专题02 指数与对数综合大题（35题）（举一反三专项训练）高一数学苏教版必修第一册

**基本信息** 聚焦指数与对数综合应用，按“运算-方程-条件应用-证明-实际问题”递进设计，强化数学思维与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |指数幂与对数的化简、求值|7题|含根式、分数指数幂的混合运算|从概念到运算，培养运算能力| |指、对数方程的求解|7题|含换元法、韦达定理的方程问题|方程思想延伸，发展推理意识| |带附加条件的指、对数问题|7题|已知指数/对数式求代数式值|条件转化训练，深化符号意识| |指数幂、对数恒等式的证明|7题|等式证明及实际背景推理|逻辑推理应用，提升数学思维| |指数、对数的实际应用|8题|考古、环保、声强等模型问题|数学语言表达现实，强化模型观念|

专题02 指数与对数综合大题（35题）（举一反三专项训练） 【苏教版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 指数幂与对数的化简、求值 1．（25-26高一上·江西上饶·期末）计算： (1)； (2). 2．（25-26高一上·山西大同·期末）计算下列各题： (1)； (2)； (3). 3．（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）求下列各式的值： (1)； (2)． 4．（25-26高一上·江苏常州·期末）求下列各式的值： (1)； (2). 5．（25-26高一上·广东广州·期末）求值： (1)； (2)； (3)． 6．（25-26高一上·广东·期末）（1）； （2）. 7．（25-26高一上·江西景德镇·期末）请计算或化简下列式子： (1)； (2). 题型二 指、对数方程的求解 8．（25-26高一上·全国·课后作业）解关于的方程. （1）； （2）. 9．（26-27高一上·全国·课堂例题）如果方程的两根是，求的值． 10．（25-26高一上·上海杨浦·期中）对数的运算大大增加了解决代数问题的效率，延长了天文学家的寿命. (1)设、是关于x的方程的两个实数根，求：的值； (2)已知，且，若，，求：的值. 11．（25-26高一上·上海·期末）解下列关于x的方程： (1)； (2)． 12．（25-26高一上·四川南充·阶段检测）（1）已知，求的值； （2）方程的两根分别为，求的值. 13．（25-26高一上·上海虹口·期中）（1）当时，解关于x的方程； （2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围 14．（25-26高三上·山东·阶段检测）已知关于的方程有两个不相等的实数根. (1)若，求； (2)若，求； (3)求的取值范围. 题型三 带附加条件的指、对数问题 15．（25-26高一上·湖北·阶段检测）化简求值： (1)已知，求的值． (2)已知，求：． 16．（25-26高一上·河南洛阳·期末）（1）若，求的值. （2）若，求的值. 17．（25-26高一上·新疆阿克苏·期末）（1）已知：，，求的值； （2）若，，用含、的式子表示. 18．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知，求和的值； （2）正实数满足，求和的值． 19．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知，，试用、表示， （2）已知，求的值. 20．（25-26高一上·江苏常州·期中）计算： (1)； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 21．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）计算下列各式的值： (1)化简：； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值. 题型四 指数幂、对数恒等式的证明 22．（26-27高一上·全国·课后作业）设.且，求证：. 23．（25-26高一下·广西崇左·阶段检测）求满足下列条件的各式的值 (1)若，求的值； (2)设，求证：. 24．（25-26高一下·上海·课后作业）已知在中，，角A，B，C所对应的三条边长分别为a，b，c．求证：． 25．（25-26高一·全国·随堂练习）求证： （1）；     （2）； 26．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知，求证：. （2）证明：是无理数. 27．（25-26高一·全国·随堂练习）设x，y为正数，满足，求证：（，）. 28．（25-26高一·全国·课后作业）求解下列问题： (1)证明：． (2)已知，且． 求证：． 题型五 指数、对数的实际应用 29．（25-26高一上·上海·阶段检测）放射性碳定年法是1949年由威拉德·利比发明的一种考古断代方法，该方法基于生物体内碳14含量的衰减规律来测定文物年代，利比因此获得1960年诺贝尔化学奖. 设碳14的初始含量为，经过时间t（）后的含量为N，满足为关于t（）的指数函数.已知碳14的半衰期为5730年，即每经过5730年，碳14含量会衰减为原来的一半. (1)某化石样品中碳14含量是活生物体内含量的25%，请问根据放射性碳定年法推测，该化石距今约有多少年历史？ (2)在实际考古测定中，由于测量误差的存在，碳14含量的测量结果可能存在的误差.不考虑其他误差，则用此法测得的化石真实年代的误差最大为多少年？（四舍五入到整数） 30．（25-26高一上·内蒙古包头·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，表示污染物的初始含量，如果在前消除了的污染物，那么： (1)求的值； (2)后还剩百分之几的污染物？ (3)污染物减少需要花多少时间（用对数表示）？ 31．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是，室温是，那么tmin后茶水的温度θ（单位：℃）可由公式求得，其中k是常数.为了求出这个k的值，某数学建模兴趣小组在25℃室温下进行了数学实验，先用95℃的水泡制成95℃的茶水，利用温度传感器，测量并记录从开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据： tmin 0 1 2 3 4 5 （℃） 95.00 89.19 84.75 81.19 78.19 75.00 (1)请你仅利用表中的一组数据，，求k的值，并求出此时的解析式； (2)在25℃室温环境下，王老师用95℃的水泡制成的茶水，想等到茶水温度降至45℃时再饮用，根据（1）的结果，王老师要等待多长时间？ （参考数据：，，，e是自然对数的底数.） 32．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）的关系为，其中是正的常数.如果在前消除了的污染物，那么 (1)从过滤开始，经过后，污染物还剩百分之几？ (2)污染物减少50%大约需要花多少时间（精确到1h）？ 参考数据：． 33．（2026高一·全国·专题练习）某工厂的废气处理系统正常运行时，废气中的污染物含量（单位：）与时间（单位：）之间的关系式为，其中表示污染物含量的初始值，表示除污率，其大小可在废气处理系统中设置. (1)正常情况下，若将除污率设置为，污染物含量降低到初始值的一半大约需要多长时间？ (2)某天污染物含量的初始值为，废气处理系统先将除污率设置为运行，再将除污率设置为运行，若此时测得污染物含量为，试判断当天废气处理系统的运行是否正常. 附：，. 34．（25-26高一上·浙江绍兴·期末）声强级（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：），k，b为常数.研究发现正常人听觉能忍受的最高声强为，此时声强级为120dB；平时常人交谈时的声强约为，此时声强级为60dB． (1)求k，b的值； (2)实验结果表明，噪声可以降低人的视力敏感性，当噪声声强级达到90dB至115dB时，视网膜中的视杆细胞对光亮度的敏感性会下降，识别弱光反应的时间也会延长.某种型号的拖拉机声的声强约为，若司机长时间在这种噪音环境下驾驶，试判断是否会降低他的视力敏感性？ 35．（25-26高一上·北京·期中）天文学中用星等表示星体亮度，星等的数值越小、星体越亮．视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球32.6光年的地方测得的恒星的亮度，反应恒星的真实发光本领．如果两颗恒星的亮度分别为，视星等分别为，那么 (1)已知太阳的视星等是，夜空中最亮的恒星天狼星的视星等是，求太阳与天狼星的亮度之比；（保留两位有效数字，） (2)如果一颗恒星的绝对星等，视星等分别是，距地球的距离是光年，那么．已知天狼星，织女星，牛郎星的绝对星等，视星等如下表： 星体 视星等 绝对星等 天狼星 1.44 织女星 0.00 0.55 牛郎星 0.75 2.19 把这三颗恒星按照距离地球从近到远的顺序排序； (3)如果一颗恒星的视星等大于绝对星等，能由此推断出什么结论？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 指数与对数综合大题（35题）（举一反三专项训练） 【苏教版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 指数幂与对数的化简、求值 1．（25-26高一上·江西上饶·期末）计算： (1)； (2). 【答案】(1)0 (2) 【解题思路】（1）利用指数性质、运算法则直接求解． （2）利用对数性质、运算法则直接求解． 【解答过程】（1） . （2） . 2．（25-26高一上·山西大同·期末）计算下列各题： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据指数幂运算法则计算即可； （2）根据对数运算法则与对数恒等式化简运算即可； （3）根据对数运算法则结合对数恒等式与指数运算性质化简计算即可. 【解答过程】（1） ； （2） ； （3）. 3．（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用指数幂的运算性质化简可得出所求代数式的值； （2）利用对数的运算性质结合换底公式可得所求代数式的值. 【解答过程】（1）原式. （2）原式. 4．（25-26高一上·江苏常州·期末）求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2)1 【解题思路】（1）根据指数幂运算法则计算可得结果； （2）根据对数运算法则计算可得结果. 【解答过程】（1）原式； （2）原式 . 5．（25-26高一上·广东广州·期末）求值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）运用指数运算法则即可得到答案； （2）运用对数运算性质和运算法则即可得到答案； （3）注意到各对数式底数均不相同，运用换底公式消除底数的差异即可求解. 【解答过程】（1）原式. （2）原式. （3）原式． 6．（25-26高一上·广东·期末）（1）； （2）. 【答案】（1）； （2） 【解题思路】（1）根据指数幂和对数的运算法则，准确化简、运算，即可求解； （2）根据对数的运算法则，准确化简、运算，即可求解； 【解答过程】解：（1）由指数幂的运算公式，可得 又由对数的运算公式，可得： ， 所以. （2）由对数的运算公式，可得： . 7．（25-26高一上·江西景德镇·期末）请计算或化简下列式子： (1)； (2). 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）利用分数指数幂的运算法则和对数的运算性质计算即得； （2）根据对数的运算性质和换底公式化简计算即得. 【解答过程】（1）因为 ； （2） . 题型二 指、对数方程的求解 8．（25-26高一上·全国·课后作业）解关于的方程. （1）； （2）. 【答案】（1）2； （2）8 【解题思路】（1）先求得应满足的条件,再将对数方程转化为一元二次方程,解方程即可得解. （2）根据对数的运算性质,将方程化简,即可求解. 【解答过程】（1）， 所以应满足， 由对数的运算性质可将方程化为， ， 或， 因为， ； （2）， 所以应满足， 根据对数的运算性质,， 则原方程可化为， ， ， 经检验,符合题意. 9．（26-27高一上·全国·课堂例题）如果方程的两根是，求的值． 【答案】 【解题思路】设，将方程整理成关于的一元二次方程，解方程求得的值，结合对数的运算性质即可求出的值. 【解答过程】设，则得，即， 则或，即或，解得或. 依题意，或，故. 10．（25-26高一上·上海杨浦·期中）对数的运算大大增加了解决代数问题的效率，延长了天文学家的寿命. (1)设、是关于x的方程的两个实数根，求：的值； (2)已知，且，若，，求：的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据韦达定理列出关于和的方程，然后利用换底公式进行化简，代入计算即可； （2）将对数式转化为指数式，利用指数运算和对数运算的性质求值即可. 【解答过程】（1）因为、是关于x的方程的两个实数根， 所以由韦达定理得， 由得，则； 由得，所以，即， 则. （2）由，得，由，得，则； 所以，即， 故. 11．（25-26高一上·上海·期末）解下列关于x的方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或； (2)时， 时或， 时. 【解题思路】（1）由对数运算性质有，应用因式分解及对数函数性质求解即可； （2）由题设可得或，讨论、、，结合指对数函数性质求解. 【解答过程】（1）由题设且，又，即， 所以，可得或， 所以或. （2）由， 所以或， 当，则无解，此时； 当，则或； 当，则无解，此时； 综上，时， 时或， 时. 12．（25-26高一上·四川南充·阶段检测）（1）已知，求的值； （2）方程的两根分别为，求的值. 【答案】（1）3； （2） 【解题思路】（1）化对数式为指数式，进而求出； （2）方法一：变形为，是方程的两根，根据韦达定理得到两根之和，两根之积，从而计算出答案； 方法二：解方程得到，，代入计算即可. 【解答过程】（1） 由知，，， 所以； （2）方法一：， ，是方程的两根， 由根与系数的关系知，，， ； 方法二：， 解得，， 所以. 13．（25-26高一上·上海虹口·期中）（1）当时，解关于x的方程； （2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围 【答案】（1）； （2）或； （3） 【解题思路】（1）解对数方程，其中； （2）有意义，要求真数大于0； （3）通过化简变为有且仅有一个解，对进行分类讨论，注意变形中的真数要始终成立，所以要检验. 【解答过程】（1）∵， ∴， ∴； （2）对数有意义，则，解得：或， 所以实数x的取值范围为或； （3）， 即， =①， 方程两边同乘x得：， 即②， 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求； 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求； 当且时方程②的解为或， 若是方程①的解，则，即， 若是方程①的解，则，即， 则要使方程①有且仅有一个解，则； 综上：方程有且仅有一个解，实数a的取值范围是. 14．（25-26高三上·山东·阶段检测）已知关于的方程有两个不相等的实数根. (1)若，求； (2)若，求； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】1）通过韦达定理进行求解即可. （2）通过韦达定理得，进行求解即可. （3）由题意，由韦达定理得到，进行求解即可. 【解答过程】（1）依题意可得， 解得. 由韦达定理得， 因为， 所以，得. （2）由韦达定理得， 由，得 （3）因为， 所以的取值范围为. 题型三 带附加条件的指、对数问题 15．（25-26高一上·湖北·阶段检测）化简求值： (1)已知，求的值． (2)已知，求：． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）将目标式化为，结合化简求值即可； （2）根据已知先求出、，再代入目标式求值. 【解答过程】（1）由，则， 而，则； （2）由， ， 所以. 16．（25-26高一上·河南洛阳·期末）（1）若，求的值. （2）若，求的值. 【答案】（1）2； （2） 【解题思路】（1）将指数式转化为对数式，代入目标式，利用对数的运算性质计算即可； （2）求出，代入目标式，利用对数的运算性质计算即可. 【解答过程】（1）因为，所以，， 所以. （2）若，则，， 所以. 17．（25-26高一上·新疆阿克苏·期末）（1）已知：，，求的值； （2）若，，用含、的式子表示. 【答案】（1）； （2）. 【解题思路】（1）利用指数幂的运算性质计算可得出的值； （2）利用换底公式结合对数的运算性质可将用、表示. 【解答过程】（1）因为，，则； （2）因为，，所以. 18．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知，求和的值； （2）正实数满足，求和的值． 【答案】（1）6；； （2）7； 【解题思路】（1）直接由指数幂的运算可得； （2）先将等式完全平方求出，再平方可得，由立方差的公式可求. 【解答过程】（1）； . （2）因为正实数满足，所以， 所以， . 19．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知，，试用、表示， （2）已知，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解题思路】（1）利用换底公式和对数的运算性质可得结果； （2）由指数式和对数式的互化得出，，再利用换底公式结合对数的运算性质计算可得结果. 【解答过程】（1）； （2）因为，则，，则，， 所以，. 20．（25-26高一上·江苏常州·期中）计算： (1)； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）借助指数幂运算法则和对数运算法则计算求解即可； （2）结合指数幂的运算法则，借助完全平方公式计算即可求解； （3）先利用指对互化得，，然后借助对数换底公式计算即可求解. 【解答过程】（1） . （2）由，则，即， ，又，则，故， 故. （3）因为，，所以，， 所以. 21．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）计算下列各式的值： (1)化简：； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3) 【解题思路】（1）由根式与分数指数幂的转换，结合指数幂的运算即可求解； （2）由条件通过平方得到，再次平方得到，进而可求解； （3）由指数与对数的转化，和对数的运算性质即可求解. 【解答过程】（1） ； （2）由， 平方可得：， 即，再平方可得：， 即， 所以； （3）由，可得， 由，可得， 所以. 题型四 指数幂、对数恒等式的证明 22．（26-27高一上·全国·课后作业）设.且，求证：. 【答案】证明见解析 【解题思路】利用指数式与对数式的转化，表示出，再结合换底公式，表示出，利用即可探索的关系，即可证明. 【解答过程】证明：设，因为，所以. 当时，有，此时成立； 当时，，，. 所以，，. 因为， 所以 ，所以. 综上可知，成立. 23．（25-26高一下·广西崇左·阶段检测）求满足下列条件的各式的值 (1)若，求的值； (2)设，求证：. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【解题思路】（1）运用对数的运算法则即可求解； （2）运用对数的换底公式即可证明. 【解答过程】（1）， ， ， ； （2）证明：设， 则，，. 所以，，. 所以， 所以. 24．（25-26高一下·上海·课后作业）已知在中，，角A，B，C所对应的三条边长分别为a，b，c．求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】利用直角三角形的勾股定理、对数的运算性质以及对数的运算法则可以证明等式成立. 【解答过程】证明：在中，因为，所以， 因为 ， 所以. 25．（25-26高一·全国·随堂练习）求证： （1）；     （2）； 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解题思路】（1）根据对数运算与指数运算的关系，分别求等式左右的值，即可证明； （2）根据对数运算与指数运算的关系，分别求等式左右的值，即可证明. 【解答过程】（1）因为， 所以，，即； （2）因为， 所以，，即. 26．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知，求证：. （2）证明：是无理数. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解题思路】（1）指数式化为对数式，得到左式，右式，证毕； （2）反证法进行证明，假设是有理数，则，其中为既约分数，则，但为偶数，为奇数，相矛盾，故为无理数. 【解答过程】（1）证明：， 左式， 右式， 所以左式=右式. （2）证明：假设是有理数， 则，其中为既约分数， 则 ， 则， 这与为偶数，为奇数相矛盾， 所以假设不成立，所以是无理数． 27．（25-26高一·全国·随堂练习）设x，y为正数，满足，求证：（，）. 【答案】证明见解析 【解题思路】根据对数的运算法则和性质，化简得，即可求解. 【解答过程】证明：由题意，正数满足， 可得， 由 ， 所以（，）. 28．（25-26高一·全国·课后作业）求解下列问题： (1)证明：． (2)已知，且． 求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【解题思路】（1）结合换底公式以及对数运算证得等式成立. （2）令，结合指数运算，通过证明等式左边右边 来证得等式成立. 【解答过程】（1）证明：左边右边； （2）证明：令，则，，， 所以 ， ， 所以 ． 题型五 指数、对数的实际应用 29．（25-26高一上·上海·阶段检测）放射性碳定年法是1949年由威拉德·利比发明的一种考古断代方法，该方法基于生物体内碳14含量的衰减规律来测定文物年代，利比因此获得1960年诺贝尔化学奖. 设碳14的初始含量为，经过时间t（）后的含量为N，满足为关于t（）的指数函数.已知碳14的半衰期为5730年，即每经过5730年，碳14含量会衰减为原来的一半. (1)某化石样品中碳14含量是活生物体内含量的25%，请问根据放射性碳定年法推测，该化石距今约有多少年历史？ (2)在实际考古测定中，由于测量误差的存在，碳14含量的测量结果可能存在的误差.不考虑其他误差，则用此法测得的化石真实年代的误差最大为多少年？（四舍五入到整数） 【答案】(1)11460 (2)83 【解题思路】（1）设，根据题意得到，即，令，再解方程即可； （2）设测量误差为对应衰减时间为，测量误差为对应衰减时间为，无误差时对应衰减时间为，再分别计算出，比较即可． 【解答过程】（1）根据题意，设， 又每经过5730年，碳14含量会衰减为原来的一半，所以， 解得，则， 当，解得， 所以该化石距今约有年历史； （2）由于碳14含量的测量结果可能存在的误差， 设测量误差为对应衰减时间为，测量误差为对应衰减时间为， 无误差时对应衰减时间为， 则①，②，③， ，两边同时取以2为底的对数，， （年）， ，两边同时取以2为底的对数，， （年）， 所以误差最大为83年． 30．（25-26高一上·内蒙古包头·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，表示污染物的初始含量，如果在前消除了的污染物，那么： (1)求的值； (2)后还剩百分之几的污染物？ (3)污染物减少需要花多少时间（用对数表示）？ 【答案】(1) (2)72.9% (3) 【解题思路】（1）根据条件可计算即得的值； （2）结合（1）可得的值，进而得出答案； （3）令，根据指数运算性质求出的值； 【解答过程】（1）当时，，当时，，即. ， （2）当时，，即15h后，还剩的污染物. （3）设污染物减少40%需要花t h，则有，两边取以为底的对数，得. ，即污染物减少40%大约需要花h. 31．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是，室温是，那么tmin后茶水的温度θ（单位：℃）可由公式求得，其中k是常数.为了求出这个k的值，某数学建模兴趣小组在25℃室温下进行了数学实验，先用95℃的水泡制成95℃的茶水，利用温度传感器，测量并记录从开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据： tmin 0 1 2 3 4 5 （℃） 95.00 89.19 84.75 81.19 78.19 75.00 (1)请你仅利用表中的一组数据，，求k的值，并求出此时的解析式； (2)在25℃室温环境下，王老师用95℃的水泡制成的茶水，想等到茶水温度降至45℃时再饮用，根据（1）的结果，王老师要等待多长时间？ （参考数据：，，，e是自然对数的底数.） 【答案】(1)， (2)王老师大约等待20min 【解题思路】（1）由题意得，结合指数与对数的相互转化及对数的运算性质求解即可； （2）令，进而结合指数与对数的相互转化及对数的运算性质求解即可. 【解答过程】（1）由题意，得， 即，即，解得， 此时. （2）令，即， 即，解得， 所以王老师大约等待20min. 32．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）的关系为，其中是正的常数.如果在前消除了的污染物，那么 (1)从过滤开始，经过后，污染物还剩百分之几？ (2)污染物减少50%大约需要花多少时间（精确到1h）？ 参考数据：． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据题意得出，再求出当时，的值即可； （2）根据以及，结合对数的运算性质可求. 【解答过程】（1）由题意可知，当时，，则， 则当时，， 故经过后，污染物还剩； （2）若污染物减少50%，则， 得，即， 故污染物减少50%大约需要花小时. 33．（2026高一·全国·专题练习）某工厂的废气处理系统正常运行时，废气中的污染物含量（单位：）与时间（单位：）之间的关系式为，其中表示污染物含量的初始值，表示除污率，其大小可在废气处理系统中设置. (1)正常情况下，若将除污率设置为，污染物含量降低到初始值的一半大约需要多长时间？ (2)某天污染物含量的初始值为，废气处理系统先将除污率设置为运行，再将除污率设置为运行，若此时测得污染物含量为，试判断当天废气处理系统的运行是否正常. 附：，. 【答案】(1)； (2)不正常 【解题思路】（1）根据题意得到，代入，整理结果并取自然对数得，再代入值求解即可. （2）求出两个阶段后的污染物含量的正常值，再跟污染物含量为对比即可. 【解答过程】（1）令并代入，得，等式两边同取自然对数得，整理得 ∵， ∴， 所以污染物含量降低到初始值的一半大约需要. （2）由题知，先将除污率设置为运行，再将除污率设置为运行，正常情况下，此时污染物含量应该为， ∵， ∴，所以； 因为，故当天废气处理系统的运行不正常. 34．（25-26高一上·浙江绍兴·期末）声强级（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：），k，b为常数.研究发现正常人听觉能忍受的最高声强为，此时声强级为120dB；平时常人交谈时的声强约为，此时声强级为60dB． (1)求k，b的值； (2)实验结果表明，噪声可以降低人的视力敏感性，当噪声声强级达到90dB至115dB时，视网膜中的视杆细胞对光亮度的敏感性会下降，识别弱光反应的时间也会延长.某种型号的拖拉机声的声强约为，若司机长时间在这种噪音环境下驾驶，试判断是否会降低他的视力敏感性？ 【答案】(1)； (2)司机长时间在这种噪音环境下驾驶，会降低他的视力敏感性. 【解题思路】（1）由题意建立方程组，解之即可求解； （2）由（1），将代入即可下结论. 【解答过程】（1）由题意知，解得， 所以. （2）因为，将代入， 得， 所以司机长时间在这种噪音环境下驾驶，会降低他的视力敏感性. 35．（25-26高一上·北京·期中）天文学中用星等表示星体亮度，星等的数值越小、星体越亮．视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球32.6光年的地方测得的恒星的亮度，反应恒星的真实发光本领．如果两颗恒星的亮度分别为，视星等分别为，那么 (1)已知太阳的视星等是，夜空中最亮的恒星天狼星的视星等是，求太阳与天狼星的亮度之比；（保留两位有效数字，） (2)如果一颗恒星的绝对星等，视星等分别是，距地球的距离是光年，那么．已知天狼星，织女星，牛郎星的绝对星等，视星等如下表： 星体 视星等 绝对星等 天狼星 1.44 织女星 0.00 0.55 牛郎星 0.75 2.19 把这三颗恒星按照距离地球从近到远的顺序排序； (3)如果一颗恒星的视星等大于绝对星等，能由此推断出什么结论？ 【答案】(1) (2)天狼星、牛郎星、织女星 (3)该恒星距地球的距离大于光年（答案不唯一，符合题意即可） 【解题思路】（1）由题意可得：，结合题意圆求解即可； （2）整理可得，结合题意分析求解即可； （3）根据题意可得，进而分析即可. 【解答过程】（1）设太阳、天狼星的视星等是，亮度分别为， 由题意可知：，可得， 所以太阳与天狼星的亮度之比为. （2）因为，可得， 则随着增大而增大， 星体 视星等 绝对星等 天狼星 1.44 织女星 0.00 0.55 牛郎星 0.75 2.19 由表可知：由小到大依次为：天狼星、牛郎星、织女星， 所以这三颗恒星按照距离地球从近到远的顺序排序为：天狼星、牛郎星、织女星. （3）若一颗恒星的视星等大于绝对星等，则， 可知， 所以该恒星距地球的距离大于光年. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $