精品解析：黑龙江省佳木斯市桦南县第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度第一学期第三次月考考试 高二数学学科试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知在数列中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线方程为，则此抛物线的准线为（　　） A. B. C. D. 3. 已知椭圆：的两个焦点分别为，，点在上，则的周长为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 5. 已知双曲线与直线相交于A，B两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，直线，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 7. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 8. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，抛物线：（），椭圆与抛物线相交于不同的两点A，B，且四边形的外接圆直径为，若，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线y=kx+1与椭圆，则（ ） A. 直线y=kx+1恒过定点(0，1) B. 方程表示椭圆的条件为m>0 C. 方程表示椭圆的条件为0<m<5 D. 直线与椭圆总有公共点的m取值范围是m≥1且m≠5 10. 设是等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. 当取得最大值时， D. 使成立的最大整数为13 11. 双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点在上，点，点在直线上，则下列说法正确的是（ ） 附：双曲线在其上一点处的切线方程为. A. B. C. 作于点，则（为坐标原点） D. 若的延长线交于点，则的内心在定直线上 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 等差数列的前项和为，，则______. 13. 已知定点，点为圆上的动点，则的中点的轨迹方程为______. 14. 已知，分别是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上运动，当的值最小时，的内切圆的半径为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是首项为23，公差为-4的等差数列. （1）求的通项公式； （2）设的前n项和为，求的最大值. 16. 已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，且的右顶点为． （1）求的方程； （2）设过点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 17. 如图，四棱锥中，底面ABCD，，． （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求． 18. 已知函数 （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值； （3）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若的面积为，求边a的长 19. 动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设点，过点直线与交于，两点，若弦中点的纵坐标为，求直线的斜率； （3）设是曲线上的一动点，由原点向圆引两条切线，分别交曲线于点，，若直线，的斜率均存在，并分别记为，，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期第三次月考考试 高二数学学科试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知在数列中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用累加法可求得，进而得到. 【详解】，， 当时，， 当时，满足， ，. 故选：C. 2. 抛物线方程为，则此抛物线的准线为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化为标准抛物线形式，再由准线方程可得. 【详解】抛物线方程为，则，可得，抛物线的准线为. 故选：D． 3. 已知椭圆：的两个焦点分别为，，点在上，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的方程，求得的值，结合椭圆的定义和几何性质，即可求解. 【详解】由椭圆,可得，，所以， 如图所示，则的周长为. 故选:A. 4. 已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】由直线与圆相切求出，进而判断两圆位置关系. 【详解】圆的圆心，半径， 由直线与圆相切，得，解得， 圆的圆心，半径， 而，所以圆和圆相交. 故选：C 5. 已知双曲线与直线相交于A，B两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设中点为，根据易知确定坐标值，再应用点差法及直线斜率的两点公式得到，进而得到双曲线参数的齐次方程求离心率. 【详解】设中点为，由题设易知，故， 因为，故， 所以，而，故， 故，故. 故选：A 6. 已知，直线，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据两条直线的一般式方程及垂直关系，求出，满足的条件，再由基本不等式求出最小值即可． 【详解】因为，所以，即， 因为，，所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为． 故选：C. 7. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】求出焦点，准线，设动点到直线的距离分别为，求出点到直线的距离为，由抛物线定义得到． 【详解】由题意可得，抛物线的焦点，准线． 点到直线的距离为． 点到直线的距离， 点到直线的距离为， 所以， 当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间，即时（如图），等号成立， 故动点到直线、直线的距离之和的最小值是2. 故选：B 8. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，抛物线：（），椭圆与抛物线相交于不同的两点A，B，且四边形的外接圆直径为，若，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用椭圆与抛物线的对称性分析得四边形的外接圆就是的外接圆，再在中利用正弦定理求得，再利用椭圆中焦点三角形的性质结合题设条件得到的取值范围，再利用和结合三角恒等变换公式弦切互化分析即可求解. 【详解】如图，由椭圆与抛物线的对称性，知点关于轴对称，四边形是等腰梯形或矩形， 易知四边形的外接圆就是的外接圆， 设四边形的外接圆半径为R，在中， 由正弦定理， 记椭圆的上顶点为M，，则由焦点三角性质可知， 又，所以，，所以， 所以， 所以，即，即， 又，所以，即，所以， 所以，即， 则椭圆的离心率的取值范围是. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线y=kx+1与椭圆，则（ ） A. 直线y=kx+1恒过定点(0，1) B. 方程表示椭圆的条件为m>0 C. 方程表示椭圆的条件为0<m<5 D. 直线与椭圆总有公共点的m取值范围是m≥1且m≠5 【答案】AD 【解析】 【分析】对四个选项一一验证： 对于A：用点斜式方程一一验证； 对于B：利用椭圆的标准方程验证； 对于C：利用椭圆的标准方程验证； 对于D：判断直线圆椭圆的位置关系即可. 【详解】解析：由于直线y=kx+1可以化为y-1=k(x-0)，恒过点(0，1)，故A正确； 而方程表示椭圆的条件为m>0且m≠5，故B，C错误； 若直线与椭圆总有公共点，则点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，则0<≤1且m≠5，故m≥1且m≠5，故D正确. 故选：AD. 10. 设是等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. 当取得最大值时， D. 使成立的最大整数为13 【答案】AC 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式，结合等差数列的性质逐一判断即可. 【详解】A：因为是等差数列的前项和， 所以由， 由，而，所以， 因为数列是等差数列，所以等差数列的公差，因此本选项说法正确； B：由上可知：，且，所以，且，所以本选项说法不正确； C：由上可知：，，因此数列的前项都是正数，从第项起每项都是负数， 所以当时，取得最大值，因此本选项说法正确； D：因为， 所以，又， 所以使成立的最大整数为，因此本选项说法不正确， 故选：AC 11. 双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点在上，点，点在直线上，则下列说法正确的是（ ） 附：双曲线在其上一点处的切线方程为. A. B. C. 作于点，则（为坐标原点） D. 若的延长线交于点，则的内心在定直线上 【答案】BCD 【解析】 【分析】设点在第一象限，根据离心率求出，可得选项A错误；根据得，结合双曲线方程可得B正确；分析得直线与双曲线相切，是切点，结合等腰三角形性质及双曲线定义可得选项C正确；分析得直线是双曲线的切线，切点分别为点，联立两切线方程表示点坐标可得选项D正确. 【详解】设双曲线的半焦距为.根据双曲线的对称性，不妨设点在第一象限. 对于A，由题意得，，，解得， 故，，A错误. 对于B，由题可知双曲线右顶点坐标为，故，则， ∴直线的斜率存在， ∵点在直线上，∴， ∴，则， ∵，∴，故，解得，故B正确. 对于C，由题意得，点处的切线方程为，切线斜率为， ∵，故直线与双曲线相切，是切点. 由双曲线的光学性质可知，双曲线上任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角， 则平分，延长，与的延长线交于点，连接， 则为等腰三角形，， ∵为的中点，为的中点， ∴，故C正确. 对于D，记的内心为，则是的平分线，是的平分线， 由选项C可得，直线是双曲线的切线，切点分别为点，设， 则直线的方程为，直线的方程为， 联立两式，解得， 由得，，设直线， 则式可化为，即点在定直线上，故D正确. 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 等差数列的前项和为，，则______. 【答案】7 【解析】 【分析】利用等差数列前项和公式和等差中项的性质，即可求出. 【详解】解：. 故答案为：7. 【点睛】本题考查等差数列前项和公式和等差中项的性质，属于基础题. 13. 已知定点，点为圆上的动点，则的中点的轨迹方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用代入法求解动点的轨迹方程，以及中点公式等知识点，即可求解. 【详解】由题意，设， 则，所以，代入圆的方程， 整理得，即. 故答案为：. 14. 已知，分别是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上运动，当的值最小时，的内切圆的半径为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合基本不等式“1”的妙用求出目标式取最小值的条件，再利用面积法求出三角形内切圆半径. 【详解】椭圆的焦点，且， 则， 因此，当且仅当，即时取等号， 而，则等腰的面积， 所以的内切圆半径. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是首项为23，公差为-4的等差数列. （1）求的通项公式； （2）设的前n项和为，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求解； （2）求得数列的所有正数项，它们的和为的最大值. 【小问1详解】 因为数列是首项为23，公差为-4的等差数列， 所以数列的通项公式为； 【小问2详解】 令，可得，所以数列的前6项为正， 所以数列的前6项和为的最大值，最大值=. 16. 已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，且的右顶点为． （1）求的方程； （2）设过点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的焦点坐标即可得到，从而得到其标准方程； （2）联立直线与抛物线方程，结合弦长公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 因为，所以的右焦点坐标为， 所以，即， 所以的方程为． 【小问2详解】 依题意可得直线的方程为． 由得． 设，则， 则． 17. 如图，四棱锥中，底面ABCD，，． （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求． 【答案】（1）证明：因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以， 根据平面知识可知， 又平面，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先证出平面，即可得，由勾股定理逆定理可得，从而 ，再根据线面平行的判定定理即可证出； （2）过点D作于，再过点作于，连接，根据三垂线法可知，即为二面角的平面角，即可求得，再分别用的长度表示出，即可解方程求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，过点D作于，再过点作于，连接， 因为平面，所以平面平面，而平面平面， 所以平面，又，所以平面， 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 即，即． 因为，设，则，由等面积法可得，， 又，而为等腰直角三角形，所以， 故，解得，即． 【点睛】 18. 已知函数 （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值； （3）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若的面积为，求边a的长 【答案】（1）； （2） （3）5 【解析】 【分析】（1）利用两角和差的正弦公式以及倍角公式化简，结合正弦函数性质，即可求得答案； （2）根据三角函数图象的平移可得的表达式，确定角的范围，即可求得答案； （3）结合（1）求出角A，利用面积公式求出bc的值，再利用余弦定理即可求得答案. 【小问1详解】 由， 得， 故函数的最小正周期为； 令，解得， 故函数的单调递减区间为； 【小问2详解】 由题意得， 因为，所以， 故； 【小问3详解】 由于，故，则， 而，故； 由若的面积为，得，则， 又，故， 故. 19. 动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设点，过点直线与交于，两点，若弦中点的纵坐标为，求直线的斜率； （3）设是曲线上的一动点，由原点向圆引两条切线，分别交曲线于点，，若直线，的斜率均存在，并分别记为，，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是定值，定值为 【解析】 【分析】（1）根据题意列式化简方程即可； （2）设直线的方程为，直线与曲线联立方程，利用韦达定理列式求解即可； （3）直线的方程分别为，设，根据直线与圆相切可得是方程的两个根，结合韦达定理与椭圆的方程可得，进而求得关于的表达式，代入求解即可. 【小问1详解】 由题意，点与定点的距离， 点到直线的距离，所以， 即，化简得， 故曲线的方程为； 【小问2详解】 设直线的方程为， 则， ，解得或， 所以， 因为弦中点的纵坐标为，所以，解得（不符合舍去）或， 所以直线的斜率为； 【小问3详解】 由题意可得，直线的方程分别为，设. 由直线与圆相切可得. ，同理， 所以是方程的两个根，所以， 所以，， 因为是曲线上的一动点，所以， 则有， 联立方程，所以， 所以，同理 所以， 因为，所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $