3.2一元二次方程的解法 同步培优卷 2026-2027学年 湘教版九年级上册数学

3.2一元二次方程的解法 同步培优卷 一、选择题 1．若关于x的一元二次方程的一个实数根为2，则另一实数根和m的值分别为（　　） A．， B．，8 C．4， D．4，8 2．已知方程x2-4x+k＝0的两个实数根是x1＝1，x2＝3，则方程（x-5）2-4（x-5）+k＝0的两个实数根是（　　） A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝6，x2＝8 C．x1＝-4，x2＝-2 D．x1＝0，x2＝2 3．方程的根是（　　） A． B． C．， D．， 4．一元二次方程配方后，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 5．方程经配方后，可化为（　　） A． B． C． D． 6．已知关于x的一元二次方程的一个根是3，则a的值是（　　） A． B． C．2 D． 7．设a，b是方程的两个实数根，则的值为（　　） A．2024 B．2021 C．2023 D．2022 8．已知，，若，则下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．若关于的方程的一个根为2，则的值为　 　． 10．已知关于x的方程的一个根为1，则该方程的另一个根为　 　． 11．若关于x的一元二次方程x2+ax+2a+3=0的一个根是1，则a的值是　 　. 12．若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2-6x+7=0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是　 　. 13．若（为实数），则的最小值为　 　. 三、解答题 14．在解一元二次方程时，小王的解答如下： 解：方程两边同时除以得：； 移项得：； 解得：． 小王的解题过程是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，写出正确解答． 15．阅读下面的材料，解答问题． 材料：解含绝对值的方程：． 解：分两种情况： ①当时，原方程化为，解得，（舍去）； ②当时，原方程化为，解得，（舍去）． 综上所述，原方程的解是，． 请参照上述方法解方程． 四、计算题 16．解方程： （1）； （2）． 五、综合题 17．阅读材料：形如的式子叫做完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用． （一）用配方法因式分解：． 解：原式 （二）用配方法求代数式的最小值． 解：原式 ∵，∴，∴的最小值为． （1）若代数式是完全平方式，则常数k的值为　 　； （2）因式分解： 　 　； （3）用配方法求代数式的最小值； （4） 拓展应用： 若实数a，b满足，则的最小值为　 　． 18．若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，，所以13是“完美数”，再如，（x，y是整数），所以M也是“完美数”. （1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是　 　； 判断：45　 　（请填写“是”或“不是”）“完美数”； （2）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由. （3）如果数m，n都是“完美数”，，试说明也是“完美数”. 答案解析部分 1．【答案】A 【知识点】一元二次方程的根 【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程的一个实数根为2， ∴22+2×2+m=0， ∴m=-8， ∴， ∴（x-2）（x+4）=0， ∴x1=2，x2=-4， ∴的另一实数根为-4， 故答案为：A. 【分析】根据 关于x的一元二次方程的一个实数根为2 ，把2代入方程得出m的值，再解一元二次方程计算出另一实数根。 2．【答案】B 【知识点】一元二次方程的根 【解析】【解答】解：由题意可得：方程的解为x-5=1或x-5=3， 解得x1=6，x2=8. 故答案为：B. 【分析】由题意可得：方程的解为x-5=1或x-5=3，求解即可. 3．【答案】D 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【解析】【解答】解： ， ， ， ，， 故答案为：D. 【分析】先对方程进行移项，再利用提取公因式法分解方程求解. 4．【答案】B 【知识点】配方法解一元二次方程 【解析】【解答】解：∵x2-4x-5=0， ∴x2-4x=5， ∴x2-4x+4=4+5， ∴(x-2)2=9. 故答案为：B. 【分析】首先将常数项移至右边，然后给两边同时加上4，再对左边的式子利用完全平方公式分解即可. 5．【答案】A 【知识点】配方法的应用 【解析】【解答】解： ， ， ， ， 故答案为：A. 【分析】把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 6．【答案】B 【知识点】一元二次方程的根 【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3， ∴9+3a+a=0， ∴a=. 故答案为：B. 【分析】将x=3代入方程中进行计算就可求出a的值. 7．【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根 【解析】【解答】∵a是方程x2+x-2023=0的实数根， ∴a2 +a-2023=0， ∴a2 =-a+2023， ∴a2 +2a+b=-a+2023+2a+b=2023+a+b ∵a，b是方程x2+x-2023=0的两个实数根， ∴a+b=-1， ∴a2+2a+b=2023+(-1)=2022 故答案选D。 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2 =-a+2023，则a2+2a+b可化为2023+a+b，再根据根与系数的关系得到a+b=-1，然后利用整体代入的方法计算。 8．【答案】B 【知识点】一元二次方程的根 【解析】【解答】解：∵，， ∴， ， ∴a、b相当于是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， 故答案为：B． 【分析】先求出， ，再求解即可。 9．【答案】-4 【知识点】一元二次方程的根 【解析】【解答】解：把代入， 得， ， 故答案为：-4. 【分析】将方程的根代入方程得到关于k的一元一次方程，求解得到k的值. 10．【答案】 【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程 【解析】【解答】解：∵关于x的方程的一个根为1， ∴1+m-4=0， 解得m=3， ∴， 解得x=-4或x=1， ∴该方程的另一个根为-4， 故答案为：-4 【分析】根据一元二次方程的根即可求出m，进而解一元二次方程即可求解。 11．【答案】 【知识点】一元二次方程的根 【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+2a+3=0的一个根是1， ∴1+a+2a+3=0， 解得a=. 故答案为：. 【分析】根据方程根的概念，将x=1代入方程中进行计算就可求出a的值. 12．【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程；勾股定理 【解析】【解答】解：解方程x2-6x+7=0. . ∴ ， ∴x1=3+，x2=3-， 直角边斜边长为：. 故答案为：. 【分析】解出一元二次方程的两个解，利用勾股定理a²+b²=c²，即可求出斜边的长度. 13．【答案】-2 【知识点】配方法的应用 【解析】【解答】W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3 =y2-(2+4x)y+5x2+8x+3 =[y-(1+2x)]2-(1+2x)2+5x2+8x+3 =[y-(1+2x)]2+x2+4x+2 =[y-(1+2x)]2+(x+2)2-2 ∵[y-(1+2x)]2≥0，(x+2)2≥0， ∴当[y-(1+2x)]2=0，(x+2)2=0时，即x=-2，y=-3，W有最小值等于-2 故答案为：-2. 【分析】整理原式，构造非负数的结构，即可求解W的最小值. 14．【答案】解：小王的解题过程错误，正确过程如下： 或， 解得：或． 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【解析】【分析】首先移项，然后提取公因式(5x-3)可得(5x-3)(5x-3-1)=0，据此求解. 15．【答案】解：①当 ，即 时， 原方程可化为 ，即 ， 分解因式得 ， 可得 或 ，解得 ， ． ②当 ，即 时， 原方程可化为 ，即 ， 分解因式得 ， 可得 或 ，解得 （舍去）， （舍去）， 则原方程的解为 ， ． 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【解析】【分析】模仿例题分两种情况：①当 ，②当 ，据此分别解方程即可. 16．【答案】（1）解：， ， ， 或， ， （2）解：， ， ， ， ， ， 【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程 【解析】【分析】（1）利用因式分解方法解一元二次方程； （2）利用配方法解一元二次方程. 17．【答案】（1）25 （2） （3）解： ， ， ， 的最小值为4． （4）3 【知识点】配方法的应用；完全平方式 【解析】【解答】解：（1）∵是完全平方式 ， ∴k==25； 故答案为：25. （2） （a-6）2-4=（a-6+2)(a-6-2）=（a-4)(a-8）， 故答案为： ； （4） ∵， ∴a2-4a-a-b+7=0， ∴a+b=a2-4a+7=（a-2）2+3， ∵（a-2）2≥0， ∴（a-2）2+3≥3， ∴的最小值为3. 故答案为：3. 【分析】（1）完全平方公式中，当二次项系数是1时，常数项是一次项系数一半的平方，据此求解即可； （2）根据配方法进行因式分解即可； （3）根据配方法将原式化为 ，根据偶次幂的非负性求解即可； （4）由可得a+b=a2-4a+7，再利用配方法及偶次幂的非负性求解即可. 18．【答案】（1）8；是 （2）解：， ∴当时，即时，S是完美数； （3）证明：∵m，n都是“完美数”， 则设，（a，b，c，d都是整数）， ∴， ∴ ∴mn是完美数， ∵， ∴， ∴也是“完美数”. 【知识点】完全平方公式及运用；配方法的应用 【解析】【解答】解：（1）∵8=22+22， ∴8是一个“完美数”， ∵45=62+32， ∴45是一个“完美数”， 故答案为：8；是； 【分析】（1）根据“完美数”的定义求解即可； （2）利用配方法将已知等式的右边变形为（x-3）2+（2y+1）2+k-10，根据“完美数”的定义可得k-10=0，从而求解即可得出k的值，从而得出答案； （3）根据“完美数”的定义可设m=a2+b2，n=c2+d2（a，b，c，d都是整数），根据多项式乘以多项式的法则及完全平方公式可得mn=（ac+bd）2+（ad-bc）2，从而根据“完美数”的定义可得mn也是一个“完美数”；而将 的分子利用完全平方公式计算、合并同类项后再约分可得=mn，从而即可得出结论. 1 学科网（北京）股份有限公司 $