精品解析：北京市清华大学附属中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

G24级试卷 数 学 （2026.10） 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求解不等式，得到，，再根据交集并集子集的定义分别判断各选项即可. 【详解】由题意得，， A选项，因为，故A正确. B选项，因为，故B错误. C选项，因为，故C错误. D选项，因为，所以不是的子集，故D错误. 2. 下列函数为奇函数且在定义域内单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的定义和函数单调递增的定义进行判断. 【详解】对于选项A，设，则对，有，所以是奇函数， 而由幂函数的单调性可知，函数在和上单调递增，不满足题意； 对于选项B，设，则对，有，所以是奇函数， 由正切函数的单调性可知，函数的单调增区间为，不满足题意； 对于选项C，函数的定义域为，不满足题意； 对于选项D，设，则对，有，所以是奇函数， 对，且，有， 所以在定义域内单调递增. 3. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【详解】， 则复数在复平面内对应的点为， 则复数在复平面内对应的点位于第三象限. 4. 已知平面向量，，若，则（ ） A. 10 B. C. 或 D. 1或 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标公式计算即可. 【详解】因为， 所以， 解得. 5. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合同角三角函数关系、诱导公式，分别从充分性、必要性两方面来说明即可. 【详解】一方面：， 另一方面：，但， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 已知角的终边都落在第一象限，且关于直线对称，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为的终边都落在第一象限，且，所以， 又因为角的终边关于直线对称，所以， 所以. 7. 杨梅的保鲜时间很短，技术人员采用某种保鲜方法后可使得杨梅采摘之后的时间（单位：小时）与失去的新鲜度满足函数关系其中，为常数．已知采用该种保鲜方法后，杨梅采摘10小时之后失去10%的新鲜度，采摘40小时之后失去20%的新鲜度．如今我国物流行业蓬勃发展，为了保证杨梅销售时的新鲜度不低于85%，则物流时间（从杨梅采摘的时刻算起）不能超过（ ） （参考数据：） A. 20小时 B. 25小时 C. 28小时 D. 35小时 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设条件，求出的值，根据新鲜度不低于85%列出不等式求解即可. 【详解】由题可知， 解得， 因为新鲜度不低于85%， 所以， 所以， 所以， 所以. 8. 在平面直角坐标系中，，．设，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点为的中点，化简，由点的坐标可以判断点在以为圆心，为半径的圆上.结合其几何意义可以求出的取值范围，然后求出的取值范围. 【详解】设点为的中点，则点的坐标为. ，所以. 令，，则， 点在以为圆心，为半径的圆上. 最小值为,最大值为. 又，，. . 9. 已知函数若，的值域均为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析函数和的性质，画出大致图象，再根据两分段函数的分段点的位置进行分类讨论，验证是否对任意的都满足的值域是. 【详解】设，， 对于函数，其图象大致如下： 若，函数在上的值域为， 若，函数在上值域为， 若，函数在上的值域为； 对于函数，当时，则函数，显然此时无法满足题意，故； 当时，函数图象关于对称，且在上单调递减，在上单调递增，图象大致如下： 若，函数在上的值域为， 若，函数在上的值域为； 当时，考虑到若，则此时的值域应为，不满足题意，故 下面对进行分类讨论： 当时，函数和的图象如下： 此时，若，此时的值域为，要保证值域为，则或，与题意不符； 当时，即，函数和的图象如下： 若，则的值域为，满足题意； 若，则的值域为，满足题意； 若，则的值域为， 由函数图象的对称性可知，，因此此时值域为，满足题意； 若，则的值域为， 考虑函数，当且时，且，故， 因此此时值域为，满足题意； 所以当时，对，值域为. 当时，即时，函数和的图象如下： 若，则的值域为，满足题意； 若，则的值域为，满足题意； 若，则的值域为，满足题意； 若，则的值域为， 考虑函数，当且时，且，故， 因此此时值域为，满足题意； 所以当时，对，值域为. 综上所述，实数的取值范围为. 10. 为公差不为0的等差数列，为公比不为1的等比数列．①存在，使得有无穷多项是中的项；②存在，使得有无穷多项是中的项．则（ ） A. ①正确，②正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①错误，②错误 【答案】C 【解析】 【分析】根据实例判断②，利用反证法判断①. 【详解】取，， 则为等差数列且公差为，为等比数列，公比为， 取，则， 故有无穷多项是中的项，故②正确. 对于①，设的公差为，的公比为， 若有无穷多项是中的项， 设这些项为，，，，， 其中， 且设，， 故， 若，则，而， 当时，， 故此时，故不成立； 若，可化为， 故，故， 因为当时，，故， 设，则， 若，则，若， 则， 取，则，这与矛盾， 故①错误. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用对数函数的真数大于0和分式的分母不为0联立求解即得函数的定义域. 【详解】由有意义，可得，解得且， 故该函数的定义域为. 故答案为：. 12. 数列是公差为3的等差数列，为其前项和，若，则符合题意的的一个值为______． 【答案】（答案不唯一，只要就行） 【解析】 【详解】已知数列是公差的等差数列，其前项和​可表示为关于的二次函数： . 该二次函数开口向上，题目要求​对所有正整数恒成立， 说明是的最小项. 对正整数而言，二次函数的对称轴需落在区间内（保证离对称轴最近的正整数为3）, 二次函数对称轴公式为​​，代入区间约束得，解得， 所以取该区间内任意值均符合题意，例如. 13. 在中，若，，，则的面积等于______． 【答案】 【解析】 【详解】根据余弦定理：， 将已知条件代入： ，  展开整理得： ，即  ， 解得或，舍去负根，得，  代入三角形面积公式 . 14. 已知函数，（i）若，将函数沿x轴向右平移单位后得到函数图像关于y轴对称，则______；（ii）若在上单调，则ω的最大值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（i）根据辅助角公式化简函数的解析式，结合正弦型函数图像平移的性质，结合正弦型奇偶性进行求解即可； （ii）根据正弦型函数单调性与周期性的关系，结合正弦型函数的单调性分类讨论进行求解即可. 【详解】. （i）若，则， 函数沿x轴向右平移单位后得到函数图像的解析式为： ， 由题意可知：函数的图像关于y轴对称， 所以函数是偶函数， 于是有， 因为，所以令，得； （ii）因为函数在上单调， 所以函数的最小正周期， 解得， 当函数在上单调递增时， 因为，所以， 则有， 即， 而，所以令，则有； 当函数在上单调递减时， 因为，所以， 则有， 即， 而，所以令，则有； 综上所述：ω的最大值为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据题意分类讨论. 15. 已知函数的定义域为，，给出下面四个结论： ①若，，则； ②若，，有，则为常函数； ③若，，则； ④若，，，则． 其中，全部正确结论的序号为________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①由得到且，则有，求出，从而得到结论；②反例求解，取，通过题中条件得到不是常函数，从而得到结论.③当时，，当时，，从而求出，根据题中条件得到结论；④记，求出，结合周期按照，，，讨论求解，从而得到结论. 【详解】①当时，当时， 即当且时，有， 且等号可以取到： 时取 ， 时取 ， 故，于是， 即有，①正确； ②反例：取，此时对任意，，即，，有，但不是常函数，②错误. ③函数在上严格递增， 当时，， 当时，， 因为，所以， 于是当 时，， 故，③正确； ④函数是以为周期的周期函数， 记， 在区间上，在处取到最小值0， 故其值域为， 由周期性只需考察， 在上单调， 此区间内的最大值在端点或整点处取得，逐段计算： 当时，，等号当且仅当或； 当时，，等号当且仅当或； 当时，，等号当且仅当或； 当时，，等号当且仅当或； 故恒成立，且. 若，则，而对一切成立，故条件满足； 反之，若对一切都有，取得，故， 结合得，即，④正确. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知等差数列满足：，． （1）求的通项公式； （2）已知，，求前项的和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，将已知条件转化为关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组得到和，再利用等差数列通项公式，求得的通项； （2）由的通项得到的表达式，判断的数列类型.因为按的奇偶性分别取​和，所以前项和拆分为所有奇数项的和与所有偶数项的和两部分，其中奇数项是等差数列，偶数项是等比数列，分别利用等差数列、等比数列前项和公式计算两部分的和，相加得到.​ 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为，由题知： 解得，. 故. 【小问2详解】 由题知：. 奇数项：，故. 偶数项：，故. 故前项的和. 17. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）已知函数，，，满足．再从下面三个条件中选择一个条件，使得存在且唯一确定．若在上恰有三个实数根，求的取值范围． ①向左平移个单位后图象关于原点中心对称； ②在上单调递增； ③对任意的，恒成立． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1），； （2）选①：；选②：只能得到，无法唯一确定取值，故不能选；选③： 【解析】 【分析】（1）先根据二倍角公式、辅助角公式化简，再利用整体法求单调区间即可； （2）先根据题意可得，选①，利用整体法可得，进而得到，法1：然后结合零点个数可得，即；法2：求得，结合零点个数可得，即；选②，利用整体法可得，结合单调性可得，解得，仍无法唯一确定，故不能选②；选③，由题可知，结合可得，然后同①的解法求解即可． 【小问1详解】 ， ，， 故的单调递增区间为，； 【小问2详解】 由（1）知， 则，解得，所以． 选①：有一个对称中心为，故，， 因为，所以，． 时， 法1：所以或，即或， 因为在上恰有三个实数根，所以实根为，，， 故，所以的取值范围为． 法2：时，． 因为时或，， 所以有，，，故， 解得的取值范围为． 选②：，，则， 又在上单调递增，所以，解得， 仍无法唯一确定，故不能选②． 选③：由题可知，， 因为，所以，． 之后过程同①． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程即可； （2）由题知，，再利用导数求出函数的最大值，然后列不等式求解即可． 【小问1详解】 当时，， ， 故切线方程为； 【小问2详解】 由题知，， ， 令，， 4 + 0 极大 由题知：解得，于是． 19. 北京市规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形．考虑到比赛期间需要运送一些补给物品，项目设计需要预留出，为赛道内的两条服务通道（不考虑宽度），，，，，为赛道．，，，，，． （1）求服务通道的长度； （2）求的面积； （3）判断与是否平行？并说明理由． 【答案】（1）6 （2）24 （3），且为锐角 ，，也为锐角，所以 由，， 所以． 【解析】 【详解】（1）在中，由正弦定理： ，解得． （2）在中，由余弦定理： ， 即：，解得（负值舍去） 又有， ． （3）略 20. 已知函数，曲线在处的切线方程为． （1）求，的值； （2）求的单调区间； （3）是否存在，，使得点关于原点的对称点在曲线上，若存在，求出符合题意的点的个数．若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）单调增区间为，单调减区间为． （3）符合题意的点有且只有一个． 【解析】 【分析】（1）利用切点处切线方程，结合导数的几何意义求，的值； （2）利用导数求的单调区间； （3）依题意有，令，利用导数求的零点个数即可. 【小问1详解】 由题意，，．解得． 【小问2详解】 由（1）知，， 记，则， 当变化时，，变化如下表， 0 极大值 当时，，，则， 当时，， 由上表，当时，，当时，， ，， 当时，，当时，， 的单调增区间为，单调减区间为． 【小问3详解】 存在一个点满足题意． 点关于原点的对称点在曲线上，等价于， 令，，则， 由（2），当时，，， 则， 则在上单调递减， ， ， 在内存在唯一零点， 即符合题意的点有且只有一个． 21. 对于任意数列，，…，，从中选取第项、第项、…、第项（，），称新数列，，…，为数列，，…，的一个长度为的子列．记为其全部子列之和所组成的集合，记为集合中元素的个数． （1）对于数列：1，2，2与：，，2，直接写出集合与； （2）若，正项数列，，，满足：，都有，求的值； （3）若，数列，，，各项都是整数，且正项与负项的个数都不小于2，如果，求的最小值． 【答案】（1）；． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）枚举所有非空子列的和，再去重即可. （2）取两个不同子列，找到下标最大的差异项，利用题设不等式比较两子列和的大小，证明不同子列和必不相等. （3）引入正负项前缀和构造二元数组，利用反证证明数组内所有值互不相同，得到的下界表达式；对求二次函数最小值，最后构造数列验证下界可以取到. 【小问1详解】 对数列1，2，2，枚举所有非空子列的和： 长度1：1，2，2； 长度2：；长度3：. 去重，得. 对数列，枚举所有非空子列的和： 长度1：；长度2：； 长度3：. 去重，得. 【小问2详解】 任取两个不同子列，分别记为、． 考虑这两个子列不同的项（即恰在一个子列中出现的项）， 设其中下标的最大值为，则，不妨设为中的项． 若，则中所有项之和减去中所有项之和为, 若，则中所有项之和减去中所有项之和， 从而任意两个不同子列的和都不相等， 一共有个非空子列，每个子列和互不相同， 所以集合元素个数为． 【小问3详解】 设数列，，…，正项有个，负项有个，其中，，． 将正项记为，，…，， 负项记为，，…，，其中，，…，．定义前缀和： ，，规定； ，，规定． 考虑以下个数：，，． 引理：这个数互不相同． 证明：用反证法，假设，且，即， 若，则．由于，，…，，前缀和严格递增， 故，与矛盾， 因此． 不妨设，则．将等式移项得． 左边，故右边，即． 由前缀和严格递增，得．于是， 即． 注意到，，于是正项，…，与负项，…，构成的子列， 其和为0，与矛盾，故所有的互不相同． 在这个数中，对应空集，不属于； 其余个数都是非空子列的和，均在中， 因此 将代入上式可得， 注意到，上式在（或对称地取）时取得最小值， 于是 下面构造达到该下界的数列，取，， 该数列的任意非空子列和都形如，其中，， 且，不同时为0． 子列和计数： 的取值 子列和 个数 ，，…， ，，…， ，，…， 子列和均不为0，且三部分互不重叠， 故． 综上，的最小值为． 【点睛】思路点睛：本题以子集和为载体，第（2）问利用最大差异项比较子列和；第（3）问分离正负前缀和，反证得到下界，结合二次函数求最小值并构造数列取到该下界，是典型组合极值 “先估界，再构造”的思路. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ G24级试卷 数 学 （2026.10） 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数为奇函数且在定义域内单调递增的是（ ） A. B. C. D. 3. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知平面向量，，若，则（ ） A. 10 B. C. 或 D. 1或 5. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知角的终边都落在第一象限，且关于直线对称，，则（ ） A. B. C. D. 7. 杨梅的保鲜时间很短，技术人员采用某种保鲜方法后可使得杨梅采摘之后的时间（单位：小时）与失去的新鲜度满足函数关系其中，为常数．已知采用该种保鲜方法后，杨梅采摘10小时之后失去10%的新鲜度，采摘40小时之后失去20%的新鲜度．如今我国物流行业蓬勃发展，为了保证杨梅销售时的新鲜度不低于85%，则物流时间（从杨梅采摘的时刻算起）不能超过（ ） （参考数据：） A. 20小时 B. 25小时 C. 28小时 D. 35小时 8. 在平面直角坐标系中，，．设，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数若，的值域均为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 为公差不为0的等差数列，为公比不为1的等比数列．①存在，使得有无穷多项是中的项；②存在，使得有无穷多项是中的项．则（ ） A. ①正确，②正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①错误，②错误 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域为______． 12. 数列是公差为3的等差数列，为其前项和，若，则符合题意的的一个值为______． 13. 在中，若，，，则的面积等于______． 14. 已知函数，（i）若，将函数沿x轴向右平移单位后得到函数图像关于y轴对称，则______；（ii）若在上单调，则ω的最大值为______． 15. 已知函数的定义域为，，给出下面四个结论： ①若，，则； ②若，，有，则为常函数； ③若，，则； ④若，，，则． 其中，全部正确结论的序号为________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知等差数列满足：，． （1）求的通项公式； （2）已知，，求前项的和． 17. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）已知函数，，，满足．再从下面三个条件中选择一个条件，使得存在且唯一确定．若在上恰有三个实数根，求的取值范围． ①向左平移个单位后图象关于原点中心对称； ②在上单调递增； ③对任意的，恒成立． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若，恒成立，求的取值范围． 19. 北京市规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形．考虑到比赛期间需要运送一些补给物品，项目设计需要预留出，为赛道内的两条服务通道（不考虑宽度），，，，，为赛道．，，，，，． （1）求服务通道的长度； （2）求的面积； （3）判断与是否平行？并说明理由． 20. 已知函数，曲线在处的切线方程为． （1）求，的值； （2）求的单调区间； （3）是否存在，，使得点关于原点的对称点在曲线上，若存在，求出符合题意的点的个数．若不存在，说明理由． 21. 对于任意数列，，…，，从中选取第项、第项、…、第项（，），称新数列，，…，为数列，，…，的一个长度为的子列．记为其全部子列之和所组成的集合，记为集合中元素的个数． （1）对于数列：1，2，2与：，，2，直接写出集合与； （2）若，正项数列，，，满足：，都有，求的值； （3）若，数列，，，各项都是整数，且正项与负项的个数都不小于2，如果，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $