第30讲 斜面多过程 等时圆 讲义-2027届高三物理一轮复习

第30讲 斜面多过程+等时圆 【基础回顾】 一、斜面上的多过程问题概述 1．斜面上的多过程问题指物体沿斜面经历「匀加速—匀速—匀减速」或两个不同阶段的运动，各阶段靠「衔接点的速度、位移、时间」联系。 2．处理多过程问题的核心方法是「分段分析、找衔接量」：把全过程拆成若干性质单一的运动阶段，逐段列动力学与运动学方程，再以衔接点的共同量联立。 3．衔接量通常是：相邻两段在衔接点的速度相等（）、位移满足 、时间满足 。 二、斜面上的匀加速阶段 1．物体沿光滑斜面下滑：合力 ，加速度 ，初速为零时 、。 2．物体沿粗糙斜面下滑：合力 ，加速度 （需 才能下滑）。 3．物体沿粗糙斜面上滑：合力沿斜面向下 ，加速度 ，做匀减速直到速度减为零。 4．上滑到最高点后是否下滑：若 则反向加速下滑；若 则静止在最高点（最大静摩擦足以平衡重力分力）。 三、斜面上的匀速阶段 1．匀速条件：沿斜面方向合力为零。常见情形有：①光滑斜面上加沿斜面向上的恒力 ；②粗糙斜面上拉力恰平衡重力分力与摩擦。 2．受沿斜面向上的拉力 匀速上滑时，；匀速下滑时 （拉力向上、摩擦向上）。 3．匀速阶段速度恒定，位移 ，时间由剩余路程与速度决定，常作为多过程中「衔接中间段」。 四、斜面上的匀减速阶段（含往返） 1．上滑减速：加速度大小 ，到最高点时间 ，上滑位移 。 2．下滑加速：从最高点返回，加速度 ，下滑时间 ；一般 （回来更慢）。 3．往返总时间 ；若斜面足够长且 ，物体最终以恒定加速度 一直向下运动。 4．易错点：上滑与下滑的加速度大小不同（摩擦方向改变），不能把两段当成同一匀变速处理；位移方向要统一取沿斜面向下为正。 五、多过程问题的解题步骤 1．画运动过程示意图，标出各阶段受力、方向、加速度，明确每一段是加速、匀速还是减速。 2．对每一段独立列牛顿第二定律求加速度，再列运动学公式，注意各段初末速度的衔接。 3．以「衔接点速度相等、位移相加、时间相加」为约束联立求解未知量（如摩擦因数、拉力、各段时间）。 4．结果检验：速度、位移、时间的符号与方向是否合理，是否存在「最高点速度为零后反向」等转折。 六、等时圆模型（结论） 1．等时圆（又称「沿弦下滑等时圆」）：竖直圆内，从圆周上任意一点由静止沿光滑弦滑到最低点 B，所用时间相等，与出发点和弦的位置无关。 2．更一般结论：从圆周最高点沿任意弦由静止滑到圆周上另一点，时间也相等；即同一竖直圆中，所有起点到终点的「弦下滑」时间相同（起点、终点固定在同一圆上 ）。 3．具体时间值：设圆半径为 ，从圆上一点沿弦滑到最低点 B 的时间均为 。 七、等时圆的证明 1．设弦与竖直方向夹角为 （或弦与竖直直径夹角），弦长 ，沿弦加速度 。 2．由 得 ，约去 得 ，故 ，与 无关。 3．该证明表明：只要是同一竖直圆、从圆上周点静止沿光滑弦到最低点，时间恒为 ，这就是等时性的来源。 八、等时圆的推广与应用 1．若两光滑弦的端点位于同一竖直圆上且都通向最低点（或同终点），比较下滑时间只需比较是否「等时圆」结构，不必逐段算。 2．在斜面上比较物体从顶端滑到底端的时间，可借助等时圆思想：把不同倾角、长度的斜面归入同一圆，等时圆内弦最短时间相同、圆外弦更长则时间更久。 3．底端速度关系：由机械能守恒，从高度差 处静止滑下到底端速度 ；等时圆中各弦对应的竖直高度不同，故末速度并不相等，相等的只是时间。 4．「等时圆」与「最速降线」区别：等时圆是同一圆内不同弦下滑时间相等；最速降线（摆线）是两点间下滑时间最短的曲线，二者不要混淆。 九、斜面多过程常见模型、易错与综合提升 1．模型一「上滑—下滑往返」：先以 减速到最高点，再以 加速返回；往返位移代数和为零、路程不为零。 2．模型二「外力作用下的分段」：先受沿斜面拉力做匀加速，撤去拉力后在摩擦下匀减速，衔接点速度为撤力瞬时速度，撤力后加速度突变。 3．模型三「含匀速输送段」：先加速到速度 后保持匀速通过斜面平台，再减速停下，三段拼接，匀速段 。 4．模型四「斜面+水平面衔接」：物体滑到斜面底进入水平面，衔接点速度连续，水平段加速度 ，可继续减速直到停止。 5．衔接点速度是联立多段的关键：前段末速等于后段初速；遇折返点或最高点则该速度为 ；列方程须统一正方向。 6．位移关系：（取同一正方向代数和）；往返时部分段位移为负，总位移是代数和，路程则是绝对值之和。 7．时间关系： 恒成立，时间不能抵消；求平均速率用总路程除以总时间。 8．摩擦因数 未知时，常以「恰能到达」「恰好不下滑」「共速」等临界条件建方程，结合 与 求解。 9．往返总时间公式：上滑时间 ，上滑位移 ，下滑时间 。 10．等时圆与斜面多过程结合：比较从不同高度沿光滑斜面滑到同一点（或同圆最低点）的时间，可先用等时圆快速判断，再用动力学精确计算验证。 11．易错一：上下滑加速度不等却用同一数值，导致时间与位移都算错；务必区分 与 。 12．易错二：把路程当位移代入 ；动能定理、运动学公式中的 是对地位移（代数），生热中的 才是相对位移。 13．易错三：忘记最高点后可能静止（当 时停在最高点），误以为一定返回；是否返回取决于 与 的大小。 14．易错四：多段正方向不统一，造成衔接速度符号相反；建议全程取沿斜面向下为正，上滑速度记为负。 15．易错五：漏算匀速段或折返段，把「三段式」误当「两段式」，使总时间、总位移出现偏差。 16．一轮复习建议：先练两段式（加速+减速、上滑+下滑），再练三段式（加速+匀速+减速），最后综合临界与往返，建立「分段—找衔接量」的解题习惯。 题型一 斜面上的多过程问题（匀加速—匀速—匀减速的衔接） 1．分段建模：把运动拆成性质单一的阶段，例如「上滑减速—最高点—下滑加速」或「加速—匀速—减速」三段，每段单独对待。 2．衔接速度：前一段末速度等于后一段初速度，若遇最高点则衔接速度为零；用 在各段内联系速度与位移。 3．上滑与下滑加速度不同：上滑 ，下滑 ，注意摩擦反向导致大小不等。 4．含匀速段的情形：当某段合力为零时速度不变，匀速段时长 ，常作为中间过渡，整体时间等于各段之和。 5．已知总时间求摩擦因数：列 与位移 ，联立解 ；注意判别式保证 才下滑。 6．易错归纳：误把上滑与下滑当成同一加速度；忽略最高点速度为反向衔接的零点；位移方向不统一致符号错误；忘记「静摩擦能否维持静止」的判断。 【例题精讲】 【例1】（2026·湖南郴州·模拟预测）某景区山地滑道由两段平滑衔接的倾斜直滑道AB、BC组成，两段滑道材质相同、粗糙程度一致。如图所示，游客（含滑具，视为质点）从A点由静止开始 下滑，在倾角为θ1的AB段匀加速下滑，在倾角为θ2的BC段匀减速下滑，恰好静止在终点C。已知AB段滑道的长度为L，BC段滑道的长度为2L，滑具与滑道间的动摩擦因数，不计空气阻力，不计滑道衔接处的机械能损失，下列说法正确的是（     ） A．游客在AB段加速下滑的条件为θ1＞45° B．若减小滑具与滑道间的动摩擦因数，则游客一定可以滑至C点且速度不为零 C．θ1+θ2=60° D．游客从A点到B点的运动时间与从B点到C点的运动时间之比为1∶3 【答案】B 【详解】A．以游客和滑具为研究对象，沿滑道向下运动时所受各力的方向如图所示 取沿滑道向下为正方向，垂直于段滑道的方向受力平衡，有 沿段滑道由牛顿第二定律得 由及题给动摩擦因数，得 所以加速条件为，故A错误； B．原运动从点到点始末均静止，衔接处无机械能损失，由动能定理得 把摩擦因数减小为后，重力做功不变，总功变为 此时由动能定理得，故B正确； C．把代入原运动的动能定理式，整理得 若，则 代入原运动的关系式得 这与段加速所需的矛盾，故C错误； D．设游客在点的速度为。两段均做匀变速直线运动，每段的初、末速度分别为和，故两段平均速率均为 由路程和平均速率的关系，分别有， 时间之比为，故D错误。 故选B。 【例2】（2026·陕西·模拟预测）（多选）某景区山地滑道由两段平滑衔接的倾斜直滑道、组成，两段滑道材质相同、粗糙程度一致。如图所示，游客（含滑具，视为质点）从A点由静止开始无初速下滑，在倾角为的段匀加速下滑，在倾角为的段匀减速下滑，恰好静止在终点C。已知段滑道的长度为L，段滑道的长度为，滑具与滑道间的动摩擦因数，不计空气阻力，不计滑道衔接处的机械能损失，下列说法正确的是（     ） A．游客在段加速下滑的条件为 B．若减小滑具与滑道间的动摩擦因数，则游客一定可以滑至C点且速度不为零 C． D．游客从A点到B点的运动时间与从B点到C点的运动时间之比为 【答案】BD 【详解】A．设游客（含滑具）的质量为m，在段、段的加速度大小分别为、，在B点的速度大小为。对游客受力分析，由牛顿第二定律有， 游客在段加速下滑需满足，即 可得，故A错误； B．若滑具与滑道间的动摩擦因数减小，游客在段的加速度增大，到B点时的速度变大；游客在段减速时的加速度减小，可完整滑完长度为的滑道到达C点，且到达C点时的速度不为零，故B正确； C．游客在段由静止做匀加速直线运动，有 游客在段以加速度大小做匀减速运动至静止，有 解得 由，化简后有 若，则 代入上式可得 解得、，与游客在段加速、在段减速矛盾，故C错误； D．游客在段、段运动的平均速度大小均为 而位移大小之比 由 解得运动时间之比，故D正确。 故选BD。 【变式训练1】（26-27高三上·辽宁·开学考试）如图所示为倾角为、足够长的粗糙直滑道，一滑块从滑道底端以初速度 沿斜面向上滑动，其加速度大小为，经过 该滑块的位移大小可能为（     ） A．10 m B．11 m C．12 m D．50 m 【答案】B 【详解】滑块刚好减速到零时，用时 此时向上滑行的位移 若此后滑块与滑道间的动摩擦因数 滑块将静止不动，则时间内的位移为 若滑块与滑道间的动摩擦因数 ，滑块速度减到零后再沿滑道下滑的时间 此时下滑的位移大小 由力学知识可知 则 此种情况下滑块的位移为 联立可知，滑块运动的位移范围为 故选B。 【变式训练2】（26-27高三上·湖北随州·阶段检测）（多选）如图甲所示，传送带使用简便，有效节省人力物力，在农业、工矿企业和交通运输业中应用广泛，简化示意图如图乙所示，传送带与水平面间的夹角为，A、B间距为。传送带静止时，将质量的小包裹（可视为质点）从A点静止释放，经时间运动到B点。取重力加速度，，。若传送带以的速度沿逆时针方向匀速转动，仍将该包裹从A点静止释放，在包裹从A点运动到B点过程中（     ） A．与传送带之间的动摩擦因数为0.25 B．刚放上传送带时的加速度大小为 C．从A点运动到B点的时间为1.05s D．运动到B点时的速度大小为6m/s 【答案】BD 【详解】A．传送带静止时，包裹沿斜面向下做匀变速直线运动。由匀变速直线运动的位移公式得，代入，，解得 取沿斜面向下为正方向，由牛顿第二定律得 解得，故A错误； B．传送带沿斜面向下运动，包裹刚放上传送带时受到沿斜面向下的滑动摩擦力。取沿斜面向下为正方向，由牛顿第二定律得 由上式代入数值得，故B正确； CD．包裹先由静止加速到传送带速度，由速度公式得，所以 这段时间内包裹的位移为 之后包裹速度超过传送带速度，滑动摩擦力改为沿斜面向上。沿斜面向下的动力学方程为 解得加速度大小为 第二阶段的位移满足 解得，到达终点时的速度满足 代入得，总时间为，故C错误，D正确。 故选BD。 【变式训练3】（26-27高三上·黑龙江佳木斯·阶段检测）（多选）如图甲所示，倾斜传送带沿逆时针方向以恒定的速度转动。t=0时刻，将一碳包轻放在顶端A点，碳包沿传送带向下滑动，经过0.6s碳包滑到传送带的底端B，整个过程，碳包的速度随时间变化的规律如图乙所示，碳包可视为质点，取重力加速度大小g=10m/s2，sin37°=0.6。下列说法正确的是（     ） A．传送带的倾角α=30° B．传送带的速度v=3.2m/s C．碳包与传送带间的动摩擦因数为0.25 D．碳包在传送带上留下的痕迹长度为0.32m 【答案】CD 【详解】A．取沿传送带向下为正方向。由图像，碳包在前内的加速度满足 前一阶段加速度计算为 后内的加速度满足 后一阶段加速度计算为 前一阶段碳包速度小于传送带速度，滑动摩擦力沿斜面向下；后一阶段碳包速度大于传送带速度，滑动摩擦力沿斜面向上。对碳包沿斜面方向列牛顿第二定律，前一阶段满足 后一阶段满足 两式相加得 所以，从而，故A错误； B．两者速度相等的转折时刻为，此时碳包与传送带速度均为，故传送带速度为， 故B错误； C．由图像得，。两阶段动力学方程相减得 代入 整理得，故C正确； D．以传送带为参考系，前内相对速度由变为，相对位移为；后内相对速度由变为，相对位移增加，故末位置为。痕迹长度为，故D正确。 故选CD。 题型二 等时圆模型（结论、证明、应用） 1．识记结论：同一竖直光滑圆内，从圆周上任意点静止沿弦滑到最低点（或固定终点）的时间均为 ，与弦位置无关。 2．证明要点：弦长 、沿弦加速度 ，代入 约去 即得时间恒定，这是选择题快速判断的依据。 3．应用一（比较时间）：若干光滑斜面端点共圆且通最低点，下滑时间相等；若某斜面端点在圆外，则时间更长，可用等时圆直接比较无需计算。 4．应用二（构造圆）：已知起点与终点，可尝试作过这两点的竖直圆，若中间路径可视为该圆的弦，则时间可直接套 比较。 5．底端速度并不相等：等时只代表时间相等，由 知末速度取决于竖直高度差 ，不同弦 不同故末速度一般不同，勿将「等时」误推为「等速」。 6．与机械能守恒联用：沿光滑弦下滑满足 ，既可用等时圆求时间，又可用能量求末速，二者互补。 7．易错提醒：等时圆要求「从静止开始、弦光滑、初末点在同一个竖直圆上」；若初速不为零或轨道有摩擦，则不再等时，须逐段用动力学处理。 8．最速降线辨析：等时圆是「同圆不同弦时间相等」，不是「时间最短」；两点间最快下滑路径是摆线，命题常借此设置干扰选项。 【例题精讲】 【例1】（2026·辽宁沈阳·一模）如图所示，圆环固定在竖直平面内，甲、乙两光滑轨道固定在圆环上，两轨道的最高点重合。甲过圆环最低点P、乙过圆心O且与竖直方向夹角为37°。将同一小球分别从甲、乙两轨道的最高点由静止释放。已知cos37°=0.8，小球沿甲、乙轨道运动的时间之比为（　　） A．1:1 B． C．2:3 D．4:3 【答案】B 【详解】设圆环的半径为R，由等时圆模型特点可知，小球在甲轨道上的运动时间等于小球自由下落圆环直径长度所用的时间，则 所以 小球在乙轨道上的位移为2R，加速度为 根据匀变速直线运动规律可得 所以 则 故选B。 【例2】（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（多选）如图所示，为光滑竖直杆，为型光滑杆，、、三点位于一圆周上，正好是该圆的直径，套在杆上的小球自点由静止释放运动到点（图中小球未画出；处为极短的圆弧，只改变小球的速度方向），沿杆运动的时间为，沿杆运动的时间为，则的值可能为（     ） A．0.9 B．1.5 C．2.1 D．1.8 【答案】BD 【详解】小球沿杆运动时，初速度为零，位移为，加速度为，因此 解得 设。小球沿运动时，重力沿杆方向的分力为 因此小球沿方向的加速度为 由，得 小球从点由静止开始运动，沿的位移为，所以 代入，得 解得 小球到达点时的速度由机械能守恒得 所以 小球经过处的极短圆弧时，只改变速度方向，不改变速度大小，因此进入段时的初速度仍为 设，小球沿方向的加速度为 由，得 沿方向列运动学方程 令 结合、以及，可得 因此 因为、、为圆周上不同的三点，所以。又因为 且 所以 故选BD。 【变式训练1】（25-26高三上·陕西咸阳·阶段检测）公园的滑梯高低不等，斜面的长度也不同，假设有三个滑道的某一滑梯模型如图所示，三个滑道的最高点A、B、C和最低点D是在竖直面内的同一圆上，可视为质点的小孩从三个滑道的最高点A、B、C沿滑道由静止开始滑到最低点D，所用的时间分别为、、，不计空气阻力，滑道光滑（即忽略滑梯摩擦的影响），则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示 设任意一条光滑滑道倾角为，圆半径为R，小孩从最高点由静止滑到最低点D，可得加速度 位移，由匀变速直线运动规律有 得下滑时间 即与倾角无关，等于沿竖直直径自由下落的时间，故 故选B。 【变式训练2】（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）如图所示，虚线EF为圆O的竖直直径，PA、PB、PC为三个光滑直杆分别与圆相交于A、B、C、P四点。现让小环套在光滑杆上分别沿着PA、PB、PC杆自P点由静止滑到A、B、C点，用tA、tB、tC分别表示小环沿三根杆下滑的时间，则（　　） A．tA=tB=tC B．tA<tB<tC C．tA>tB>tC D．无法判断tA、tB、tC的大小关系 【答案】C 【详解】设某光滑直杆与水平方向的夹角为α（），圆的直径为d，作出相应的辅助线及标出相应的角度，如图所示 θ为过P点的直径PQ与竖直直径EF的夹角，物体沿光滑杆做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为 位移为 故运动时间 由此可知，α越大，t越小，所以 故选C。 【变式训练3】（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）竖直面内有一半径为R的光滑圆弧轨道AB，其对应的圆心角为10°，A、B两点等高，CD为竖直直径。在A、D两点间固定光滑直斜面，直斜面在D处与光滑圆弧轨道DB平滑相接，将一小球由A点静止释放沿直斜面AD下滑，小球可视为质点，则下列说法正确的是（     ） A．小球从A到D的时间等于从D到B的时间 B．小球从A到D的时间大于从D到B的时间 C．由题中数据可以求得小球在DB圆弧轨道上通过D点时对轨道的压力 D．若将两个小球分别从A、C两点同时由静止释放，它们会同时到达D点 【答案】BD 【详解】C．小球在DB圆弧轨道上从B到D点过程，根据动能定理可得 在D点根据牛顿第二定律可得 联立可得 由于不知道小球的质量，故不能求出小球通过D点时对轨道的压力，故C错误； D．小球从A点静止释放到D点过程，做匀加速直线运动，加速度大小为 根据运动学公式可得 解得 小球从C点静止释放到D点过程，做自由落体运动，则有 解得 可知 若将两个小球分别从A、C两点同时由静止释放，它们会同时到达D点，故D正确； AB．小球从D到B的过程，根据单摆周期公式可得所用时间为 可知 故小球从A到D的时间大于从D到B的时间，故A错误，B正确。 故选BD。 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第30讲 斜面多过程+等时圆 【基础回顾】 一、斜面上的多过程问题概述 1．斜面上的多过程问题指物体沿斜面经历「匀加速—匀速—匀减速」或两个不同阶段的运动，各阶段靠「衔接点的速度、位移、时间」联系。 2．处理多过程问题的核心方法是「分段分析、找衔接量」：把全过程拆成若干性质单一的运动阶段，逐段列动力学与运动学方程，再以衔接点的共同量联立。 3．衔接量通常是：相邻两段在衔接点的速度相等（）、位移满足 、时间满足 。 二、斜面上的匀加速阶段 1．物体沿光滑斜面下滑：合力 ，加速度 ，初速为零时 、。 2．物体沿粗糙斜面下滑：合力 ，加速度 （需 才能下滑）。 3．物体沿粗糙斜面上滑：合力沿斜面向下 ，加速度 ，做匀减速直到速度减为零。 4．上滑到最高点后是否下滑：若 则反向加速下滑；若 则静止在最高点（最大静摩擦足以平衡重力分力）。 三、斜面上的匀速阶段 1．匀速条件：沿斜面方向合力为零。常见情形有：①光滑斜面上加沿斜面向上的恒力 ；②粗糙斜面上拉力恰平衡重力分力与摩擦。 2．受沿斜面向上的拉力 匀速上滑时，；匀速下滑时 （拉力向上、摩擦向上）。 3．匀速阶段速度恒定，位移 ，时间由剩余路程与速度决定，常作为多过程中「衔接中间段」。 四、斜面上的匀减速阶段（含往返） 1．上滑减速：加速度大小 ，到最高点时间 ，上滑位移 。 2．下滑加速：从最高点返回，加速度 ，下滑时间 ；一般 （回来更慢）。 3．往返总时间 ；若斜面足够长且 ，物体最终以恒定加速度 一直向下运动。 4．易错点：上滑与下滑的加速度大小不同（摩擦方向改变），不能把两段当成同一匀变速处理；位移方向要统一取沿斜面向下为正。 五、多过程问题的解题步骤 1．画运动过程示意图，标出各阶段受力、方向、加速度，明确每一段是加速、匀速还是减速。 2．对每一段独立列牛顿第二定律求加速度，再列运动学公式，注意各段初末速度的衔接。 3．以「衔接点速度相等、位移相加、时间相加」为约束联立求解未知量（如摩擦因数、拉力、各段时间）。 4．结果检验：速度、位移、时间的符号与方向是否合理，是否存在「最高点速度为零后反向」等转折。 六、等时圆模型（结论） 1．等时圆（又称「沿弦下滑等时圆」）：竖直圆内，从圆周上任意一点由静止沿光滑弦滑到最低点 B，所用时间相等，与出发点和弦的位置无关。 2．更一般结论：从圆周最高点沿任意弦由静止滑到圆周上另一点，时间也相等；即同一竖直圆中，所有起点到终点的「弦下滑」时间相同（起点、终点固定在同一圆上）。 3．具体时间值：设圆半径为 ，从圆上一点沿弦滑到最低点 B 的时间均为 。 七、等时圆的证明 1．设弦与竖直方向夹角为 （或弦与竖直直径夹角），弦长 ，沿弦加速度 。 2．由 得 ，约去 得 ，故 ，与 无关。 3．该证明表明：只要是同一竖直圆、从圆上周点静止沿光滑弦到最低点，时间恒为 ，这就是等时性的来源。 八、等时圆的推广与应用 1．若两光滑弦的端点位于同一竖直圆上且都通向最低点（或同终点），比较下滑时间只需比较是否「等时圆」结构，不必逐段算。 2．在斜面上比较物体从顶端滑到底端的时间，可借助等时圆思想：把不同倾角、长度的斜面归入同一圆，等时圆内弦最短时间相同、圆外弦更长则时间更久。 3．底端速度关系：由机械能守恒，从高度差 处静止滑下到底端速度 ；等时圆中各弦对应的竖直高度不同，故末速度并不相等，相等的只是时间。 4．「等时圆」与「最速降线」区别：等时圆是同一圆内不同弦下滑时间相等；最速降线（摆线）是两点间下滑时间最短的曲线，二者不要混淆。 九、斜面多过程常见模型、易错与综合提升 1．模型一「上滑—下滑往返」：先以 减速到最高点，再以 加速返回；往返位移代数和为零、路程不为零。 2．模型二「外力作用下的分段」：先受沿斜面拉力做匀加速，撤去拉力后在摩擦下匀减速，衔接点速度为撤力瞬时速度，撤力后加速度突变。 3．模型三「含匀速输送段」：先加速到速度 后保持匀速通过斜面平台，再减速停下，三段拼接，匀速段 。 4．模型四「斜面+水平面衔接」：物体滑到斜面底进入水平面，衔接点速度连续，水平段加速度 ，可继续减速直到停止。 5．衔接点速度是联立多段的关键：前段末速等于后段初速；遇折返点或最高点则该速度为 ；列方程须统一正方向。 6．位移关系：（取同一正方向代数和）；往返时部分段位移为负，总位移是代数和，路程则是绝对值之和。 7．时间关系： 恒成立，时间不能抵消；求平均速率用总路程除以总时间。 8．摩擦因数 未知时，常以「恰能到达」「恰好不下滑」「共速」等临界条件建方程，结合 与 求解。 9．往返总时间公式：上滑时间 ，上滑位移 ，下滑时间 。 10．等时圆与斜面多过程结合：比较从不同高度沿光滑斜面滑到同一点（或同圆最低点）的时间，可先用等时圆快速判断，再用动力学精确计算验证。 11．易错一：上下滑加速度不等却用同一数值，导致时间与位移都算错；务必区分 与 。 12．易错二：把路程当位移代入 ；动能定理、运动学公式中的 是对地位移（代数），生热中的 才是相对位移。 13．易错三：忘记最高点后可能静止（当 时停在最高点），误以为一定返回；是否返回取决于 与 的大小。 14．易错四：多段正方向不统一，造成衔接速度符号相反；建议全程取沿斜面向下为正，上滑速度记为负。 15．易错五：漏算匀速段或折返段，把「三段式」误当「两段式」，使总时间、总位移出现偏差。 16．一轮复习建议：先练两段式（加速+减速、上滑+下滑），再练三段式（加速+匀速+减速），最后综合临界与往返，建立「分段—找衔接量」的解题习惯。 题型一 斜面上的多过程问题（匀加速—匀速—匀减速的衔接） 1．分段建模：把运动拆成性质单一的阶段，例如「上滑减速—最高点—下滑加速」或「加速—匀速—减速」三段，每段单独对待。 2．衔接速度：前一段末速度等于后一段初速度，若遇最高点则衔接速度为零；用 在各段内联系速度与位移。 3．上滑与下滑加速度不同：上滑 ，下滑 ，注意摩擦反向导致大小不等。 4．含匀速段的情形：当某段合力为零时速度不变，匀速段时长 ，常作为中间过渡，整体时间等于各段之和。 5．已知总时间求摩擦因数：列 与位移 ，联立解 ；注意判别式保证 才下滑。 6．易错归纳：误把上滑与下滑当成同一加速度；忽略最高点速度为反向衔接的零点；位移方向不统一致符号错误；忘记「静摩擦能否维持静止」的判断。 【例题精讲】 【例1】（2026·湖南郴州·模拟预测）某景区山地滑道由两段平滑衔接的倾斜直滑道AB、BC组成，两段滑道材质相同、粗糙程度一致。如图所示，游客（含滑具，视为质点）从A点由静止开始 下滑，在倾角为θ1的AB段匀加速下滑，在倾角为θ2的BC段匀减速下滑，恰好静止在终点C。已知AB段滑道的长度为L，BC段滑道的长度为2L，滑具与滑道间的动摩擦因数，不计空气阻力，不计滑道衔接处的机械能损失，下列说法正确的是（     ） A．游客在AB段加速下滑的条件为θ1＞45° B．若减小滑具与滑道间的动摩擦因数，则游客一定可以滑至C点且速度不为零 C．θ1+θ2=60° D．游客从A点到B点的运动时间与从B点到C点的运动时间之比为1∶3 【例2】（2026·陕西·模拟预测）（多选）某景区山地滑道由两段平滑衔接的倾斜直滑道、组成，两段滑道材质相同、粗糙程度一致。如图所示，游客（含滑具，视为质点）从A点由静止开始 下滑，在倾角为的段匀加速下滑，在倾角为的段匀减速下滑，恰好静止在终点C。已知段滑道的长度为L，段滑道的长度为，滑具与滑道间的动摩擦因数，不计空气阻力，不计滑道衔接处的机械能损失，下列说法正确的是（     ） A．游客在段加速下滑的条件为 B．若减小滑具与滑道间的动摩擦因数，则游客一定可以滑至C点且速度不为零 C． D．游客从A点到B点的运动时间与从B点到C点的运动时间之比为 【变式训练1】（26-27高三上·辽宁·开学考试）如图所示为倾角为、足够长的粗糙直滑道，一滑块从滑道底端以初速度 沿斜面向上滑动，其加速度大小为，经过 该滑块的位移大小可能为（     ） A．10 m B．11 m C．12 m D．50 m 【变式训练2】（26-27高三上·湖北随州·阶段检测）（多选）如图甲所示，传送带使用简便，有效节省人力物力，在农业、工矿企业和交通运输业中应用广泛，简化示意图如图乙所示，传送带与水平面间的夹角为，A、B间距为。传送带静止时，将质量的小包裹（可视为质点）从A点静止释放，经时间运动到B点。取重力加速度，，。若传送带以的速度沿逆时针方向匀速转动，仍将该包裹从A点静止释放，在包裹从A点运动到B点过程中（     ） A．与传送带之间的动摩擦因数为0.25 B．刚放上传送带时的加速度大小为 C．从A点运动到B点的时间为1.05s D．运动到B点时的速度大小为6m/s 【变式训练3】（26-27高三上·黑龙江佳木斯·阶段检测）（多选）如图甲所示，倾斜传送带沿逆时针方向以恒定的速度转动。t=0时刻，将一碳包轻放在顶端A点，碳包沿传送带向下滑动，经过0.6s碳包滑到传送带的底端B，整个过程，碳包的速度随时间变化的规律如图乙所示，碳包可视为质点，取重力加速度大小g=10m/s2，sin37°=0.6。下列说法正确的是（     ） A．传送带的倾角α=30° B．传送带的速度v=3.2m/s C．碳包与传送带间的动摩擦因数为0.25 D．碳包在传送带上留下的痕迹长度为0.32m 题型二 等时圆模型（结论、证明、应用） 1．识记结论：同一竖直光滑圆内，从圆周上任意点静止沿弦滑到最低点（或固定终点）的时间均为 ，与弦位置无关。 2．证明要点：弦长 、沿弦加速度 ，代入 约去 即得时间恒定，这是选择题快速判断的依据。 3．应用一（比较时间）：若干光滑斜面端点共圆且通最低点，下滑时间相等；若某斜面端点在圆外，则时间更长，可用等时圆直接比较无需计算。 4．应用二（构造圆）：已知起点与终点，可尝试作过这两点的竖直圆，若中间路径可视为该圆的弦，则时间可直接套 比较。 5．底端速度并不相等：等时只代表时间相等，由 知末速度取决于竖直高度差 ，不同弦 不同故末速度一般不同，勿将「等时」误推为「等速」。 6．与机械能守恒联用：沿光滑弦下滑满足 ，既可用等时圆求时间，又可用能量求末速，二者互补。 7．易错提醒：等时圆要求「从静止开始、弦光滑、初末点在同一个竖直圆上」；若初速不为零或轨道有摩擦，则不再等时，须逐段用动力学处理。 8．最速降线辨析：等时圆是「同圆不同弦时间相等」，不是「时间最短」；两点间最快下滑路径是摆线，命题常借此设置干扰选项。 【例题精讲】 【例1】（2026·辽宁沈阳·一模）如图所示，圆环固定在竖直平面内，甲、乙两光滑轨道固定在圆环上，两轨道的最高点重合。甲过圆环最低点P、乙过圆心O且与竖直方向夹角为37°。将同一小球分别从甲、乙两轨道的最高点由静止释放。已知cos37°=0.8，小球沿甲、乙轨道运动的时间之比为（　　） A．1:1 B． C．2:3 D．4:3 【例2】（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（多选）如图所示，为光滑竖直杆，为型光滑杆，、、三点位于一圆周上，正好是该圆的直径，套在杆上的小球自点由静止释放运动到点（图中小球未画出；处为极短的圆弧，只改变小球的速度方向），沿杆运动的时间为，沿杆运动的时间为，则的值可能为（     ） A．0.9 B．1.5 C．2.1 D．1.8 【变式训练1】（25-26高三上·陕西咸阳·阶段检测）公园的滑梯高低不等，斜面的长度也不同，假设有三个滑道的某一滑梯模型如图所示，三个滑道的最高点A、B、C和最低点D是在竖直面内的同一圆上，可视为质点的小孩从三个滑道的最高点A、B、C沿滑道由静止开始滑到最低点D，所用的时间分别为、、，不计空气阻力，滑道光滑（即忽略滑梯摩擦的影响），则（     ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）如图所示，虚线EF为圆O的竖直直径，PA、PB、PC为三个光滑直杆分别与圆相交于A、B、C、P四点。现让小环套在光滑杆上分别沿着PA、PB、PC杆自P点由静止滑到A、B、C点，用tA、tB、tC分别表示小环沿三根杆下滑的时间，则（　　） A．tA=tB=tC B．tA<tB<tC C．tA>tB>tC D．无法判断tA、tB、tC的大小关系 【变式训练3】（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）竖直面内有一半径为R的光滑圆弧轨道AB，其对应的圆心角为10°，A、B两点等高，CD为竖直直径。在A、D两点间固定光滑直斜面，直斜面在D处与光滑圆弧轨道DB平滑相接，将一小球由A点静止释放沿直斜面AD下滑，小球可视为质点，则下列说法正确的是（     ） A．小球从A到D的时间等于从D到B的时间 B．小球从A到D的时间大于从D到B的时间 C．由题中数据可以求得小球在DB圆弧轨道上通过D点时对轨道的压力 D．若将两个小球分别从A、C两点同时由静止释放，它们会同时到达D点 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $