3.2一元二次方程的解法（分层作业练题型）数学新教材湘教版九年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 3.2一元二次方程的解法 目录 A组巩固过关 题型01判断是否是一元二次方程的解 题型02由一元二次方程的解求字母或代数式的值 题型03直接开平方法解一元二次方程 题型04配方法解一元二次方程 题型05公式法解一元二次方程 题型06因式分解法解一元二次方程 题型07用造当方法解一元二次方程 题型08配方法的应用 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 题型01 判断是否是一元二次方程的解 1.(25-26九年级上·安徽芜湖期中)能使方程x2-x=2成立的x的值可以为() A.0 B.1 C.2 D.3 2.(25-26九年级上江苏苏州阶段检测)若a-b+c=0,则+br+c=0(a≠0)必有一个根是() A.0 B.1 C.1 D.-2 3在下列各小题中，括号内未知数的值，哪些是它前面方程的根？ (1)x2-3x-4=0x=1,x=-1,x=4): 1/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2(x+2)(x-2）=12(x=-1,x=4,x=4): e2y2-y-1=0y=0y=wy= 题型02 由一元二次方程的解求字母或代数式的值 1.(2026九年级上四川专题练习)已知x=1是关于x的一元二次方程x2+x+6=0的一个根，则k的值为 () A.-5 B.-7 C.5 D.7 2.(2026江苏扬州一模)若x=1是关于x的一元二次方程2x2-5x+a=0的一个解，则a的值为() A.3 B.2 C.1 D.0 3.(24-25八年级下浙江温州期中)若x=m是关于x的方程x2+x-4=0的一个根，则m2+m+2026的值 是() A.2026 B.2028 C.2030 D.2031 4.(26-27九年级上贵州遵义阶段检测)已知a是方程x2-4x+1=0的一个根，则2a2-8a-1的值为() A.0 B.-1 C.-2 D.-3 5.(25-26八年级下浙江杭州期中)若m是方程x2-2x-1=0的一个根，则2027-m2+2m的值是() A.2028 B.2027 C.2026 D.2025 6.(25-26九年级上山东德州期中)关于x的一元二次方程(a-2)x+x+a2-4=0的一个根为0，则a值 为() A.2 B.-2 C.±2 D.0 7.已知x=1是一元二次方程(m-)x2+3x-m=0的一个根，则m的值为() A.-1或2 B.-1 C.2 D.0 8（2526九年级下山东通裤期末)已知g是方程2-2026r+1=0的一个根，试求云-20250-6 2026的值. 9.(24-25九年级上北京密云期中)己知m是方程x2-3x-1=0的根，求代数式(m+3)(m-3)+m2-6m的 值. 2/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 颗型03 直接开平方法解一元二次方程 1.(25-26八年级下·浙江温州期中)一元二次方程x2-4=0的根是（) A.x=2,x2=0 B.x=-2,x2=4 C.x=0,x2=4 D.x=2,X2=-2 2.(2526九年级上陕西渭南期中)方程(x+1)=16的根是() A.x=-5,x2=3 B.x=-3,x2=5 C.x=-1,x2=5 D.x=-3 3.(2425九年级上福建福州期中)将一个关于x的一元二次方程配方为(x-m=n,若3±V5是该方程 的两个根，则n的值是() A.-3 B.3 c.5 D.5 4.(23-24七年级下广东中山r期中)解方程：(x-1)=25 题型04 配方法解一元二次方程 1.(26-27九年级上陕西·期中)用配方法解方程x2+6x+4=0时，配方后得到的方程是() A.(x+3)2=5 B.(x+3)2-13 C.（x+6)}2=5 D.(x+6)2=32 2.(26-27九年级上·甘肃平凉阶段检测)用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变为() A.(x-)2=6 B.(x+2)2=9 C.(x+1)2=6 D.(x-2)2=9 3.(25-26八年级下山东威海期末)将一元二次方程x2-x=0配方后变形为(x+a=b,则a的值为 () 1 A.-1 B.1 C.Z D.2 4.(26-27九年级上吉林期中)解方程x2-2x-1=0 5.(26-27九年级上广东期中)解一元二次方程x2-4x-3=0 3/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 颗型05 公式法解一元二次方程 1(25:26八年级下河北张家口：期未)用公式法解方程2-1=2x时，得x= 口±V4-4×(- 2 2,则“口” 处应填() A.1 B.-1 C.2 D.-2 2.解方程：2x2-5x-1=0 3.解方程：2x2-9x+8=0. 颗型06 因式分解法解一元二次方程 1.(25-26八年级下北京顺义期末)方程x2=2x的解为（) A.x=2=2 B.x=0,x2=2 C.x=0,x2=-2 D.x=2,x2=-2 2.(25-26八年级下山东济南期末)关于x的一元二次方程x(x+)=x的解为() A.x=-1,x2=0B.x=x2=0 C.x=x2=1 D.x=-1,x2=1 3.(25-26八年级下浙江金华期末)解方程： (1)x2-5x=0: (2)x(x-6)=2(x-6) 4.(25-26八年级下福建福州期末)解方程： (1)x2-25=0: (2)x(x-3)=4(3-x) 颗型07 用适当方法解一元二次方程 1.(25-26八年级下甘肃嘉峪关期末)解方程： (1)x2-5x=0: (2)x2-7x+6=0: (3)(x+3)}=2x+5」 418 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26八年级下辽宁盘锦期末)解方程： ()4(x-1}=(x+2}2 (2)(x-5)+4(x-5)=0 (3)x2+8x-2=0 (4)2x2-3x-4=0. 颗型08 配方法的应用 1.将代数式x2-10x+5配方后，发现它的最小值为() A.-20 B.-10 c.-5 D.0 2.(25-26八年级下山东泰安期末)若x=V5+2,则代数式x2-4x+3的值为 3.(25-26八年级下江西抚州期末)【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将 一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题 例如：分解因式2+2x-3=(x2+2x+)-4=(c+-2=(x+1+2(x+1-2)=(x+3)(x-).又如，求代 数式2x2+4x-6的最小值，我们可以通过配方得到： 2x2+4x-6=2(x2+2x-3=2[(x2+2x+1-4=2(x+12-8.因为(x+1≥0，所以2(x+1≥0，则 2(x+1)-82-8,当x=-1时，2x+4x-6有最小值，最小值是-8. 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1分解因式：x2-8x+7: (2)当x为何值时，多项式-2x2-4x+5有最大值？并求出这个最大值. (3)若多项式x+4与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式. B组 能力进阶 1.(26-27九年级上江苏镇江阶段检测)已知a是方程x2-3x-1=0的根，a3-10a+2024的值为() A.2024 B.2025 C.2026 D.2027 2.(2526九年级上江苏宿迁期中)对于实数a、b,定义运算“⊙如下：aOb=(a+b)}'-(a-b).例如： 1o2=(1+2)}-(（1-2)2=8.若(m+2)@m-3)=24,则m的值为() 5/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.-3 B.4 C.-3或4 D.无法计算 3.(25-26八年级下安徽滁州期末)把关于x的一元二次方程a(x-m)'+n=0与4，(x-m)}+n=0称为 “同构二次方程”.比如2(x-2}-4=0与3(x-2)-4=0就是“同构二次方程”.己知两个关于x的一 元二次方程2(x--1=0与(a+1)x2+(b-2)x-2=0是“同构二次方程”，则a-b= 4.(25-26八年级下浙江温州期中)小安同学发现：关于x的两个一元二次方程：①x+bx+c=0,② -ax2+bx-c=0(a,b,c均为常数，且a≠0)的解存在某个数量关系.若已知 a(x-1)+b(x-1)+c=0的解为x=2,x=-3,则方程-ax2+bx-c=0的解为（） A.x=1,x2=-4 B.x=-1,x32=4 C.x=3.x2=-2 D.x=-3,x2=2 5.(25-26八年级下山东烟台期末)小明与小颖两位同学解方程5(x-2)=(x-2)'的过程如图： 小颖： 小明： 移项，得5(x-2）-(x-2}=0, 两边同除以(x-2), 提取公因式，得(x-2)(5-x-2)=0 得5=x-2 ∴x-2=0或5-x-2=0」 解得x=7. 解得=2，x2=3 (1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程： (2)请结合上述解题过程归纳总结：形如mx=x的一元二次方程的一般解法。 C组 思维拔高 1.(25-26八年级下·安徽池州期末)请阅读下列材料：已知一个关于x的方程x+bx+c=0,其中b、c均 为整数，且有一个根为x=V5+2,求b、c的值 晨晨同学根据二次根式的性质：(a=a(a≥0)，联想到了如下解法：由x=5+2得x-2=5,则 (x-2}2=5,即x2-4x+4=5,x2-4x-1=0.故b=4,c=1. 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知关于x的方程2x2+bx+c=0,其中b、c均为整数，且有一个根为x=2-V5,求b、c的值. 618 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2尼知x=51 2，求代数式3x+6x+2025的值. 2.(25-26八年级下山东济南期末)解方程(x--5(x-1)+4=0时，我们可以将x-1看成一个整体，设 x-1=y,则原方程可化为y2-5y+4=0,解得=1，=4.当y=1,即x-1=1,解得x=2:当 y=4,即x-1=4,解得x=5.所以原方程的解x=2,x=5. (1)请你利用这种方法解方程：(2x-1}-4(2x-)+3=0: (2)已知A4BC三条边的长度分别为a,b,c,若满足(d+b2-3(a2+b）4=0,且c=2,请判断 △ABC的形状，并说明理由， 3.(25-26八年级下辽宁沈阳·期末)【阅读理解】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完 全平方式的非负性增加问题的条件，这种解题方法叫作配方法.配方法不仅在代数式求值、解方程、求最 值问题等有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值，求解未知量 应用一 应用二 用配方法求代数式2x2+12x+22的最小值. 用配方法分解因式：a2+6a+8 解：2x2+12x+22 解：a2+6a+8 =2(x2+6x+9+2 =a2+6a+9-1 =(a+3)2-1 =2(x+3)2+4 =(a+3-1)(a+3+1) .(x+3)2≥0 =(a+2)(a+4). .2(x+3)2+4≥4 .2x2+12x+22的最小值为4 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：a2-4a-12= (2)若M=2x2-8x,运用配方法可求出M的最小值为一 (3)如图，在△ABC中，∠BAC=90,AB=8,AC=6,点D为AB边上一点（不与点A、点B重合），连 接CD,以CD为边在CD上方构造正方形CDFE,连接BF.则△BDF面积的最大值为 4.(25-26八年级下山东济南期末)配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式 7/8 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题.我们规定：一个整数能表示成+b2( a,b是整数)的形式，则称这个数为“和谐数”.例如，10是“和谐数”，理由：因为10=32+12，所 以10是“和谐数”. 【解决问题】 (1)判断40是否为“和谐数” (填“是”或“否”) 【探究问题】 (2)若ad-8a+25可配方成(a-m+n(m,n为常数)，则mn的值 (3)已知M=a2+4ab+5b2-6b+k(a,b是整数，k是常数)，要使M为“和谐数”，试求出符合条件的 一个k值，并说明理由. 【拓展应用】 4)已知实数x,y满足y=x-5x+10,当x为多少时，y-x能取得最小值，并求出最小值. 拓展 链接中考 1.(2026河南中考真题)己知x=2是关于x的方程x2-mx=6的一个根，则m的值为() A.5 B.-5 C.1 D.-1 2.(2026黑龙江齐齐哈尔中考真题)解方程：x2-6=5x, 3.(2026西藏中考真题)请从-3，-1,1中任选一个数作为m的值，解关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0. 8/8函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 3.2一元二次方程的解法 参考答案 ● A组 巩固过关 颗型01 判断是否是一元二次方程的解 1.C 2.C 3.【详解】(1)解：把x=1代入x2-3x-4=0得： 左边=12-3×1-4=6≠右边， ∴.x=1不是方程x2-3x-4=0的根： 把x=-1代入x2-3x-4=0得： 左边=(-)-3×(1)-4=0=右边， ∴x=-1是方程x2-3x-4=0的根 把x=4代入x2-3x-4=0得： 左边=42-3×4-4=0=右边， .x=4是方程x2-3x-4=0的根： 综上，x=-1,x=4是方程的根； (2)解：把x=-1代入(x+2x-2)=12得： (-1+2)(-1-2)=-3≠右边， 、x=-1不是方程(x+2x-2)=12的根： 把x=-4代入(x+2)(x-2)=12得： (4+2)(-4-2)=12=右边， ∴x=4是方程(x+2x-2)=12的根： 把x=4代入(x+2(x-2)=12得： (4+2)(4-2)=12=右边， 1/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=4是方程(x+2)(x-2)=12的根： 综上，x=一4，x=4是方程的根： (3)解：把y=0代入2y2-y-1=0得： 2×02-0-1=-1+右边， :.y=0不是方程2y2-y-1=0的根： 把y=1代入2y2-y-1=0得： 2×12-1-1=0=右边， “y=1是方程2y2-y-1=0的根： 把y=2代入2y2-y-1=0得： 2x-(》10=右边. ..y=- 2是方程2y2-y-1=0的根： 综上，y=1, y= 2是原方程的根。 颗型02 由一元二次方程的解求字母或代数式的值 1.B2.A3.C4.D5.C6.C7.A 8.【详解】解：，a是方程x2-2026x+1=0的一个根， a2-2026a+1=0, .a2+1=2026a,a2-2025a=a-1, .a2-2025a- a2+1 =a-1 2026 2026a=a-1-a=-1. 2026 9.【详解】解：m是方程x2-3x-1=0的根， m2-3m=1, (m+3)(m-3)+m2-6m =m2-9+m2-6m =2m2-6m-9 =2(m2-3m)-9 =2×1-9 =-7. 2/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 颗型03 直接开平方法解一元二次方程 1.D2.A 3.D 4. 【详解】(x-1)}2=25 x-1=+5 x=6,x2=-4 颗型04 配方法解一元二次方程 1.A2.A3,D 4.【详解】解：x2-2x-1=0, 移项得：x2-2x=1, 配方得：x2-2x+1=2,即(x-12-2, 开方得：x-1=±V2, x=V2+l,x2=1-V2 5.【详解】解：x2-4x-3=0, 移项，得x2-4x=3, 配方，得x2-4x+4=3+4, (x-22=7, 由此可得x-2=±V7, x=2±V7, 即=2+V7,2=2-√7 颗型05 公式法解一元二次方程 1.c 2.【详解】解：在方程2x2-5x-1=0中，a=2,b=-5,c=-1, △=b2-4ac=(-5)2-4×2×(-1)=25+8=33>0, 3112 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :x=b生瓜5±V3 2a 4 x=5+3 5-V33 4 3.【详解】解：2x2-9x+8=0, △=(-9)}2-4×2×8=17， 、9±17 x= 4· 所以x= 9+V17 4，3= 9-17 4 题型06 因式分解法解一元二次方程 1.B2.B 3.【详解】(1)解：原方程为x2-5x=0 提取公因式得x(x-5)=0 可得x=0或x-5=0 解得x=0,x2=5 (2)原方程为x(x-6)=2(x-6) 移项得x(x-6)-2(x-6)=0 提取公因式得(x-6)(x-2)=0 可得x-6=0或x-2=0 解得=6，x2=2 4【详解】(1)解：x2-25=0 x2=25 x=±5 .x=-5,x2=5 (2)解：x(x-3)=43-x) x(x-3)+4(x-3)=0 (x-3)(x+4)=0 4/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =3,x2=-4 题型07 用适当方法解一元二次方程 1.【详解】(1)解：x2-5x=0 x(x-5)=0, x=0或x-5=0, .x=0,x2=5 (2)解：x2-7x+6=0 (x-6)(x-1)=0. x-6=0或x-1=0, .x=1,2=6: (3)解：(x+3)2=2x+5, x2+6x+9-2x-5=0, x2+4x+4=0, (x+2)2=0. x+2=0. .=为=-2 2.【详解】(1)解：4(x-1}=(x+2) [2(x-1)]了=(x+22, 2(x-1)=±(x+2), 即2(x-1)=x+2或2(x-1)=-(x+2), 解得x=4,x2=0: (2)解：(x-5)}+4(x-5)=0, (x-5)(x-5+4)=0. x-5=0或x-1=0, .=5,3=1 5/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：x2+8x-2=0, x2+8x=2, x2+8x+16=18, (x+4)=18, x+4=±32， 即x+4=3V2或x+4=-3V2, x=-4+3√2，x3=-4-32, (4)解：2x2-3x-4=0 a=2,b=-3,c=-4」 △=(-3)2-4×2×(-4)=41>0， ∴方程有两个不相等的实数根， x=3±④_3t4 2×2 4 3+V41 3-V41 .x1= 4 一，X2= 4 颗型08 配方法的应用 1.A2.4 3.【详解】(1)解：x2-8x+7 =(x2-8x+16)-9 =(x-4)}2-9 =(x-4-3)(x-4+3) =(x-7)(x-1); (2)解：-2x2-4x+5 =-2(x2+2x+1)+7 =-2(x+1)2+7, :(x+1）2≥0， .-2(x+1)≤0 6112 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当x=-1时，-2(x+1=0,-2x2-4x+5取得最大值为7. (3)解：当x2+4x+4=(x+2},需要加单项式4x: 当x2-4x+4=(x-2},需要加单项式-4x: 当4++2 需要加单项式 16 所以满足条件的单项武为：4r-4x6( B组 能力进阶 1.D2.C3.-64.B 5.(1)小明和小颖的解法都不正确。 正确的解答过程：整理得：(x-2)}-5(x-2)=0, :.(x-2[(x-2）)-5]=0,即(x-2(x-2-5)=0, .(x-2)(x-7)=0. ∴x-2=0或x-7=0, x=2,x2=7 2)先移项将其整理为m2-x=0的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元 一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解. C组 思维拔高 1.【详解】(1)解：x=2-5, x-2=-5, (x-2)}2=3, x2-4x+4=3,即x2-4x+1=0 两边同时乘以2得2x2-8x+2=0 7/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .b=-8,c=2; (2)解：“x=5-1 2 2x+1=V5, (2x+2=5, ∴.4x2+4x+1=5, 即x2+x=1, ∴.3x3+6x2+2025 =3x(x2+x)+3x2+2025 =3x×1+3x2+2025 =3x2+3x+2025 =3(x2+x)+2025 =3×1+2025 =2028 2.【详解】(1)解：设2x-1=y, 则原方程可变为：y2-4y+3=0, 解得：=1,2=3， 当=1即2x-1=1时，解得：x=1: 当2=3即2x-1=3时，解得：x=2: “原方程的解为：七=1，为3=2： (2)△ABC是直角三角形：理由如下 :a、b、c是△ABC的三边， .a2>0,b2>0, a2+b2>0. 设a2+b2=y(y>0), 则原方程可化为y2-3y-4=0, 解得：乃=4，=1（舍去）， 得a2+b2=4」 又c=2, 8/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c2=4 ∴a2+b2=c2 △ABC是直角三角形， 3.【详解】(1)解：a2-4a-12 =(a2-4a+4）-4-12 =(a-2)2-16 =(a-2+4)(a-2-4) =(a+2)(a-6): (2)解：M=2x2-8x =2(x2-4x) =2(x2-4x+4-4） =2(x2-4x+4)）-8 =2(x-2)2-8, (x-2)2≥0， ·2(x-2)}≥0， 2(x-2}2-8≥-8， ∴M的最小值为一8： (3)解：如图所示，过点F作FH⊥AD于点H, HA :.∠FHD=90°=∠DAC, ∠HDF+∠HFD=90°： ,四边形CDFE是正方形， DF=CD,∠FDC=90°， .∠HDF+∠ADC=90°， .∠HFD=∠ADC. 9/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 HFDADC(AAS). :FH AD: 设BD=x,则FH=AD=8-x, Sm号0-FH=8-) =-8) =-8x+16-16) =e-8r+16j+8 =c-4+8 :(x-4)}≥0， -4s0, ÷-4+8≤8 ·Sr的最大值为8 4.【详解】(1)解：：40=62+22，且6,2都是整数， .40是“和谐数”： (2)解：-8a+25=(d-8a+16+9=(a-4)2+32, (a-4)2+32对比(a-m)2+m得m=4,n=±3， mn=4×(t3)=±12： (3)符合条件的一个k值为9，理由如下： 对M配方： M=a2+4ab+5b2-6b+k =(a2+4ab+4b2)+b2-6b+k =(a+2b)2+b2-6b+k, 当k=9时，b2-6b+9=(b-3)2, M=(a+2b)2+(b-3)2, a,b是整数， 10/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.a+2b和b-3都是整数， .M是两个整数的平方和，即M为“和谐数”： (4)解：y-x=x2-5x+10-x=x2-6x+10=(x-3)}+1, :对于任意实数x,都有(x-3)≥0， :当(x-3)=0,即x=3时，y-x取得最小值，最小值为1. 拓展 链接中考 1.D 2.【详解】解：x2-6=5x x2-5x-6=0 (x-6)(x+1)=0 x-6=0或x+1=0 x=6,x2=-1 3.【详解】解：当m=-3时， 方程为：x2-2x-3=0 因式分解得：(x-3)(x+1)=0, x-3=0或x+1=0, 解得：x=3,x2=1: 当m=-1时， 方程为：x2-2x-1=0, 用配方法变形：x2-2x+1=2,即(x-1)=2, 开方得：x-1=V2, 解得：x=1+V2,3=1-V2: 当m=1时， 方程为：x2-2x+1=0, 变形为完全平方式：(x-)=0, 11/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得：=x2=1」 12/12 分层作业 3.2一元二次方程的解法 目 录 A组 巩固过关 题型01 判断是否是一元二次方程的解 题型02 由一元二次方程的解求字母或代数式的值 题型03 直接开平方法解一元二次方程 题型04 配方法解一元二次方程 题型05 公式法解一元二次方程 题型06 因式分解法解一元二次方程 题型07 用适当方法解一元二次方程 题型08 配方法的应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 判断是否是一元二次方程的解题型01 1.（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）能使方程成立的x的值可以为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，通过解一元二次方程，得到根后与选项对比． 【详解】解：∵， ∴，因式分解得：， ∴或， ∴或， 故选：C． 2.（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）若，则必有一个根是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的解，由可知令即成立，则可求出答案． 【详解】解：当时，方程为， 方程必有一个根是， 故选：C． 3.在下列各小题中，括号内未知数的值，哪些是它前面方程的根？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解：把代入得： 左边右边， ∴不是方程的根； 把代入得： 左边右边， ∴是方程的根； 把代入得： 左边右边， ∴是方程的根； 综上，，是方程的根； （2）解：把代入得： 右边， ∴不是方程的根； 把代入得： 右边， ∴是方程的根； 把代入得： 右边， ∴是方程的根； 综上，，是方程的根； （3）解：把代入得： 右边， ∴不是方程的根； 把代入得： 右边， ∴是方程的根； 把代入得： 右边， ∴是方程的根； 综上，，是原方程的根． 由一元二次方程的解求字母或代数式的值题型02 1.（2026九年级上·四川·专题练习）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A． B． C．5 D．7 【答案】B 【详解】解：将代入方程，得 ， 即， 解得． 2.（2026·江苏扬州·一模）若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据一元二次方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，将代入原方程，即可求解得到的值． 【详解】∵是一元二次方程的一个解， ∴， 整理得， 解得． 3.（24-25八年级下·浙江温州·期中）若是关于x的方程的一个根，则的值是（    ） A．2026 B．2028 C．2030 D．2031 【答案】C 【分析】将根代入原方程得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程得， 整理得， ∴． 4.（26-27九年级上·贵州遵义·阶段检测）已知a是方程的一个根，则的值为（     ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】无需解出的具体值，将所求式变形后利用方程根的定义整体代入计算． 【详解】解：∵是方程的一个根． ∴，即． ∴． 5.（25-26八年级下·浙江杭州·期中）若m是方程的一个根，则的值是（    ） A．2028 B．2027 C．2026 D．2025 【答案】C 【分析】根据m是方程的一个根得到，再代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 即， ∴． 6.（25-26九年级上·山东德州·期中）关于的一元二次方程的一个根为0，则值为（  ） A．2 B．−2 C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的定义及二次项系数不为0的条件．代入根后求解参数，并验证二次项系数非零． 由于方程的一个根为0，则将代入可得到关于a的方程．同时，一元二次方程要求二次项系数不为0． 【详解】解：将代入原方程： 则， 化简得， ∴，解得：． 又∵方程为一元二次方程， ∴二次项系数． 当时，； 当时，， 均满足条件． ∴a的值为． 故选：C． 7.已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．或2 B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入方程得到关于的方程，求解后再结合一元二次方程的定义排除不符合条件的值，即可得到结果. 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， 解得或， 又原方程是一元二次方程， 二次项系数，即， 而和都满足， 因此的值为或. 8.（25-26九年级下·山东淄博·期末）已知是方程的一个根，试求的值． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴． 9.（24-25九年级上·北京密云·期中）已知m是方程的根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程根的定义得到，再把所求代数式变形，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的根， ， ． 直接开平方法解一元二次方程题型03 1.（25-26八年级下·浙江温州·期中）一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解，即可． 【详解】解：， 化简得， 两边直接开平方，得， 解得． 故选：D． 2.（25-26九年级上·陕西渭南·期中）方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查一元二次方程的解法，解题关键是直接开方会得到正负两个值，然后分别求解即可．通过直接开平方的方法求解方程，得到两个根． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，， 当时，， ∴方程的根为， 故选：A． 3.（24-25九年级上·福建福州·期中）将一个关于的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则的值是（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，根据题意，直接开平方得到关于的一元二次方程配方为的根为，从而确定，即可得到答案，熟练掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：将一个关于的一元二次方程配方为，则解得， 即， 是该方程的两个根， ，即， 故选：D． 4.（23-24七年级下·广东中山·期中）解方程∶ 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程的应用，两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】 配方法解一元二次方程题型04 1.（26-27九年级上·陕西·期中）用配方法解方程时，配方后得到的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】移常数项至等号右侧后，等式两边加一次项系数一半的平方即可完成配方． 【详解】解：， ， ， ， ． 2.（26-27九年级上·甘肃平凉·阶段检测）用配方法解方程时，原方程应变为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】移项后配方，将方程左边化为完全平方式． 【详解】解：， 移项得：， 方程两边同时加得：， 配方得：． 故选：A． 3.（25-26八年级下·山东威海·期末）将一元二次方程配方后变形为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵方程两边同时加得， 整理为完全平方形式得， 对比，可得． 4.（26-27九年级上·吉林·期中）解方程． 【答案】 【分析】先移项，再按照配方法化成完全平方式，再按照直接开方法解出方程即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：，即， 开方得：， ． 5.（26-27九年级上·广东·期中）解一元二次方程 【答案】 ， 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， ， 由此可得， ， 即． 公式法解一元二次方程题型05 1.（25-26八年级下·河北张家口·期末）用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定的值，再对照求根公式即可得到方框内的数值． 【详解】解： ∵， ∴ 移项得， 此处，，， ， 对比题干给出的式子，可知处应填． 2.解方程：． 【答案】 ， 【详解】解：在方程中，，，， ， ∴， ，． 3.解方程：． 【答案】，． 【详解】解：， ， ， 所以，． 因式分解法解一元二次方程题型06 1.（25-26八年级下·北京顺义·期末）方程的解为（     ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】使用因式分解法即可得到方程的解，用到因式分解中提取公因式的方法和“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的性质． 【详解】将原方程移项整理得 ， 提取公因式得 ， 或 ， 解得 ，． 2.（25-26八年级下·山东济南·期末）关于的一元二次方程的解为（     ） A．， B． C． D．， 【答案】B 【分析】将方程整理后，通过提取公因式因式分解，得到方程的根． 【详解】解：， 移项得：， 提取公因式得：， 化简得：， ∴ ． 3.（25-26八年级下·浙江金华·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：原方程为 提取公因式得 可得或 解得， （2）原方程为 移项得 提取公因式得 可得或 解得， 4.（25-26八年级下·福建福州·期末）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ∴ （2）解： ∴ 用适当方法解一元二次方程题型07 1.（25-26八年级下·甘肃嘉峪关·期末）解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）解： ， 或， ∴，； （2）解： ， 或， ∴，； （3）解：， ， ， ， ， ∴． 2.（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）解方程： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，； 【详解】（1）解： ， ， 即或， 解得，； （2）解：， ， 或， ∴，； （3）解：， ， ， ， ， 即或， ∴，； （4）解： ， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴，； 配方法的应用题型08 1.将代数式配方后，发现它的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】利用完全平方公式对二次代数式配方，再根据平方数的非负性即可求出最小值． 【详解】解：∵ ， 又∵ 对任意实数都有， ∴ 当 时，代数式取得最小值，最小值为． 2.（25-26八年级下·山东泰安·期末）若，则代数式的值为__________． 【答案】4 【分析】观察x的值以及代入式的特征，将变形为，然后代入计算即可简便求解． 【详解】解： 把代入，得 . 3.（25-26八年级下·江西抚州·期末）【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 【答案】(1) (2)当时，最大值为7． (3)、、． 【分析】（1）仿照材料，利用配方法计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，结合得出，从而即可得出结果； （3）利用配方法，分情况讨论即可得出结果． 1.（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）已知a是方程的根，的值为（     ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】D 【分析】利用方程根的定义，对三次项降次后代入求值． 【详解】解：是方程的根， ，即，， ． 2.（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）对于实数a、b，定义运算“⊙如下：．例如：．若，则m的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 利用新定义得到，整理得到，然后利用因式分解法解方程． 【详解】解：根据题意得，， ， ， 或， 所以． 故选：C． 3.（25-26八年级下·安徽滁州·期末）把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 【答案】 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程除完全平方式前的系数不同外其他对应部分相同，由第一个方程可得，因此第二个方程可整理为，通过比较两个方程展开式的对应系数相等建立方程组求解，再计算的值. 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程可化为方程， ， ， ， 解得：， ． 4.（25-26八年级下·浙江温州·期中）小安同学发现：关于的两个一元二次方程：①，②（，，均为常数，且）的解存在某个数量关系．若已知的解为，，则方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用换元法和方程的解的定义求解，设，由的解为，得到一元二次方程的解，再把方程变形为，令，可得，通过对应关系求出方程的解． 【详解】解：设， ∵ 的解为，， ∴ ，， 即的解为，， 对方程两边同乘，得， 即， 令，可得， ∴ 该方程的解为，， 即，， 解得，． 5.（25-26八年级下·山东烟台·期末）小明与小颖两位同学解方程的过程如图： 小明： 两边同除以， 得， 解得． 小颖： 移项，得， 提取公因式，得． 或． 解得． (1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程； (2)请结合上述解题过程归纳总结：形如的一元二次方程的一般解法． 【答案】(1)小明和小颖的解法都不正确． 正确的解答过程：整理得：， ∴，即， ∴， 或， ． (2)先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解． 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程的方法和步骤进行分析即可得到答案； （2）根据因式分解法的一般步骤：移项，提取公因式，因式为零，求解，据此即可解答． 【详解】（1）解：小明错误的原因是未考虑的情况，直接除以导致漏解，小颖错误的原因是提取公因式去括号时符号出错，正确的解答过程详见答案． （2）解：先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解． 1.（25-26八年级下·安徽池州·期末）请阅读下列材料：已知一个关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，．故，． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)， (2)2028 【分析】（1）仿照题干所给的方法计算即可得出结果； （2）求出，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果． 【详解】（1）解：， ， ， ，即 两边同时乘以得． ，； （2）解：， ， ， ， 即， ． 2.（25-26八年级下·山东济南·期末）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． (1)请你利用这种方法解方程：； (2)已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)， (2)是直角三角形；理由如下： 是的三边， ， ， 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）， 得． 又， ． ． 是直角三角形． 【分析】（1）根据题中方法，设，将原方程可化为，解方程求出，；分别代入求出的值即可； （2）根据题中方法，设，求出，结合，根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可变为：， 解得：，， 当即时，解得：； 当即时，解得：； ∴原方程的解为：，； （2）略 3.（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）【阅读理解】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性增加问题的条件，这种解题方法叫作配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程、求最值问题等有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值，求解未知量． 应用一 应用二 用配方法分解因式：． 解： ． 用配方法求代数式的最小值． 解： 的最小值为 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)若，运用配方法可求出的最小值为________； (3)如图，在中，，，，点为边上一点（不与点、点重合），连接，以为边在上方构造正方形，连接．则面积的最大值为________． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】（1）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）仿照例题利用配方法求解即可； （3）过点F作于点H，证明，得到；设，则，则，据此可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图所示，过点F作于点H， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为8． 4.（25-26八年级下·山东济南·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，是“和谐数”，理由：因为，所以是“和谐数”． 【解决问题】 (1)判断是否为“和谐数”________．（填“是”或“否”） 【探究问题】 (2)若可配方成（，为常数），则的值________． (3)已知（，是整数，是常数），要使为“和谐数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知实数，满足，当为多少时，能取得最小值，并求出最小值． 【答案】(1)是 (2) (3)符合条件的一个k值为9，理由如下： 对M配方： ， 当时，， ∴， ∵，是整数， ∴和都是整数， ∴M是两个整数的平方和，即M为“和谐数”； (4)当时，的最小值为 【分析】（1）根据“和谐数”的定义，判断40能否写成两个整数的平方和即可； （2）利用配方法对代数式变形，对比得到，的值，即可计算； （3）对M进行配方，将其整理为两个平方和的形式，即可得到符合条件的k值； （4）先写出的表达式，再利用配方法结合非负数的性质，即可求出最小值． 【详解】（1）解：∵，且6，2都是整数， ∴40是“和谐数”； （2）解：， 对比得，， ∴； （3）解： 略 （4）解：， ∵对于任意实数x，都有， ∴当，即时，取得最小值，最小值为． 1.（2026·河南·中考真题）已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于参数的一元一次方程，解出即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 整理得， 移项得， 两边同除以，得． 2.（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：． 【答案】， 【详解】解： 或 ，． 3.（2026·西藏·中考真题）请从，，1中任选一个数作为的值，解关于的一元二次方程． 【答案】选取时，方程的解为（答案不唯一）． 【详解】解：当时， 方程为：， 因式分解得：， 或， 解得：； 当时， 方程为：， 用配方法变形：，即， 开方得：， 解得：； 当时， 方程为：， 变形为完全平方式：， 解得：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $