安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高三上学期1月月考数学试题

高三数学 (120分钟　150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知一组数据2,3,4,5,6,9,10,x的第75百分位数为8,则x的值为 A.6 B.7 C.8 D.9 2.若复数z=1-3i,则的虚部为 A.-i B.i C.- D. 3.2x2-6的展开式中x3的系数为 A.160 B.120 C.-120 D.-160 4.将函数f(x)=cos 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,若f(x)和g(x)在(0,m)上均单调递减,则m的最大值为 A. B. C. D. 5.袋中有写有数字1,2,3的卡片各2张,从中不放回地取出2张卡片,则取出的卡片上的数字之和为3的倍数的概率为 A. B. C. D. 6.已知向量a=(1,-2),b=(2,t),若向量a+b在向量a上的投影向量为2a,则t= A. B. C.- D.- 7.已知随机变量X满足两点分布,且P(X=1)=a,则“E(X)=”是“D(X)=”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.一枚质地均匀的正四面体的骰子如图所示,其四个面分别标有数字1,2,3,4.现抛掷该骰子两次,并记录骰子着地一面的数字.设事件A表示“第一次记录的数字为偶数”,事件B表示“第一次记录的数字为奇数”,事件C表示“两次记录的数字之和为5”,事件D表示“两次记录的数字之和为6”,则 A.C与D是对立事件 B.A与D是互斥事件 C.B与D是相互独立事件 D.A与C是相互独立事件 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分. 9.已知随机变量X~B10,,则 A.P(X=9)= B.当P(X=k)取最大值时,k=5 C.E(2X+2)=10 D.D(2X)=10 10.某校开展劳动教育课程,为有效推动课程实施,开展劳动知识比赛.比赛中每位选手需回答A,B,C(分别为日常生活类,生产劳动类,服务性劳动类)3道试题,回答结果相互独立.已知甲答对A,B,C 3道试题的概率分别为,,,则 A.甲至少答对1题的概率为 B.甲恰好答对1题的概率为 C.当第二个问题是B时,甲恰好连续2题答对的概率为 D.当第二个问题是C时,甲恰好连续2题答对的概率最小 11.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为AA1的中点,点Q满足=λ+μ,λ∈[0,1],μ∈[0,1],则 A.当λ=μ=时,PQ⊥BD1 B.当λ=1,μ=时,PQ∥平面A1CD C.当||=时,点Q的轨迹长度为π D.当直线PQ和AB所成的角的大小为30°时,点Q在离心率为的双曲线上 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知集合A=[2,4],B=[0,a],若A∩B⫋B∩N,则实数a的取值范围为　　　　.  13.6名同学相约去游乐场游玩,进场时按顺序验票,则甲、乙、丙按顺序进场的不同情况有　　　　种;进场后他们选定了3个游玩项目,每人都只玩1个项目,且每个项目都有人玩,则A项目恰有2个人游玩的不同组合有　　　　种.(请用数字作答)  14.桌面游戏简称“桌游”,是一种面对面的游戏,非常注重交流,因此是家庭休闲、朋友聚会、商务闲暇等多种场合的一种较好的沟通方式.已知甲、乙、丙、丁四人相约玩“桌面足球”游戏,并约定第一轮甲、乙对打,丙、丁对打,两名优胜者组成胜者组在下一轮游戏中对打,同样的,两名失败者组成败者组在下一轮游戏中对打.若每轮比赛无平局,且各人之间比赛胜利的概率均为,则第7轮甲、丁对打的概率为　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知盒中有质地相同的2个红球和3个黑球,游戏规则如下:有放回地随机取2次,每次取1个球,2次取到的球都是红球,则中一等奖,2次取到的球中只有1个红球,则中二等奖,其余情况不中奖. (1)甲随机取出2个球,求甲中二等奖的概率; (2)假设一、二等奖的奖金分别为12元,6元,每次游戏(取2个球)收费m(m∈N*)元,从可获利的角度考虑,求m的最小值. 16.(15分)已知函数f(x)=aln x-在点(1,f(1))处的切线方程为x-y-1-=0. (1)求a,b的值; (2)当x>0时,f(x)≤x-m,求m的最大值. 17.(15分)某区举行模拟考试,共有5000名学生参加,考试分两次,对第一次考试成绩不满意的学生可参加第二次考试.为了解考生情况,随机抽取了100名学生第一次考试中某科目的成绩(满分:100分),并绘制样本频率分布直方图,如图所示. (1)若学生第一次考试中某科目的成绩X近似服从正态分布N(μ,144),其中μ为样本平均数的估计值,请估计第一次考试中某科目的成绩高于86分的人数.(同一组数据用该区间的中点值作代表) (2)设第一次考试中某科目成绩在区间[85,95],[65,85),[45,65),[35,45)内对应的等级分别为优秀、良好、合格与不合格,若该科目第一次考试等级为良好,合格与不合格的学生都参加了第二次考试,假设第二次考试后,原等级为良好、合格与不合格的学生分别有,,的概率提升一个等级,不晋级则保留原等级,每位学生的考试成绩相互独立.将频率视为概率,从全体学生中任取一人,求在已知该生是第二次考试后晋级的条件下,第一次考试评级为合格的概率. 附:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|≤σ)≈0.6827,P(|X-μ|≤2σ)≈0.9545. 18.(17分)中国民间传统文化丰富多彩,涵盖了生活的方方面面,从节庆习俗、民间艺术、传统技艺到宗教信仰和民间文学等.某文化公司在某地开展中国民间传统文化宣传活动,活动期间调查了参加活动的市民对中国民间传统文化的了解程度,前5天调查情况数据如下: 宣传天数x 1 2 3 4 5 不了解的人数y 120 100 90 80 70 (1)若对中国民间传统文化不了解的人数y与宣传天数x之间满足线性回归关系,求变量y关于变量x的经验回归方程=x+. (2)从前5天的调查表中随机抽取100份调查表,整理得如下2×2列联表: 性别 对中国民间传统文化了解的程度 合计 了解 不了解 男性 40 10 50 女性 30 20 50 合计 70 30 100 (i)依据小概率值α=0.01的独立性检验,能否认为是否了解中国民间传统文化与性别有关联? (ii)按分层随机抽样的方式,在上述“了解”的调查表中,随机抽取7份调查表, 再从这7份调查表中任意抽取3份,记X为抽到的调查表来自女性调查表的份数,求X的分布列及期望. 附:回归方程=+x中斜率和截距的最小二乘法公式分别为==,=-. 独立性检验常用小概率值和相应的临界值:χ2=, α 0.05 0.01 0.005 xα 3.841 6.635 7.879 19.(17分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过抛物线x2=4y的焦点A. (1)求椭圆C的方程. (2)P,Q是椭圆C上两点(异于点A). (i)若·=0,求||+||的最大值. (ii)作AM⊥PQ,垂足为点M.若直线AP与AQ的斜率之和为2,是否存在圆心在x轴上的定圆,使得点M在该定圆上?若存在,请写出该圆的方程;若不存在,请说明理由. 参考答案 1.B 【解题分析】8×75%=6,易知6<x<9,则=8,解得x=7. 2.C 【解题分析】===--i. 3.D 【解题分析】2x2-6的展开式的通项是(2x2)6-r-r=(-1)r26-rx12-3r, 由题意得12-3r=3,r=3,x3的系数为(-1)323=-160. 4.B 【解题分析】g(x)=fx+=cos2x+,令0≤2x+≤π,得-≤x≤, 易知m的最大值为. 5.A 【解题分析】由题意知取出的2张卡片上的数字分别为1,2或2张卡片上的数字都是3, 所求概率P==. 6.C 【解题分析】a·(a+b)=a2+a·b=7-2t,由题意知·=2a,即=2, 解得t=-. 7.A 【解题分析】当E(X)=时,易得a=,则P(X=0)=,D(X)=2×+2×=,充分性成立;反之,D(X)=(0-a)2(1-a)+(1-a)2a=,即a2-a+=0,解得a=或a=,必要性不成立.故选A. 8.D 【解题分析】由题意知P(A)=,P(B)=, 事件C有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4个,P(C)==, 事件D有(2,4),(3,3),(4,2),共3个,P(D)==. 易知C与D是互斥事件,但不是对立事件,A与D可同时发生,不是互斥事件, P(BD)=≠P(B)P(D),B与D不是相互独立事件, P(AC)===P(A)P(C),A与C是相互独立事件. 9.ABD 【解题分析】P(X=k)=10(k=0,1,…,10),故P(X=9)=10=,显然,当k=5时,P(X=k)取得最大值,A,B项正确;E(X)=10×=5,E(2X+2)=2E(X)+2=12,D(X)=10××=,D(2X)=22D(X)=10,C项不正确,D项正确. 10.ABD 【解题分析】甲3题都答错的概率为P=××=,1-=,A项正确; 甲只答对1题的概率为P'=××+××+××=,B项正确; 当第二个问题为A时,甲恰好连续2题答对的概率为P1=××1-+1-××=, 当第二个问题为B时,甲恰好连续2题答对的概率为P2=××(1-)+(1-)××=,当第二个问题为C时,甲恰好连续2题答对的概率为P3=××1-+1-××=,P1>P2>P3,C项错误,D项正确. 11.BC 【解题分析】由题意知点Q在底面ABCD内(含边界). 对于A项,易知Q为AC的中点,又P为AA1的中点,则PQ∥A1C,易知A1C与BD1相交但不垂直,故PQ与BD1不垂直,A项错误; 对于B项,易知Q为BC的中点,取AD的中点E,连接PE,QE,易知PE∥A1D,QE∥CD,则易得平面PQE∥平面A1CD,PQ⊂平面PQE,则PQ∥平面A1CD,B项正确; 对于C项,PQ=,AP=1,易知AQ==,则点Q在以A为圆心的圆上,易知点Q的轨迹长度为×=π,C项正确; 对于D项,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系(图略),则P(0,0,1),B(2,0,0),Q(x,y,0),则|cos 30°|==, 化简得-y2=1(0≤y≤),对应的双曲线的离心率e==,D项错误. 12.(0,2] 【解题分析】当0<a<2时,易知B∩N≠⌀,A∩B=⌀,满足题意;当a=2时,A∩B={2},B∩N={0,1,2},满足题意;当a>2时,显然不合题意.综上,0<a≤2. 13.120　210 【解题分析】甲、乙、丙按顺序进场的不同情况有=120种, A项目恰好有2人游玩的组合有(+)=210种. 14. 【解题分析】设在第n轮甲、乙对打的概率为an,甲、丙对打的概率为bn,甲、丁对打的概率为cn,易知n≥2,且a1=1,b1=c1=0,cn+1=2+2an+2+2bn=an+bn,又an+bn+cn=1,则cn+1=-cn,即cn+1-=-cn-, 数列cn-是首项为-,公比为-的等比数列,cn=--n-1,c7=--6=. 15.【解题分析】(1)由题意知,从盒中任取1个球,取到红球的概率为,有放回地随机取2次,取出的2个球恰好一红一黑的概率为P=×=. 5分 (2)设每次游戏可获得的奖金金额为X,则X的所有可能取值为0,6,12, P(X=12)=×=,P(X=6)=,P(X=0)=×=, 则E(X)=0×+6×+12×=, 由题意知m>E(X),且m∈N*,则m的最小值为5. 13分 16.【解题分析】(1)由题意知f(1)=-,即-=-,得b=1, f'(x)=-,f'(1)=1,解得a=1. 5分 (2)由题意知m≤x-ln x+,设g(x)=x-ln x+, g'(x)=+=(x-1),设h(x)=ex-x(x>0),h'(x)=ex-1>0, 函数h(x)在(0,+∞)上单调递增,h(x)>h(0)=1, 则易知当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减, 当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,g(x)≥g(1)=1+, 即m≤1+,故m的最大值为1+. 15分 17.【解题分析】(1)样本平均数的估计值为40×0.1+50×0.2+60×0.3+70×0.24+80×0.12+90×0.04=62,即μ=62, 又σ=12,86=62+24=μ+2σ,P(X>86)≈=0.02275, 5000×0.02275≈114, 所以估计第一次考试中某科目的成绩高于86分的学生有114人. 7分 (2)由频率分布直方图知第一次考试评级是良好的频率为(0.024+0.012)×10=0.36,评级为合格的频率为(0.030+0.020)×10=0.5, 评级为不合格的频率为0.010×10=0.1, 记事件A为“第二次考试后该学生晋级”,事件B为“该学生第一次考试评级为合格”, P(A)=×+×+×=,P(AB)=×=, P(B|A)==. 15分 18.【解题分析】(1)由表中数据得==3,==92, xiyi=1×120+2×100+3×90+4×80+5×70=1260, 5 =5×3×92=1380,=12+22+32+42+52=55, ==-12,=92-(-12)×3=128, 所求回归直线方程为=-12x+128. 5分 (2)(ⅰ)零假设为H0:是否了解中国民间传统文化与性别相互独立. χ2==≈4.762<6.635=x0.01, 根据小概率值α=0.01的χ2独立性检验,没有充分的证据推断H0不成立,因此可以认为H0成立,即是否了解中国民间传统文化与性别无关. 10分 (ⅱ)由题意易知抽取的7份调查表中,有3份调查表来自女性调查表, 则X的所有可能取值为0,1,2,3, P(X=0)==,P(X=1)==, P(X=2)==,P(X=3)==, X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)=0×+1×+2×+3×=. 17分 19.【解题分析】(1)由题意知A(0,1),即b=1,由=,a2=b2+c2, 解得a2=2,故椭圆C的方程为+y2=1. 4分 (2)设P(x1,y1),Q(x2,y2). (ⅰ)由题意直线PQ的斜率存在,设直线PQ:y=kx+m, 由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0, x1+x2=-,x1x2=. ·=0,显然m≠±1,·=(x1,y1-1)·(x2,y2-1)=0, 即x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+(kx1+m-1)(kx2+m-1)=0, 即(k2+1)x1x2+k(m-1)(x1+x2)+(m-1)2=0, 化简得3m2-2m-1=0,则m=-(舍去m=1), 此时x1+x2=,x1x2=-, 则|PQ|=|x1-x2|=. 设1+2k2=t≥1,|PQ|=·==≤, 当且仅当t=1,即k=0时取等号. 因为|AP|2+|AQ|2=|PQ|2,所以|AP|+|AQ|≤2=|PQ|≤, 当且仅当|AP|=|AQ|时取等号.故||+||的最大值为. 10分 (ⅱ)假设存在以N(n,0)为圆心的定圆N满足题意. 当PQ的斜率存在时,显然k≠0, kAP+kAQ=+==2k+=2k-==2,得k=m+1,此时Δ>0,存在解集,即存在直线PQ使得直线AP与AQ的斜率之和为2, 则直线PQ的方程为y=kx+k-1,直线AM的方程为y=-x+1. 由得即M,+1, ||2=n-2++12=n2+1++ =n2+1+,当n=-时,||为定值. 当直线PQ的斜率不存在时,kAP+kAQ=+=2,解得x1=-1, 此时M(-1,1),||=满足题意. 故存在定圆N:x+2+y2=,使得点M在定圆N上. 17分 ( 第 11 页 共 11 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $