专题01 三角形11题型52题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材人教版

专题01 三角形 基础·固本强基 题型 1认识三角形，数三角形个数 题型 2 三角形三边关系判断能否组成三角形(重点） 题型 3 三角形高、中线、角平分线概念辨析与简单作图 题型 4 三角形内角和定理直接求内角(重点) 提升·进阶突破 题型 5 三角形外角性质求角度(重点) 题型 6 中线等分三角形面积相关计算 题型7三角形稳定性实际应用 拔高·压轴破难 题型 8 内角 +外角综合角度计算(难点） 题型 9三边关系求边长、周长取值范围(重难点) 题型 10 三角形角平分线模型(双内角/内外角平分线) 题型 11 折叠背景下三角形角度计算(压轴常考) 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型 1 识别三角形、数三角形个数（共 5 小题） 【模型】按顶点 / 边有序枚举，不重不漏。 【步骤】①选定一个顶点；②依次搭配其他顶点组合三角形；③更换顶点继续计数，排除重复图形。 【易错】容易漏数、重复数；混淆三角形和其他多边形。 1．（26-27八年级上·全国·课后作业）观察下列图形，是三角形的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）若的三边长a，b，c满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 3．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图，第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 4．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，一把不透明的尺子挡住了三角形的一部分，则这个三角形的类别为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．无法判断 5．（2025七年级上·山东·专题练习）下列关于三角形的描述，正确的是（    ） A．由三条线段组成的图形叫做三角形 B．三角形的内角和为，外角和为 C．锐角三角形的三个外角都是钝角 D．直角三角形只有一条高 题型 2 三角形三边关系判断能否构成三角形（重点）（共 5 小题） 【模型】两边之和大于第三边，简便判定：较短两边之和＞最长边。 【步骤】①找出三条边中最长线段；②计算另外两条短边相加；③比较和与最长边大小。 【易错】错误用任意两边之差大于第三边判断；忽略边长必须大于 0。 6．（26-27八年级上·云南昆明·阶段检测）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（     ） A．15，10，7 B．4，5，10 C．3，8，5 D．14，5，6 7．（2026八年级上·全国·专题练习）把一根厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形，第一剪不符合要求的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·广东汕头·期中）一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为（     ） A． B． C．或 D． 9．（25-26七年级下·山东潍坊·期末）如图，小亮在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的长可能是（     ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）若三角形的三边长分别是3，4，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型 3 三角形的高、中线、角平分线概念辨析（共 4 小题） 【模型】高：顶点向对边作垂线；中线：顶点到对边中点连线；角平分线：平分内角交对边。 【步骤】①看清图形对应线段；②对照定义判断是高 / 中线 / 角平分线；③掌握中线平分面积。 【易错】钝角三角形两条高在三角形外部；混淆角平分线与垂线。 11．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）下列四个图形中，线段是的高的是（     ）． A． B． C． D． 12．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在中，为的平分线，下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 13．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在中，是中线，是角平分线，是高，下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 14．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．角平分线、中线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．中线、角平分线、高线 D．高线、中线、角平分线 题型 4 三角形内角和定理直接求角度（重点）（共 4 小题） 【模型】三角形内角和 = 180°。 【步骤】①找到已知角；②设未知角；③列等式：三个内角相加 = 180° 求解。 【易错】直角三角形忘记两锐角互余；计算角度加减出错。 15．（26-27八年级上·河南信阳·阶段检测）直角三角形其中一个锐角的度数是，则另一个锐角的度数是（     ） A． B． C． D． 16．（26-27八年级上·云南临沧·阶段检测）若一个三角形的三个内角之比为，则这个三角形中最大的内角是（     ） A． B． C． D． 17．（2026·河南周口·模拟预测）如图，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 18．（2026·辽宁锦州·三模）一副三角尺按如图方式放置，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 提升·进阶突破 题型 5 三角形外角性质求角度（重点）（共 4 小题） 【模型】三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角之和；外角大于任意不相邻内角。 【步骤】①定位外角；②找到不相邻的两个内角；③代入外角公式计算。 【易错】错把相邻内角当作不相邻内角；外角定义理解错误。 19．（26-27八年级上·河南安阳·阶段检测）如图，是的外角，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 20．（26-27八年级上·河北沧州·阶段检测）如图，在中，，直线始终与边、相交，在直线位置变化时，的度数是（     ） A． B． C． D．随位置的变化而变化 21．（25-26七年级下·江西南昌·期末）停车场有如图1所示的地锁，图2为其示意图，若，则（    ） A． B． C． D． 22．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）一副三角板按如图所示位置放置，已知，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 题型 7 中线等分三角形面积计算（共 5 小题） 【模型】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分。 【步骤】①找到中线；②得到等面积小三角形；③层层推导图形面积关系。 【易错】多条中线叠加时，面积倍数关系推导错误。 23．（26-27八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，是的边上的中线，，分别是，的中点，若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 24．（26-27八年级上·新疆和田·阶段检测）如图，在中，，分别是边上的中线和高，，．则的面积为（     ） A． B． C． D． 25．（26-27八年级上·天津红桥·开学考试）如图，在中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是4，则的面积为（     ） A．12 B．16 C．24 D．32 26．（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）如图，的两条中线、相交于点O，若的面积为48，则四边形的面积为（　　） A．12 B．14 C．16 D．24 27．（25-26八年级上·山东日照·期末）如图，的面积为1，分别倍长（延长一倍）得到，再分别倍长，，得到…，按此规律，倍长2025次后得到的的面积为（   ） A． B． C． D． 题型 8 三角形稳定性实际应用（共 3 小题）z 【模型】三角形结构不易变形；四边形具有不稳定性。 【步骤】①判断图形是否构成三角形框架；②对应稳定性原理作答。 【易错】分不清稳定 / 不稳定结构。 28．（26-27八年级上·河北沧州·阶段检测）2026年7月，河北省第十七届运动会射击步手枪项目决赛举行，各参赛选手展现出极强的综合实力与心理素质．射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是（     ） A．三角形的稳定性 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短 29．（21-22七年级下·吉林长春·阶段检测）如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这种做法的依据是（     ） A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性 C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性 30．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使七边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，又至少要钉多少根木条？请带着这些问题开始探究活动．    多边形木架的边数 至少要钉木条的根数 … ▲ 根据以上信息，解答下列问题． （1）要使十二边形的木架不变形，应至少要钉______根木条． （2）表格中的“▲”处填_____．（用含n的代数式表示） （3）有一个多边形，至少要钉上18根木条，才能使它不变形．则这个多边形的边数是_____． 拔高·压轴破难 题型 9 内角 + 外角综合角度计算（难点）（共 6 小题） 【模型】内角和 + 外角定理综合；“飞镖模型”“8 字模型”。 【步骤】①拆分复杂图形，找出基础三角形；②标记已知角，利用模型转化角度；③列式求解。 【易错】模型套用条件不清，直接硬套 8 字、飞镖模型。 31．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，直线，的顶点在直线上，若，，则________． 32．（26-27八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图．，，，相交于点，，．求的大小． 33．（26-27八年级上·吉林松原·阶段检测）【问题情景】：如图①，在中，有一块直角三角板放置在上（点P在内），使三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点． (1)【特殊探究】：若，则________度，________度，________度； (2)【类比探索】：请就图①探究与的关系并证明； (3)【类比延伸】：如图②，改变直角三角板的位置，使点P在外，三角板的两条直角边、仍然分别经过点和点，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请写出结论并说明理由． 34．（25-26七年级下·江西景德镇·期末）如图，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 35．（25-26七年级下·河北衡水·期末）如图，在中，，垂足为，点在边上，，垂足为，． (1)试说明； (2)若，，求的度数． 36．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，已知直线，，点是直线上的一个动点（不与点重合），，分别平分和． (1)当点在点左侧时，若，则=______°． (2)若点为点左侧运动时，求的度数是否会发生变化？若不变化，求出该度数；若变化，请说明理由． (3)与之间存在怎样的数量关系？写出结论并说明理由． 题型 10 利用三边关系求边长、周长取值范围（重难点）（共 6 小题） 【模型】两边之差＜第三边＜两边之和。 【步骤】①确定已知两边；②求出第三边取值范围；③结合边长为正整数，求周长范围。 【易错】端点等号取舍；等腰三角形未分类讨论腰和底 37．（25-26七年级下·四川成都·期末）若三角形的两边长分别是3，4，最长边是奇数，则该三角形的周长是___． 38．（25-26七年级下·河南洛阳·期末）已知为奇数，且，满足，若，，为三角形三边长，则第三条边长的值是________． 39．（2026·四川广安·中考真题）已知三角形的两边长分别为2和3，第三边长为整数，则这个三角形周长的最大值为_____． 40．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）已知三角形的三边长分别为，，，则整数的最小值是________． 41．（25-26八年级下·浙江嘉兴·阶段检测）已知的周长是12，，则边的取值范围是________． 42．（25-26八年级上·西藏林芝·期中）已知的三边长分别是，若的周长是大于的正整数，则______． 题型 11 角平分线模型角度推导（难点）（共 6 小题） 【模型】双内角平分线、内外角平分线、双外角平分线角度公式。 【步骤】①标记角平分线分出的等角；②用内角和、外角定理做代数代换；③化简得到目标角。 【易错】混淆三类角平分线模型结论；推导跳步导致角度关系出错 43．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，是，平分线的交点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 44．（25-26八年级上·湖北孝感·阶段检测）如图，的外角和外角的平分线交于点，已知，则的度数为（   ） A．42° B．40° C．38° D．36° 45．（七年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，则（     ） A． B． C． D． 46．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）如图，在中，已知，点为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分，平分，平分，…，以此类推，则，________． 47．（25-26七年级下·河北承德·期末）已知线段与相交于点，连接，． (1)如图1，若，则的度数为__________，的度数为__________； (2)如图2．若，，求证：； (3)如图3，若，，，求的度数． 48．（25-26七年级下·吉林长春·期末）在中，与的角平分线与相交于点P． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，延长至M，延长至N，与的角平分线相交于点Q，若． ①用含的代数式表示的大小为__________°； ②用含的代数式表示的大小为__________°； (3)如图3，在（2）的条件下，延长、交于点R．在中，除外，若一个内角是另一个内角的3倍，直接写出的大小． 题型 12 折叠背景下三角形角度计算（压轴常考）（共 4 小题） 【模型】折叠前后对应角相等。 【步骤】①标出折叠前后相等角；②在三角形内用内角和 / 外角建立方程；③解方程。 【易错】找不到折叠对应的相等角；角度关系梳理混乱。 49．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，是一张纸片，把沿折叠，点C落在点处． (1)若，判断与的位置关系并说明理由； (2)若与不平行，，则______． 50．（25-26八年级上·全国·课后作业）把三角形纸片沿折叠． (1)如图①，当点A落在四边形内部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． (2)如图②，当点A落在四边形外部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． 51．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究： (1)如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和； (2)如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和； (3)如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系． 52．（23-24八年级上·河南新乡·阶段检测）在学习三角形之后，八（1）班实践课上，乐乐把一个三角形纸片沿折叠，使点落在内部的点处． (1)如图1，若，则___________°； (2)利用图1，探究，与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，把折叠后，，恰好分别是与的平分线，若，利用（2）中的结论求的度数． $专题01 三角形 基础·固本强基 题型 1认识三角形，数三角形个数 题型 2 三角形三边关系判断能否组成三角形(重点） 题型 3 三角形高、中线、角平分线概念辨析与简单作图 题型 4 三角形内角和定理直接求内角(重点) 提升·进阶突破 题型 5 三角形外角性质求角度(重点) 题型 6 中线等分三角形面积相关计算 题型7三角形稳定性实际应用 拔高·压轴破难 题型 8 内角 +外角综合角度计算(难点） 题型 9三边关系求边长、周长取值范围(重难点) 题型 10 三角形角平分线模型(双内角/内外角平分线) 题型 11 折叠背景下三角形角度计算(压轴常考) 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型 1 识别三角形、数三角形个数（共 5 小题） 【模型】按顶点 / 边有序枚举，不重不漏。 【步骤】①选定一个顶点；②依次搭配其他顶点组合三角形；③更换顶点继续计数，排除重复图形。 【易错】容易漏数、重复数；混淆三角形和其他多边形。 1．（26-27八年级上·全国·课后作业）观察下列图形，是三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的定义，逐一判断选项即可． 【详解】解：因为由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形，所以只有选项D符合题意． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）若的三边长a，b，c满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】首先根据平方和绝对值的非负性得到，，求出，即可得结论． 【详解】解：∵， ，， ， ∴是等边三角形． 3．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图，第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 【答案】A 【分析】根据各图形三角形的个数即可找到规律，根据规律即可解答． 【详解】解：第①个图中三角形的个数为1； 第②个图中三角形的个数为； 第③个图中三角形的个数为； …， 故第n个图中三角形的个数为， 故第⑧个图形中三角形的个数为：． 4．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，一把不透明的尺子挡住了三角形的一部分，则这个三角形的类别为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的分类，属于基础题型，掌握其分类的方法是做题的关键．根据题意与图可得，这个三角形为锐角三角形． 【详解】解：根据题意与图可得，这个三角形为锐角三角形． 故选：C． 5．（2025七年级上·山东·专题练习）下列关于三角形的描述，正确的是（    ） A．由三条线段组成的图形叫做三角形 B．三角形的内角和为，外角和为 C．锐角三角形的三个外角都是钝角 D．直角三角形只有一条高 【答案】C 【分析】本题考查三角形的性质，熟练掌握三角形的性质是解题的关键． 根据三角形的定义、三角形内角和定理、直角三角形的性质进行逐项判断即可． 【详解】解：选项A、三角形是由三条不在同一直线的线段首尾顺次连接组成的图形，则 A错误； 选项B、根据三角形内角和定理得，三角形的内角和为，外角和为，则 B错误； 选项C、锐角三角形的每个内角小于，每个外角内角，则三个外角都是钝角，C正确； 选项D、直角三角形有两条直角边作为高，还有从直角顶点向斜边所作的高，有三条高，则D错误； 故选：C． 题型 2 三角形三边关系判断能否构成三角形（重点）（共 5 小题） 【模型】两边之和大于第三边，简便判定：较短两边之和＞最长边。 【步骤】①找出三条边中最长线段；②计算另外两条短边相加；③比较和与最长边大小。 【易错】错误用任意两边之差大于第三边判断；忽略边长必须大于 0。 6．（26-27八年级上·云南昆明·阶段检测）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（     ） A．15，10，7 B．4，5，10 C．3，8，5 D．14，5，6 【答案】A 【分析】比较每组线段中较短两条的长度和与最长线段的长度，判断能否构成三角形． 【详解】解：∵， ∴长为15，10，7的线段能组成三角形，A符合题意， ∵，，， ∴B、C、D选项中的线段均不能组成三角形． 7．（2026八年级上·全国·专题练习）把一根厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形，第一剪不符合要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系，根据“三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边”进行解答即可． 【详解】解：一边是，另外两边是即可组成三角形； 两边都是，那再分其中一边为两边后，都必然出现两边之和等于第三边的情况，不符合三边关系，不能组成三角形； 一边是，另外两边是即可组成三角形； 一边是，另外两边是或者都可组成三角形； 故答案是． 8．（25-26八年级上·广东汕头·期中）一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】等腰三角形两条腰长度相等，结合已知的两边长，分类讨论两种边长组合；根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，验证每种组合是否能构成三角形；最后计算周长． 【详解】解：若腰为6，则三边为6、6、13，，不能构成三角形； 若腰为13，则三边为13、13、6，可以构成三角形，周长为． 9．（25-26七年级下·山东潍坊·期末）如图，小亮在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的长可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系即可解答． 【详解】解：在 中，由三角形的三边关系可知： ， ，即 ， 观察各选项，只有 在此范围内． 10．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）若三角形的三边长分别是3，4，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵三角形的三边长分别是x，3，4， ∴x的取值范围是， 即． 题型 3 三角形的高、中线、角平分线概念辨析（共 4 小题） 【模型】高：顶点向对边作垂线；中线：顶点到对边中点连线；角平分线：平分内角交对边。 【步骤】①看清图形对应线段；②对照定义判断是高 / 中线 / 角平分线；③掌握中线平分面积。 【易错】钝角三角形两条高在三角形外部；混淆角平分线与垂线。 11．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）下列四个图形中，线段是的高的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边（或对边的延长线）作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵线段是的高， ∴就是过点，向对边（或的延长线）作垂线，垂足在直线上， ∴选项：和不垂直，不是高； 选项：，垂足为，是从顶点向对边所作的垂线段，符合高的定义． 12．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在中，为的平分线，下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 为的平分线， ， 不能得到，，． 13．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在中，是中线，是角平分线，是高，下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形中线、角平分线、高的定义判断：中线平分对边，得到，；角平分线是，故，不是；高垂直底边，，因此B选项错误． 【详解】解：是中线， ，故A正确； ，故D正确； 是角平分线， ，故B错误； 是高， ，故C正确． 14．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．角平分线、中线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．中线、角平分线、高线 D．高线、中线、角平分线 【答案】B 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线、中线，理解三角形的角平分线、高线、中线的定义是解题的关键．再根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， 是的角平分线； 由图2得，， ， 即， ， 是的高线； 由图3得，， 是的中线； 综上所述，依次是的角平分线、高线、中线． 题型 4 三角形内角和定理直接求角度（重点）（共 4 小题） 【模型】三角形内角和 = 180°。 【步骤】①找到已知角；②设未知角；③列等式：三个内角相加 = 180° 求解。 【易错】直角三角形忘记两锐角互余；计算角度加减出错。 15．（26-27八年级上·河南信阳·阶段检测）直角三角形其中一个锐角的度数是，则另一个锐角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形两锐角互余进行求解即可． 【详解】解：∵直角三角形两锐角互余，其中一个锐角为， ∴另一个锐角的度数为． 16．（26-27八年级上·云南临沧·阶段检测）若一个三角形的三个内角之比为，则这个三角形中最大的内角是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵一个三角形的三个内角之比为， ∴这个三角形中最大的内角是． 17．（2026·河南周口·模拟预测）如图，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据垂线定义得到，再根据三角形内角和定理求出的度数，根据平行线的性质求出结果即可． 【详解】， ， ， ， ， ． 18．（2026·辽宁锦州·三模）一副三角尺按如图方式放置，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线的性质与三角形的内角和定理求解即可. 【详解】解：由题可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 提升·进阶突破 题型 5 三角形外角性质求角度（重点）（共 4 小题） 【模型】三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角之和；外角大于任意不相邻内角。 【步骤】①定位外角；②找到不相邻的两个内角；③代入外角公式计算。 【易错】错把相邻内角当作不相邻内角；外角定义理解错误。 题型 6 多边形内角和、外角和计算（共 5 小题） 【模型】多边形内角和：(n-2)180°；任意多边形外角和恒为360°。 【步骤】①确定边数n；②选对应公式列式；③求解边数或角度。 【易错】记错内角和公式；误以为边数越大外角和越大。 19．（26-27八年级上·河南安阳·阶段检测）如图，是的外角，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是的外角，，， ∴． 20．（26-27八年级上·河北沧州·阶段检测）如图，在中，，直线始终与边、相交，在直线位置变化时，的度数是（     ） A． B． C． D．随位置的变化而变化 【答案】B 【分析】设直线与的交点为M，与的交点为N，由三角形的内角和定理得到，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：如图，设直线与的交点为M，与的交点为N， ∵， ∴， ∵，， ∴． 21．（25-26七年级下·江西南昌·期末）停车场有如图1所示的地锁，图2为其示意图，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形外角定理以及邻补角定义进行求解． 【详解】解：如图2所示， ， 根据三角形外角定理可得， ． 22．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）一副三角板按如图所示位置放置，已知，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型 7 中线等分三角形面积计算（共 5 小题） 【模型】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分。 【步骤】①找到中线；②得到等面积小三角形；③层层推导图形面积关系。 【易错】多条中线叠加时，面积倍数关系推导错误。 23．（26-27八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，是的边上的中线，，分别是，的中点，若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵是的边上的中线， ∴； ∵E为的中点， ∴； 又∵F为的中点， ∴． 24．（26-27八年级上·新疆和田·阶段检测）如图，在中，，分别是边上的中线和高，，．则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的面积，再根据中线的性质求解即可． 【详解】解：∵是边上的高，，， ∴， 又∵是边上的中线， ∴． 25．（26-27八年级上·天津红桥·开学考试）如图，在中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是4，则的面积为（     ） A．12 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【分析】根据，，分别是，，的中点，得到，，，继而得到，解答即可． 【详解】解：由，，分别是，，的中点， 得到，，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴． 26．（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）如图，的两条中线、相交于点O，若的面积为48，则四边形的面积为（　　） A．12 B．14 C．16 D．24 【答案】C 【分析】本题考查了根据三角形中线求三角形的面积． 连接，可知，，，进而得到，，即，即可求出四边形的面积． 【详解】解：如图，连接， ∵、是的中线， ∴，，， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 27．（25-26八年级上·山东日照·期末）如图，的面积为1，分别倍长（延长一倍）得到，再分别倍长，，得到…，按此规律，倍长2025次后得到的的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积，图形类的规律探索．根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后求出第一次倍长后的面积是的面积的倍，依此规律可得结论． 【详解】解：连接、、，根据等底等高的三角形面积相等，   、C、C、、、、的面积都相等， 所以，， 同理， 依此类推，的面积为， 的面积为， ∴的面积． 故选：C． 题型 8 三角形稳定性实际应用（共 3 小题）z 【模型】三角形结构不易变形；四边形具有不稳定性。 【步骤】①判断图形是否构成三角形框架；②对应稳定性原理作答。 【易错】分不清稳定 / 不稳定结构。 28．（26-27八年级上·河北沧州·阶段检测）2026年7月，河北省第十七届运动会射击步手枪项目决赛举行，各参赛选手展现出极强的综合实力与心理素质．射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是（     ） A．三角形的稳定性 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短 【答案】A 【分析】“三角形的稳定性”能够使结构稳定不易变形，“垂线段最短”适用于最短距离问题，“两点之间，线段最短”涉及最短路径问题，“两点确定一条直线”是指经过两点有且只有一条直线．由题意“射击队员的手、肘、肩构成托枪三角形”，可知利用了三角形的稳定性． 【详解】解：“射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形”利用了三角形的稳定性，使自身更稳定，不受外力干扰， ∴这种方法应用的几何原理是三角形的稳定性． 29．（21-22七年级下·吉林长春·阶段检测）如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这种做法的依据是（     ） A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性 C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性 【答案】D 【分析】根据加上窗钩，可以构成三角形的形状，故可用三角形的稳定性解释． 【详解】解：用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性． 30．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使七边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，又至少要钉多少根木条？请带着这些问题开始探究活动．    多边形木架的边数 至少要钉木条的根数 … ▲ 根据以上信息，解答下列问题． （1）要使十二边形的木架不变形，应至少要钉______根木条． （2）表格中的“▲”处填_____．（用含n的代数式表示） （3）有一个多边形，至少要钉上18根木条，才能使它不变形．则这个多边形的边数是_____． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查三角形的稳定性，图形类规律问题； （1）利用三角形具有稳定性即可解答； （2）根据（1）中的结论代入计算即可求解； （3）根据（1）中的结论可知，有18根木条，则多边形的边数为，即可求解． 【详解】解：（1）如下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 2 3 … （根）， ∴要使十二边形木架不变形，至少要钉上9根木条， 故答案为：． （2）由（1）进而得表格中的“▲”处填 故答案为：． （3）解：， ∴这个多边形的边数是21， 故答案为：21． 拔高·压轴破难 题型 9 内角 + 外角综合角度计算（难点）（共 6 小题） 【模型】内角和 + 外角定理综合；“飞镖模型”“8 字模型”。 【步骤】①拆分复杂图形，找出基础三角形；②标记已知角，利用模型转化角度；③列式求解。 【易错】模型套用条件不清，直接硬套 8 字、飞镖模型。 31．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，直线，的顶点在直线上，若，，则________． 【答案】 【分析】根据平行线的性质，根据对顶角性质和三角形外角的性质得出，，最后求出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 32．（26-27八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图．，，，相交于点，，．求的大小． 【答案】 【分析】根据三角形内角和为，分别在，中解答即可； 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 33．（26-27八年级上·吉林松原·阶段检测）【问题情景】：如图①，在中，有一块直角三角板放置在上（点P在内），使三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点． (1)【特殊探究】：若，则________度，________度，________度； (2)【类比探索】：请就图①探究与的关系并证明； (3)【类比延伸】：如图②，改变直角三角板的位置，使点P在外，三角板的两条直角边、仍然分别经过点和点，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请写出结论并说明理由． 【答案】(1)；； (2)，证明如下： 在中，，， 在中，, 即, 两式作差得，， 即， ． (3)不成立，结论为，理由如下： 如图，设交于点， ， ， ，，， ， ． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，的度数，两者作差即可得到的度数； （2）根据三角形内角和定理列出和的内角和的等量关系式，两式作差即可得出与的关系； （3）设与交于点，则，根据三角形内角和定理推出，进而推出与（2）不一致的结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）略 （3）略 34．（25-26七年级下·江西景德镇·期末）如图，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， ； (2) 【分析】本题考查平行的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）先证明，则，进而得到，从而得出结论； （2）由（1）知，利用三角形内角和定理得到，进而得到关于的方程，解方程求出的度数，从而求出的度数． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）知， ， ， ， 解得：， ． 35．（25-26七年级下·河北衡水·期末）如图，在中，，垂足为，点在边上，，垂足为，． (1)试说明； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)解：，， ， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）先根据垂直定义得出，根据平行线判定可得出，故可得出，推出，根据平行线的判定即可得出结论； （2）先根据得出，由直角三角形的性质得出的度数，故可得出的度数，再根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，， ， ， 又， ． 36．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，已知直线，，点是直线上的一个动点（不与点重合），，分别平分和． (1)当点在点左侧时，若，则=______°． (2)若点为点左侧运动时，求的度数是否会发生变化？若不变化，求出该度数；若变化，请说明理由． (3)与之间存在怎样的数量关系？写出结论并说明理由． 【答案】(1) (2)不变化，，理由如下： ，， ， ，分别平分和， ，， ， 即，不变化； (3)点在点左侧时，；点在点右侧时，，理由如下： 设， ①点在点左侧时， ，， 此时； ②点在点右侧时， ，， 此时，． 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补和两直线平行，内错角相等，以及角平分线的定义作答即可； （2）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，，根据求出结果即可； （3）分两种情况进行讨论，点在点左侧时，点在点右侧时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解： ， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）略 题型 10 利用三边关系求边长、周长取值范围（重难点）（共 6 小题） 【模型】两边之差＜第三边＜两边之和。 【步骤】①确定已知两边；②求出第三边取值范围；③结合边长为正整数，求周长范围。 【易错】端点等号取舍；等腰三角形未分类讨论腰和底 37．（25-26七年级下·四川成都·期末）若三角形的两边长分别是3，4，最长边是奇数，则该三角形的周长是___． 【答案】 【分析】三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出第三边的取值范围，结合最长边为奇数的条件确定第三边的长度，再计算三角形的周长． 【详解】解：设该三角形的第三边长为， 由题意得，即 ∵该三角形的最长边为奇数， ∴，且为奇数， ∴ ∴该三角形的周长为 ． 38．（25-26七年级下·河南洛阳·期末）已知为奇数，且，满足，若，，为三角形三边长，则第三条边长的值是________． 【答案】 【分析】先利用非负数的性质求出，的值， 再根据三角形三边关系得到的取值范围， 最后结合为奇数确定的值. 【详解】解：， ，， 解得，， ，，是三角形的三边长， 根据三角形三边关系可得 ， 代入的值得， 即， 又为奇数， . 39．（2026·四川广安·中考真题）已知三角形的两边长分别为2和3，第三边长为整数，则这个三角形周长的最大值为_____． 【答案】9 【分析】先利用三角形三边关系确定第三边长的取值范围，再根据第三边长为整数，得出第三边长的最大值，即可得到三角形周长的最大值． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为和， ∴第三边长，即第三边长， ∵第三边长为整数， ∴第三边长最大值为， 则这个三角形周长的最大值为． 40．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）已知三角形的三边长分别为，，，则整数的最小值是________． 【答案】 【详解】解：由三角形三边关系得，即， 为整数， 整数的最小值是． 41．（25-26八年级下·浙江嘉兴·阶段检测）已知的周长是12，，则边的取值范围是________． 【答案】 【分析】设，根据的周长用表示出和的长度，再根据三角形三边关系列出不等式组，解不等式组得到的取值范围． 【详解】解：设，由可得， 又∵的周长为， ∴． 则，解得：， 根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可列不等式组：， 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， 解第三个不等式得， 综上得，， 即． 42．（25-26八年级上·西藏林芝·期中）已知的三边长分别是，若的周长是大于的正整数，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形三边关系；根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”确定的取值范围，根据周长大于，进而求解x的值． 【详解】解：由三角形三边关系，得，即， 周长为， 由题意，解得， 因此， 又为整数，故， 经检验，三边满足三角形三边关系，且周长为，符合题意． 故答案为：． 题型 11 角平分线模型角度推导（难点）（共 6 小题） 【模型】双内角平分线、内外角平分线、双外角平分线角度公式。 【步骤】①标记角平分线分出的等角；②用内角和、外角定理做代数代换；③化简得到目标角。 【易错】混淆三类角平分线模型结论；推导跳步导致角度关系出错 43．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，是，平分线的交点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形内角和定理先求出，再利用角平分线的定义求出，最后利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：， ， 平分，平分， ，， ， ． 44．（25-26八年级上·湖北孝感·阶段检测）如图，的外角和外角的平分线交于点，已知，则的度数为（   ） A．42° B．40° C．38° D．36° 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角性质与角平分线的综合运用，解题的关键是利用三角形内角和及外角和的关系，结合角平分线定义推导角度． 先根据角平分线定义表示出、，再由的内角和求出，进而得到外角和的一半，最后结合三角形外角和求出． 【详解】解：平分，平分， ， 在中，， ， ，， ， 又， ， 解得． 故选：B． 45．（21-22七年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得，再结合角平分线的定义，找出角变化的规律即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴． 46．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）如图，在中，已知，点为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分，平分，平分，…，以此类推，则，________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得的度数，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理即可求出的度数，同样的方法求出的度数，然后归纳类推出一般规律，由此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 同理可得 ， 归纳类推得，其中n为正整数， ∴． 47．（25-26七年级下·河北承德·期末）已知线段与相交于点，连接，． (1)如图1，若，则的度数为__________，的度数为__________； (2)如图2．若，，求证：； (3)如图3，若，，，求的度数． 【答案】(1)， (2)证明：在与中，， ∵， ∴， ， ， ，， ， ； (3) 【分析】（1）根据三角形内角和及对顶角可进行求解； （2）根据三角形内角和及对顶角相等可得，则有，然后根据三角形外角的性质可进行求证； （3）由（1）得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：在中，，且， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：如下图， ，， ，， 由（1）得，， 两式相加，得， 即， ． 48．（25-26七年级下·吉林长春·期末）在中，与的角平分线与相交于点P． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，延长至M，延长至N，与的角平分线相交于点Q，若． ①用含的代数式表示的大小为__________°； ②用含的代数式表示的大小为__________°； (3)如图3，在（2）的条件下，延长、交于点R．在中，除外，若一个内角是另一个内角的3倍，直接写出的大小． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再利用三角形内角和定理求解即可； （2）根据三角形内角和定理可得，进而得到；①②利用角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可； （3）如图：延长至D，利用角平分线的定义、三角形外角的性质可得，再结合，然后分和两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，，点P是和的平分线的交点， ∴，， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴，， ①∵与的角平分线与相交于点P， ∴，， ∴， ∵， ∴． ②∵与的角平分线相交于点Q， ∴，， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图：延长至D， ∵为的外角的角平分线， ∴, ∵，, ∴, ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即； 由（2）可知 ∵在中，除外，若一个内角是另一个内角的3倍， ∴①当时，即，解得：； ②当时，即，解得：； 综上所述，的度数是或． 题型 12 折叠背景下三角形角度计算（压轴常考）（共 4 小题） 【模型】折叠前后对应角相等。 【步骤】①标出折叠前后相等角；②在三角形内用内角和 / 外角建立方程；③解方程。 【易错】找不到折叠对应的相等角；角度关系梳理混乱。 49．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，是一张纸片，把沿折叠，点C落在点处． (1)若，判断与的位置关系并说明理由； (2)若与不平行，，则______． 【答案】(1) 解：，理由如下： ， ， 由折叠得， ， ； (2)100 【分析】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质及折叠前后对应角相等是解题的关键． （1）由可得，由折叠得，等量代换可得，即可证明； （2）由折叠得，，结合，，，即可推出． 【详解】（1）略 （2）解：由折叠得，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：100． 50．（25-26八年级上·全国·课后作业）把三角形纸片沿折叠． (1)如图①，当点A落在四边形内部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． (2)如图②，当点A落在四边形外部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． 【答案】(1) ，理由如下： 如图， 根据翻折以及平角的意义可得，，， ， ， 整理得，； (2) ，理由如下： 如图： 根据翻折以及平角的意义可得，，， ， ， 整理得，． 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理翻折的性质，整体思想的利用是解题的关键． （1）根据翻折的性质以及平角的定义表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解； （2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 51．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究： (1)如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和； (2)如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和； (3)如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查折叠性质，三角形内角和定理，解答此题时要充分利用折叠部分折叠前后形成的图形为全等形的性质，并且解答该题时要充分利用三角形的性质． （1）根据折叠前后的图象全等可知，，，再根据三角形内角和定理比可求出答案； （2）连接，将作为一个整体，根据三角形内角和定理来求； （3）将看作，看作，再根据三角形内角和定理求解，即可解题． 【详解】（1）解：由折叠性质可知：，， ， ； （2）解：连接， 由折叠性质可知：， ， ； （3）解： ， 所以：． 52．（23-24八年级上·河南新乡·阶段检测）在学习三角形之后，八（1）班实践课上，乐乐把一个三角形纸片沿折叠，使点落在内部的点处． (1)如图1，若，则___________°； (2)利用图1，探究，与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，把折叠后，，恰好分别是与的平分线，若，利用（2）中的结论求的度数． 【答案】(1) (2) ，理由如下： 设， ， 由折叠得：，， ， ， ， ； ； (3) 【分析】（1）可求，可得，，即可求解； （2）设，可得 ，可求，，即可求解； （3）可得，可求 ，由即可求解． 【详解】（1）解： ， ， 由折叠得：，， ， ， ； 故答案：． （2）略 （3）解：由（2）得 ， ， ，恰好分别是与的平分线， ， ， ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题的关键． $