精品解析：北京市西城区北京师范大学附属中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

北京师范大学附属中学2026—2027学年第一学期高三数学统练二 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解绝对值不等式求得集合，最后根据集合的并集运算即可求得. 【详解】因为，所以集合，所以. 故选：A. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算计算可求得答案. 【详解】由，可得. 故选：A. 3. 已知，且，则下列不等关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质，基本不等式以及作差法，即可根据选项逐一求解. 【详解】对于A,由于，则，故，进而，A错误， 对于B,由于，则，故，B正确， 对于C, 由于，则，故，C错误， 对于D, ，由于，则，故 ，故，D 错误， 4. 下列函数中，是奇函数且在定义域内是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别讨论各个选项中函数的定义域、奇偶性和单调性即能得到答案. 【详解】A选项：函数定义为，，是偶函数，A选项不正确； B选项：函数定义为，，是奇函数， 函数在上单调递增，在上单调递减，B选项不正确； C选项：函数定义为，，是奇函数， 因为，所以函数在定义域内单调递增，C选项正确； D选项：函数定义为，，是奇函数， 因为在上单调递减， 所以函数在上单调递减，D选项不正确. 故选：C. 5. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 【答案】C 【解析】 【分析】化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项. 【详解】因为. 对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错； 对于B选项，当时，，则在上不单调，B错； 对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对； 对于D选项，当时，，则在上不单调，D错. 故选：C. 6. 在的展开式中，含的项的系数是7，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用多项式乘法法则对式子展开，合并同类项即可得到系数的值. 【详解】由题意可知展开式中含的项： ∴, 故选：D. 7. 某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）. 若该食品在的保鲜时间是194小时，在的保鲜时间是50小时，则该食品在的保鲜时间是（ ） A. 20小时 B. 22小时 C. 24小时 D. 26小时 【答案】D 【解析】 【分析】由题意列出方程组，求得参数，在代入求得保鲜时间. 【详解】由题意可知， 即，解得，即， 当时，， 故选：D. 8. “”是“函数在上单调递减”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】将代入函数的解析式，利用诱导公式化简，结合余弦函数的单调性即可判断充分性；根据函数在上单调递减，可以推出区间是区间的一个非空子集，即可解得，从而判断必要性. 【详解】由题意，若， 则， 由，得， 此时函数单调递减，所以充分性成立； 若函数在上单调递减， 由，得， 则， 所以，， 解得，即，所以必要性成立； 因此，“”是“函数在上单调递减”的充分必要条件. 故选：C. 9. 设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，则，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数. 若为单调递增数列，则， 若，则当时，；若，则， 由可得，取，则当时，， 所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”； 若存在正整数，当时，，取且，， 假设，令可得，且， 当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列. 所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”. 所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件. 故选：C. 10. 已知集合，若存在，使得，则集合的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，集合有4个元素且包含于集合，求出没有特殊要求的集合的个数，再求出不符合“存在，使得”条件的集合的个数，从而得到本题答案. 【详解】∵，即从集合中8个元素任选4个组成集合，共有个， 设，使得，则这样的集合有，，，共计5个， ∴若集合存在，使得时的个数有个. 故选：B. 【点睛】方法点睛，本题是一个有特殊要求的排列组合，正面考虑情况比较复杂，那么可以用对立事件的方式来解答. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知函数，则____________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答. 【详解】函数，所以. 故答案为：1 12. 向量在正方形网格中的位置如图所示．若向量与共线，则实数_____________． 【答案】2 【解析】 【详解】由图可知，，因为向量与共线， 所以根据共线向量基本定理可设， 即， ，实数. 13. 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形的边长为，点是正八边形边上的一点，则的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作直线的垂线，垂足为点，计算出，分析可知当点在线段上时，在方向上的投影取最小值，结合平面向量数量积的几何意义求得结果. 【详解】过点作直线的垂线，垂足为点，， 如图，由平面向量数量积的几何意义可知，等于的模与在方向上的投影的乘积， 当点在线段上时，在方向上的投影取最小值， 此时，，，， 故的最小值为. 14. 已知函数，若，则_________；若对任意的正数，方程都恰有两个不等的实数根，则实数的取值范围是_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】当时求出的解析式，求出，求出，分、和三种情况结合数形结合思想即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 若，则， 如图， 当时，有且只有一个根， 故舍去，若，， 时，， 对称轴为直线，时， ，如图， 要使对任意的正数，方程恰有两个不等的实数根， 即与直线恰有两个交点， 则，所以无解， 若，时，， 如图， ，要满足题意则， 因为，所以，综上：. 故答案为：；. 15. 首项为正数的数列满足，给出下列四个结论： ①存在和，使得是等比数列； ②若且是奇数，则为奇数； ③若且，则存在使得； ④若且，则是递减数列. 其中所有正确结论的序号是_________. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】对于①取出一个特殊数列即可；对于②只需证明为奇数时，也为奇数，以此类推得到为奇数；对于③化简等式，由，证明，以此类推得到；对于④由作差法得到，再由二次函数的性质得到且时函数得到函数是递减函数，再由时得到，同理可证即可得到结论. 【详解】对于①，当时，，此时是等比数列，①正确； 对于②，设，则， 当为偶数时为偶数，即为奇数； 当为奇数时为偶数，即为奇数； 即当为奇数时，也为奇数，同理也为奇数，所以②正确； 对于③，因为，则，当时，， ，同理，故不存在使得，③错误； 对于④，，令函数， 因为，函数是开口向上的二次函数，则函数在的最大值在端点处取得， 即或，又因为，所以，， 即当时，，即， 又因为当时， ， 所以当时，，即，则，同理可得， 所以此时是递减数列，④正确. 故答案为：①②④ 【点睛】方法点睛，本题是数列的综合型题目，通过递推公式找到函数的一些性质，需要结合数列的函数思想来完成证明. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 设函数． （1）若，求的值． （2）已知在区间上单调递增，，，求，的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）想利用两角和的正弦公式得到，代入结合的范围即可求解； （2）根据单调区间即最值点求出周期进而求得，再代入即可求出. 【小问1详解】 先化简函数，由两角和正弦公式得， 代入，， 已知，所以, 【小问2详解】 ，， 两点刚好是最小值点与最大值点，区间长度， 又在单调递增，说明这个区间恰好是半个周期， ，所以， 此时， 由，得， 所以，解得， 由，得. 17. 某城市的甲、乙两个区，甲区有500个居民小区，乙区有300个居民小区. 为了解甲、乙两个区在绿化与垃圾分类两方面的达标情况，进行了调查统计，结果如下：（单位：个） 绿化达标 垃圾分类达标 绿化达标且垃圾分类达标 甲区 300 250 200 乙区 180 150 120 （1）从甲乙两区的所有居民小区中随机抽取一个居民小区，求抽到的是“甲区且绿化达标”的概率； （2）从甲区和乙区中各随机抽取一个居民小区，设表示这两个居民小区中“垃圾分类达标”的个数，求的分布列和数学期望； （3）城市管理部门计划按照分层抽样从甲、乙两区抽取40个居民小区进行评比，在抽取的40个居民小区中，设为“绿化达标”居民小区的数量，为“绿化达标且垃圾分类达标”居民小区的数量，试判断方差的大小.（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） 0 1 2 1 （3） 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据，利用古典概型计算概率即可； （2）根据表格求得从甲区中随机抽取一个居民小区，它是“垃圾分类达标”小区的概率，以及从乙区中随机抽取一个居民小区，它是“垃圾分类达标”小区的概率，再分别求得的概率，即可写出分布列，进而求得数学期望； （3）根据表格中的数据，求出离散型随机变量的方差，从而判断.（学生作答时，直接写结果即可，无需说明理由）. 【小问1详解】 设事件“抽到的是甲区且绿化达标”， 因为该城市试点区的所以居民小区共有个， 甲区且绿化达标的居民小区共有个， 则， 所以，抽到的是“甲区且绿化达标”的概率为. 【小问2详解】 由题意，的所有可能的取值为. 从甲区中随机抽取一个居民小区，它是“垃圾分类达标”小区的概率为， 从乙区中随机抽取一个居民小区，它是“垃圾分类达标”小区的概率为， 则，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 所以，数学期望. 【小问3详解】 因为甲区有500个居民小区，乙区有300个居民小区，共个， 所以从甲小区里抽取个，从乙小区里抽取个， 由表格可知： 从甲区中随机抽取一个居民小区，它是“绿化达标”小区的概率为， 从乙区中随机抽取一个居民小区，它是“绿化达标”小区的概率为， 因此，随机变量，则. 由表格可知： 从甲区中随机抽取一个居民小区，它是“绿化达标且垃圾分类达标”小区的概率为， 从乙区中随机抽取一个居民小区，它是“绿化达标且垃圾分类达标”小区的概率为， 因此，随机变量，则. 所以，. 18. 在中，． （1）求； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△存在且唯一确定，求的面积． 条件①：的周长为； 条件②；； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） 选择条件①：的面积； 选择条件②：的面积； 选择条件③：不成立． 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和的余弦公式，可求角的三角函数值，进而求角. （2）若选①，可用余弦定理求三角形的边长，再求三角形面积； 若选②，可用正弦定理求边，再利用两角和的正弦求，利用三角形的面积公式求面积即可； 若选③，利用正弦定理判断满足条件的三角形不唯一，所以选③不满足题意. 【小问1详解】 在中，， 由正弦定理，可得， 整理得， 因为，，所以，即， 因为，所以. 【小问2详解】 选择条件①：因为的周长为， ，则， 由余弦定理，得， 所以，即， 解得，所以的面积； 选择条件②：因为，， 所以，因为， 由正弦定理，可得， 又，， 所以， 所以的面积； 选择条件③：因为， 由正弦定理，可得， 因为，所以不唯一， 因为存在且唯一确定，故条件③不成立． 19. 设函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）设函数，求的单调区间； （3）求的极值点个数． 【答案】（1） （2）的单调递减区间为和，单调递增区间为和. （3）3个 【解析】 【分析】（1）先对求导，利用导数的几何意义得到，，从而得到关于的方程组，解之即可； （2）由（1）得的解析式，从而求得，利用数轴穿根法求得与的解，由此求得的单调区间； （3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间，，与上的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得的极值点个数. 【小问1详解】 因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. 【小问3详解】 由（1）得，， 由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，，即 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，在上单调递减， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减； 所以在上有一个极大值点； 当时，在上单调递增， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，， 所以，则单调递增， 所以在上无极值点； 综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点. 【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断与的正负情况，充分利用的单调性，寻找特殊点判断即可得解. 20. 设函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若存在两个极值点，证明：. 【答案】（1） （2）当时，的单调递增区间为，无减区间；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为. （3） 因为存在两个极值点， 所以方程，即在上有两个不等实根. 则，解得. 则 要证不等式，即证， 即证， 不妨设，即证， 令，，则， 所以在上单调递增，则，所以成立， 所以成立. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可得解； （2）导函数，由联想到可依据和的大小关系分类讨论，以便确定导函数的符号，从而确定函数的单调性； （3）将函数存在两个极值点转化为方程在上有两个不等实根，由韦达定理得，即可将要证的不等式转化为，不妨设，即证，令，则可构造函数，证明的最小值大于即可. 【小问1详解】 当时，，则. 又，则所求切线的斜率. 所以曲线在点处的切线方程为 ，即. 【小问2详解】 的定义域为. ，因为，当且仅当时，等号成立； ①若，则，当且仅当时，， 此时的单调递增区间为，无减区间； ②若，由，即， 解得，，因为，所以， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 综上所述，当时，的单调递增区间为，无减区间； 当时，的单调递增区间为和， 单调递减区间为. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 21. 项数为的数列满足如下两个性质，则称为一个满足“绝对值关联”的阶数列； ①（其中）； ②. （1）判断数列是否为一个满足“绝对值关联”的阶数列？是否为一个满足“绝对值关联”的阶数列？说明理由； （2）若数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列，证明：的最小值为； （3）若数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列，求的最小值. 【答案】（1）不是一个满足“绝对值关联”的5阶数列 ，是一个满足“绝对值关联”的5阶数列， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据绝对值关联”的阶数列的定义判断即可； （2）根据“绝对值关联”的阶数列得到，再利用，则有，解出即可； （3）根据数列新定义得，且，再分离参数得，最后分类讨论即可. 【小问1详解】 不是一个满足“绝对值关联”的5阶数列， 因为． 是一个满足“绝对值关联”的5阶数列， 因为,且，满足两个性质. 【小问2详解】 因为数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列， 所以，即． 又，所以，同时， 所以解得. 又数列是一个满足“绝对值关联”的6阶数列， 所以的最小值为. 【小问3详解】 数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列, 所以，且， 不妨设，，其中， 记，不妨设（否则用代替即可）， ，所以． 因为， ， 所以且，即不小于和中的最大者， 当或时，和中的最大者均为，所以， 当或时，或者，所以． 综上，当数列前项为正，后项为负时取等号， 此时数列可为：符合题意． 所以的最小值为． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是理解数列新定义得，再代入计算即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师范大学附属中学2026—2027学年第一学期高三数学统练二 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则下列不等关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，是奇函数且在定义域内是增函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 6. 在的展开式中，含的项的系数是7，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）. 若该食品在的保鲜时间是194小时，在的保鲜时间是50小时，则该食品在的保鲜时间是（ ） A. 20小时 B. 22小时 C. 24小时 D. 26小时 8. “”是“函数在上单调递减”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 已知集合，若存在，使得，则集合的个数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知函数，则____________． 12. 向量在正方形网格中的位置如图所示．若向量与共线，则实数_____________． 13. 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形的边长为，点是正八边形边上的一点，则的最小值是_________． 14. 已知函数，若，则_________；若对任意的正数，方程都恰有两个不等的实数根，则实数的取值范围是_________. 15. 首项为正数的数列满足，给出下列四个结论： ①存在和，使得是等比数列； ②若且是奇数，则为奇数； ③若且，则存在使得； ④若且，则是递减数列. 其中所有正确结论的序号是_________. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 设函数． （1）若，求的值． （2）已知在区间上单调递增，，，求，的值． 17. 某城市的甲、乙两个区，甲区有500个居民小区，乙区有300个居民小区. 为了解甲、乙两个区在绿化与垃圾分类两方面的达标情况，进行了调查统计，结果如下：（单位：个） 绿化达标 垃圾分类达标 绿化达标且垃圾分类达标 甲区 300 250 200 乙区 180 150 120 （1）从甲乙两区的所有居民小区中随机抽取一个居民小区，求抽到的是“甲区且绿化达标”的概率； （2）从甲区和乙区中各随机抽取一个居民小区，设表示这两个居民小区中“垃圾分类达标”的个数，求的分布列和数学期望； （3）城市管理部门计划按照分层抽样从甲、乙两区抽取40个居民小区进行评比，在抽取的40个居民小区中，设为“绿化达标”居民小区的数量，为“绿化达标且垃圾分类达标”居民小区的数量，试判断方差的大小.（结论不要求证明） 18. 在中，． （1）求； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△存在且唯一确定，求的面积． 条件①：的周长为； 条件②；； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 19. 设函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）设函数，求的单调区间； （3）求的极值点个数． 20. 设函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若存在两个极值点，证明：. 21. 项数为的数列满足如下两个性质，则称为一个满足“绝对值关联”的阶数列； ①（其中）； ②. （1）判断数列是否为一个满足“绝对值关联”的阶数列？是否为一个满足“绝对值关联”的阶数列？说明理由； （2）若数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列，证明：的最小值为； （3）若数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $