12.2 古典概率（高效培优讲义）高二数学沪教版必修第三册

12.2 古典概率 教学目标 1知识与技能.理解古典概型的定义与两个特征掌握古典概型概率计算公式能识别事件的包含相等互斥对立关系会进行事件的交并补运算利用概率可加性计算事件概率 2过程与方法.通过实例判断古典概型经历样本点计数与事件运算推导过程提升列举计数逻辑推理能力 教学重难点 重点.古典概型的两大特征古典概型概率公式事件之间的关系与运算互斥事件概率的可加性 难点.准确计数样本点总数与事件包含样本点数区分互斥事件与对立事件综合事件运算求解复杂事件概率 知识点01 古典概型 1．定义：一般地，若试验具有如下特征： （1）有限性：试验的样本空间的样本点总数__有限______，即样本空间为__有限样本空间______． （2）等可能性：每次试验中，样本空间的各个样本点出现的可能性__相等______． 则称这样的试验模型为古典概率模型，简称古典概型． 2．古典概型的计算公式 如果样本空间包含的样本点总数为，随机事件包含的样本点个数为，那么事件发生的概率为________． 知识点02 概率的基本性质 性质1  对任意的事件A，都有． 性质2  必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即_1 ______，__0_____． 性质3  如果事件A与事件B互斥，那么_______． 性质4  如果事件A与事件B互为对立事件，那么_________，________． 性质5  如果，那么_____． 性质6  设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有_______． 概率加法公式的推广 如果事件两两互斥，那么事件发生的概率，等于这个事件的概率和，即__________； 知识点03 互斥事件与对立事件 名称 定义 表示法 图示 互斥事件 如果事件与事件__不能同时发生______，称事件与事件互斥（或互不相容） 若，则与互斥 对立事件 如果事件和事件在任何一次试验中_有且仅有一个发生_______，称事件与事件互为对立事件，事件的对立事件记为 若，且，则与对立 两个事件的关系和运算 含义 符号表示 含义 包含关系 若事件A发生，则事件B一定发生 ________ 相等关系 且 ________ 并事件（和事件） ____事件A与事件B至少有一个发生___________ 或 交事件（积事件） 事件A与事件B同时发生 __或______ 互斥（互不相容） 事件A与事件B不能同时发生 互为对立 事件A与事件B有且仅有一个发生 ________，且__________ 题型01 求古典概型概率 【典例1】（26-27高一上·上海浦东新·开学考试）在一个口袋中装有个完全相同的小球，它们的标号分别为，，，．现从中随机摸出两个小球，将上面的标号分别记为、，则使得反比例函数经过一、三象限的概率为______． 【变式1】（25-26高二下·上海静安·期末）以连续抛掷两次正方体骰子分别得到的点数作为点的坐标，，则点落在直线和两坐标轴所围成的三角形区域（包括边界）的概率是（    ） A． B． C． D．. 【变式2】从集合中随机抽取2个不同元素作为；使得 有意义的概率为__________. 【变式3】（2025高二·上海·专题练习）某校从四名同学中随机选派两人分别去参观甲、乙两个工厂，则学生A被选中的概率为______. 题型02 有放回与无放回的概率问题 【典例1】袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（ ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色全不相同的概率为 C．取出的3个球颜色不全相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 【变式1】一个盒子中装有5个电子产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中不放回地抽取产品，每次取1个，求： (1)取两次，两次都取得一等品的概率； (2)取三次，第三次才取得一等品的概率． 【变式2】不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5．现从盒子里随机取出2个小球． (1)记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，求事件发生的概率． (2)记事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”，求事件发生的概率； 【变式3】一个盒子中装有6个小球，其中3个红球，2个黑球和1个白球． (1)采用有放回方式从中依次随机地取出2个球，求这2个球颜色相同的概率； (2)采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，求第二次取到红球的概率． 题型03 互斥事件的判断 【典例1】袋子里装有4支钢笔，其中2支黑笔，2支红笔，从中随机取出2支，下列事件中与事件“都是黑笔”互斥但不对立的是（    ） A．“恰有1支红笔” B．“至多有1支红笔” C．“至少有1支黑笔” D．“至少有1支红笔” 【变式1】某不透明盒子中共有6个大小、质地完全相同的小球，其中有4个红球2个黑球，从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件A=“至少摸到一个红球”;B=“至多摸到一个黑球”;C=“摸到2个红球”;D=“摸到2个黑球”，则下列说法正确的是（    ） A．A与B是互斥事件 B．B与C是对立事件 C．C与D是互斥但不是对立事件 D．A与D是互斥但不是对立事件 【变式2】（25-26高一下·黑龙江大庆·期末）从一批产品中取出三件产品，设事件=“三件产品全不是次品”，事件=“三件产品全是次品”，事件=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（    ） A．与对立 B．与互斥 C．与互斥 D．与不对立 题型04 对立事件的判断 【典例1】已知甲箱内放有形状、大小、质地都相同的6张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，6，从甲箱内有放回地依次抽出两张卡片，记录卡片上的数字，记“两张卡片上数字都是奇数”为事件，“两张卡片上数字都是偶数”为事件，“两张卡片上数字之积为偶数”为事件，“两张卡片上数字之和为奇数”为事件，则（   ） A．事件与是对立事件 B．事件与互斥 C．事件与是对立事件 D．事件与互斥但不对立 【变式1】从1，2，3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．则在上述事件中，是对立事件的是（   ） A．① B．②④ C．③ D．①③ 【变式2】某人打靶连续射击3次，设“共中靶次”，，则的对立事件是（   ） A．“全部中靶” B．“至少中靶1次” C．“至少中靶2次” D．“至多中靶1次” 【变式3】抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件表示“骰子向上的点数为奇数”，事件表示“骰子向上的点数为偶数”，事件表示“骰子向上的点数大于3”，事件表示“骰子向上的点数小于3”则（    ） A．事件与事件互为对立事件 B．事件与事件互为对立事件 C．事件与事件互斥 D．事件与事件互斥 题型05 写出某事件的对立事件 【典例1】从装有1个红球、1个白球和1个黄球的口袋中任取1个球，则与事件“取出的是红球”互为对立事件的是（   ） A．“取出的是白球” B．“取出的是黄球” C．“取出的是红球” D．“取出的不是红球” 【变式1】从装有3个红球和5个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是（   ） A．至多有2个红球 B．至少有2个黄球 C．都是黄球 D．至多1个红球 【变式2】连续抛一枚硬币三次，事件“至多有一次硬币正面朝上”的对立事件是（   ） A．至少有一次硬币正面朝上 B．至少有两次硬币正面朝上 C．至少有一次硬币反面朝上 D．至少有两次硬币反面朝上 题型06 利用对立事件公式求概率 【典例1】（25-26高三下·上海·阶段检测）已知事件A发生的概率为，则它的对立事件发生的概率________________ 【变式1】澄海素有“中国民间灯谜艺术之乡”的美誉，每逢元宵佳节各乡祠都会设谜台击鼓开猜，传承国家级非遗澄海灯谜．甲、乙两人组成“红头船队”参加村居灯谜擂台赛，擂台赛由甲、乙各猜射一道灯谜．已知甲猜中灯谜的概率为，乙猜中灯谜的概率为．两人猜中与否互不影响．则“红头船队”在擂台竞猜中至少猜中1道灯谜的概率为__________． 【变式2】将一枚质地均匀的硬币在光滑平面上连续抛掷3次，设事件“至少出现一次正面向上”，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】我省高考实行3+1+2模式，“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生需在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科，今年某校高一的学生小霞和小芸正准备进行选科，假如她们首选科目都是历史，再选科目她们选择每个科目的可能性均相等，且她俩的选择互不影响，则她们的选科至少有一科不相同的概率为_________． 题型07 利用互斥事件的公式求概率 【典例1】已知，是互斥事件，与是对立事件，若，，则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8 【变式1】（2026·上海浦东新·三模）已知随机事件，满足，，．则______________． 【变式2】已知事件，，为随机事件，事件与事件互斥，事件与事件互为对立事件，且，，则____________． 题型08 概率的基本性质 【典例1】已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9 【变式1】一个不透明的袋子中装有个红球和个绿球（），这些球除颜色外都相同．现有放回地从袋中依次取2个球． (1)当，时，记两个红球为（），绿球为，写出试验的样本空间和样本点个数； (2)若，且取出的2个球都是红球的概率为； ①求的值； ②求取到的2个球颜色不同的概率． 【变式2】已知随机事件是互斥事件，且，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 1．已知事件和互斥，下列等式一定成立的为（ ） A．； B．； C．； D．． 2．（25-26高二上·上海松江·期中）从不大于10的自然数中随机抽取一个数，这个数是奇数的概率为_____． 3．（25-26高二上·上海长宁·期末）在元旦迎新会时，某班级将40名学生的姓名写成纸条放进抽奖箱，混合均匀后抽取5名学生进行奖励，则学生A被抽到获奖的概率为______． 4．（25-26高二上·上海·期末）盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，从中取出2粒都是白子的概率是，则从中取出2粒棋子恰好颜色不同的概率为____. 5．（2025高二·上海·专题练习）下列是古典概型的序号是_____. ①任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点时 ②求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时 ③从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率 ④从袋子中的3个红球和2个白球中任取2个小球，计算所取的两个小球都是白球的概率 6．（25-26高二上·上海奉贤·期中）掷一枚质地均匀的骰子，观察其向上的点数，事件表示“出现小于的偶数点”，事件表示“出现小于的点”，则一次试验中，事件发生的概率为________． 7．（25-26高三上·上海·期中）在平面直角坐标系内，点的坐标满足，且都是集合中的元素，则事件“任意选择一个点，满足点到原点的距离”的概率为_________. 8．（25-26高一上·上海黄浦·阶段检测）一颗质地均匀的骰子，它的六个面上分别有1点、2点、…、6点的标记，若掷两次骰子，则向上的一面出现的点数至少有一次是6点的概率是___________． 9．（24-25高二下·上海嘉定·期末）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片． (1)若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和小于8的概率； (2)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，再放回后再抽取1张卡片，求这三次抽取的卡片上的数字的极差大于2的概率． 10．（24-25高二下·上海·期中）学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，求选出的2人中至少有1名女同学的概率； 11．甲、乙两人玩石头、剪刀、布游戏.在一次游戏中，记事件：甲、乙两人出的都是剪刀；事件：甲、乙两人出的相同；事件：甲、乙两人至少有人出的是布.则下列结论错误的是（ ） A．与互斥 B．与互为对立事件 C． D． 12．（25-26高三上·上海·期中）一个袋子中有 个红球， 个白球，球的大小和质地相同 (1)若 ， ，采取不放回的方式从中依次随机地取出2个球，求第一次和第二次都取到白球的概率. (2)若 ，采取有放回的方式从中依次随机地取出 2 个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是 ，求 的最大值. 13．（24-25高二下·上海徐汇·期末）若存在实数、，使得函数的图像将圆分成周长、面积均相等的两部分，则称函数为“美好函数”．若从“，，，，，”这6个表达式中随机选一个，则函数是“美好函数”的概率为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高三下·上海·阶段检测）已知集合.现独立地随机选取集合的两个非空子集A、B（A与B可以相同），集合A中的最大元素小于集合B中的最小元素的概率为________. 15．（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知集合，，若分别从集合M，N中随机抽取一个数m和n，二次函数.记事件A为“是二次函数的单调递增区间”，事件B为“是二次函数的单调递减区间”. (1)求数对的样本空间中所含样本点的个数； (2)分别求事件A、事件B的概率； (3)求事件A、事件B至少一个发生的概率. 16．（24-25高二上·上海·期末）、两人在玩一个商业模拟游戏.现在游戏进行到了最后一轮，暂时领先3分.接下来可以掷两颗骰子，如果两颗骰子的点数都是偶数，则“投资”失败，“投资”的分值记为0分，游戏结束；否则，可以进行“投资”，他可以选择其中一个点数为奇数的骰子，将其点数作为“投资”的分值.“投资”结束后，该游戏结束.、两人中分值较高者获胜，若分值相同，则两人打平. (1)求获胜的概率； (2)若在掷骰子之前可以对的“投资”行为进行干扰，他可以选择以下两种方式之一：①让的分值直接减1；②当掷出骰子后，将点数较大的骰子变为1点，另一个不变（如果掷出的两颗骰子点数相同，则将其中一个变为1点）.为了使自己获胜的概率更大，会选择哪种方式进行干扰?说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.2 古典概率 教学目标 1知识与技能.理解古典概型的定义与两个特征掌握古典概型概率计算公式能识别事件的包含相等互斥对立关系会进行事件的交并补运算利用概率可加性计算事件概率 2过程与方法.通过实例判断古典概型经历样本点计数与事件运算推导过程提升列举计数逻辑推理能力 教学重难点 重点.古典概型的两大特征古典概型概率公式事件之间的关系与运算互斥事件概率的可加性 难点.准确计数样本点总数与事件包含样本点数区分互斥事件与对立事件综合事件运算求解复杂事件概率 知识点01 古典概型 1．定义：一般地，若试验具有如下特征： （1）有限性：试验的样本空间的样本点总数__有限______，即样本空间为__有限样本空间______． （2）等可能性：每次试验中，样本空间的各个样本点出现的可能性__相等______． 则称这样的试验模型为古典概率模型，简称古典概型． 2．古典概型的计算公式 如果样本空间包含的样本点总数为，随机事件包含的样本点个数为，那么事件发生的概率为________． 知识点02 概率的基本性质 性质1  对任意的事件A，都有． 性质2  必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即_1 ______，__0_____． 性质3  如果事件A与事件B互斥，那么_______． 性质4  如果事件A与事件B互为对立事件，那么_________，________． 性质5  如果，那么_____． 性质6  设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有_______． 概率加法公式的推广 如果事件两两互斥，那么事件发生的概率，等于这个事件的概率和，即__________； 知识点03 互斥事件与对立事件 名称 定义 表示法 图示 互斥事件 如果事件与事件__不能同时发生______，称事件与事件互斥（或互不相容） 若，则与互斥 对立事件 如果事件和事件在任何一次试验中_有且仅有一个发生_______，称事件与事件互为对立事件，事件的对立事件记为 若，且，则与对立 两个事件的关系和运算 含义 符号表示 含义 包含关系 若事件A发生，则事件B一定发生 ________ 相等关系 且 ________ 并事件（和事件） ____事件A与事件B至少有一个发生___________ 或 交事件（积事件） 事件A与事件B同时发生 __或______ 互斥（互不相容） 事件A与事件B不能同时发生 互为对立 事件A与事件B有且仅有一个发生 ________，且__________ 题型01 求古典概型概率 【典例1】（26-27高一上·上海浦东新·开学考试）在一个口袋中装有个完全相同的小球，它们的标号分别为，，，．现从中随机摸出两个小球，将上面的标号分别记为、，则使得反比例函数经过一、三象限的概率为______． 【答案】 【分析】利用反比例函数性质得出，再利用列举法计算所求概率即可. 【详解】易知对于反比例函数，当且仅当时，其图象经过第一、三象限，因此本题需满足； 从4个小球中随机摸出2个，所有等可能的基本事件共种，分别为； 其中满足的组合为，共4种； 因此所求概率为. 【变式1】（25-26高二下·上海静安·期末）以连续抛掷两次正方体骰子分别得到的点数作为点的坐标，，则点落在直线和两坐标轴所围成的三角形区域（包括边界）的概率是（    ） A． B． C． D．. 【答案】D 【分析】先求出点的总个数，再列举出满足条件的点，即可得答案. 【详解】由题意可得点共有个， 而满足条件的点有： ，，，，，共6个点， 故所求概率为. 【变式2】从集合中随机抽取2个不同元素作为；使得 有意义的概率为__________. 【答案】 【分析】求出所有取值情况，找出使 有意义的情况，根据古典概率可求答案. 【详解】根据题意，从集合中随机抽取2个不同元素作为， 有共6种， 其中只有，即有意义， 所以使得 有意义的概率为. 故答案为： 【变式3】（2025高二·上海·专题练习）某校从四名同学中随机选派两人分别去参观甲、乙两个工厂，则学生A被选中的概率为______. 【答案】/ 【分析】用列举法列举出所有可能结果，再根据古典概型概率计算公式计算即可， 【详解】从四名学生中随机选两人分别去参观甲、乙两个工厂是有顺序的． 从四名同学中随机选派两人分别去参观甲、乙两个工厂所得的基本事件有： ， ，共12个． 记“学生被选中”为事件， 事件包含的基本事件有，共6个． 所以由古典概型概率公式得. 故答案为：. 题型02 有放回与无放回的概率问题 【典例1】袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（ ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色全不相同的概率为 C．取出的3个球颜色不全相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 【答案】C 【分析】应用古典概型计算各个选项即可. 【详解】设取得黄、红、白球分别为， 有放回地取球3次， 共 27种等可能结果， 其中颜色相同的结果有3种，其概率为，故A错误； 颜色全不相同的结果有6种，其概率为，故B错误； 颜色不全相同的结果有 24种,其概率为，故C正确； 无红球的结果有 8种，其概率为，故D错误． 故选：C 【变式1】一个盒子中装有5个电子产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中不放回地抽取产品，每次取1个，求： (1)取两次，两次都取得一等品的概率； (2)取三次，第三次才取得一等品的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】根据全概率计算公式，计算出所求答案. 【详解】（1）令为第i(i=1，2，3)次取得一等品． （1） ． （2） ． 【变式2】不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5．现从盒子里随机取出2个小球． (1)记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，求事件发生的概率． (2)记事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”，求事件发生的概率； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对于事件，有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为， 所以，因此． （2）对于事件，不放回地依次取出两个球的样本空间 ，，，，，，，，，，，，，，， 则，因为，所以， 所以． 【变式3】一个盒子中装有6个小球，其中3个红球，2个黑球和1个白球． (1)采用有放回方式从中依次随机地取出2个球，求这2个球颜色相同的概率； (2)采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，求第二次取到红球的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）一个盒子中装有6个小球， 其中3个红球记为，2个黑球记为和1个白球记为， 采用有放回方式从中依次随机地取出2个球，基本事件为： ，共36种， 记这2个球颜色相同为事件A，它包含的基本事件为： ，共14种， 故． （2）采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，基本事件为： ，共30种， 记第二次取到红球为事件B,它包含的基本事件为： 共15种， 故． 题型03 互斥事件的判断 【典例1】袋子里装有4支钢笔，其中2支黑笔，2支红笔，从中随机取出2支，下列事件中与事件“都是黑笔”互斥但不对立的是（    ） A．“恰有1支红笔” B．“至多有1支红笔” C．“至少有1支黑笔” D．“至少有1支红笔” 【答案】A 【分析】应用互斥事件及对立事件定义判断求解. 【详解】从4支笔中任取2支的所有情况为：2支黑笔、2支红笔、1支黑笔1支红笔， 对于A：事件“都是黑笔”与“恰有1支红笔”不可能同时发生，且不是必有一个发生，二者互斥不对立，符合题干要求； 对于B：“至多有1支红笔”包含1红1黑、2黑的情况，与“都是黑笔”不互斥，不符合题干要求； 对于C：“至少有1支黑笔”包含1红1黑、2黑的情况，与“都是黑笔”不互斥，不符合题干要求； 对于D：“至少有1支红笔”包含1红1黑、2红的情况，与“都是黑笔”为对立事件，不符合题干要求； 【变式1】某不透明盒子中共有6个大小、质地完全相同的小球，其中有4个红球2个黑球，从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件A=“至少摸到一个红球”;B=“至多摸到一个黑球”;C=“摸到2个红球”;D=“摸到2个黑球”，则下列说法正确的是（    ） A．A与B是互斥事件 B．B与C是对立事件 C．C与D是互斥但不是对立事件 D．A与D是互斥但不是对立事件 【答案】C 【分析】使用互斥事件，对立事件的定义求解. 【详解】对于A．“至少摸到一个红球”与“至多摸到一个黑球”可以同时发生，所以A与B不是互斥事件，故A错误； 对于B，“至多摸到一个黑球”包含一红一黑、两红；与“摸到2个红球”可以同时发生，所以B与C不互斥，也不是对立事件，故B错误； 对于C，C与D不可能同时发生，可以同时不发生，是互斥事件但不是对立事件，故C正确； 对于D，A与D是对立事件，故D错误． 【变式2】（25-26高一下·黑龙江大庆·期末）从一批产品中取出三件产品，设事件=“三件产品全不是次品”，事件=“三件产品全是次品”，事件=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（    ） A．与对立 B．与互斥 C．与互斥 D．与不对立 【答案】B 【分析】利用互斥事件和对立事件的定义即可. 【详解】从一批产品中取出三件产品的样本空间有“三件正品”，“两件正品一件次品”，“一件正品两件次品”，“三件次品”. 事件的样本点有“三件正品”，事件的样本点有“三件次品”，事件的样本点有“三件正品”，“两件正品一件次品”，“一件正品两件次品”. 所以与互斥不对立，与互斥且对立，与不互斥. 题型04 对立事件的判断 【典例1】已知甲箱内放有形状、大小、质地都相同的6张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，6，从甲箱内有放回地依次抽出两张卡片，记录卡片上的数字，记“两张卡片上数字都是奇数”为事件，“两张卡片上数字都是偶数”为事件，“两张卡片上数字之积为偶数”为事件，“两张卡片上数字之和为奇数”为事件，则（   ） A．事件与是对立事件 B．事件与互斥 C．事件与是对立事件 D．事件与互斥但不对立 【答案】C 【详解】选项A：事件A（两奇）和事件B（两偶）之外还有一奇一偶的情况， 故事件与不是对立事件，A错误； 选项B：当两张卡片上数字为一奇一偶时，事件D发生， 此时两张卡片上数字乘积一定是偶数，即C也会发生，二者不互斥，B错误； 选项C：事件A：两张卡片上数字都是奇数就是两张卡片上数字乘积为奇数， 其对立面为两张卡片上数字乘积不为奇数，即为偶数， 即为事件C，两个事件覆盖所有可能情况，且不可能同时发生，是对立事件，C正确。 选项D：当两张卡片上数字都是偶数时，事件B发生， 此时两张卡片上数字之积一定为偶数，即C也会发生，二者不互斥，D错误. 【变式1】从1，2，3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．则在上述事件中，是对立事件的是（   ） A．① B．②④ C．③ D．①③ 【答案】C 【详解】从1∼9中任取两数，有以下三种情况：（i）两个均为奇数；（ii）两个均为偶数；（iii）一个奇数和一个偶数. ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数中，有可能同时发生不存在对立的关系； ②至少有一个是奇数和两个都是奇数中，至少有一个是奇数包括两个都是奇数，不互斥，故不存在对立的关系； ③至少有一个是奇数和两个都是偶数中，至少有一个是奇数包括有一个奇数和有两个奇数，与两个都是偶数是对立事件； ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数中，都包含一个奇数和一个偶数的结果，不存在对立的关系. 所以只有③所包含的事件是对立事件. 【变式2】某人打靶连续射击3次，设“共中靶次”，，则的对立事件是（   ） A．“全部中靶” B．“至少中靶1次” C．“至少中靶2次” D．“至多中靶1次” 【答案】C 【分析】根据对立事件的定义判断即可. 【详解】某人打靶连续射击3次，设“共中靶次”，， 则表示共中靶0次，表示共中靶1次， 所以表示共中靶0次或1次，所以其对立事件表示共中靶至少2次. 故选：C. 【变式3】抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件表示“骰子向上的点数为奇数”，事件表示“骰子向上的点数为偶数”，事件表示“骰子向上的点数大于3”，事件表示“骰子向上的点数小于3”则（    ） A．事件与事件互为对立事件 B．事件与事件互为对立事件 C．事件与事件互斥 D．事件与事件互斥 【答案】A 【分析】利用互斥事件、对立事件的概念分析即可. 【详解】易知事件E可表示为，事件F可表示为，事件G可表示为, 事件H可表示为，抛掷一枚质地均匀的骰子一次可表示为, 得到是U的真子集，， 所以A正确，B错误，C错误，D错误. 故选：A 题型05 写出某事件的对立事件 【典例1】从装有1个红球、1个白球和1个黄球的口袋中任取1个球，则与事件“取出的是红球”互为对立事件的是（   ） A．“取出的是白球” B．“取出的是黄球” C．“取出的是红球” D．“取出的不是红球” 【答案】D 【分析】根据对立事件的概念即可求解. 【详解】从装有1个红球、1个白球和1个黄球的口袋中任取1个球，结果有“取出的是红球”， “取出的是白球” 和“取出的是黄球”，故与事件“取出的是红球”互为对立事件的是“取出的不是红球”. 故选：D. 【变式1】从装有3个红球和5个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是（   ） A．至多有2个红球 B．至少有2个黄球 C．都是黄球 D．至多1个红球 【答案】C 【分析】先对至少有1个红球进行情况分析，再结合对立事件的定义求解即可. 【详解】由题意得若发生“至少有1个红球”，则取出红球的数量为1个，2个，3个， 由对立事件的性质得“至少有1个红球”的对立事件为取不到红球，即取到的都是黄球，故C正确. 故选：C 【变式2】连续抛一枚硬币三次，事件“至多有一次硬币正面朝上”的对立事件是（   ） A．至少有一次硬币正面朝上 B．至少有两次硬币正面朝上 C．至少有一次硬币反面朝上 D．至少有两次硬币反面朝上 【答案】B 【分析】根据对立事件定义判断求解. 【详解】因为事件“至多有一次硬币正面朝上”是“0次或1次硬币正面朝上”， 对立事件是“2次或3次硬币正面朝上”，即“至少有两次硬币正面朝上”. 故选：B. 题型06 利用对立事件公式求概率 【典例1】（25-26高三下·上海·阶段检测）已知事件A发生的概率为，则它的对立事件发生的概率________________ 【答案】/ 【分析】根据互为对立事件的两个事件的概率和为1的性质，代入已知概率计算即可. 【详解】由对立事件的概率基本性质可知，对任意事件A，其对立事件满足， 已知，所以. 【变式1】澄海素有“中国民间灯谜艺术之乡”的美誉，每逢元宵佳节各乡祠都会设谜台击鼓开猜，传承国家级非遗澄海灯谜．甲、乙两人组成“红头船队”参加村居灯谜擂台赛，擂台赛由甲、乙各猜射一道灯谜．已知甲猜中灯谜的概率为，乙猜中灯谜的概率为．两人猜中与否互不影响．则“红头船队”在擂台竞猜中至少猜中1道灯谜的概率为__________． 【答案】 【分析】首先计算各自未猜中灯谜的概率，根据对立事件的概率即可求出至少猜中1道灯谜的概率. 【详解】设：甲猜中灯谜为事件，乙猜中灯谜为事件， 则至少猜中1道灯谜的概率. 【变式2】将一枚质地均匀的硬币在光滑平面上连续抛掷3次，设事件“至少出现一次正面向上”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求“出现连续3次反面向上”事件的概率，再根据对立事件的关系求解. 【详解】设事件“出现连续3次反面向上”，则事件与事件是互为对立事件 【变式3】我省高考实行3+1+2模式，“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生需在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科，今年某校高一的学生小霞和小芸正准备进行选科，假如她们首选科目都是历史，再选科目她们选择每个科目的可能性均相等，且她俩的选择互不影响，则她们的选科至少有一科不相同的概率为_________． 【答案】 【分析】利用列举法求出每人从化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科的选法共有6种选法；由于两人选科互不影响，所以两人选科的种类共有36种，由此利用对立事件概率计算公式能求出她们的选科至少有一科不相同的概率． 【详解】每人从化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科的选法共有： {化学，生物}，{化学，政治}，{化学，地理}，{生物，政治}， {生物，地理}，{政治，地理}共6种选法， 由于两人选科互不影响，所以两人选科的种类共有种， 其中两人的选科完全相同的选法有6种， 所以她们的选科至少有一科不相同的概率为． 题型07 利用互斥事件的公式求概率 【典例1】已知，是互斥事件，与是对立事件，若，，则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8 【答案】A 【详解】因为，是互斥事件，所以，则， 因为与是对立事件，所以. 【变式1】（2026·上海浦东新·三模）已知随机事件，满足，，．则______________． 【答案】 【详解】由题意得 ，所以. 【变式2】已知事件，，为随机事件，事件与事件互斥，事件与事件互为对立事件，且，，则____________． 【答案】0.5 【分析】根据对立事件的概率公式求出，再根据互斥事件的概率加法公式计算即可. 【详解】因为事件与事件互为对立事件，所以， 因为事件与事件互斥，所以. 题型08 概率的基本性质 【典例1】已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9 【答案】B 【详解】因为与对立，且，所以， 因为与互斥，且，所以 【变式1】一个不透明的袋子中装有个红球和个绿球（），这些球除颜色外都相同．现有放回地从袋中依次取2个球． (1)当，时，记两个红球为（），绿球为，写出试验的样本空间和样本点个数； (2)若，且取出的2个球都是红球的概率为； ①求的值； ②求取到的2个球颜色不同的概率． 【答案】(1)样本空间， 样本点的个数 (2)①；②. 【分析】（1）用表示2次取球的可能结果，即可列出样本空间和样本点的个数； （2）①记3个红球分别为，个绿球分别为，利用列举法求得样本空间和样本点的个数，结合古典概型的概率计算公式，列出方程，即可求解； ②由①知袋子中装有个红球和个绿球，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解. 【详解】（1）解：用分别表示第次取得的球，则可用表示2次取球的可能结果， 所以样本空间为， 其中样本点的个数为个. （2）解：①记3个红球分别为，个绿球分别为， 则样本空间的样本点如图下表所示： 所有样本点的总数为个， 其中2个球都是红球的样本空间为， 则样本点的个数为个， 所以，即，解得. ②由①知：，即袋子中装有个红球和个绿球， 设事件“第1次取得红球”，事件“第2次取到红球”， 事件“取得的2个球的颜色不同”，可得， 则， 所以取到的2个球颜色不同的概率为． 【变式2】已知随机事件是互斥事件，且，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对立事件的概率公式可得到选项A;由和事件的概率公式及对立事件积事件的概率可得到选项B,C;由对立事件以及选项B可得到选项D. 【详解】事件A，B互斥，则A，B不能同时发生． A选项：，A正确； B选项：互斥，，B正确： C选项：互斥事件，C正确； D选项：，D错误． 故选：D． 1．已知事件和互斥，下列等式一定成立的为（ ） A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【分析】利用互斥事件的定义和互斥事件的概率加法公式，并结合举反例，逐项分析判断可得. 【详解】对于A，举反例：掷一枚骰子，“点数”，“点数”，显然事件和互斥， 但，所以A不一定正确； 对于B，由事件和互斥，可得，所以， 因为不一定为，只有或等式才成立， 所以与不一定相等，所以B不正确； 对于C，由互斥事件的概率加法公式，若事件和互斥， 可得，所以C正确； 对于D，举反例：掷一枚骰子，“点数”，“点数”， 显然事件和互斥，，但，所以D不一定正确. 2．（25-26高二上·上海松江·期中）从不大于10的自然数中随机抽取一个数，这个数是奇数的概率为_____． 【答案】 【分析】利用古典概型概率公式计算即可. 【详解】易知不大于10的自然数是，共11个数字， 其中奇数有1，3，5，7，9，共5个， 所以随机抽取一个数，这个数是奇数的概率为. 故答案为： 3．（25-26高二上·上海长宁·期末）在元旦迎新会时，某班级将40名学生的姓名写成纸条放进抽奖箱，混合均匀后抽取5名学生进行奖励，则学生A被抽到获奖的概率为______． 【答案】/ 【分析】利用简单随机抽样的概念计算即可. 【详解】由题意可知每个学生被抽取的概率为. 故答案为： 4．（25-26高二上·上海·期末）盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，从中取出2粒都是白子的概率是，则从中取出2粒棋子恰好颜色不同的概率为____. 【答案】/0.4 【分析】利用互斥事件的加法公式可得答案. 【详解】设事件 A 为取出的两粒棋子都是黑子，事件 B 为取出的两粒棋子都是白子， 事件 C 为取出的两粒棋子颜色不同（一黑一白）， 根据题意：， 又因为，， 所以， 即. 故答案为： 5．（2025高二·上海·专题练习）下列是古典概型的序号是_____. ①任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点时 ②求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时 ③从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率 ④从袋子中的3个红球和2个白球中任取2个小球，计算所取的两个小球都是白球的概率 【答案】③④ 【分析】根据古典概型的定义，对每个选项进行逐一分析，即可得解. 【详解】由题意得①项中由于点数的和出现的可能性不相等，故①不是古典概型； ②项中的样本点是无限的，故②不是古典概型； ③和④项满足古典概型的有限性和等可能性，故③和④都是古典概型． 故答案为：③④ 6．（25-26高二上·上海奉贤·期中）掷一枚质地均匀的骰子，观察其向上的点数，事件表示“出现小于的偶数点”，事件表示“出现小于的点”，则一次试验中，事件发生的概率为________． 【答案】 【分析】利用列举法结合古典概型的概率公式可求出. 【详解】由题意可知，样本空间为，，，故， 由古典概型的概率公式可得. 故答案为：. 7．（25-26高三上·上海·期中）在平面直角坐标系内，点的坐标满足，且都是集合中的元素，则事件“任意选择一个点，满足点到原点的距离”的概率为_________. 【答案】 【分析】根据古典概型确定基本事件总数，再确定满足到原点的距离的点的个数，从而可求得概率. 【详解】由于，且， 所以符合的共有（个）， 则，即， 按点的坐标将其分类讨论： 若，则或3,4,5,6，有5个点； 若，则或3,4,5,6，有5个点； 若，则或2,4,5,6，有5个点； 若，则或2,3,5,6，有5个点； 若，则或2,3,4,6，有5个点； 若，则或2,3,4,5，有5个点； 所以共有（个）点， 满足点到原点的距离的概率为. 故答案为：． 8．（25-26高一上·上海黄浦·阶段检测）一颗质地均匀的骰子，它的六个面上分别有1点、2点、…、6点的标记，若掷两次骰子，则向上的一面出现的点数至少有一次是6点的概率是___________． 【答案】 【分析】求出掷两次骰子的试验含有的基本事件总数，再求出所求概率的事件含有的基本事件数，进而求出概率. 【详解】掷两次骰子的试验有个基本事件， 向上的一面出现的点数至少有一次是6点的事件含有的基本事件为： ，共11个， 所以向上的一面出现的点数至少有一次是6点的概率. 故答案为： 9．（24-25高二下·上海嘉定·期末）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片． (1)若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和小于8的概率； (2)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，再放回后再抽取1张卡片，求这三次抽取的卡片上的数字的极差大于2的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）列出符合题意的基本事件，再由古典概型的概率公式计算可得； （2）列出符合题意的基本事件，再由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】（1）一次抽取3张卡片所得的样本空间是，共有4个样本点，它们是等可能的， 其中样本点、的数字之和小于8， 则3张卡片上数字之和小于8的概率是． （2）这三次抽取的卡片上的数字的总的结果有种情况，每一种情况是等可能的． 极差大于2的情况，一定有1、4，、各有3种，、各有6种，共18种， 则概率为． 因此，这三次抽取的卡片上的数字的极差大于2的概率是． 10．（24-25高二下·上海·期中）学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，求选出的2人中至少有1名女同学的概率； 【答案】 【分析】根据给定条件，利用列举法结合古典概率计算即得. 【详解】记3名男同学为，2名女同学为， 从5名同学中任选2名的结果有：，共10个， 其中至少有1名女同学的事件含有的结果有，共7个， 所以选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是. 11．甲、乙两人玩石头、剪刀、布游戏.在一次游戏中，记事件：甲、乙两人出的都是剪刀；事件：甲、乙两人出的相同；事件：甲、乙两人至少有人出的是布.则下列结论错误的是（ ） A．与互斥 B．与互为对立事件 C． D． 【答案】B 【分析】记“石头”，“剪刀”，“布”，列举样本空间以及确定事件分别对应的样本点，利用事件的关系，结合古典概型计算概率，逐项判断得结论. 【详解】记“石头”，“剪刀”，“布”， 则样本空间，总数为. 对于A：事件包含的样本点为，事件包含的样本点为，所以与不会同时发生，即与互斥，故A正确； 对于B：事件包含的样本点为，事件包含的样本点为，因为，所以与不可能互为对立事件，故B错误； 对于C：事件包含的样本点为，事件包含的样本点为，所以，故C正确； 对于D：由C可知，；事件包含的样本点为，故； 事件包含的样本点为，故. 所以，故D正确. 故选：B. 12．（25-26高三上·上海·期中）一个袋子中有 个红球， 个白球，球的大小和质地相同 (1)若 ， ，采取不放回的方式从中依次随机地取出2个球，求第一次和第二次都取到白球的概率. (2)若 ，采取有放回的方式从中依次随机地取出 2 个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是 ，求 的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用列举法求出古典概率； （2）利用有放回抽取的概率求出的表达式，再利用基本不等式求出最大值即可. 【详解】（1）设2个红球为，3个白球为，依次取出2个球的样本空间， 共20种， 设第一次和第二次都取到白球为事件，则共6种， 所以； （2）有放回取球两次，每次取到红球的概率为，取到白球的概率为， 先取白球再取红球的概率为；先取红球再取白球的概率为， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以 的最大值为. 13．（24-25高二下·上海徐汇·期末）若存在实数、，使得函数的图像将圆分成周长、面积均相等的两部分，则称函数为“美好函数”．若从“，，，，，”这6个表达式中随机选一个，则函数是“美好函数”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的对称性可知“美好函数”应该是一个中心对称函数，且含对称中心的连续区间长度超过4，然后根据所给函数的解析式判断奇偶性，最后利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】圆，即，其圆心为， 因为函数的图像将圆分成周长、面积均相等的两部分， 所以函数的图象关于中心对称， 所以“美好函数”应该是一个中心对称函数，且含对称中心的连续区间长度超过4. 中心对称函数，其图象关于原点对称且含对称中心的连续区间长度超过4, 都是偶函数，其图象关于y轴对称，不符合题意，都是非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，不符合题意. 所以，从6个函数的表达式中随机选一个，则函数是“美好函数”的概率为. 故选：A. 14．（24-25高三下·上海·阶段检测）已知集合.现独立地随机选取集合的两个非空子集A、B（A与B可以相同），集合A中的最大元素小于集合B中的最小元素的概率为________. 【答案】 【分析】由题可得集合的非空子集有个，据此可得随机选取集合的两个非空子集A、B的总情况数.分中的最小元素为5，4，3，2四种情况，分别求出各种情况下的个数，再相加即可得集合A中的最大元素小于集合B中的最小元素的总情况数.两者相除可得概率. 【详解】集合的非空子集有个，则随机选取集合的两个非空子集A、B的总情况数为. 若集合B中的最小元素为5，则.则集合A 可为集合的非空子集，共； 若集合B中的最小元素为4，则或.则集合A 可为集合的非空子集，为； 若集合B中的最小元素为3，则为含有元素3的的子集，有种情况. 则集合A 可为集合的非空子集，为； 若集合B中的最小元素为2，则为含有元素2的的子集，有种情况. 此时集合A只能为. 故集合A中的最大元素小于集合B中的最小元素的总情况数为：.则对应概率为：. 故答案为： 15．（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知集合，，若分别从集合M，N中随机抽取一个数m和n，二次函数.记事件A为“是二次函数的单调递增区间”，事件B为“是二次函数的单调递减区间”. (1)求数对的样本空间中所含样本点的个数； (2)分别求事件A、事件B的概率； (3)求事件A、事件B至少一个发生的概率. 【答案】(1)16 (2)， (3) 【分析】（1）由样本点的概念即可求解； （2）根据事件写出各自事件发生时的等价条件，即可得到各自事件发生时数对的样本点个数，从而求得各自事件发生的概率； （3）因为两个事件不可能同时发生，所以至少一个发生的概率为各自发生概率之和. 【详解】（1）数对的样本空间中所含样本点的个数个. （2）函数的对称轴为， 对于事件，则，即,因, 则满足事件的数对有，，共3个，故； 对于事件，则，则，满足事件的数对有，，，,，,共个，故. （3）由（2）可知，事件发生时有，事件发生时有，则事件与事件互斥， 则事件A、事件B至少一个发生的概率. 16．（24-25高二上·上海·期末）、两人在玩一个商业模拟游戏.现在游戏进行到了最后一轮，暂时领先3分.接下来可以掷两颗骰子，如果两颗骰子的点数都是偶数，则“投资”失败，“投资”的分值记为0分，游戏结束；否则，可以进行“投资”，他可以选择其中一个点数为奇数的骰子，将其点数作为“投资”的分值.“投资”结束后，该游戏结束.、两人中分值较高者获胜，若分值相同，则两人打平. (1)求获胜的概率； (2)若在掷骰子之前可以对的“投资”行为进行干扰，他可以选择以下两种方式之一：①让的分值直接减1；②当掷出骰子后，将点数较大的骰子变为1点，另一个不变（如果掷出的两颗骰子点数相同，则将其中一个变为1点）.为了使自己获胜的概率更大，会选择哪种方式进行干扰?说明理由. 【答案】(1) (2) 应选择②，理由如下： 选择①： 掷两颗骰子，两颗骰子的点数都是偶数的概率为， 掷两颗骰子，两颗骰子的点数都是奇数且两个奇数均小于5的概率为， 掷两颗骰子，两颗骰子的点数是一个奇数一个偶数且奇数小于5的的概率为， 所以输的概率为； 所以获胜的概率； 选择②： 掷两颗骰子，两颗骰子的点数都是偶数的概率为， 掷两颗骰子，两颗骰子的点数都是奇数， 即改后输， 所以两颗骰子的点数都是奇数且改后输的概率为， 掷两颗骰子，两颗骰子的点数是一个奇数一个偶数时， 即改后输， 所以两颗骰子的点数是一个奇数一个偶数改后输的概率为， 所以输的概率为； 所以获胜的概率； 因为, 故为了使自己获胜的概率更大，会选择②方式进行干扰. 【分析】（1）获胜的概率即为输的概率，求得得分小于3分的概率即可得结论； （2）选择①时，求得输的概率，选择②：求得输的概率，比较可得结论. 【详解】（1）获胜的概率即为输的概率； 掷两颗骰子，掷第一颗骰子有6种点数，掷第二颗骰子有6种点数， 所以掷两颗骰子共有36种不同的结果； 两颗骰子的点数都是偶数的概率为， 掷两颗骰子，两颗骰子的点数都是奇数且两个奇数均为1的概率为， 掷两颗骰子，两颗骰子的点数是一个奇数一个偶数且奇数为1的概率为， 所以输的概率为； 所以获胜的概率； （2）略 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $