5.5.2　简单的三角恒等变换(二) 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦简单三角恒等变换的应用，通过复习辅助角公式导入，衔接前期变换基础，以几何图形（如长方形、扇形）和实际场景（足球射门）为载体，构建从公式到应用的学习支架。 其亮点在于突出数学抽象（角参数建模）、数学运算（三角函数化简求最值）与直观想象（几何图形分析），通过典例推导、解题有招总结及即学即练，帮助学生掌握建模方法，教师可直接用于教学，提升学生应用能力和课堂效率。

5.5.2　简单的三角恒等变换(二) 【学习目标】 1.能利用三角恒等变换解决几何中的问题.(数学抽象、直观想象) 2.能利用三角恒等变换解决生活中的实际问题.(数学抽象、数学运算) 类型1 三角恒等变换在几何中的应用(数学抽象) 【典例1】如图,在长方形ABCD中,AB=4,AD=8,Rt△MPN的直角顶点P为AD的中点,点M,N分别在边AB,CD上,令∠DPN=θ(≤θ≤). (1)当tan θ=时,求梯形BCNM的面积S; (2)求△MPN的周长l的最小值,并求此时角θ的值. 【解析】(1)DN=DPtan θ=4×=2, 因为∠DPN=∠PMA=θ,所以tan ∠PMA=,则有AM=4×, NC=2,MB=,故S=(2+)×8×, (2)由(1)可知,PN=,PM=, 则MN=4=4=. l=++=4(), sin θ+cos θ=sin (θ+),因为θ+∈[,],所以sin (θ+)∈[,1], 令sin θ+cos θ=t∈[,],则sin θcos θ=(t2-1),即l=, 当t=,即θ=时,lmin==8(+1). 【解题有招】 关于恒等变换在几何中的应用 1.三角函数与平面几何有着密切联系,几何中的角度、长度、面积等问题,常借助三角变换来解决;实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上,故常用三角恒等变换的方法解决实际的优化问题. 2.解决此类问题的关键是引进角为参数,列出三角函数式. 【即学即练】 (2025·哈尔滨高二检测)如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为的扇形.C是扇形弧上的动点,四边形ABCD是扇形的内接平行四边形,求四边形ABCD的面积最大值. 【解析】如图,作DE⊥OP于点E,作CF⊥OP于点F,连接OC,则矩形EFCD的面积等于平行四边形ABCD的面积, 设∠COP=θ,则DE=CF=sin θ,OF=cos θ, 在Rt△ODE中,∠DOE=,OE=, 所以EF=OF-OE=cos θ-,所以矩形EFCD的面积为EF·FC =(cos θ-)sin θ=(sin θcos θ-sin2θ)=(sin 2θ+cos 2θ-) =[sin(2θ+)-],因为0<θ<,所以<2θ+<,当2θ+,即θ=时, 矩形EFCD的面积最大值为,所以平行四边形ABCD的面积最大值为. 类型2 恒等变换在实际问题中的应用(数学抽象) 【典例2】(2025·大连高一检测)如图,已知足球比赛的球门宽度AB大约为7米,D在场地的底线上,距离点B 5米,CD与底线垂直,CD长为15米,若在训练中,球员从点C开始带球沿直线CD向点D奔跑并选择一点P处射门,要想获得最大的射门角度(∠APB),求他需要带球的距离CP.(参考数据:≈3.9) 【解析】设PD=x,x∈(0,15),tan∠APD=,同理可得tan∠BPD=,则tan∠APB=tan(∠APD-∠BPD)=≤,当且仅当x=,即x=2时等号成立,此时CP=15-2≈15-2×3.9=7.2(米). 【解题有招】 关于恒等变换在实际问题中的应用 (1)理解题意,作出实际问题涉及的图形,或将条件转化为图形中的条件; (2)合理引入辅助角α,确定各量之间的关系,将实际问题表示成关于角α的三角函数问题,最后利用恒等变换结合函数知识解题. 【即学即练】 (2025·上海高一检测)如图,把一段直径20厘米的圆柱形木料截成横截面为矩形的木料,怎样锯才能使横截面的面积最大? 【解析】如图,设∠DAC=θ∈(0,),则|CD|=20sin θ,|AD|=20cos θ, S四边形ABCD=20sin θ·20cos θ=400sin θcos θ=200sin 2θ. 故当2θ=,即θ=时,横截面的面积最大,最大面积为200平方厘米. 即截面为正方形的时截面面积最大,最大面积为200平方厘米. 教材深一度 辅助角公式 (链接教材P227例9) 辅助角公式:一般地,对于y=asin x±bcos x,可以进行合并转化为y=sin(x±φ),tan φ=的形式. 操作步骤如下: 第一步:提常数,提出,得到(sin x±cos x); 第二步:定角度,确定一个角φ满足cos φ=,sin φ=, 得到(cos φsin x±sin φcos x); 第三步:化简、逆用公式得asin x±bcos x=sin(x±φ),其中tan φ=. 【典例3】(1)y=sin x+cos x的最小正周期为(　　) A.2π B.π C. D.3π 【解析】选A.y=sin x+cos x=sin xcos+cos xsin=sin(x+),所以最小正周期为2π. √ (2)已知sin(+α)=,则cos α+sin α的值为　　　　.  【解析】cos α+sin α=2(sin α·+cos α·) =2(sin αcos+cos αsin)=2sin(α+)=2×. 答案: $