21.2.2 第2课时 公式法-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（人教版）广西专版

21　 　 　 　 参考答案·广西数学 分层作业本 九年级上册 第二十一章　一元二次方程 21. 1　 一元二次方程 1. C　 2. B 【变式】解:(1)4x2 -81 = 0. 　 4,0,-81. (2)3x2 -7x+1 = 0. 　 3,-7,1. 3. B　 4. A　 5. 2 031. 6.解:(1)∵ 矩形的长为 x,长比宽多 2,∴ 矩形的宽为(x-2) . 依题意,得 x(x-2)= 100,即 x2 -2x-100 = 0. (2)∵ 较长的直角边长为 x,两条直角边长相差 2,∴ 较短的 直角边长为(x-2) . 依题意,得 x2 +(x-2) 2 = 102 ,即 x2 -2x- 48 = 0. 7. B　 8. B 21. 2　 解一元二次方程 21. 2. 1　 配方法 第 1 课时　 直接开平方法 1. D　 2. 4(答案不唯一,只要 a≥3 即可) 3. (1)y1 = 5 2 ,y2 = -5 2 . 　 (2)方程无实数解. (3)x1 = 10,x2 = -10. 4. C　 5. x+6 = -4 6. (1)x1 = - 8 3 ,x2 = 4 3 . 　 (2)x1 = 1. 1,x2 = -0. 5. 7. ± 1 2 8. (1)x1 = 1+ 5 ,x2 = 1- 5 . 　 (2)x1 = -7,x2 = - 5 7 . 9.解:∵ 方程 x2 +(m-1)x+m-10 = 0 的一个根是 3,∴ 9+3(m- 1)+m-10 = 0,即 4m-4 = 0,解得 m = 1,∴ 方程为 x2 -9 = 0, 解得 x= ±3,∴ 另一个根为-3. 10.解:∵ (x-3) 2 = 1,∴ x-3 = ±1,解得 x1 = 4,x2 = 2. ∵ 一元二 次方程(x-3) 2 = 1 的两个根恰好分别是等腰三角形 ABC 的底边长和腰长,∴ 当底边长和腰长分别为 4 和 2 时,4 = 2+2,此时不能构成三角形;当底边长和腰长分别是 2 和 4 时,能构成三角形,∴ △ABC 的周长为 2+4+4 = 10. 11.解:∵ a※b=a2 -b2 ,∴ (x+2)※5 = (x+2) 2 -25. ∵ (x+2) ※ 5 = 0,∴ (x+2) 2 -25 = 0,即(x+2) 2 = 25,∴ x+2 = 5 或 x+2 = -5,∴ x1 = 3,x2 = -7. 12.解:(1)5　 3　 2　 -12 (2)原方程可变形为[(x+2)-4][(x+2)+4] = 4,(x+2) 2 - 42 = 4,(x+2) 2 = 4+42 ,解得 x1 = -2+2 5 ,x2 = -2-2 5 . 第 2 课时　 配方法 1. C　 2. (1) 1 4 　 1 2 　 (2) 9 4 　 3 2 　 (3)1　 1　 (4) 1 25 　 1 5 3. 1　 4. B　 5. D 6. (1)x1 = 2+ 10 3 ,x2 = 2- 10 3 . 　 (2)x1 = 1+ 7 6 ,x2 = 1- 7 6 . (3)x1 = 2,x2 = -1. 　 (4)原方程无实数根. 7. B　 8. 1 或-3 9. (1)降次　 完全平方公式　 (2)等式的基本性质　 (3)三 (4)x1 = 7 -2,x2 = - 7 -2. 10.解:(1)3 (2)x2 +10x+32 = x2 + 10x+ 52 - 52 + 32 = ( x+ 5) 2 + 7. ∵ ( x+ 5) 2 ≥0,∴ (x+ 5) 2 + 7≥7,∴ 当(x+ 5) 2 = 0 时,(x+ 5) 2 + 7 的值最小,最小值为 7,∴ x2 +10x+32 的最小值为 7. (3)- 1 3 x2 +2x+5 = - 1 3 (x2 -6x+9)+8 = - 1 3 (x-3) 2 +8. ∵ - 1 3 (x-3) 2 ≤0,∴ - 1 3 (x-3) 2 +8≤8,∴ 代数式- 1 3 x2 + 2x+5 有最大值,最大值为 8. 21. 2. 2　 公式法 第 1 课时　 一元二次方程根的判别式 1. C　 2. D　 3. B　 4. A　 5. 64 6. (1)此方程无实数根. (2)方程有两个相等的实数根. (3)方程有两个不相等的实数根. (4)此方程无实数根. 7. C　 8. C　 9. D　 10. k<-1　 11. 3　 【变式】1　 12. A　 13. C 14.证明:当 m = 0 时,方程为- 2x+ 2 = 0,此时方程有解,解为 x= 1;当 m≠0 时,Δ = ( - 2) 2 - 4m( 2 -m) = 4 - 8m+ 4m2 = 4(m2 -2m+1)= 4(m-1) 2 ≥0,此时方程有实数根. 综上所 述,不论 m 为何值时,方程总有实数根. 15. (1)①③ (2)证明:∵ 一元二次方程 ax2 +bx+c= 0(a≠0)为“和谐方 程”,∴ b=a+c,∴ b2 -4ac= (a+c) 2 -4ac= (a-c) 2 ≥0,∴ “和 谐方程”总有实数根. (3)解:∵ 一元二次方程 ax2 +bx+c = 0(a≠0) 为“和谐方 程”,∴ b=a+c. ∵ “和谐方程”ax2 +bx+c= 0(a≠0)有两个相 等的实数根,∴ b2 -4ac=(a+c) 2 -4ac=(a-c) 2 = 0,∴ a=c. 第 2 课时　 公式法 1. A　 2. C　 3. C　 4. 5 -1 2 　 5. 1　 -4　 3 6. (1)x1 = 2+ 6 2 ,x2 = 2- 6 2 . 　 (2)x1 = 7+ 53 2 ,x2 = 7- 53 2 . (3)方程无实数根. 7. C　 8. 1 或 2　 9. 12 10. 1 - 17 2 　 【解析】根据题意,得 x2 +x-(2x-1)= 5,整理,得 x2 -x-4 = 0,∵ a= 1,b= -1,c= -4,∴ Δ = (-1) 2 -4×1×( -4) = 17>0,则 x= -b± b2 -4ac 2a = 1± 17 2 ,∴ x1 = 1+ 17 2 ,x2 = 1- 17 2 ,∵ 点 A 在数轴的负半轴,∴ 2x - 1 < 0,即 x< 1 2 , ∴ x= 1 - 17 2 . 11.解:根据题意,得 x2 -13x+12+4x2 -18 = 0,整理,得 5x2 -13x -6 = 0. ∵ b2 - 4ac = ( - 13) 2 - 4 × 5 × ( - 6) = 289 > 0,∴ x = 13± 289 2×5 = 13±17 10 ,解得 x1 = 3,x2 = - 2 5 . 12.解:(1)当 m= 0 时,方程为 x2 +x-1 = 0. ∵ Δ = 12 -4×1×( - 1)= 5>0,∴ x= -1± 5 2×1 ,∴ x1 = -1+ 5 2 ,x2 = -1- 5 2 . (2)∵ 方程有两个不相等的实数根,∴ Δ> 0,即 12 - 4× 1× (m-1)= 1-4m+4 = 5-4m>0,∴ m< 5 4 . 13.解:(1)∵ ∠ACB= 90°,BC= a 2 ,AC= b,∴ AB= b2 + a2 4 , ∴ AD= b2 + a2 4 - a 2 = 4b 2 +a2 -a 2 . (2)用求根公式解得 x1 = - 4b2 +a2 -a 2 ,x2 = 4b2 +a2 -a 2 . 正确性:AD 的长就是方程的正根. 遗憾之处:图解法不能表示方程的负根. 21. 2. 3　 因式分解法 1. A　 2. D　 【变式】x1 = 0,x2 = 2　 3. A　 4. A 5. (1)x1 = 1 4 ,x2 = - 7 5 . 　 (2)x1 = -2,x2 = 3. (3)x1 = - 3 2 ,x2 = 1 2 . (4)2(x-3) 2 = (x+3)(x-3),即(x-3)(x-9)= 0, ∴ x-3 = 0 或 x-9 = 0,∴ x1 = 3,x2 = 9. 6. D　 【变式】直接开平方法　 配方法　 公式法　 因式分解法 7. (1)x1 = 6,x2 = -8. 　 (2)x1 = -3+ 17 4 ,x2 = -3- 17 4 . (3)x1 = 4,x2 = -2. 　 (4)x1 = -1,x2 = 1. 8. A 9. 17　 【解析】(x-7)(x- 3) = 0,x- 3 = 0 或 x- 7 = 0,∴ x1 = 3, x2 = 7,∴ 当等腰三角形的腰为 3,底边为 7 时,3+3 = 6<7,不 符合题意;当等腰三角形的腰为 7,底边为 3 时,3 + 7 > 7, ∴ 等腰三角形的周长为 7+7+3 = 17. 10. x1 = 1,x2 = -1. 11.解:∵ x2 -2x= 0,∴ x(x-2)= 0. 又∵ x1 <x2 ,∴ x1 = 0,x2 = 2, ∴ x21 -2x 2 2 = 0 2 -2×22 = -8. 12. 小花坛的边长为(5+5 2 )m. 13. (1)-6　 1　 (2)原方程组的解为 x1 = -1, y1 = -4, { x2 = 4, y2 = 1. { ※21. 2. 4　 一元二次方程的根与系数的关系 1. C　 2. C　 3. D 4.解:(1)3x2 -x-1 = 0. x1 +x2 = 1 3 ,x1x2 = - 1 3 . (2)2x2 +6x-2 = 0. x1 +x2 = -3,x1x2 = -1. 5. B 6.解:设方程的另一个根为 x2 . ∵ 关于 x 的一元二次方程 x 2 + bx= -9 的一个根是-1,∴ (-1) 2 -b+9 = 0,解得 b= 10. 又∵ -1×x2 = 9,∴ x2 = -9,即方程的另一个根是-9. 7. A　 8. D　 9. D 10. B　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 x2 +2x+1-2m = 0 的 两个实数根之积为负数,∴ Δ= 22 -4×1×(1-2m)>0, 1-2m<0,{ 解得 m> 1 2 ,∴ 实数 m 的取值范围是 m> 1 2 . 11. D　 【解析】由条件可知 a2 + 2 026a- 4 = 0,a+b = -2 026, ∴ a2 +2 026a= 4,∴ a2 +2 025a-b = a2 +2 026a-(a+b) = 4- (-2 026)= 4+2 026 = 2 030. 12. B　 【解析】设一元二次方程为 x2 +bx+c = 0,∵ 甲同学看错 了常数项,得到方程的两根是 8 和 2,∴ 甲同学的两根满 足一次项系数,∴ b = -(8+2)= -10;∵ 乙同学写错了一次 项系数,得到方程的两根为-9 和-1,∴ 乙同学的两根满足 常数项,∴ c= (-1)×(-9)= 9,∴ 该方程为 x2 -10x+9 = 0. 13. 4 14. (1)证明:∵ x2 -ax+a- 2 = 0,∴ Δ = (-a) 2 - 4(a- 2) = a2 - 4a+8 = (a-2) 2 +4>0,∴ 无论 a 为何值,该方程总有两个不 相等的实数根. (2)解:不存在. 理由如下:∵ (x1 -1) (x2 -1) = a 2 ,∴ x1x2 - x1 -x2 +1 =a 2 ,即 x1x2 -(x1 +x2 )+1 =a 2 . ∵ x1 +x2 =a,x1x2 = a- 2,∴ a-2-a+1 = a2 ,即 a2 = -1,∴ 不存在实数 a,使得(x1 - 1)(x2 -1)= a 2 . 15. (1)3　 1　 -5　 6 (2)解:∵ a,b 满足 a2 -5a+ 3 = 0,b2 - 5b+ 3 = 0,∴ a,b 是方 程 x2 -5x+3 = 0 的解. 当 a≠b 时,a+b= 5,ab= 3,∴ a b + b a = a2 +b2 ab = (a+b) 2 -2ab ab = 5 2 -2×3 3 = 19 3 ;当 a= b 时,原式 = 2. 综 上所述, a b + b a 的值为 19 3 或 2. 小专题培优 1　 配方法的应用 1. x1 = 1+ 6 ,x2 = 1- 6 . 　 2. 25　 【变式】±20　 3. C 4. D　 【解析】x2 +y2 -10x+8y+41 = x2 -10x+25+y2 +8y+16 = (x- 5) 2 +(y+4) 2 . ∵ (x-5) 2 ≥0,(y+4) 2 ≥0,∴ (x-5) 2 +(y+4) 2 ≥0. 5. A　 【解析】根据题意,得 M= 2a2 -5a+1,N=a2 -6,故 M-N = 2a2 -5a+1-a2 +6 =a2 -5a+7 = (a- 5 2 ) 2 + 3 4 . ∵ (a- 5 2 ) 2 ≥0, ∴ (a- 5 2 ) 2 + 3 4 >0,∴ M>N. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创 分层练·参考答案 8　 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 第 2 课时　 公式法 一阶 基础巩固对点练 知识点　用公式法解一元二次方程 1. 一元二次方程 ax2 +bx+c= 0(a≠0)的求根公式 是 ( A ) A. x= -b± b2 -4ac 2a 　 B. x= b± b 2 -4ac 2a C. x= 2b± b 2 -4ac a D. x= -a± b2 -4ac 2b 2. 用公式法解方程( x+ 2) 2 = 6( x+ 2) - 4 时,b2 - 4ac 的值为 ( C ) A. 52　 　 　 B. 32　 　 　 C. 20　 　 　 D. -12 3. 易错 小明在解方程 x2 - 4x = 2 时出现了错 误,解答过程如下: ∵ a= 1,b= -4,c= -2,(第一步) ∴ b2-4ac=(-4)2-4×1×(-2)= 24,(第二步) ∴ x= -4±2 6 2 ,(第三步) ∴ x1 = -2+ 6 ,x2 = -2- 6 . (第四步) 小明的解答过程开始出错的步骤是 ( C ) A. 第一步 B. 第二步 C. 第三步 D. 第四步 4. 写出方程 x2 +x-1 = 0 的一个正根 x= 　 　 　 　 . 5. 已知关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0) 的 两 个 实 数 根 分 别 是 x1 = 4+ ( -4) 2 -4×3 2 , x2 = 4- ( -4) 2 -4×3 2 , 那 么 a= 　 1　 ,b= 　 -4　 ,c= 　 3　 . 6. ( 教 材 P12 练 习 T1 改 编) 用公式法解下 列方程: (1) 2x2 -4x-1 = 0; 解:∵ b2-4ac=(-4) 2-4×2×(-1)= 24, ∴ x=4± 24 2×2 = 4±2 6 4 , ∴ x1 = 2+ 6 2 ,x2 = 2- 6 2 . (2)7x+1 = x2; 解:原方程可化为 x2-7x-1=0. ∵ b2-4ac=(-7) 2-4×1×(-1)= 53, ∴ x=7± 53 2 , ∴ x1 = 7+ 53 2 ,x2 = 7- 53 2 . (3)0. 2x2 +5 = 3 2 x. 解:原方程可化为 2x2-15x+50=0. ∵ b2-4ac=(-15) 2-4×2×50=-175<0, ∴方程无实数根. 二阶 能力提升强化练 7. 一元二次方程 x2 -2x-6 = 0 的其中较大的一个 根为 x1,则最接近 x1 的取值范围是 ( C ) A. 3<x1 <4 B. 3<x1 <3. 5 C. 3. 5<x1 <3. 7 D. 3. 7<x1 <4 8. 有一个数值转换机,其流程如图所示,若输入 a= -2,则输出的 x 的值为　 1 或 2　 . 9. 易错 三角形两边的长分别为 2 和 5,第三边 的长是方程 x2 -8x+15 = 0 的根,则该三角形的 周长为　 12　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 九上·第二十一章 9　 10. 如图,点 A 在数轴的负半轴,点 B 在数轴的正 半轴,且点 A 对应的数是 2x- 1,点 B 对应的 数是 x2 +x,若 AB= 5,则 x 的值为　 　 　 　 . 11. 当 x 为何值时,代数式 x2 - 13x+ 12 的值与代 数式 4x2 -18 的值互为相反数? 解:根据题意,得 x2-13x+12+4x2-18=0, 整理,得 5x2-13x-6=0. ∵ b2-4ac=(-13) 2-4×5×(-6)= 289>0, ∴ x=13± 289 2×5 = 13±17 10 , 解得 x1 =3,x2 =- 2 5 . 12. 已知关于 x 的一元二次方程 x2+x+m-1=0. (1)当 m= 0 时,求方程的实数根; (2)若方程有两个不相等的实数根,求实数 m 的取值范围. 解:(1)当 m=0 时,方程为 x2+x-1=0. ∵Δ=12-4×1×(-1)= 5>0,∴ x= -1± 5 2×1 , ∴ x1 = -1+ 5 2 ,x2 = -1- 5 2 . (2)∵方程有两个不相等的实数根,∴Δ>0, 即 12-4×1×(m-1)= 1-4m+4=5-4m>0, ∴m< 5 4 . 三阶 素养创新综合练 13. 数学文化 古希腊数学家丢番图 ( 公元 250 年前后)在《算术》中就提到了一元二次 方程的问题,不过当时古希腊人还没有寻求 到它的求根公式,只能用图解等方法来求解. 在欧几里得的《几何原本》中,形如 x2 +ax = b2 (a>0,b>0)的方程的图解法是:如图,以 a 2 和 b 为两直角边作 Rt△ABC,再在斜边上截取 BD= a 2 ,则 AD 的长就是所求方程的解. (1)请用含字母 a,b 的代数式表示 AD 的长. (2)请利用你已学的知识说明该图解法的正 确性,并说说这种解法的遗憾之处. 解:(1)∵∠ACB=90°,BC= a 2 ,AC=b, ∴AB= b2+ a2 4 , ∴AD= b2+ a2 4 - a 2 = 4b 2+a2 -a 2 . (2)用求根公式解得 x1 = - 4b2+a2 -a 2 , x2 = 4b2+a2 -a 2 . 正确性:AD 的长就是方程的正根. 遗憾之处:图解法不能表示方程的负根. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋