调增区间 单调减区间 对称轴 对称中心 知识点4 与周期有关的二级结论 由于函数,(的最小正周期T与ω满足，所以求ω的取值范围显然与函数的周期有关，故熟记以下与周期有关的二级结论，有时能速解相应的求ω的取值范围的问题(以下. (1)若函数或若在区间上单调，则. (2)若函数或的图象有两条对称轴， 则. (3)若函数或的图象的其中两个对称中心分别为，则. (4)若函数或的图象的其中一条对称轴为直线,一个对称中心为点，则. (5)函数的图象的两条渐近线间的距离为，两个对称中心间的距离为，一条渐近线与一个对称中心间的水平距离为. 题型深研·通法变式提能力 题型1 结合单调性求的取值范围 【典例1-1】(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是减函数，则a的最大值是(　　) A． B． C． D．π 【典例1-2】（2026·广东肇庆·模拟）已知函数，若，，在上单调递减，那么的取值共有（        ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【典例1-3】（25-26高三上·河南南阳·期中）若对任意，都有函数在上单调，则的取值范围为______. 方法技巧 已知单调性求参数的范围 1.子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解. 2.反子集法:由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解. 3.周期性法:由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解. 【变式1-1】（2026·北京·三模）已知函数．若在区间上既不是增函数也不是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高三下·河南·阶段检测）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 题型2 结合对称性求的取值范围 【典例2-1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2-2】（2026·安徽·三模）已知是函数的对称轴，则的值可以是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 方法技巧 利用对称性求的取值范围 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究“ω”的取值范围. 【变式2-1】（2026高三·全国·专题练习）记函数的最小正周期为T，若，且的图像关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 【变式2-2】（25-26高三上·江苏·期末）已知函数的图象在区间上有且仅有一条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型3 结合图象平移求的取值范围 【典例3-1】（25-26高二上·陕西·阶段检测）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在区间上单调递减，则的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【典例3-2】（25-26高三上·安徽·阶段检测）若函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 结合图象平移求的取值范围 1.常见考法：平移后重合、对称、对称轴重合等，核心是“平移量与周期成倍数关系”。 2.通用流程 (1)定：用整体代换求的区间； (2)列关系：结合单调性、对称性等性质，建立的不等式； (3)解：解不等式并结合、整数赋值； (4)验端点：排除不符合题意的边界值. 【变式3-1】（25-26高三上·江西抚州·期中）将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于原点对称，则最小时，（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数的图像向左平移个单位后，得到的图像，若，的图像关于轴对称，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C． D． 题型4 结合函数最值求的取值范围 【典例4-1】（2026·江苏南京二模）已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（25-26高三上·河北张家口·阶段检测）已知函数在区间上不存在最值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 结合函数最值求的取值范围 若已知三角函数的最值，则可利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，列出关于参数的不等式(组)，进而求解. 【变式4-1】已知函数在上的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知函数的图象在内有且仅有2个最低点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型5 结合函数零点或方程的根求的取值范围 【典例5-1】（2026·四川遂宁·二模）若函数在上单调递增，且方程在上有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知函数，若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 结合函数零点或方程的根求的取值范围 三角函数两个相邻零点之间的水平间隔为，根据三角函数的零点个数，可以研究ω的取值范围.　　 【变式5-1】(2022·全国甲卷)设函数f(x)＝sin在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【变式5-2】(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω＞0)在区间有且仅有3个零点，则ω的取值范围是　　　　. 题型6 结合零点、对称轴、单调性等综合性质求的取值范围 【典例6-1】（2026·四川遂宁·二模）若函数在上单调递增，且方程在上有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】（多选）（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若函数周期为4，则 B．当时，函数的图象关于点对称 C．若函数在单调，则有最大值 D．若函数在区间上恰有三个零点，则 方法技巧 结合零点、对称轴、单调性等综合性质求的取值范围 1. 标准化简：通过三角恒等变换，将解析式整理成一角一函数的形式； 2. 结合性质列式：如零点处对应函数值为0，单调性要求整体角度落在标准三角函数的对应单调区间内,正弦、余弦型函数图象对称轴过图象的最高或最低点，等等. 3.定参验证：结合给定x的区间边界、整数k的取值约束解不等式，最后验证端点值是否满足题目条件. 【变式6-1】（25-26高三上·江西九江·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，且在区间上存在唯一一条对称轴，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·河南濮阳·二模）已知函数是的零点，直线为图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的最大值为__________． 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·山东潍坊·期中）已知函数的图象关于直线对称，若将函数的图像向左或向右平移个单位长度后，得到函数的图象关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·湖北武汉·模拟预测）将函数（）的图象向右平移个单位长度，得函数的图象，若在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽滁州·三模）已知函数的图象经过点和，且在区间内没有极值点，则（    ） A． B．1 C．2 D． 5．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）已知函数，将图象上的所有点的横坐标缩小为原来的后，再向右平移个单位，得到函数的图象．若函数在区间上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知函数，若，且在区间上单调递减，则整数（  ） A．1或2 B．1 C．2 D．3 7．（25-26高三·全国·一轮复习），在上单调递增，且为图象的一条对称轴，是图象的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C． D．0 8．（2026·湖南怀化·三模）已知函数在区间上单调递增，直线为的图象的一条对称轴，则方程在区间上所有不相等的实数根之和为（   ） A． B． C． D． 9.(多选）（24-25高三上·江苏南通·阶段检测）已知函数（，）的部分图像如图所示，在区间内单调递减，则的可能取值为（   ） A． B．1 C． D．2 10．（25-26高三上·河北·期中）若函数在区间上单调，且，则的取值范围为________． 11．已知函数（）在上有最小值没有最大值，则的取值范围是 . 12．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知，若对任意，成立，则的最小值是____． 13．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，其中，.若为偶函数，，且，并且在区间上单调递减，则_____，_______. 14．（2026·北京房山·一模）设函数，若在区间上有且只有一条对称轴，则的一个取值为____． 15．（2026·江西·模拟预测）已知，函数与的图象相交，若相邻的三个交点恰好能构成一个等腰直角三角形的三个顶点，则________． 创新提升 1．（2026·北京·高考真题）（），将向轴正方向平移个单位，得到的函数图象与图象关于轴对称，则的取值个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（多选）（24-25高三上·江苏连云港·期中）已知函数，则下列说法正确的是（） A．若，则将的图象向左平移个单位长度，能得到函数的图象，且的图象关于轴对称 B．若，则的图象关于点对称 C．若，若方程在上恰有一个根，则 D．若函数在区间上单调递增，则 3．(多选）（2026·贵州贵阳·二模）已知函数，其图象的一个对称中心为，下列说法正确的有（   ） A．的最小正周期为 B．若函数在区间上单调，则的最大值为 C．将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位可得到的图象 D．若函数在区间上有唯一零点，则 4．(多选）（25-26高三上·辽宁沈阳·阶段检测）将函数，的图象按照以下顺序进行变换： ①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍；③向下平移个单位长度，可得到函数的图象．则下列结论正确的是（   ） A．若，则的取值范围为 B．若函数，在上的图象与直线有且只有一个交点，在上单调递减，则 C．若函数在区间上的最值分别为，，则的取值范围是 D．若方程在内恰有两个根，，则 5．（25-26高三上·北京西城·期末）设函数．若对于任意的，函数和中至少有一个在上具有单调性，则的一个取值为__________． 6．已知函数仅存在一个极值点和两个零点在区间内，则实数的取值范围为 . 7．（25-26高三上·北京·期中）已知函数，其中.若，且在区间上单调，则______. 8．（2026福建漳州·模拟）设函数，且的图象相邻两条对称轴的距离为. (1)求的单调递增区间； (2)将所有的正零点按从小到大顺序排列得到数列，求数列的前30项和. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优01 轻松破解三角函数中ω的取值范围问题内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 题型深研·通法变式提能力 3 题型1 结合单调性求的取值范围 3 题型2 结合对称性求的取值范围 6 题型3 结合图象平移求的取值范围 8 题型4 结合函数最值求的取值范围 11 题型5 结合函数零点或方程的根求的取值范围 13 题型6 结合零点、对称轴、单调性等综合性质求的取值范围 15 分层进阶·双阶训练验成效 18 巩固过关 18 创新提升 27 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1 A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响 2．ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响 3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 4.函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象可以通过下列两种方式得到：(1) (2) 关键：把握先移后缩和先缩后移的区别。类比可以得到：，的图像 定理：则平移单位为（注意平移方向） 知识点2 正弦函数与的图象性质关系 周期 最大值 1，取得 A，当取得 最小值 -1，当取得 -A，当取得 单调增区间 单调减区间 对称轴 对称中心 知识点3 余弦函数与的图象性质关系 周期 最大值 1，当取得 A，当取得 最小值 -1，当取得 -A，当取得 单调增区间 单调减区间 对称轴 对称中心 知识点4 与周期有关的二级结论 由于函数,(的最小正周期T与ω满足，所以求ω的取值范围显然与函数的周期有关，故熟记以下与周期有关的二级结论，有时能速解相应的求ω的取值范围的问题(以下. (1)若函数或若在区间上单调，则. (2)若函数或的图象有两条对称轴， 则. (3)若函数或的图象的其中两个对称中心分别为，则. (4)若函数或的图象的其中一条对称轴为直线,一个对称中心为点，则. (5)函数的图象的两条渐近线间的距离为，两个对称中心间的距离为，一条渐近线与一个对称中心间的水平距离为. 题型深研·通法变式提能力 题型1 结合单调性求的取值范围 【典例1-1】(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是减函数，则a的最大值是(　　) A． B． C． D．π 【答案】C 【解析】解法一(子集法）：(因为f(x)＝cosx－sinx＝，且函数y＝cosx在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x＋≤π，得－≤x≤，因为f(x)在[－a，a]上是减函数，所以所以0<a≤，从而得a的最大值为。故选A. 解法二（反子集法+导数法）：因为f(x)＝cosx－sinx，所以f′(x)＝－sinx－cosx，则由题意，知f′(x)＝－sinx－cosx≤0在[－a，a]上恒成立，即sinx＋cosx≥0，即≥0在[－a，a]上恒成立，结合函数y＝sin的图象可知有解得0<a≤，所以a的最大值是，故选A. 【典例1-2】（2026·广东肇庆·模拟）已知函数，若，，在上单调递减，那么的取值共有（        ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【解析】，，，, 在上单调递减,，, 即，，，即周期T有5个不同取值， 所以的取值共有5个，故选D 【典例1-3】（25-26高三上·河南南阳·期中）若对任意，都有函数在上单调，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】由对任意，都有函数在上单调， 得函数在上单调， 当时，是常数函数，不单调，不符合题意； 当时，，则，解得； 当时，，则，解得， 所以的取值范围为. 方法技巧 已知单调性求参数的范围 1.子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解. 2.反子集法:由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解. 3.周期性法:由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解. 【变式1-1】（2026·北京·三模）已知函数．若在区间上既不是增函数也不是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 当时，令，因，故随单调递增，。 正弦函数在上单调递增，在上单调递减， 若在上既不是增函数也不是减函数，则的取值区间需包含的极值点，即，解得，故的取值范围为. 【变式1-2】（25-26高三下·河南·阶段检测）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可得， 要使得函数在区间上单调递减， 则满足，解得， 因为，当时，，即实数的取值范围为. 题型2 结合对称性求的取值范围 【典例2-1】30．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】的图象关于点中心对称， 所以，即， 所以的最小值为4． 【典例2-2】31．（2026·安徽·三模）已知是函数的对称轴，则的值可以是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由题意可知函数在处取最值，代入求解即可. 【解析】因为， 又因为是函数的对称轴， 所以函数在处取最值， 所以， 解得， 所以当时，， 当时，， 故只有A选项满足. 方法技巧 利用对称性求的取值范围 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究“ω”的取值范围. 【变式2-1】（2026高三·全国·专题练习）记函数的最小正周期为T，若，且的图像关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】A 【解析】因为函数的最小正周期为，且， 可得， 又因为函数的图像关于点中心对称，可得，且， 所以，即，可得， 解得，由，可得，，即， 所以． 【变式2-2】（25-26高三上·江苏·期末）已知函数的图象在区间上有且仅有一条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数的对称轴为， 则函数的对称轴为， 当时，， 因为函数的图象在区间上有且仅有一条对称轴， 所以，解得， 则的取值范围是. 故选：A 题型3 结合图象平移求的取值范围 【典例3-1】（25-26高二上·陕西·阶段检测）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在区间上单调递减，则的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据题意求得，根据求得，结合余弦函数的单调性列不等式，即可求出答案. 【解析】由题意得， 因为，所以， 因为函数在区间上单调递减，所以，所以， 所以的最大值. 故选：D. 【典例3-2】（25-26高三上·安徽·阶段检测）若函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数， 由关于轴对称，则，，即，，而， 所以的最小值为. 故选：B. 方法技巧 结合图象平移求的取值范围 1.常见考法：平移后重合、对称、对称轴重合等，核心是“平移量与周期成倍数关系”。 2.通用流程 (1)定：用整体代换求的区间； (2)列关系：结合单调性、对称性等性质，建立的不等式； (3)解：解不等式并结合、整数赋值； (4)验端点：排除不符合题意的边界值. 【变式3-1】（25-26高三上·江西抚州·期中）将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于原点对称，则最小时，（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】平移后，， 所以. 所以，因为，所以最小值为. 所以. 故选：B 【变式3-2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数的图像向左平移个单位后，得到的图像，若，的图像关于轴对称，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得， 因为，的图像关于轴对称， 则， 所以，，解得，， 又，所以的最小值为4， 故选：A 题型4 结合函数最值求的取值范围 【典例4-1】（2026·江苏南京二模）已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以当时，则有， 因为在区间内有最大值，但无最小值， 结合函数图象，得，解得，故选：A 【典例4-2】（25-26高三上·河北张家口·阶段检测）已知函数在区间上不存在最值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在区间上不存在最值， 又因为时， 所以，解得， 因为，所以，又因为，则，解得， 所以，又，则或， 当时，；当时，. 所以的取值范围是． 方法技巧 结合函数最值求的取值范围 若已知三角函数的最值，则可利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，列出关于参数的不等式(组)，进而求解. 【变式4-1】已知函数在上的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，结合余弦函数的性质知，若则该函数值域会出现大于的情况，则. 时，由值域为，， 所以， 所以 故选：A. 【变式4-2】已知函数的图象在内有且仅有2个最低点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意 . 当时，. ∵在内有且仅有2个最低点， ∴，∴. 故选：D. 题型5 结合函数零点或方程的根求的取值范围 【典例5-1】（2026·四川遂宁·二模）若函数在上单调递增，且方程在上有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以根据二倍角公式可得： ， ， ， 再根据辅助角公式进一步化简可得：， 因为，所以令，则， 因为的单调递增区间为，而， 所以整个区间需落在内，即， 求解可得：，因为方程即， 在内，仅有解， 又因为，解不等式：可得：. 【典例5-2】（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知函数，若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，因为，所以，进而可得，因为存在唯一实数，结合正弦函数的图象性质，可得，求解即可. 【解析】因为，所以， 所以，则. ，总存在唯一实数，使得， 即，使得在上有唯一解， 因为，所以， 因为总存在唯一实数，使得， 所以，即. 方法技巧 结合函数零点或方程的根求的取值范围 三角函数两个相邻零点之间的水平间隔为，根据三角函数的零点个数，可以研究ω的取值范围.　　 【变式5-1】(2022·全国甲卷)设函数f(x)＝sin在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意可得ω＞0，故由x∈(0，π)，得ωx＋∈.根据函数f(x)在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，知＜πω＋≤3π，得＜ω≤，即实数ω的取值范围为.故选C. 【变式5-2】(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω＞0)在区间有且仅有3个零点，则ω的取值范围是　　　　. 【答案】[2，3) 【解析】因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ，令f(x)＝cos ωx－1＝0，则cos ωx＝1有3个根，令t＝ωx，则cos t＝1有3个根，其中t∈[0，2ωπ]，结合余弦函数y＝cos t的图象(如图)可得4π≤2ωπ＜6π，故2≤ω＜3，即ω的取值范围为[2，3). 题型6 结合零点、对称轴、单调性等综合性质求的取值范围 【典例6-1】（2026·四川遂宁·二模）若函数在上单调递增，且方程在上有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以根据二倍角公式可得： ， ， ， 再根据辅助角公式进一步化简可得：， 因为，所以令，则， 因为的单调递增区间为，而， 所以整个区间需落在内，即， 求解可得：，因为方程即， 在内，仅有解， 又因为，解不等式：可得：. 【典例6-2】（多选）（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若函数周期为4，则 B．当时，函数的图象关于点对称 C．若函数在单调，则有最大值 D．若函数在区间上恰有三个零点，则 【答案】BCD 【解析】对于选项A，若函数周期为4，可得，解得，即选项A错误； 对于选项B，当时，函数的对称中心横坐标满足，解得，可得选项B正确； 对于选项C，当时，，所以， 若函数在单调，则，解得，即有最大值，可得选项C正确； 对于选项D，令. 设的零点为，因为函数在区间上恰有三个零点， 则，解得，可得选项D正确. 方法技巧 结合零点、对称轴、单调性等综合性质求的取值范围 1. 标准化简：通过三角恒等变换，将解析式整理成一角一函数的形式； 2. 结合性质列式：如零点处对应函数值为0，单调性要求整体角度落在标准三角函数的对应单调区间内,正弦、余弦型函数图象对称轴过图象的最高或最低点，等等. 3.定参验证：结合给定x的区间边界、整数k的取值约束解不等式，最后验证端点值是否满足题目条件. 【变式6-1】（25-26高三上·江西九江·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，且在区间上存在唯一一条对称轴，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知：， 若，则， 因为函数在区间上单调递增，则，解得， 若，则， 因为函数在区间上存在唯一1条对称轴，则，解得， 综上所述：的取值范围是. 【变式6-2】（2026·河南濮阳·二模）已知函数是的零点，直线为图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的最大值为__________． 【答案】3 【解析】函数，为的零点，为图象的对称轴，，且， 相减可得， 即，，即为奇数． 在单调，， ，故奇数的最大值为． 当时，，，． 此时在上不单调，不满足题意． 当时，，，， 此时在上不单调，不满足题意． 当时，，，， 此时在上单调递减，满足题意；故的最大值为. 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C . 【解析】令，因为，所以 因为函数在区间上单调递增， 所以函数在上单调递增，且，即． 因为， 所以函数在上单调递增，等价于或， 解不等式得或，所以的取值范围是． 2．（25-26高三上·山东潍坊·期中）已知函数的图象关于直线对称，若将函数的图像向左或向右平移个单位长度后，得到函数的图象关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，则， 则由可得，当将的图象向左平移个单位， 可得， 由于的图象关于轴对称，故为偶函数，所以， 故，由于，所以的最小值， 当将的图象向右平移个单位，可得， 由于的图象关于轴对称，故为偶函数， 所以，故， 由于，所以时，的最小值. 综上的最小值. 3．（2026·湖北武汉·模拟预测）将函数（）的图象向右平移个单位长度，得函数的图象，若在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的图象向右平移个单位长度， 得到，， 则，即在上单调， ，解得． 4．（2026·安徽滁州·三模）已知函数的图象经过点和，且在区间内没有极值点，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【解析】函数 ，代入点，得：. 解得 或 . 若，则，解得，即, 若，则，解得，即, 极值点出现在处,当时，, 当，时，，此区间内无，满足无极值点条件, 当，时，，此区间内存在，有极值点, 其他选项验证均不满足条件. 综上，. 5．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）已知函数，将图象上的所有点的横坐标缩小为原来的后，再向右平移个单位，得到函数的图象．若函数在区间上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由， 横坐标缩小为原来的​，得； 向右平移个单位，得： ， 当时，相位的范围为： ， 不单调区间内存在正弦函数的最值点， 结合，则， 该范围内仅有的最值点为， 因此要求： ， 右半部分： ​，符合题设； 左半部分： 综上，的取值范围是 . 6．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知函数，若，且在区间上单调递减，则整数（  ） A．1或2 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】当时，， 因为在区间上单调递减， 所以，，解得 因为，所以，， 又因为，所以函数关于对称， 所以，解得， 又，所以，. 7．（25-26高三·全国·一轮复习），在上单调递增，且为图象的一条对称轴，是图象的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【解析】由函数在上单调递增，得，则， 由为图象的一条对称轴，是图象的一个对称中心， 得，解得，因此， 而，，则， 因此，当时，， 所以． 8．（2026·湖南怀化·三模）已知函数在区间上单调递增，直线为的图象的一条对称轴，则方程在区间上所有不相等的实数根之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为直线为的图象的一条对称轴， 所以，即， 又，所以或. 当时，，当时，， 函数在上单调递增， 故在上单调递增，符合题意； 当时，，当时，， 函数在上不单调递增， 故在上不单调递增，不符合题意. 所以，， 当时，方程可化为，方程无解， 当时，方程可化为， 所以， 当时，， 所以或或，解得或或， 所以方程在区间上所有不相等的实数根之和为. 9.(多选）（24-25高三上·江苏南通·阶段检测）已知函数（，）的部分图像如图所示，在区间内单调递减，则的可能取值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】AD 【解析】由图可知函数过点，所以，即， 所以或，， 因为，所以或， 又根据图像可知函数在原点右侧最近的零点的右侧的极值点函数取得最小值， 所以，所以， 因为在区间内单调递减，， 所以，所以， 所以， 则或 解得或， 故选：AD. 10．（25-26高三上·河北·期中）若函数在区间上单调，且，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】令，解得：，所以， 则，即：，由题意得：， 因为，所以， 所以，即的取值范围为. 11．已知函数（）在上有最小值没有最大值，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】， 当时，，若在上有最小值没有最大值， 则，所以. 12．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知，若对任意，成立，则的最小值是____． 【答案】/ 【解析】对任意，成立，则的图象关于对称， 所以，则， 所以，而，故最小为. 13．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，其中，.若为偶函数，，且，并且在区间上单调递减，则_____，_______. 【答案】 2 【解析】函数为偶函数，要求对任意成立. 即. 展开得. 因此对任意成立. 由于，所以不可能恒有，故， 且，于是或. 又，即，所以. 此时. 由得. 所以，，即，， 又，故可能为， 且，因为，则， 因为在上单调递减， 则，解得，只有满足. 因此，. 14．（2026·北京房山·一模）设函数，若在区间上有且只有一条对称轴，则的一个取值为____． 【答案】1 【解析】令，解得 有对称轴在区间内，即 ，整理得：. 因为在区间内有且只有一条对称轴，即满足不等式的整数只有1个， 所以大于的最小整数是，即满足条件， 故，解得：. 答案不唯一，满足即可. 15．（2026·江西·模拟预测）已知，函数与的图象相交，若相邻的三个交点恰好能构成一个等腰直角三角形的三个顶点，则________． 【答案】 【解析】由，得，整理得， 解得，则， 不妨取函数图象相邻的三个交点为， 依题意，是等腰直角三角形，由对称性得，则， 所以. 创新提升 1．（2026·北京·高考真题）（），将向轴正方向平移个单位，得到的函数图象与图象关于轴对称，则的取值个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】将向右平移个单位得 . 由题意，与的图像关于轴对称，即恒成立， 即. 分两种情形讨论： ①，对任意不恒成立，舍去； ②，化简得 ，即. 由得， 对应，因此的取值个数为3. 2．（多选）（24-25高三上·江苏连云港·期中）已知函数，则下列说法正确的是（） A．若，则将的图象向左平移个单位长度，能得到函数的图象，且的图象关于轴对称 B．若，则的图象关于点对称 C．若，若方程在上恰有一个根，则 D．若函数在区间上单调递增，则 【答案】ABD 【解析】 ， 对于A，当时，， 将的图象向左平移个单位长度， 得到， 因为， 所以的图象关于轴对称，A选项正确； 当时，， 令，解得， 当时，，此时， 所以的图象关于点对称，B选项正确； 当时，， 当时，， 令，则， 当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减， 且，，， 方程在上恰有一个根， 即与的图象在上恰有一个交点， ，，C选项错误； ， 又函数在区间上单调递增， 所以， 解得，又， ，D选项正确． 3．(多选）（2026·贵州贵阳·二模）已知函数，其图象的一个对称中心为，下列说法正确的有（   ） A．的最小正周期为 B．若函数在区间上单调，则的最大值为 C．将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位可得到的图象 D．若函数在区间上有唯一零点，则 【答案】AC 【分析】利用辅助角公式结合条件求出的解析式，再根据各选项的要求，结合正弦型函数的性质与诱导公式，图象变换以及函数与方程的关系逐一判断即得. 【解析】因的图象的一个对称中心为, 则，则得. 对于A，的最小正周期为，故A正确； 对于B，由，可得，因函数在区间上单调，则有， 解得，故的最大值为，故B错误； 对于C，将函数的图象向右平移个单位，得到， 再向上平移1个单位可得到， 而，故C正确； 对于D，由可得，依题意，方程在上只有1个实根， 也即直线与函数在上有唯一交点. 因时，，则作出函数在上的图象，要使直线与函数在上有唯一交点， 需使或，解得或，故D错误. 4．(多选）（25-26高三上·辽宁沈阳·阶段检测）将函数，的图象按照以下顺序进行变换： ①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍；③向下平移个单位长度，可得到函数的图象．则下列结论正确的是（   ） A．若，则的取值范围为 B．若函数，在上的图象与直线有且只有一个交点，在上单调递减，则 C．若函数在区间上的最值分别为，，则的取值范围是 D．若方程在内恰有两个根，，则 【答案】ABD 【解析】由题意得将的图象向左平移个单位长度， 则， 而横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍， 得到， 而向下平移个单位长度， 可得， 则，即. 对于A，由，得， 由三角函数的图象可得， 可得的取值范围为，故A正确； 对于B，由题意得， 令，可得， 而，则， 若在上的图象与直线有且只有一个交点， 则在上有且只有一个解， 可得，解得. 若在上单调递减，则在上单调递增， 因为，所以， 令，由正弦函数性质得在上单调递增， 可得，解得， 综上可得，，故B正确； 对于C，由题意得， 不妨设函数在区间上的最大值为，最小值为， 令，则区间变为，可得， 则，即， 此时， 即的取值范围是不成立，故C错误； 对于D，令，则，， 若方程在内恰有两个根，， 则，即在内恰有两个根， 即，即， 可得， 由题意，且，得到， 故， 即， 又， 联立可得： 解得：， 又，得， 所以，D正确. 5．（25-26高三上·北京西城·期末）设函数．若对于任意的，函数和中至少有一个在上具有单调性，则的一个取值为__________． 【答案】(答案不唯一） 【解析】根据余弦函数的性质，函数的单调递增区间为；单调递减区间， 那么函数的单调区间长度为，在任意长度为的区间上，函数，要么单调，要么先增后减或先减后增. 函数的单调递增区间为，即； 单调递减区间，即， 又对于任意的，函数和中至少有一个在上具有单调性， 当时，函数，此时单调递增区间为；单调递减区间， 函数的极值点为，函数的极值点为。因此，任意长度为的开区间不可能同时包含和的极值点，即和中至少有一个在该区间上单调。 同理，当时，都满足对于任意的，函数和中至少有一个具有单调性. 故答案为：（答案不唯一） 6．已知函数仅存在一个极值点和两个零点在区间内，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】设为的最小正周期，由题意可知，，即，解得， 由得，，，由得，， 又，所以，， 由余弦函数的图象可知，两个相邻零点之间必有一条对称轴，即存在一个极值点. 由题意或， 解得或， 7．（25-26高三上·北京·期中）已知函数，其中.若，且在区间上单调，则______. 【答案】 【解析】由，得， 则 . 所以或， 解得或. 令，，则，， 单调递减区间为， 同理可得，单调递增区间为. 因为在区间上单调， 所以或. 又， 当时，或， 当时，或， 故，所以，解得. 情况1：，当时，，符合条件；当时，，不符合条件； 情况2：，当时，，不符合条件， 综上，. 验证：当时，， ，，满足； 当时，，又在上单调递减，所以也满足题意. 因此，. 故实数的取值范围为. 8．（2026福建漳州·模拟）设函数，且的图象相邻两条对称轴的距离为. (1)求的单调递增区间； (2)将所有的正零点按从小到大顺序排列得到数列，求数列的前30项和. 【解析】（1）因为， 因为的图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，又，所以， 所以， 令，， 解得，， 所以的单调递增区间为； （2）因为，令，得， 所以或，， 即或，， 所以所有的正零点为或，， 所以是以为首项，π为公差的等差数列， 所以是以为首项，π为公差的等差数列， 所以 . 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $