北京市北京师范大学附属中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试卷

高三10月月考 数学参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A C D B D A C D B 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11． 12．8 13． 14．（答案不唯一，，，即可）； 15．答案①②④ 三、解答题：本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解答：（Ⅰ） ，故的最小正周期； 令，，解得，， 即所求图象的对称轴是，． （Ⅱ）因为，所以， 因此当，，即，时，，故所求解集为． 17．解答：（Ⅰ）中，，， 由知，故． （Ⅱ）不可选①，否则三角形有两解 若选② ，可知，由余弦定理， 故，所以边上的高即a对应的高． 若选③ ，中，，求得， 故边上的高即a对应的高． 18．解答：（Ⅰ）在6条路线中，随机选取2条共有种， 因A类路线只有2处，故选取的2条路线都为A类仅1种方法， 所以甲选取的2条路线都为A类的概率为； （Ⅱ）由题意可知，， 则，，， 则X的分布列为： X 0 1 2 P 数学期望为； （Ⅲ）． 19．解答：（Ⅰ）， 若，则，，故零点仅有． （Ⅱ），由为极值点，令， 解得．此时， 当时，，递增， 当时，，递减， 当时，，递增，因此为极小值点，符合题意， 且时，， 时，，，，，即， 综上，的最小值． 20．解答：（Ⅰ）若，则，图象经过点． 而，，故所求切线方程为． （Ⅱ）若，，函数的定义为， 所以，令，得或，即或． ①时，即，当时，，，所以； 当时，，，所以； 当时，，，所以． 所以函数在，上单调递减，在上单调递增． ②当，即时，当时，，，； 当时，，，．所以函数在单调递减． ③当时，即，当时，，，； 当时，，，所以； 当时，，，所以． 所以函数在，上单调递减，在上单调递增． 综上，…… （Ⅲ）因， 令，， 下面考虑的值域， 再令，则， 因，所以，得，即， 所以在上单调递增，且，． 由零点存在定理，存在唯一，使得． 所以在有唯一零点，且当，， 当，，所以在上单调递减， 在上单调递增，且，． 所以对，都有成立．故常数m取值范围是，m最小值为1． 21．解答：（Ⅰ）由可得为递增数列，故的前4项为0，2，4，6． （Ⅱ）因为（，2，3，…）， （，2，3，…）， 所以， 所以（，2，3，…）． 又因为，所以， 所以的“收缩数列”仍是． （Ⅲ）由（，2，3，…），可得当时，； 当时，，即，所以； 当时，，即， 若，则，所以由可得，与矛盾； 若，则，所以由可得， 所以与同号，这与矛盾； 若，则，由可得． 猜想：满足（，2，3，…）的数列是： ，． 经验证，左式， 右式． 下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件． 由上述时的情况可知，时，，是成立的． 假设是首次不符合，的项，即， 由题设条件可得， 若，则由式化简可得与矛盾； 若，则，所以由可得 所以与同号，这与矛盾； 所以，则，所以由化简可得． 这与假设矛盾． 所以不存在数列不满足，的符合题设条件． 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师大附中2026—2027学年（上）高三10月月考 数 学 试 卷 班级：__________ 姓名：__________ 学号：__________ 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．设a，b，，且，则下列不等式一定成立的是 A． B． C． D． 4．设等差数列的前n项和为，若，，则的公差为 A．0 B．-1 C．-2 D．-3 5．向量，在单位正方形网格中的位置如图所示，则 A．5 B．-5 C．0 D．1 6．已知函数，下列关于函数的说法正确的是 A．是奇函数 B．的最小正周期是 C．在上单调递增 D．的值域为 7．“”是“对任意，”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．设函数，若在区间上单调，在区间上存在零点，且，则的值为 A． B． C． D． 9．已知函数存在最大值，则a的取值范围是 A． B． C． D． 10．“行百里者半九十”这句话最早见于《战国策•秦策五》，它的原意是走一百里的路程走到九十里只能算走了一半．这可以认为是一种心理效应，比喻做事越接近成功越困难，越要认真对待．某同学尝试用函数观点对这句话进行分析，并作出如下设定： ①设做一件事的完成度为x，心理完成度是关于x的函数，且x，，“”表示刚开始做这件事，“”表示完成这件事，x数值越大，完成度越高．的图象经过，； ②x与1的差距每缩小，y与1的差距便缩小，即对于任意的，都存在唯一的，当时，． 根据上述设定，函数的图象可以是 A．． B． C． D． 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．函数的定义域为__________． 12．已知向量，，且，则__________． 13．若函数在区间单调递增，则a的最大值是__________． 14．已知共面向量，，满足：，且．若（m，）．请写出一组符合条件的m，n的值__________． 15．已知数列满足，，，给出下列四个结论： ①当时，为递增数列； ②存在，使得为常数列； ③当时，为递减数列； ④存在无穷多个数列满足如下性质：存在正整数N，使得当时任意两项均不等且当时各项均相等． 其中正确结论的序号是__________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16．（本小题13分） 已知函数． （Ⅰ）求的最小正周期和图象的对称轴； （Ⅱ）若，求方程的解集． 17．（本小题14分） 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求边上的高． 条件①：；条件②：面积为；条件③： 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（本小题14分） 为了拓宽学生视野，北京某高中设计了6条研究性学习路线．这6条路线分为A、B、C三种类型，如下表： 路线类型 A B C 路线 延安 遵义 杭州 上海 泰山 秦岭 每一位学生都要在高中阶段，从上述6条路线中选择2条不同的路线，完成相应的研究性学习任务． 假设学生甲、乙、丙三人都随机选择了2条不同路线． （Ⅰ）求甲选取的2条路线都为A类的概率； （Ⅱ）设乙选取的2条路线中B类路线的数量为随机变量X，求X的分布列和数学期望； （Ⅲ）在丙选取的2条路线中，分别记A，B，C类路线的数量为随机变量，，，记方差，，，直接写出，与的大小关系．（结论不要求证明） 19．（本小题14分） 已知函数． （Ⅰ）若，求的零点； （Ⅱ）若在处取得极值，求的最小值． 20．（本小题15分） 已知函数． （Ⅰ）若，求在处的切线方程； （Ⅱ）若，讨论的单调性； （Ⅲ）若，恒成立，求常数m的最小值． 21．（本小题15分） 对于无穷数列，记，，称是的“收缩数列”．其中，，分别表示，，…，中的最大数和最小数． （Ⅰ）若，直接写出的前4项； （Ⅱ）证明：的“收缩数列”仍是； （Ⅲ）记的前n项和为，若，，求所有满足该条件的． 学科网（北京）股份有限公司 $