精品解析：黑龙江省绥化市第七中学2026-2027学年高二上学期9月阶段测试数学试题

绥化市第七中学2026-2027学年度第一学期9月份阶段测试 高二数学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知则（ ） A. (0，34，10) B. (-3，19，7) C. 44 D. 23 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量的坐标运算及数量积的坐标运算即可. 【详解】， 所以. 故选：C 2. 设l1的方向向量为=（1，2，﹣2），l2的方向向量为 =（﹣2，3，m），若l1⊥l2，则m等于（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由l1⊥l2，可得其两直线的方向向量垂直，即，所以，从而可求出m的值 【详解】因为l1的方向向量为=（1，2，﹣2），l2的方向向量为 =（﹣2，3，m），且l1⊥l2， 所以， 所以，解得， 故选：B 3. 已知平面的法向量为 ，点不在 内，则直线与平面的位置关系为 A. B. C. 与 相交不垂直 D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：，而点不在内，故 考点：直线与平面的位置关系 4. 若向量（x，4，5），（1，﹣2，2），且与的夹角的余弦值为，则x＝（　　） A. 3 B. ﹣3 C. ﹣11 D. 3或﹣11 【答案】A 【解析】 【分析】利用数量积运算性质、向量夹角公式即可得出． 【详解】∵x﹣8+10＝x+2，，3． ∴， 则x+2＞0，即x＞﹣2， 则方程整理得x2+8x﹣33＝0， 解得x＝﹣11或3． x＝﹣11舍去， ∴x＝3 故选A． 【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量夹角公式，考查了计算能力，属于基础题． 5. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以D为坐标原点， ，分别为x轴，y输、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】如图， 以D为坐标原点， ，分别为x轴，y输、z轴正方向建立空间直角坐标系，则．从而. 设平面的法向量为，则，即，得， 令，则，所以点E到平面的距离为． 故选：C 6. 已知四棱锥中，，，，则点到底面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出平面的一个法向量，然后求与法向量夹角的余弦值，利用点到面的距离公式即可求解. 【详解】设是平面的一个法向量， 则由题设，即 令，可得， ，所以 ， ， ，， ， 故点到平面的距离为 故点到平面的距离为， 故选：D． 【点睛】方法点睛：向量方法求点到面的距离 设是平面的一条斜线，是平面的一个法向量，则点到平面的距离为 7. 已知，若平面的一个法向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用法向量和平面内直线的方向向量之间的关系求解即可. 【详解】由得： ， 面的一个法向量为， 所以， 即， 解得， 所以， 故选：C． 8. 若直线的方向向量分别为，则（ ） A. B. C. 相交但不垂直 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】计算，根据其结果，即可判断出答案. 【详解】由题意得， ∴，∴， 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知向量，则与共线的单位向量（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据共线的单位向量的求法求得正确答案. 【详解】依题意，， 即或. 故选：AC 10. 设a，b是空间中不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】由线面平行的判定定理可判断A；举反例可判断B、C；由面面平行的性质定理可判断D. 【详解】对于A，因为，由线面平行的判定定理知A正确； 对于B，若，则可能异面，故B错误； 对于C，若，则可能相交，故C错误； 对于D，若，则，由面面平行的性质定理知D正确. 故选：AD. 11. 给出下列命题，其中是真命题的为（ ） A. 若直线的方向向量，直线的方向向量，则l与m垂直 B. 若直线的方向向量，平面的法向量，则 C. 若平面的法向量分别为，则 D. 若平面经过三点，向量是平面的法向量，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，计算，即可判断；对于B，求出的值，即可判断；对于C，计算的值，即可判断；对于D，求出的坐标，根据法向量含义可得，即可判断. 【详解】对于A，，则， 所以直线与垂直，故A是真命题； 对于B，，则， 所以或，故B是假命题； 对于C，，即不垂直， 所以不成立，故C是假命题； 对于D，， 因为向量是平面的法向量，故， 即，故D是真命题， 故选：AD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】 13. 若直线l1的方向向量为=(1,3,2),直线l2上有两点A(1,0,1),B(2,-1,2),则两直线的位置关系是_____. 【答案】垂直 【解析】 【分析】求出，根据·=0,可判断两直线的位置关系. 【详解】因为=(1,-1,1), 直线l1的方向向量为=(1,3,2), ·=(1,3,2)·(1,-1,1)=0,所以两直线位置关系为垂直. 【点睛】本题考查空间向量的数量积，涉及线线垂直，属基础题． 14. 正四面体的棱长为，点M为平面内的动点，且满足，则直线PM与直线AB的所成角的余弦值的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】结合正四面体的结构特征求出相关线段长，确定M轨迹，建立空间直角坐标系，设，从而表示出的坐标，利用向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】由题意知正四面体的棱长为， 设P在底面上的射影为O，则O为正三角形的中心， 设D为的中点，连接，则O在上，， 且， 则，而， 故，故点M轨迹为平面内以O为圆心半径为1的圆， 以O为坐标原点，以为x轴，过点O作的垂线为y轴，为z轴，建立平面直角坐标系， 设，， ， 故，， 设直线PM与直线AB的所成角为， 则， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线． 【答案】连接，， ∵ ， ， ∴，∴， 又，∴，，三点共线． 【解析】 【分析】把用基底表示后证明它们共线，再由共顶点可得三点共线． 【详解】略 16. 如图，在直三棱柱中，，． （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求点B到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与所成角的大小； （2）利用向量法求得点B到平面的距离． 【小问1详解】 依题意可知两两相互垂直， 以为空间坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， ， ， 设异面直线与所成角为， 则， 由于，所以. 【小问2详解】 ，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 所以点B到平面的距离为. 17. 如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 【答案】 （1）因为，为的中点， 所以，且． 连结． 因为，所以为等腰直角三角形， 且 ，由知． 由知，平面． （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论； （2）方法一：根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果．方法二：通过作垂线构造二面角的平面角，再利用体积法求点到面的距离，最终转化为线面角的正弦值.方法三：构造线面角定义所需的垂线，直接求出线面角的正弦值.方法四：先找出点C到平面PAM的垂足T，再利用二面角的平面角关系直接求出垂线长度，最后在直角三角形中计算线面角正弦值. 【详解】（1）略 （2）［方法一］： 如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系 ． 由已知得 ， 取平面的法向量． 设，则． 设平面的法向量为． 由得 ， 可取， 所以 ． 由已知得 ， 所以 ．解得(舍去)， ． 所以 ． 又 ，所以 ． 所以与平面所成角的正弦值为． ［方法二］： 由（1）知平面，可得平面平面． 如图5，在平面内作，垂足为N，则平面． 在平面内作，垂足为F，联结， 则，故为二面角的平面角，即． 设，则，在中，． 在中，由，得，则． 设点C到平面的距离为h， 由，得，解得， 则与平面所成角的正弦值为． ［方法三］： 由（1）知平面，可得平面平面． 如图6，在平面内作，垂足为N，则平面． 在平面内作，垂足为F，联结，则， 故为二面角的平面角，即． 同方法二可得． 在中，过N作，在中，过N作，垂足为G，联结． 在中，． 因为，所以． 由平面，可得平面平面，交线为． 在平面内，由，可得平面， 则为直线与平面所成的角． 设，则， 又，所以直线与平面所成角的正弦值为． ［方法四］： 如图7，取的中点H，联结，则． 过C作平面的垂线，垂足记为T（垂足T在平面内）． 连结，则即为二面角的平面角，即，得． 联结，则为直线与平面所成的角． 在中，，所以． 【整体点评】（2）方法一：根据题目条件建系，由二面角的向量公式以及线面角的向量公式硬算即可求出，是该类型题的通性通法； 方法二：根据三垂线法找到二面角的平面角，再根据等积法求出点到面的距离，由定义求出线面角，是几何法解决空间角的基本手段； 方法三：根据三垂线法找到二面角的平面角，再利用线面角的等价转化，然后利用定义法找到线面角解出，是几何法解决线面角的基本思想，对于该题，略显麻烦； 方法四：直接根据二面角的定义和线面角的定义解决，原理简单，计算简单，是该题的最优解． 18. 如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点. （1）求证：平面ADEF； （2）求证：平面BDE. 【答案】（1）证明：取的中点，连接，， 在中，，分别为，的中点，所以，且， 由已知，，所以，且， 所以四边形为平行四边形，可得， 又因为平面，且平面， 所以平面. （2）证明：在正方形中，，因为平面平面，且平面平面， 且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 在直角梯形中，，，可得， 在中，，， 因为，所以， 因为，平面， 所以平面. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，先证明四边形为平行四边形，可得，即可证出； （2）由平面平面可得平面，可得，再结合勾股定理证明，即可证出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在三棱台中，与相交于点平面，，且平面． （1）求的值； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知可得，进而可得，进而可求； （2）利用已知可证，以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，直线的方向向量，利用向量的夹角公式可求得直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 连接， 因为平面平面，平面平面， 所以．因为，所以， 所以因此， 所以． 【小问2详解】 由（1）可知，， 所以． 依题意，， 所以平面． 因此，以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系． 则． 所以． 设平面的一个法向量为， 由 取，则，所以． 设与平面所成角为， 则． 即直线与平面所成角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绥化市第七中学2026-2027学年度第一学期9月份阶段测试 高二数学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知则（ ） A. (0，34，10) B. (-3，19，7) C. 44 D. 23 2. 设l1的方向向量为=（1，2，﹣2），l2的方向向量为 =（﹣2，3，m），若l1⊥l2，则m等于（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 3. 已知平面的法向量为 ，点不在 内，则直线与平面的位置关系为 A. B. C. 与 相交不垂直 D. 4. 若向量（x，4，5），（1，﹣2，2），且与的夹角的余弦值为，则x＝（　　） A. 3 B. ﹣3 C. ﹣11 D. 3或﹣11 5. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知四棱锥中，，，，则点到底面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，若平面的一个法向量为，则（ ） A. B. C. D. 8. 若直线的方向向量分别为，则（ ） A. B. C. 相交但不垂直 D. 不能确定 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知向量，则与共线的单位向量（ ） A. B. C. D. 10. 设a，b是空间中不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 给出下列命题，其中是真命题的为（ ） A. 若直线的方向向量，直线的方向向量，则l与m垂直 B. 若直线的方向向量，平面的法向量，则 C. 若平面的法向量分别为，则 D. 若平面经过三点，向量是平面的法向量，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则__________． 13. 若直线l1的方向向量为=(1,3,2),直线l2上有两点A(1,0,1),B(2,-1,2),则两直线的位置关系是_____. 14. 正四面体的棱长为，点M为平面内的动点，且满足，则直线PM与直线AB的所成角的余弦值的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线． 16. 如图，在直三棱柱中，，． （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求点B到平面的距离． 17. 如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 18. 如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点. （1）求证：平面ADEF； （2）求证：平面BDE. 19. 如图，在三棱台中，与相交于点平面，，且平面． （1）求的值； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $