专题03 全等三角形模型、综合证明与动点压轴8题型42题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材人教版

专题03 全等三角形模型、综合证明与动点压轴 基础·固本强基 题型 1 角平分线性质与判定 提升·进阶突破 题型 2 一线三等角模型（K 型全等）（难点） 题型 3 手拉手模型（重点） 题型 4 倍长中线模型（难点） 题型 5 截长补短模型（重难点） 拔高·压轴破难 题型 6 全等三角形多结论选择题（难点） 题型 7 全等三角形动点问题（压轴） 题型 8 全等综合证明（多步证明 + 辅助线） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型 1 角平分线性质与判定（共 5 小题） 【模型】角平分线上点到角两边距离相等；到角两边距离相等的点，在角平分线上。 【步骤】①看到角平分线，作垂直构造距离；②转化线段相等；③证明或计算。 【易错】忘记作垂线，直接使用性质；分不清性质和判定。 1．（26-27八年级上·浙江杭州·阶段检测）用直尺和圆规画一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，根据证，即可推出答案． 【详解】解：连接，， 在和中 （）， ， 所以A选项正确． 2．（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，的平分线交于，若，则点到的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，即可求解． 【详解】解：过点作于，如图： ∵是的平分线，，， ∴， 即点到的距离是． 3．（21-22八年级下·宁夏银川·期中）如图，三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可以供选择的地址有（     ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【分析】到三条直线距离相等的点，即为这三条直线所围成三角形的内角平分线或外角平分线的交点． 【详解】解：三条直线两两相交围成一个三角形； ∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴到三条直线距离相等的点必在角的平分线上，三角形内部有一个点，即三条内角平分线的交点；三角形外部有三个点，即两条外角平分线与一条内角平分线的交点； ∴共有处可供选择的地址． 4．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在中，，平分交于点，，点到的距离为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用“角平分线上的点到角两边的距离相等”进行求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 点到的距离为，即， ∵平分交于点，， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，作于点E，若，，的面积为13，则的长为 __________ 【答案】 5 【分析】根据尺规作图痕迹可知平分，过点作于点，利用角平分线的性质可得，再根据列方程求解； 【详解】解：过点作于点， 由作图痕迹可知，平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 提升·进阶突破 题型 2 一线三等角模型（K 型全等）（难点）（共 6 小题） 【模型】一条直线上三个相等角，推出一组全等三角形。 【步骤】①找到共线的三个等角；②利用同角的余角相等推导等角；③证全等。 【易错】不会推导角度相等，看不出模型。 6．（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，某建筑测量队为了测量一栋垂直于地面的居民楼的高度，在大树与居民楼之间的地面上选了一点C，使得点B，C，D在一条直线上，同时测得垂直于地面的大树顶端A的视线与居民楼顶端E的视线的夹角为（即），已知，．若米，米，请你帮助建筑测量队计算出该居民楼的高度． 【答案】米 【分析】证明，可得到，根据线段的和差关系求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵米，米， ∴米， ∴米， 答：该居民楼的高度为米． 7．（26-27八年级上·福建福州·开学考试）如图1，在中，，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为． (1)求证：． (2)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，连接． ①求证：． ②若，求的长． 【答案】(1)证明：如图1， ∵， ， ∴ ， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴． (2)①证明：如图2， 过作于， ∵， ∴， ∴， 又∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴， ∵，， ． ② 【分析】（1）根据， ，得，再根据同角的余角相等，即可证明，再根据已知，结合全等三角形判定定理即可证明． （2）①过作于，根据条件，结合“一线三垂直模型”即可证明，进而可证明，再根据全等三角形性质得，由（1）得，即可得，再根据，，即可证明． ②过作于，根据（1）得，，即可得，，根据（2）①得：，即可得，，进而得，，结合条件即可证明，根据全等三角形的性质得，再根据，等量代换得，进一步代换推理得，代入数据求解即可得的长． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②如图2，     由（1）得： ，， ∴，， 由（2）①得：， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ． 8．（26-27八年级上·陕西宝鸡·开学考试）问题情境：如图1，在四边形中．，，是BC上一点，连接，，，． 问题探究： (1)则是__________三角形； (2)“智慧小组”的同学把题目进行改编：如图1，已知是等腰直角三角形．，，点，，在同一直线上，，，试探究，与之间的数量关系，并说明理由． (3)“创新小组”在图1的基础上变为图2，已知点，，在直线上，，．若，，求的长． 【答案】(1)等腰直角 证明：，， ． 在和中， ， ，， ， ，即， 是等腰直角三角形． (2) 证明：，， ，， ，， ． ， ， ，， ． (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先运用证明，可得，再说明即可证明结论； （2）证明可得，，然后根据线段的和差即可解答； （3）先根据三角形外角的性质、角的和差以及已知条件可得，再证明可得，，最后根据即可解答． 【详解】（1）略． （2）略． （3）解：，， ， 在和中， ， ，， ． 9．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）【研读素材】 《玩转三角板，探寻数学之美》探究课 同学们，我们常用的一副三角板，不仅是尺规作图的工具，更是藏着数学奥秘的“百宝箱”．今天，就让我们带着这副三角板，走进数学探究课程《玩转学具》，在动手摆放、观察猜想中，感受几何的奇妙，体会数学与生活的联系． 在中，，；在中，，．我们将用三种不同方式摆放这副三角板，解锁其中的数学规律，开启一场有趣的探究之旅！ 【察悟规律】 (1)课堂上，如图1，老师让我们把两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点A摆放在线段上时，过点C作垂足为点G，过点B作垂足为点H． ①小明率先设计了问题，想找出一对全等三角形，并写出了解答过程，请你帮他在横线上填出推理所得的结论． 解：，． ，， ． 则在中，． ． 在和中， ，，， ____________（）． ②若，，则____________． 【比照推演】 (2)小组合作时，如图2，同学们将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点C在线段上时，过点B作垂足为点M，请你猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．在这个过程中，你会发现，看似不同的摆放方式，背后藏着相通的几何逻辑，这就是数学的“变中不变”之美． 【纵深探究】 (3)挑战升级！如图3，当两个三角板叠放在一起，顶点A在线段上且顶点C在线段上时，若，连接，求的面积．此时，三角板的位置发生了变化，但我们可以用前面探究的方法，迁移思路，解决新的问题，这就是数学探究中“举一反三”的魅力． 【凝思悟理】 同学们，今天的课堂探究先告一段落．在感受几何图形的奇妙、体会数学与生活紧密联系的同时，也请大家带着今天收获的探究方法，认真完成问题解答．愿我们都能在动手与思考中，发现数学之美，学会用逻辑的眼光看待世界． 【答案】(1)①；②5 (2)，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； (3) 【分析】（1）①根据题意，利用全等三角形的判定即可证明； ②利用全等三角形的性质即可解答； （2）根据题意及角度等量代换，证明，即可解答； （3）过作交直线于，证明，得到，最后根据计算即可． 【详解】（1）解：①， ， ，， ， 则在中，， ， 在和中， ，，， ； ②∵， ∴，， ∴； （2）解：略 （3）解：过作交直线于， 由三角板可得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，等腰，，，等腰，，，点、分别在轴、轴的正半轴上．且； (1)如图，直接写出点的坐标：________； (2)如图，点在轴负半轴上，且，连接交轴于点，求点坐标． (3)如图，若，，试判断、位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)证明：垂直，理由如下： 如图，连接、交于点， 与为等腰直角三角形， ，，， ， ， 在与中， ， ∴， ，， ∴， ， ∴， 在与中， ， ， ∴， ∴． ． 【分析】（1）由偶次幂及算术平方根的非负性可得，过点作，由题意易得，则有，，然后问题可求解； （2）过点作，过点作，由题意易得，，然后根据全等三角形的性质可进行求解； （3）连接、交于点，由题意易得，则有，，然后可得，进而可得，则问题可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ∴， ； （2）解：如图，过点作，过点作， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 在与中， ， ， ， ， ， ， ； ， ； （3）略 11．（25-26八年级上·新疆塔城·期末）阅读理解，自主探究：在初中几何学习中，当图形中出现多个直角且存在相等的线段时，可结合全等三角形的判定与性质来分析线段之间的关系，这是解决这类几何问题的常用思路． 【问题解决】 (1)如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是__________； 【问题探究】 (2)如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； 【拓展延伸】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)存在；点的坐标为：，，． 【分析】（1）利用证明，即可得到； （2）利用证明，再利用全等三角形的性质运算即可； （3）分类讨论点的位置，结合全等三角形的性质运算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：存在，理由如下： ①：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示： ∵，， ∴，， 由（1）同理可证， ∴，， ∴点的横坐标，点的纵坐标， ∴； ②：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示： ∵，， ∴，， 由（1）同理可证， ∴，， ∴点的横坐标，点的纵坐标， ∴； ③：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示： 设， ∵，， ∴，，，， 由（1）同理可证， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 综上，点的坐标为：，，． 题型 3 手拉手模型（共 3 小题） 【模型】共顶点等腰三角形，旋转型全等。 【步骤】①找到共顶点，两组等线段；②利用角加减得到夹角相等；③SAS 证全等。 【易错】找不到夹角相等；分不清手拉手结论。 12．（25-26七年级下·山东烟台·期末）综合与探究 问题情境： 小明在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小明进行了如下操作： 如图1，在和中，，，，连接、． 【问题发现】 (1)小明发现图1就是手拉手模型，拉手线、存在某种数量关系．其探究过程如下，请你写出①和②处的理由； 解： （理由：①） 在和中 （理由：②） (2)如图2，在图1的基础上，不动，将绕着点逆时针旋转至点，点、、在一条直线上，交于点．小明发现与依然全等．当时，求； 【拓展探究】 (3)在图2的基础上，延长至点，如图3．判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)等式的性质；全等三角形的对应边相等； (2)； (3)解：．理由如下： 如图，过点A作于点M，作于点N． 同（1）可知， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据角的和差关系结合全等三角形的性质，作答即可； （2）根据全等三角形的性质结合三角形的内角和定理即可得出结果； （3）过点A作于点M，作于点N，证明，进而证明，可知． 【详解】（1）略； （2）解：同（1）可知， ． 且， 在与中， ， ； （3）略． 13．（25-26七年级下·安徽宿州·期末）综合与探究 在和中，，，． 【模型呈现】 (1)如图，，，三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由． (2)【模型应用】 如图，设，相交于点，，相交于点，若，求的度数． (3)【拓展延伸】 如图，，，分别为，的中点，连接，，，判断与的关系并说明理由． 【答案】(1)解：，理由如下： ， ， 即， 在和中， ， ， ． (2) (3)， 证明：由（1）知， ，， 分别为，的中点， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 即， ， 即， ． 【分析】（1）根据证明即可得； （2）由可得，又由于，结合三角形内角和定理可得，从而可得； （3）根据证明，则可得，，进而可得，则可得． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知 ， ， 在和中，，， ， ， ， ． （3）略 14．（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． (1)发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系：_______，_______； (2)类比探究：如图2，在和中，，，，，连接，，延长，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； (3)拓展应用：在和中，，，，连接，，将绕它们共同的顶点A旋转一定的角度后，若B，E，F三点刚好在同一直线上，直接写出此时的度数． 【答案】(1)，30 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转模型及角度计算，解题的关键是通过角的和差关系证明三角形全等，再利用全等三角形的性质推导线段关系与角度大小，结合特殊三角形的角度特征进行分类讨论． （1）通过证明，直接得到线段相等关系，再利用对顶角与三角形内角和推导的度数； （2）类比（1）的全等证明思路，结合等腰三角形的底角特征，通过角度转化推导的度数； （3）分点在、之间和点在、之间两种情况，结合等腰直角三角形的性质与全等三角形的结论，计算的度数． 【详解】（1）解：如图1，设交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ． 故答案为：，30 （2）解：，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：如图所示： ∵和都是等腰三角形， ∴， ∴，即：， ∴， ∴ ， ∵，, ∴， ∴， ∴； 当F点在线段上时， 同法可证得：， ， ， ， ； 综上，或． 题型 4 倍长中线模型（难点）（共 6 小题） 【模型】中线延长一倍，构造 SAS 全等，转移线段。 【步骤】①延长中线至一倍长；②连接端点构造全等三角形；③转移边。 【易错】不知道辅助线做法；全等对应关系找错。 15．（2026八年级上·全国·专题练习）中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 如图，在中，是边上的中点，连接，点在的延长线上． (1)若，．求证：平分． (2)若将（1）中的“，”更改为“平分，”，试探究线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：如图①，延长至点，使，连接． 是边上的中点， ． 在和中， ， ，． ， ． ， ． 在和中， ， ， 即平分． (2)解：．理由如下： 如图②，延长至点，使，连接． ． 由（1）可知，， ． ， ． 平分， ． ， ， ， ． 【分析】（1）延长至点，使，连接．在和中，用SAS证，得、．使用了三角形外角定理，在和中，由SAS证，得，则问题可证． (2)延长至点使，连接，由SAS证，得．在和中，由AAS证，得． 【详解】（1）略 （2）略 16．（26-27九年级上·北京朝阳·阶段检测）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是________． A．        B．        C．        D． (2)求得的取值范围是________． A．        B． C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 (3)如图2，是的中线，，，，，且，求的长． 【答案】(1)B (2)C (3)6 【分析】（1）由三角形中线的定义性质得到，然后利用证明； （2）由得到，，然后利用三角形三边关系求解； （3）延长，交于点F，证明，得到，，然后利用垂直平分线性质求解． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴由已知和作图能得到的理由是； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； （3）解：如图，延长，交于点F， ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 17．（25-26八年级上·安徽淮南·阶段检测）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长至点，使，连接． 【探究发现】 （1）如图1，求证：且； 【初步应用】 （2）如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围； 【探究提升】 （3）如图3，是的中线，过点分别向外作，，使得，，连接，延长交于点，直接写出线段与的数量关系和位置关系，无需证明．    【答案】 （1）证明：是边上的中线， ， 在和中， ， ， 、， ； （2） （3）且 【分析】（1）根据题意易证得，根据全等三角形的性质得到、，进而证得； （2）延长到点，使，连接，由（1）知，，在中，利用三角形的三边关系进行解答即可； （3）延长到点，使，连接，由（1）知，得到、，进而得到，从而得到，再证得，根据全等三角形的性质得到、，进而得到，据此解答即可． 【详解】（1） 略 （2）解：延长到点，使，连接，如图：    由（1）知， ， 在中，、， ，即， 即， 边上的中线的取值范围为； （3）解：且， 如图，延长到点，使，连接，    由（1）得， 、， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 、， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、倍长中线及三角形的外角性质，熟练掌握相关性质，数形结合的思想方法是解题的关键． 18．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）八年级（2）班同学在数学活动课上，张老师提出了如下问题： （1）如图1，是的中线，，，写出一个符合条件的的整数值． 【探究方法】 第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接．通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为．从而得到的取值范围是______，所以的可能取值为______； 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2，，，，连接，E是的中点，连接，若，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 【答案】（1），2（或3或4）；（2）；（3） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系的应用，掌握倍长中线法构造全等三角形是解题的关键． （1）先证，推出，再利用三角形三边关系得出，即可求解； （2）延长到F使，连接，先证，推出，，进而可得，，再证，即可得出． （3）延长到G使，连接，则，由（2）得，推出，，再证，最后根据即可求解． 【详解】解：（1）∵是的中线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 可得， 即， ∴，的可能取值为2，3，4， 故答案为：，2（或3或4）； （2）延长到F使，连接， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ． （3）延长到G使，连接，则， 由（2）得， ，， ，， ， ， ， ， ． 19．（25-26八年级上·广西南宁·阶段检测）等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称为“三线合一”），如图1，在中，已知，平分，则，． 【问题提出】在探索等腰三角形的判定方法时，老师提出：能否利用“三线合一”来探索其判定方法？ 【初步尝试】（1）若三角形的一条边上的中线也是这条边上的高时，这个三角形是等腰三角形吗？如图1，在中，点D是的中点，且，垂足为点D．求证：． 【深入探索】（2）小明发现，若三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形还是等腰三角形．验证如下： 已知，在中，平分，且点D是的中点．求证：． 小明提出了以下两种解题思路： 思路一：如图2，延长到点E，使，连接． 思路二：如图3，过点D分别作，的垂线，垂足分别为E，F． 请你选其中一种思路，完成命题的证明． 【拓展延伸】（3）如图4，在中，，，平分，点E为中点，与相交于点F，过点B作交延长线于点H，设，的面积分别为，．若，求的值． 【答案】 （1）证明：∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）思路一：证明：延长到点E，使，连接，如图， ∵平分， ∴， ∵是的中线， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 思路二：证明：过点D分别作，的垂线，垂足分别为E，F． ∵平分，，， ∴，， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）12 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）证明，即可得出结论； （2）思路一：根据角平分线的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； 思路二：作，，根据三角形的角平分线性质，可得，根据定理，易证，即可证得； （3）延长，交于点G，由可证，可得，，由面积的和差关系可求解． 【详解】（1） 略 （2） 略 （3）如图2，延长，交于点G， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ． 20．（25-26八年级上·河南南阳·期中）【阅读理解】 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ； A． SSS    B． SAS    C． AAS    D． ASA （2）利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是 ． 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中； 【问题解决】 （3）如图2， 是的中线，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）B；（2）； （3），理由如下： 延长到点G，使，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【分析】本题考查了中线的应用，三角形全等的判定与性质，平行线的判定与性质． （1）延长到点E，使，连接，证明，根据的是，解答即可； （2）根据，得到，利用三角形三边关系解答即可； （3）延长到点G，使，连接，先证明，再证明即可得证． 【详解】（1）解：延长到点E，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， 故选：B； （2）， ， ， ， ， ， 故， 故答案为：； （3） 略 题型 5 截长补短模型（重难点）（共 5 小题） 【模型】证明线段和差等式：长线段截取，或短线段延长。 【步骤】①目标式a+b=c；截长：在长边上截取一段等于 a；补短：延长短线；②构造全等。 【易错】分不清什么时候截长，什么时候补短。 21．（23-24八年级上·河南信阳·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且． (1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； (2)如图2，在四边形中，已知，，，，， ，求的长． 【答案】(1) 证明：在上截取，使得， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴； (2)16 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）在上截取，使得，连接，根据角平分线的定义可得，再利用证明，从而可得，，进而可得，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，再根据等量代换可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）在上截取，连接，先利用三角形内角和定理可得，从而可得，再利用证明，从而可得，进而可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）略 （2）在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为16． 22．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）综合与实践 【解决问题】 (1)如图①，在中，平分，交于点，且求证：． (2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，求的长． 【答案】(1) 证明：在上截取，使得，连接，如图所示： 平分， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； (2) 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键， （1）在上截取，使得，连接，由角平分线的定义可得，易利用证得，从而得到，，再由角度之间转换可得，根据等腰三角形的性质可得，即可推出； （2）在上截取，连接，在中，由三角形内角和可求得，从而易证得，得到，从而可推出，易证，得到，从而可推出的长． 【详解】（1）略． （2）解：在上截取，连接，如图所示： 在中，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 23．（24-25七年级下·全国·课后作业）为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法． 已知：在四边形ABCD中，AC平分，． (1)如图①，当时，试说明：． (2)如图②，当时，试说明：． 【答案】(1) 解：，， ， ． 平分， ． 在和中， ， ． (2) 解：如图，过点分别作于点，的延长线于点． ，， ． 同（1）可知，． 又， 在和中， ， ． 【分析】（1）先证明，再通过证明即可证明结论； （2）过点分别作于点，的延长线于点．由同角的补角可得．同（1）可知，，再通过证明即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握三角形全等的判定及性质是解题的关键． 24．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）（1）阅读理解： 如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．（结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明） 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． （2）问题解决： 如图2，四边形中，、，过点作，垂足为点，若，，请求出的长度． 【答案】（1）方法1：在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴ ∵， ， ， ； 方法2：延长到，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ∴， ， ， ； （2） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，正确添加辅助线是解题的关键． （1）方法1：在上截取，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证；方法：延长到，使，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证； （2）连接，过点作于点，证明，和，得出，进而得到，即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）连接，过点作于点， ∵， ∴， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ∵， ， ∴． 25．（21-22八年级上·四川南充·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 【答案】 （1）方法1：在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； 方法2：延长到，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2），，之间的数量关系为． 方法1：理由如下： 如图，在上截取，连接， 由（1）知， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ． 方法：理由：延长到，使，连接， 由（1）知， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； （3）． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定； （1）方法1：在上截取，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证；方法：延长到，使，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证 （2），，之间的数量关系为．方法1：在上截取，连接，由知，得出，为等边三角形，证明，得出，进而即可得证；方法：延长到，使，连接，由知，则，是等边三角形，证明，得出，进而即可得证； （3）线段、、之间的数量关系为，连接，过点作于点，证明，和，得出，进而即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 （3）线段、、之间的数量关系为． 连接，过点作于点， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 拔高·压轴破难 题型 6 全等三角形多结论选择题（难点）（共 8 小题） 【模型】结合全等模型，判断多个结论对错。 【步骤】①逐个推导结论；标记正确 / 错误；警惕陷阱结论。 【易错】凭感觉判断结论，不严格证明。 26．（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，交于点F，连接EF，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】①先证明，再证明，进而可依据“”判定；由此可对结论①进行判断；②根据①的结论正确得，再证明，进而可依据判定，进而根据全等三角形的性质可对结论②进行判断；③根据全等三角形性质得，再根据已知得，则，由此可得出的面积，进而可对结论③进行判断；④根据，，可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵， ∴为等腰直角三角形, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故结论①正确； ②∵， ∴ ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故结论②正确， ③∵ ， ∴，， ∴， ∵，，． ∴， ∴， ∴，故结论③正确， ④在中，， ∵， ∴， 故结论④正确， 综上所述：正确得结论是①②③④． 27．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在中，，，，一条线段，P、Q两点分别在直线和的垂线上移动，点P从A点开始向左移动且移动的速度为，若以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，则时间t的值为（     ） A．3 B．4 C．2或3 D．2或4 【答案】D 【分析】根据题意可知只存在和这两种情况，根据全等三角形的性质分类讨论即可． 【详解】解：由题意得，，且， ∴当以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等时，只存在和这两种情况， 当时，则， ∴； 当时，则， ∴； 综上所述，t的值为2或4． 28．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）已知，其中，点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当、两点同时到达点时，； ③若，，时，与垂直； ④若运动过程中存在与全等，则或． 以上说法正确的选项为（     ） A．①③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】若，点运动路程为，点运动路程为，据此可判断①；求出此时点P和点Q的路程，根据二者的运动时间相同建立方程求解即可判断②；可证明，则可推出，进而得到，据此可判断③；若与全等，则或，据此建立方程组求解即可判断④． 【详解】解：若，点运动路程为，点运动路程为， 点运动路程始终是点运动路程的2倍，故①的说法正确； 若两点同时到达点，点运动路程为6，点运动路程为， ， ，故②的说法正确； 若，如图， 此时，， ∴， ∵， ∴与不全等， ∴， ， ∴， ， ， 与不垂直，故③的说法不正确； 如图， 由题意得：， 若与全等，则或， 或． 或． 或，故④的说法正确． 综上，正确说法有：①②④． 29．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在和中，，，，直线，交于点M，连接，下列结论：①，②，③，④平分，其中正确结论的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据条件利用，证明，即判定出①②；再利用三角形的内角和定理判定③；构造全等三角形对应边上的高，利用证明直角三角形全等，即可判定④． 【详解】解：∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， ∴①，②正确； ③如图所示，与相交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故③正确； ④如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即平分， 故④正确； 综上，正确的结论有个． 30．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，为中线，过作，垂足为，过作，垂足为．在延长线上取一点，连接，使． 给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有（     ） A．③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据题意证明，得到，，，可判断①，证明得到，，可判断②③，根据全等三角形的性质可得，，可判断④． 【详解】解：在中，为中线， ， ，， ， ， ， ，，，故①正确； ，，， ， ，即，， ，，故③正确； ， ，故②正确； ，， ，， ， ，故④正确； 综上，正确结论的序号有①②③④， 31．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，分别平分，，下列结论：① ；②；③；④，其中正确的为（   ） A．②③④ B．①② C．②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质等知识．由角平分线的定义，即三角形外角的性质可得，进而判定①；由角平分线的定义和平角的定义可求，利用三角形外角的性质及平行线的性质可判定②；利用角平分线的定义可判定③；由角平分线的性质及判定可得为外角的平分线，结合角平分线的定义及三角形外角的性质即可证明，再利用平行线的性质可判定④． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴，即，故①错误； ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴，故③正确； 过点分别作直线、、的垂线，垂足分别为、、， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴为外角的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上，②③④正确； 故选：A． 32．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，的外角，的平分线，交于P，，，则下列结论中正确的有（    ） ①；②平分；③；④． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理和性质定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． ①过点作于点，根据角平分线的性质定理进行判断即可； ②根据角平分线的判定定理进行判断即可； ③根据条件证明，，即可得出结论； ④根据全等三角形得出相等的角，证明，令，则，最后利用线段和差进行判定即可． 【详解】解：①如图所示，过点作于点， ∵，的平分线，交于P，且，， ∴， 故①正确； ②∵，且，， ∴点在的平分线上， ∴平分， 故②正确； ③如图所示， ∵，， ∴， 由①得， 又∵， ∴， ∴， 同理，， ， ∴， 故③正确； ④如图所示， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由③得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 令，则， ∴， ∴， 故④正确； 综上，正确的选项为①②③④， 故选：D． 33．（25-26八年级上·四川绵阳·期中）如图，在中，，，分别为边，上的点，平分，于点，为的中点，延长交于点，则下列结论：①线段是的高；②与面积相等；③；④．其中正确的结论有． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，理解角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．①根据于点及三角形高的定义可对结论①进行判断；②根据点为的中点得，再根据的边上的高与的边上的高相同，则可对结论②进行判断；③先证明，再根据平分得，则，然后根据于点得，则，由此可对结论③进行判断；④根据平分得，根据于点得，由此可依据“”判定和全等，则，进而得，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①于点， 线段为的高， 故结论①不正确； ②点为的中点， ， 的边上的高与的边上的高相同， 与面积相等， 故结论②正确； ③，， ， 平分， ， ， 于点， ， ， 故结论③正确； ④平分， ， 于点， ， 在和中， ， ， ， ， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是②③④，共3个． 故选：D． 题型 7 全等三角形动点问题（压轴）（共 4小题） 【模型】点在线段上运动，分多段时间讨论，存在全等时刻。 【步骤】①设运动时间 t，表示出动点线段长度；②分类讨论不同位置；③列等式求解 t，检验。 【易错】漏分类；求出 t 不检验是否符合题意。 34．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当在上时 ，当在上时 ，（用含的式子表示） (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好全等，求点的运动速度． 【答案】(1)； (2)点Q的运动速度为或 【分析】（1）用代数式表示出即可； （2）分类讨论：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时，结合全等三角形的性质分别列方程求解即可． 【详解】（1）解： 当点P在边上时，； 当点P在边上时，； （2）解：∵， ∴只存在两种情况：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时． 设点Q的运动速度为， ①当点P位于，点Q位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为； ②当点Q位于，点P位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为． 综上可知点Q的运动速度为或． 35．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是第二象限内一点，动点A、B同时从点出发，点A以每秒2个单位长度的速度沿y轴的正半轴方向运动，点B以每秒3个单位长度的速度沿x轴的负半轴方向运动，设运动的时间为秒． (1)若a、b满足，求点C的坐标； (2)如图1，在（1）的条件下，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求t的值； (3)如图2，若是以为斜边的等腰直角三角形，点D是边的中点，连接，过B作交于点E，连接，探究是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值，为1 【分析】此题考查非负数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）据绝对值和平方数的非负性，两个非负数相加为0时，这两个非负数各自的值都为0，据此解方程算出和的值，再结合点C在第二象限的位置特点，就能确定点C的坐标； （2）过点C作轴的垂线构造直角三角形，再根据点A、B的运动速度和时间，分别表示出的长度，由是等腰直角三角形，可得且，利用角的互余关系推导出，可证明 ，则，列方程求解即可得出的值． （3）记于点，过点A作交的延长线于点F，利用垂直的性质和角的等量代换，得到，再结合的条件，证明 ，则，，之后利用点D是中点的性质，结合已得结论证明 ，则，最终确定为定值． 【详解】（1）解：， ，， ，， ； （2）解：过C作轴于． ， ， 由题意得，， 是以斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 解得，； （3）解：为定值1，理由如下： 记于点H，过点A作交的延长线于点F， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， 又， ， ， 为定值． 36．（25-26八年级上·吉林松原·阶段检测）如图，在中．直线l经过点C，点M以每秒的速度从B点出发，沿B－C－A路径向终点A运动，同时，点N以每秒的速度从A点出发，沿路径向终点B运动；两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过M、N作于点D，于点E，设点N运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示的长； (2)当M或N与三角形某个顶点所连直线平分面积时，求t的值； (3)要使以点M、D、C为顶点的三角形与以点N、E、C为顶点的三角形全等，直接写出的值． 【答案】(1)当，，当，； (2)或或或 (3)4或或16． 【分析】本题考查动点问题，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．注意分类讨论，以免漏解. （1）根据题意分在上和在上求解即可； （2）由题意分当在上、在上、在上、在上四种情况求解即可； （3）分、、、四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解： ， 当在上时，即，，则； 当在上时，即，； 所以当，，当，； （2）解：当在上时，直线平分面积， 即，又， 所以，解得； 当在上时，直线平分面积， 即，又， 所以，此时运动了， 即，解得； 当在上时，直线平分面积， 即，又， 所以； 当在上时，直线平分面积， 即，又， 所以，此时运动了， 即，解得； 综上，当M或N与三角形某个顶点所连直线平分面积时，或或或 ； （3）解：当时，点M在上，点N在上，如图， ，， ， ， ， 要使与全等，则， ， 解得； 当 时，即点M在上，点N在上，如图， 若、两点重合，则与全等， 此时， 即， 解得； 当时，即点M在上，点N在上，如图， ，， ， ， ， 要使与全等，则， ， 解得（舍去）； 当时，点M停在点A处，点N在上，如图， 当点与重合时，若，则与全等， 此时， 解得， 综上，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则的值为4或或16， 故答案为：4或或16． 37．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）【问题背景】 如图1，在中，已知，，是的高，，过点C的直线，动点D从点C开始沿射线方向以的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以的速度向远离C点的方向运动，连接、，设运动时间为秒 (1)【思考尝试】请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）： ， 　 (2)当t为多少时，的面积为？ (3)【深入探究】如图2，当点D在线段上，且时，是否与全等？说明理由，此时的值为多少？ (4)请利用备用图探究，当点D在线段的延长线上，且时，与有什么数量关系？请说明理由. 【答案】(1)； (2)当 t 为或时， 的面积为 ； (3) 解：，， 理由如下： ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 此时， ∴. (4) 解：，理由如下， 如图，， ， ， , ，，， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了列代数式，解一元一次方程，等边对等角，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意列代数式即可； （2）分点在线段上，点在延长线上两种情况计算即可； （3）由得到，根据得到，再根据得到，得出，即可得到； （4）证明，即可得到． 【详解】（1）解：由题意得， ，； （2）解：由题意得，当点在线段上时，， ， ， ， ； 当点在延长线上时， ， ， ； 当为或时，的面积为. （3）略 （4）略 题型 8 全等综合证明（多步证明 + 辅助线）（共 5 小题） 【模型】多次全等，需要添加辅助线，结合角平分线、线段转化。 【步骤】①分析求证目标，逆向推导；②添加辅助线构造全等；③分步写证明。 【易错】证明逻辑跳步；辅助线描述不规范。 38．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，是边上的高，是边上的高，相交于点，且．    (1)求证：． (2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒 ①点是线段上的一点（不与点重合），当时，__________（用含的代数式表示）；设，则__________（用含的代数式表示） ②点是直线上的一点且．是否存在值，使以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 证明： 是边上的高，是边上的高， ， ， ， 在和中， ， ； (2)①；； ②或时，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，线段的和差； （1）由，可得，通过即可证明； （2）①根据题列出代数式即可得出，根据等角的余角相等即可证明； ②分两种情形：如图2，当时；如图3，当时，分别进行求解即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）①解：依题意，， ∵ 是边上的高，是边上的高， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；． ②解：存在， 如图2，当时， 在和中， ， ， ， ， ； 如图3，当时， 在和中， ， ， ， ， ， 综上所述：或时，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 39．（26-27八年级上·江苏宿迁·阶段检测）【问题背景】 如图1，在四边形中，，，点，分别是，上的点，且，试探究，之间的数量关系． 【初步探索】 (1)小亮同学认为延长到点，使，连接，先说明，再说明，则可得到，之间的数量关系是______． 【探索延伸】 (2)如图2，在四边形中，，，点，分别是，上的点，若，那么上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【结论运用】 (3)如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西 的处，舰艇乙在指挥中心南偏东 的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以30海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 方向以40海里/时的速度前进，1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的距离海里，求此时的度数． 【答案】(1) (2)成立，理由如下， 解：延长到点，使，连接， ，， ， ，， ， ，，． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． (3) 【分析】（1）先根据边角边证明，推出，再利用边边边证明推出，结合图形通过等量代换即可求出 （2）根据平角的定义和，通过等量代换推出，根据边角边证明，推出，再利用边边边证明推出，结合图形通过等量代换即可求出． （3）根据题意可推出，利用平角的定义通过等量代换推出，结合已知条件，利用边角边证明推出和，再结合已知条件，利用边边边证明即可证明，利用，通过等量代换推出，结合图可知，从而求出度数． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ，，． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． （2）略 （3）解：作的延长线，使，连接，如图所示， 由题意可知，，，，，，，， ，， ， ， ， ，， ， ， ． ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 由图可知，， ． 40．（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）已知点是平分线上一点，的两旁、分别与射线，相交于，两点，且，过点作，垂足为． (1)如图1，当点在线段上时，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，探究线段、与之间的等量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点，若，，，求的度数． 【答案】(1)证明：如图1，过点C作，垂足为F， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴； (2)解：，理由如下： 如图2，过点C作，垂足为F， ∵平分， ∴ ∵，， ∴ ∵，， ∴ ， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴ ∴； (3) 【分析】（1）过点C作，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过点C作，利用证明，从而得到，证明，得到，结合图形解答即可； （3）在上截取，连接，则，先证明，再证明，再进行角度推导求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图3，在上截取，连接， ∴， ∵平分 ∴ 在和中， ， ∴ ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴． 41．（25-26七年级下·山东济南·期末）根据题目条件，解答下列各题： (1)观察理解：如图①，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，试说明：． (2)理解应用：如图②，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积____________； (3)类比探究：如图③，中，，，过点作于点，，连接，求的面积． 【答案】(1)证明：，，垂足分别为D，E， ， ， 在中，，， ， ， 在和中， ， ； (2)50 (3)32 【分析】（1）先证明，，进而可依据“”判定； （2）同（1）证明，，得出，，，，再根据三角形的面积公式分别求出，，，，再求出，进而可求出梯形的面积为80，由此即可得出图中实线所围成的图形的面积S； （3）过点作于点H，先证明，进而依据“”判定得，再根据三角形的面积公式即可得出的面积． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）同理可得，， ，，，， ，， ，， ， ，，， ， ， 图中实线所围成的图形的面积 ； （3）解：过点作于点H，如图所示： ， 中，，， ， ， 于点A，， ， ， 在和中， ， ， ， 的面积为： 42．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）综合与探究 数学活动：三角形全等中的数学问题 【提出问题】 如图，和都是等腰直角三角形（，，），且这两个三角形的顶点O重合，连接．请你认真阅读下面关于这个图形的探究片段，解决所提出的问题： 【探究一】 (1)小红看到图1后，很快发现了与间的数量与位置关系，它们的关系为 ___________． 【探究二】 (2)小红继续探究：如图2，连接和，小红发现．请你帮助小红证明这一结论． 【探究三】 (3)小红还想进一步探究：如图3，连接和，且，的延长线交于点E，若，，求线段的长． 【答案】(1) (2)证明：如图1，过点C作于点E，过点D作，交的延长线于点F， 则． ∵， ∴， ， ， 在和中， ． ． ，， ； (3)2 【分析】（1）证明，即可得证； （2）过点C作于点E，过点D作，交的延长线于点F，证明，得到，根据三角形的面积公式，即可得出结论； （3）过点D作，交的延长线于点H，先证明，求出的长，再证明，根据线段的和差关系以及全等三角形的性质，即可得出结果． 【详解】（1）解：， ，即． 在和中， ． ． （2）略 （3）解：如图2，过点D作，交的延长线于点H． ， ． ， ， ， 又∵，， ∴， ， ， ， （负值舍去）， ， ， 又∵， ∴， ， ， ， ， ， 即的长为2． $专题03 全等三角形模型、综合证明与动点压轴 基础·固本强基 题型 1 角平分线性质与判定 提升·进阶突破 题型 2 一线三等角模型（K 型全等）（难点） 题型 3 手拉手模型（重点） 题型 4 倍长中线模型（难点） 题型 5 截长补短模型（重难点） 拔高·压轴破难 题型 6 全等三角形多结论选择题（难点） 题型 7 全等三角形动点问题（压轴） 题型 8 全等综合证明（多步证明 + 辅助线） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型 1 角平分线性质与判定（共 5 小题） 【模型】角平分线上点到角两边距离相等；到角两边距离相等的点，在角平分线上。 【步骤】①看到角平分线，作垂直构造距离；②转化线段相等；③证明或计算。 【易错】忘记作垂线，直接使用性质；分不清性质和判定。 1．（26-27八年级上·浙江杭州·阶段检测）用直尺和圆规画一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明的依据是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，的平分线交于，若，则点到的距离是（     ） A． B． C． D． 3．（21-22八年级下·宁夏银川·期中）如图，三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可以供选择的地址有（     ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 4．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在中，，平分交于点，，点到的距离为，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，作于点E，若，，的面积为13，则的长为 __________ 提升·进阶突破 题型 2 一线三等角模型（K 型全等）（难点）（共 6 小题） 【模型】一条直线上三个相等角，推出一组全等三角形。 【步骤】①找到共线的三个等角；②利用同角的余角相等推导等角；③证全等。 【易错】不会推导角度相等，看不出模型。 6．（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，某建筑测量队为了测量一栋垂直于地面的居民楼的高度，在大树与居民楼之间的地面上选了一点C，使得点B，C，D在一条直线上，同时测得垂直于地面的大树顶端A的视线与居民楼顶端E的视线的夹角为（即），已知，．若米，米，请你帮助建筑测量队计算出该居民楼的高度． 7．（26-27八年级上·福建福州·开学考试）如图1，在中，，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为． (1)求证：． (2)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，连接． ①求证：． ②若，求的长． 8．（26-27八年级上·陕西宝鸡·开学考试）问题情境：如图1，在四边形中．，，是BC上一点，连接，，，． 问题探究： (1)则是__________三角形； (2)“智慧小组”的同学把题目进行改编：如图1，已知是等腰直角三角形．，，点，，在同一直线上，，，试探究，与之间的数量关系，并说明理由． (3)“创新小组”在图1的基础上变为图2，已知点，，在直线上，，．若，，求的长． 9．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）【研读素材】 《玩转三角板，探寻数学之美》探究课 同学们，我们常用的一副三角板，不仅是尺规作图的工具，更是藏着数学奥秘的“百宝箱”．今天，就让我们带着这副三角板，走进数学探究课程《玩转学具》，在动手摆放、观察猜想中，感受几何的奇妙，体会数学与生活的联系． 在中，，；在中，，．我们将用三种不同方式摆放这副三角板，解锁其中的数学规律，开启一场有趣的探究之旅！ 【察悟规律】 (1)课堂上，如图1，老师让我们把两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点A摆放在线段上时，过点C作垂足为点G，过点B作垂足为点H． ①小明率先设计了问题，想找出一对全等三角形，并写出了解答过程，请你帮他在横线上填出推理所得的结论． 解：，． ，， ． 则在中，． ． 在和中， ，，， ____________（）． ②若，，则____________． 【比照推演】 (2)小组合作时，如图2，同学们将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点C在线段上时，过点B作垂足为点M，请你猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．在这个过程中，你会发现，看似不同的摆放方式，背后藏着相通的几何逻辑，这就是数学的“变中不变”之美． 【纵深探究】 (3)挑战升级！如图3，当两个三角板叠放在一起，顶点A在线段上且顶点C在线段上时，若，连接，求的面积．此时，三角板的位置发生了变化，但我们可以用前面探究的方法，迁移思路，解决新的问题，这就是数学探究中“举一反三”的魅力． 【凝思悟理】 同学们，今天的课堂探究先告一段落．在感受几何图形的奇妙、体会数学与生活紧密联系的同时，也请大家带着今天收获的探究方法，认真完成问题解答．愿我们都能在动手与思考中，发现数学之美，学会用逻辑的眼光看待世界． 10．（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，等腰，，，等腰，，，点、分别在轴、轴的正半轴上．且； (1)如图，直接写出点的坐标：________； (2)如图，点在轴负半轴上，且，连接交轴于点，求点坐标． (3)如图，若，，试判断、位置关系，并说明理由． 11．（25-26八年级上·新疆塔城·期末）阅读理解，自主探究：在初中几何学习中，当图形中出现多个直角且存在相等的线段时，可结合全等三角形的判定与性质来分析线段之间的关系，这是解决这类几何问题的常用思路． 【问题解决】 (1)如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是__________； 【问题探究】 (2)如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； 【拓展延伸】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标． 题型 3 手拉手模型（共 3 小题） 【模型】共顶点等腰三角形，旋转型全等。 【步骤】①找到共顶点，两组等线段；②利用角加减得到夹角相等；③SAS 证全等。 【易错】找不到夹角相等；分不清手拉手结论。 12．（25-26七年级下·山东烟台·期末）综合与探究 问题情境： 小明在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小明进行了如下操作： 如图1，在和中，，，，连接、． 【问题发现】 (1)小明发现图1就是手拉手模型，拉手线、存在某种数量关系．其探究过程如下，请你写出①和②处的理由； 解： （理由：①） 在和中 （理由：②） (2)如图2，在图1的基础上，不动，将绕着点逆时针旋转至点，点、、在一条直线上，交于点．小明发现与依然全等．当时，求； 【拓展探究】 (3)在图2的基础上，延长至点，如图3．判断与的数量关系，并说明理由． 13．（25-26七年级下·安徽宿州·期末）综合与探究 在和中，，，． 【模型呈现】 (1)如图，，，三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由． (2)【模型应用】 如图，设，相交于点，，相交于点，若，求的度数． (3)【拓展延伸】 如图，，，分别为，的中点，连接，，，判断与的关系并说明理由． 14．（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． (1)发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系：_______，_______； (2)类比探究：如图2，在和中，，，，，连接，，延长，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； (3)拓展应用：在和中，，，，连接，，将绕它们共同的顶点A旋转一定的角度后，若B，E，F三点刚好在同一直线上，直接写出此时的度数． 题型 4 倍长中线模型（难点）（共 6 小题） 【模型】中线延长一倍，构造 SAS 全等，转移线段。 【步骤】①延长中线至一倍长；②连接端点构造全等三角形；③转移边。 【易错】不知道辅助线做法；全等对应关系找错。 15．（2026八年级上·全国·专题练习）中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 如图，在中，是边上的中点，连接，点在的延长线上． (1)若，．求证：平分． (2)若将（1）中的“，”更改为“平分，”，试探究线段与的数量关系，并说明理由． 16．（26-27九年级上·北京朝阳·阶段检测）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是________． A．        B．        C．        D． (2)求得的取值范围是________． A．        B． C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 (3)如图2，是的中线，，，，，且，求的长． 17．（25-26八年级上·安徽淮南·阶段检测）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长至点，使，连接． 【探究发现】 （1）如图1，求证：且； 【初步应用】 （2）如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围； 【探究提升】 （3）如图3，是的中线，过点分别向外作，，使得，，连接，延长交于点，直接写出线段与的数量关系和位置关系，无需证明．    18．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）八年级（2）班同学在数学活动课上，张老师提出了如下问题： （1）如图1，是的中线，，，写出一个符合条件的的整数值． 【探究方法】 第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接．通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为．从而得到的取值范围是______，所以的可能取值为______； 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2，，，，连接，E是的中点，连接，若，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 19．（25-26八年级上·广西南宁·阶段检测）等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称为“三线合一”），如图1，在中，已知，平分，则，． 【问题提出】在探索等腰三角形的判定方法时，老师提出：能否利用“三线合一”来探索其判定方法？ 【初步尝试】（1）若三角形的一条边上的中线也是这条边上的高时，这个三角形是等腰三角形吗？如图1，在中，点D是的中点，且，垂足为点D．求证：． 【深入探索】（2）小明发现，若三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形还是等腰三角形．验证如下： 已知，在中，平分，且点D是的中点．求证：． 小明提出了以下两种解题思路： 思路一：如图2，延长到点E，使，连接． 思路二：如图3，过点D分别作，的垂线，垂足分别为E，F． 请你选其中一种思路，完成命题的证明． 【拓展延伸】（3）如图4，在中，，，平分，点E为中点，与相交于点F，过点B作交延长线于点H，设，的面积分别为，．若，求的值． 20．（25-26八年级上·河南南阳·期中）【阅读理解】 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ； A． SSS    B． SAS    C． AAS    D． ASA （2）利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是 ． 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中； 【问题解决】 （3）如图2， 是的中线，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 题型 5 截长补短模型（重难点）（共 5 小题） 【模型】证明线段和差等式：长线段截取，或短线段延长。 【步骤】①目标式a+b=c；截长：在长边上截取一段等于 a；补短：延长短线；②构造全等。 【易错】分不清什么时候截长，什么时候补短。 21．（23-24八年级上·河南信阳·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且． (1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； (2)如图2，在四边形中，已知，，，，， ，求的长． 22．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）综合与实践 【解决问题】 (1)如图①，在中，平分，交于点，且求证：． (2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，求的长． 23．（24-25七年级下·全国·课后作业）为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法． 已知：在四边形ABCD中，AC平分，． (1)如图①，当时，试说明：． (2)如图②，当时，试说明：． 24．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）（1）阅读理解： 如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．（结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明） 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． （2）问题解决： 如图2，四边形中，、，过点作，垂足为点，若，，请求出的长度． 25．（21-22八年级上·四川南充·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 拔高·压轴破难 题型 6 全等三角形多结论选择题（难点）（共 8 小题） 【模型】结合全等模型，判断多个结论对错。 【步骤】①逐个推导结论；标记正确 / 错误；警惕陷阱结论。 【易错】凭感觉判断结论，不严格证明。 26．（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，交于点F，连接EF，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 27．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在中，，，，一条线段，P、Q两点分别在直线和的垂线上移动，点P从A点开始向左移动且移动的速度为，若以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，则时间t的值为（     ） A．3 B．4 C．2或3 D．2或4 28．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）已知，其中，点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当、两点同时到达点时，； ③若，，时，与垂直； ④若运动过程中存在与全等，则或． 以上说法正确的选项为（     ） A．①③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 29．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在和中，，，，直线，交于点M，连接，下列结论：①，②，③，④平分，其中正确结论的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 30．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，为中线，过作，垂足为，过作，垂足为．在延长线上取一点，连接，使． 给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有（     ） A．③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 31．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，分别平分，，下列结论：① ；②；③；④，其中正确的为（   ） A．②③④ B．①② C．②③ D．①②③④ 32．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，的外角，的平分线，交于P，，，则下列结论中正确的有（    ） ①；②平分；③；④． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 33．（25-26八年级上·四川绵阳·期中）如图，在中，，，分别为边，上的点，平分，于点，为的中点，延长交于点，则下列结论：①线段是的高；②与面积相等；③；④．其中正确的结论有． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型 7 全等三角形动点问题（压轴）（共 4小题） 【模型】点在线段上运动，分多段时间讨论，存在全等时刻。 【步骤】①设运动时间 t，表示出动点线段长度；②分类讨论不同位置；③列等式求解 t，检验。 【易错】漏分类；求出 t 不检验是否符合题意。 34．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当在上时 ，当在上时 ，（用含的式子表示） (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好全等，求点的运动速度． 35．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是第二象限内一点，动点A、B同时从点出发，点A以每秒2个单位长度的速度沿y轴的正半轴方向运动，点B以每秒3个单位长度的速度沿x轴的负半轴方向运动，设运动的时间为秒． (1)若a、b满足，求点C的坐标； (2)如图1，在（1）的条件下，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求t的值； (3)如图2，若是以为斜边的等腰直角三角形，点D是边的中点，连接，过B作交于点E，连接，探究是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 36．（25-26八年级上·吉林松原·阶段检测）如图，在中．直线l经过点C，点M以每秒的速度从B点出发，沿B－C－A路径向终点A运动，同时，点N以每秒的速度从A点出发，沿路径向终点B运动；两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过M、N作于点D，于点E，设点N运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示的长； (2)当M或N与三角形某个顶点所连直线平分面积时，求t的值； (3)要使以点M、D、C为顶点的三角形与以点N、E、C为顶点的三角形全等，直接写出的值． 37．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）【问题背景】 如图1，在中，已知，，是的高，，过点C的直线，动点D从点C开始沿射线方向以的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以的速度向远离C点的方向运动，连接、，设运动时间为秒 (1)【思考尝试】请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）： ， 　 (2)当t为多少时，的面积为？ (3)【深入探究】如图2，当点D在线段上，且时，是否与全等？说明理由，此时的值为多少？ (4)请利用备用图探究，当点D在线段的延长线上，且时，与有什么数量关系？请说明理由. 题型 8 全等综合证明（多步证明 + 辅助线）（共 5 小题） 【模型】多次全等，需要添加辅助线，结合角平分线、线段转化。 【步骤】①分析求证目标，逆向推导；②添加辅助线构造全等；③分步写证明。 【易错】证明逻辑跳步；辅助线描述不规范。 38．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，是边上的高，是边上的高，相交于点，且．    (1)求证：． (2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒 ①点是线段上的一点（不与点重合），当时，__________（用含的代数式表示）；设，则__________（用含的代数式表示） ②点是直线上的一点且．是否存在值，使以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 39．（26-27八年级上·江苏宿迁·阶段检测）【问题背景】 如图1，在四边形中，，，点，分别是，上的点，且，试探究，之间的数量关系． 【初步探索】 (1)小亮同学认为延长到点，使，连接，先说明，再说明，则可得到，之间的数量关系是______． 【探索延伸】 (2)如图2，在四边形中，，，点，分别是，上的点，若，那么上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【结论运用】 (3)如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西 的处，舰艇乙在指挥中心南偏东 的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以30海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 方向以40海里/时的速度前进，1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的距离海里，求此时的度数． 40．（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）已知点是平分线上一点，的两旁、分别与射线，相交于，两点，且，过点作，垂足为． (1)如图1，当点在线段上时，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，探究线段、与之间的等量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点，若，，，求的度数． 41．（25-26七年级下·山东济南·期末）根据题目条件，解答下列各题： (1)观察理解：如图①，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，试说明：． (2)理解应用：如图②，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积____________； (3)类比探究：如图③，中，，，过点作于点，，连接，求的面积． 42．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）综合与探究 数学活动：三角形全等中的数学问题 【提出问题】 如图，和都是等腰直角三角形（，，），且这两个三角形的顶点O重合，连接．请你认真阅读下面关于这个图形的探究片段，解决所提出的问题： 【探究一】 (1)小红看到图1后，很快发现了与间的数量与位置关系，它们的关系为 ___________． 【探究二】 (2)小红继续探究：如图2，连接和，小红发现．请你帮助小红证明这一结论． 【探究三】 (3)小红还想进一步探究：如图3，连接和，且，的延长线交于点E，若，，求线段的长． $