5.5.2简单的三角恒等变换课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学：简单的三角恒等变换 1.能用二倍角公式导出半角公式,并能进行简单的应用. 2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧,掌握三角恒等变换的基本思想方法. 3.掌握三角恒等变换在三角函数图象与性质中的应用. 4.体会三角恒等变换中的基本思想方法,加强逻辑推理和数学运算能力的培养. 第五章 三角函数  ⇒tan  =   半角公式  第五章 三角函数 识记知识点 简记 辅助角公式 asin x+bcos x=⑤         ·sin(x+φ),其中sin φ=⑥         ,cos φ=⑦          降幂与升幂公式 sin2α=⑧         ;cos2α=⑨         ;cos 2α=⑩    cos2α-sin2α    =2cos2α-1=1-2sin2α;tan 2α=           积化和差公式 (不要求记忆) (1)sin α·cos β= [sin(α+β)+sin(α-β)];(2)cos α·sin β= [sin(α+β)-sin(α-β)];(3)cos α·cos β= [cos(α+β)+cos(α-β)];(4)sin α·sin β=- [cos(α+β)-cos(α-β)] 和差化积公式 (不要求记忆) (1)sin θ+sin φ=2sin cos ;(2)sin θ-sin φ=2cos sin ; (3)cos θ+cos φ=2cos cos ;(4)cos θ-cos φ=-2sin sin  三角变换公式 第五章 三角函数 1.cos = . (    ✕　) 提示:只有当- +2kπ≤ ≤ +2kπ(k∈Z),即-π+4kπ≤α≤π+4kπ(k∈Z)时,cos  =  . 2.存在α∈R,使得cos  = cos α. (　√　) 提示:当cos α=- +1时,等式成立,但一般情况下不成立. 3.对于任意α∈R,sin  = sin α都不成立.(    ✕　) 提示:当α=2kπ(k∈Z)时,等式成立,但一般情况下不成立. 4.sin 15°=± . (    ✕　) 提示:sin 15°= . 判断正误，正确的画“√” ，错误的画“ ✕” . 第五章 三角函数 5.若5π<θ<6π,cos  =a,则cos  = . (    ✕　) 提示:∵ ∈ 为第三象限角,∴cos  =- . 第五章 三角函数 半角公式的运用  利用半角公式求值的思路 (1)看角:看已知角与待求角的二倍关系. (2)明范围:求出相应半角的范围为定符号做准备. (3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常利用tan = = 计算,涉及半角 公式的正、余弦值时,常利用sin2 = ,cos2 = 计算. (4)下结论:结合(2)求值. 第五章 三角函数    　　已知cos θ=- ,且180°<θ<270°,求sin 和tan 的值. 思路点拨 已知条件中的角θ与所求角中的 成二倍关系,可选择半角公式求值. 解析    解法一:∵180°<θ<270°,∴90°< <135°, 即 是第二象限角, ∴sin = = , ∴tan  =-  =- =-2. 第五章 三角函数 解法二:sin 的求法同解法一. ∵180°<θ<270°,即θ是第三象限角, ∴sin θ=- =- =- , ∴tan  =  = =-2.   由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角 的范围.防止遗忘角的范围导致值的符号错误. 第五章 三角函数   1.三角恒等式证明的常用方法 (1)由因导果法:证明的形式一般是化繁为简; (2)左右归一法:证明等号两边都等于同一个式子; (3)拼凑法:针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形,以消除它们之间的差异, 即化异求同; (4)比较法:设法证明“左边-右边=0”或“ =1(右边≠0)”; (5)分析法:即执果索因法,从被证明的等式出发,逐步地探求使等式成立的条件,直 到符合已知条件或出现明显的事实为止,就可以断定原等式成立. 2.证明三角恒等式的基本思路 三角恒等式的证明与代数恒等式的证明一样,解题思路选择的依据是“化繁为 简”.在确定了“化繁为简”的目标后,还应注意以下几点: 三角恒等式的证明与三角函数式的化简 第五章 三角函数 (1)强化“目标意识”,就是在证明过程中,应盯住目标,逐步向它靠拢; (2)强化“化异为同”的意识,即化异角为同角,化异名为同名,化异次为同次,这就 需要找到待化简的三角函数式与目标三角函数式之间的差异,并寻找它们之间的 联系,再利用三角公式进行恒等变换,使之相互转化,其常用方法有直推法、代入 法、换元法等.  化简三角函数式 三角函数式的化简是三角恒等变换的一个重要方面,其基本方法是统一角,统一三 角函数的名称.常用方法有:异名函数化为同名函数,异角化为同角,异次化为同次, 弦切互化,特殊角的三角函数与特殊值的互化等.在具体实施过程中,应着重抓住 “角”的统一.通过观察角、函数名、项的次数等,找到突破口,利用切化弦、升 幂、降幂、逆用公式等手段将其化简.化简的结果应满足以下几点:①能求值尽量 求值;②函数名称尽量少;③项数尽量少;④次数尽量低;⑤分母、根号下尽量不含 三角函数. 第五章 三角函数    　　(1)求证: = ; (2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos A= ,求证: = . 思路点拨 (1)先将原式转化,左右统一名称,然后左右归一证明. (2)由tan2 = ,得tan2 = ,tan2 = ,因此所证结论等价于:  = ,由条件分别计算1-cos A,1+cos A即可得到结论. 证明    (1)原式变形为1+sin 4θ-cos 4θ=tan 2θ(1+sin 4θ+cos 4θ),(*) 而(*)式右边=tan 2θ(1+cos 4θ+sin 4θ) = (2cos22θ+2sin 2θcos 2θ) 第五章 三角函数 =2sin 2θcos 2θ+2sin22θ =sin 4θ+1-cos 4θ=左边, 所以(*)式成立,即原等式得证. (2)因为cos A= , 所以1-cos A= , 1+cos A= , 因此 = , 而 = =tan2 , = =tan2 , 所以tan2 = ·tan2 ,即 = . 第五章 三角函数 化简: . 思路点拨 从角的角度考虑到 +x与 -x互余,从函数名称的角度考虑到切化弦,从运算的角度 考虑到降次、消项和逆用公式;综合考虑这些因素逐步运用公式,达到化简的目的. 解析    原式=  = = = cos 2x. 第五章 三角函数 　　如图,制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形, 由对称性知,图中8个三角形是全等三角形,设∠AA1H1=α.   辅助角公式的运用 第五章 三角函数 问题 1.你能用α表示线段A1H1吗? 提示:由题意可得AA1+A1H1+AH1=A1H1cos α+A1H1+A1H1sin α=4,所以A1H1=  ,α∈ . 2.如何求A1H1的最值? 提示:先利用辅助角公式把分母化为同一个角的三角函数,再求解. 第五章 三角函数 1.(1)公式形式:asin α+bcos α= sin(α+φ) 或asin α+ bcos α= ·cos(α-φ) tan φ= ,a,b不同时为零 .将形如asin α+bcos α(a,b不同时 为零)的三角函数式转化为同一个角的三角函数式. (2)形式选择:化为正弦还是余弦,要看具体条件而定,一般要求变形后角α的系数为 正,这样更有利于研究函数的性质. 2.应用三角函数解决实际问题的关键是合理引入辅助角,确定各量之间的关系,将 实际问题转化为三角函数问题,再利用三角函数的有关知识求解. 3.在求解过程中,要注意三点:①充分借助平面几何性质,寻找数量关系.②注意实际 问题中变量的取值范围.③重视三角函数有界性的影响. 第五章 三角函数    已知函数f(x)= sin +2sin2 (x∈R). (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)求使函数f(x)取得最大值时x的集合. 思路点拨 先利用三角恒等变换将原函数化为f(x)=Asin(ωx+φ)+B的形式,再根据三角函数的 性质求解. 解析    (1)∵f(x)= sin 2x-  +2sin2  = sin +1-cos  =2 +1 第五章 三角函数 =2sin +1 =2sin +1, ∴f(x)的最小正周期为T= =π. (2)当f(x)取得最大值时,sin =1, 则2x- =2kπ+ (k∈Z), 即x=kπ+ (k∈Z), ∴所求x的集合为 . 第五章 三角函数 $