5.5.2 简单的三角恒等变换课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“简单的三角恒等变换”，涵盖半角公式、积化和差与和差化积公式及万能公式，通过二倍角公式推导半角公式建立知识脉络，以基础、中档、拔高分层训练为学习支架。 其特色在于含思维导图梳理知识，“无字证明”等实例培养数学思维与推理能力，分层练习对接高考。学生能提升三角运算与逻辑推理能力，教师可实现一体化教学，提高教学效率。

高一数学●2024人教A版必修一 第五章 三角函数 本节理解简单三角恒等变换的思路，能合理选用和差、二倍角公式进行式子化简、求值与证明；体会角与式子结构的转化思想，提升三角运算与逻辑推理能力 5.5.2 简单的三角恒等变换 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括48张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 3 理知识丨知识详解 知识点1 半角公式 1 半角公式 ， , . 上述三个式子称为半角公式，符号由 所在象限决定. （半角公式不要求记忆，但要掌握推导过程） 4 因为 是的二倍角，则， ，从而 ， ，两个等式的左右两边分别相除，得 . 所以，， . 特别提醒 1.对于和,,但是使用时，要保证 . 2.半角公式根号前符号的确定 第一象限 第一、三象限 ， ， 第二象限 第一、三象限 ， ， 第三象限 第二、四象限 ， ， - 第四象限 第二、四象限 ， ， - 3.当给出 的范围时，可先确定 的范围，再确定函数值的符号；若没有给出确定符 号的条件，则要在根号前保留正负两个符号. 6 2 半角正切公式的有理形式 证明： , 对应半角的正切公式，我们称之为半角正切公式 的有理形式. 7 图5.5.2-1 例1 “无字证明”就是将数学命题用简单、有创意而且易于 理解的几何图形来呈现.请观察图5.5.2-1，根据半圆中所给 出的量，补全三角恒等式 .第一个括号 为___________，第二个括号为___________. 【解析】在直角三角形 中， , . 在直角三角形 中， ， 在直角三角形 中， . 8 本题也就是半角正切公式的有理形式的“无字证明”. 9 知识点2 积化和差与和差化积公式 1 积化和差公式 ; ; ; . 10 2 和差化积公式 ; ; ; . 11 例2（1） _ _; 【解析】 （差化积.） . （2） _ ___. 【解析】（和化积. ）（积化和.） . 12 知识点3 万能公式拓展点 ; ; . 由上可知，只要求出某一个角的半角的正切值，就可以求出该角的任一个三角函数 值，因此以上公式称为万能公式（在公式有意义的前提下使用）. 13 例 3 已知，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 ， ， ． 14 方法帮丨解题突破 题型1 三角恒等变换的简单应用 类型1 化简 例4 化简： （1） ； 【解析】原式 （积化差.） （积化差.） ． 15 （2） . 【解析】原式 （和化积） . 16 17 解题通法 化简三角函数式的基本思路 1.三角函数式化简的“三看”与“三化”： （化简的关键：审题时“三看”;解题时“三化”，即化异为同） （1）看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角合理拆分，即 通过角的变换，将“异角”化“同角”. （2）看“名称”，看函数名称之间的差异，从而确定要使用的公式，将“异名”化“同 名”，常见的有“切化弦”. （3）看“次数”，分析结构特征，特别是次数，通过“降幂”或“升幂”公式等，将“异次” 化“同次”. 18 2.化简的要求：（1）能求出值的应求出值；（2）尽量使三角函数种数最少；（3）尽量 使项数最少；（4）尽量使分母不含三角函数；（5）尽量使被开方数不含三角函数． 19 类型2 求值 例5 已知,则 _________. 或 20 【解析】方法1：因为，所以 . 由，可得 ， （【易错点】本题在利用半角 公式求 的值时，一定要对角的范围进行确定）， 则 ，，所以 . ，将代入可得或 . 方法2：因为,所以 . 若,则（半角正切公式的有理形式） ; 若,则 . 21 在已知 的某个三角函数值求 时，直接运用 可回避运用公式时对“ ”的取舍问题. 22 例6 已知 为钝角， 为锐角，且,,求与 的值. 23 【解析】因为 为钝角， 为锐角，,,所以, . 所以 . 因为 ,且 , 所以 ,即 （注意半角范围）， 所以 . 方法1： . 方法2：由 , 24 得 , 所以 . 方法3：由 , , 得 . 所以 . 解题通法 三角函数求值问题的解题思路 ①给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数约分或相消，从 而化为特殊角的三角函数． ②给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算及函数的差异，一般可以 适当变换已知式，求得对应的函数式的值，以备应用；同时也要注意变换欲求式， 便于将已知式对应的函数值代入，从而达到解题的目的． ③给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数值（一般与特殊角对应），再结合 该角所在区间上三角函数的图象确定符合题意的角的个数，从而达到解题的目的． 26 练变式1 (2026·河北省定州中学期中)已知 ,，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】 （积化和差公式） . 27 类型3 证明 例7 求证： . 【解析】左边 右边. （利用半角正切公式的有理形式化切为弦.） 28 例8 已知, ,求证： . 给什么得什么 条件式为和式，考虑和差化积公式，出现, ，再利用万能公 式化简. 求什么想什么 所证式为平方形式，欲用条件式，必须通过降幂公式进行降次. 差什么找什么 所证式降次，出现,,,利用和差化积，出现, . 29 【解析】由已知，得 ①, ②. 利用和差化积公式，得 ③, ④. 当时， ，不满足题意, . ,得 . . ,得 , 即 , （和化积） . 解题通法 证明三角恒等式的基本思路 证明三角恒等式的方法主要有以下几种. 执因索果：一般是化繁为简，不断简化复杂的式子（从左证到右或从右证到左）； 左右归一：证明左右两边都等于同一个式子； 变更命题：证明“左边-右边”或“（右边 ）”. 32 选取适当的证明方法后，还应注意以下几点： （1）强化“目标意识”，就是在证明过程中，应盯住目标，逐步向它靠拢； （2）强化“化异为同”的意识，即化异角为同角，化异名为同名，化异次为同次，这 就需要找到待化简的三角函数式与目标函数式之间的差异，并寻找它们之间的联系， 再利用三角公式进行恒等变换，使之相互转化，其常用方法有直推法、代入法、换 元法等. 33 题型2 三角恒等变换在三角形中的应用 例9 已知在中，，求证： 是直角三角形. 34 【解析】 在中， ， . 利用和差化积公式，得 , （由二倍角公式可得： ） ， 显然,故 . 35 方法1：即（加绝对值是为了将和 归为同一单 调区间）， 由于，,因此, ， 所以 ， 显然.（否则 ） 当时，, ; 当时，, . 故 为直角三角形. 方法2：即 , 所以 ， 即 , 所以或 , 即或 ， 又，,所以， , 故或 . 故或（显然,否则 ）. 故 为直角三角形. 练习帮丨分层巩固 1.(2026·青海省西宁市模拟)已知 ，且 ，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】由题得 ， 又 ，所以是锐角，所以 ． 38 2.若, ,则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】因为 ,所以.因为 ,所以 ,，所以, ， 所以.所以 . 39 3.在中，若 ,则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 【解析】 .（积化差） , . 即的取值范围为 . 40 4.［多选题，教材改编P230 T19］ 如图5.5.2-1，已知 ， 两点在单位圆上，且都在第一象限，点是线段 的中点， 点是射线与单位圆 的交点，则( ) ABD 图5.5.2-1 A. B. C. D. 41 【解析】不妨设 , 对于选项A， ， （和化积）即选项A正确； 对于选项B， ，即选项B正确； 对于选项C，由题意可得，则 ，即选项C错误； 对于选项D， ，（和化积） 即，即选项D正确.故选 ． 42 5.已知等腰三角形的顶角的正弦值为 ,则它的底角的余弦值为_ _________. 或 【解析】设等腰三角形的顶角为 ,则底角为,由题意可知 ,所以 , 所以,（符号由所在象限决定， ， ，在第一象限） 所以或 . 43 6.化简： ______. 【解析】原式 .（半角正切公式的有理形式） 7.(2026·上海市上海中学月考)已知,则 ____． 11 【解析】因为 , ， , 所以 . 44 8.已知，，是的三个内角， ,若任意交换两个角的 位置， 的值是否变化？证明你的结论. 45 【答案】任意交换两个角的位置， 的值不变，证明如下. ，，是的三个内角， , , . 故任意交换两个角的位置， 的值不变. 46 9.在中，求证： . 【答案】左边 右边. 故原等式成立. 47 10.已知,求 的值. 【答案】由题意知， .令 , 则 , 由倍角公式和积化和差公式可知, , 化简可得，则 . 48 $