第10讲 古典概率（8大题型归纳）（暑假预习讲义）新高二数学沪教版

第10讲 古典概率 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 求古典概型概率 题型5 写出某事件的对立事件 题型2 有放回与放回的概率问题 题型6 利用对立事件公式求概率 题型3 互斥事件的判断 题型7 利用互斥事件的公式求概率 题型4 对立事件的判断 题型8 概率的基本性质 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 计算古典概型问题的概率 1.掌握古典概型两大判定条件：有限样本点、每个基本事件等可能发生 2.熟记古典概型概率公式 3.能分步枚举样本空间，分别统计分子、分母的基本事件数量并计算概率 有放回与无放回问题的概率 1.区分有放回、无放回抽取的样本总数计算差异 2.有放回抽取每次可选元素数量不变，无放回抽取每次可选数量依次递减 3.能结合枚举或分步计数，求解两类抽取模型下对应事件的概率 判断所给事件是否是互斥关系 1.理解互斥事件定义：同一试验中两个事件不可能同时发生 2.会验证两事件有无公共样本点，无公共样本点即为互斥事件 3.能快速辨析文字描述的事件，判断二者能否同时发生 确定所给事件的对立关系 1.掌握对立事件双重条件：两事件互斥、且二者并集为全部样本空间 2.区分对立事件与普通互斥事件，对立一定互斥，互斥不一定对立 3.对照样本空间验证两事件是否填满全部试验结果 写出某事件的对立事件 1.掌握对立事件书写规则：否定原事件全部描述，覆盖剩余所有样本点 2.原事件含多个限定条件时，整体取反，不可只否定局部条件 3.区分对立事件与无关互斥事件，保证两事件合起来包含全部结果 利用对立事件的概率公式求概率 1.熟记对立事件概率公式 2.当原事件包含大量基本事件时，优先算对立事件简化计算 3.能结合古典概型计数，联立公式求解复杂事件概率 互斥事件的概率加法公式 1.互斥事件加法公式：若A、B互斥，则 2.拓展至多件互斥事件： 3.牢记公式使用前提：事件必须两两互斥 利用互斥事件的概率公式求概率 1.先判定事件两两互斥，再拆分总事件为若干互斥子事件 2.分别计算每个子事件概率，代入加法公式求和 3.规避不互斥事件直接套用加法公式的计算错误 学习重点： 1.古典概型的判定标准与基础概率计算公式应用 2.有放回、无放回抽取模型的计数与概率计算 3.互斥事件、对立事件的概念区分与判定方法 4.对立事件概率公式、互斥事件概率加法公式的计算运用 学习难点： 1.有放回与无放回问题样本总数计数容易混淆，出现数值计算错误 2.混淆互斥事件与对立事件，误将普通互斥事件当作对立事件使用 3.多事件混合题型，未先验证互斥关系直接套用加法公式 4.复杂文字事件书写对立事件时，无法完整覆盖全部剩余样本点 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 古典概型 1．定义：一般地，若试验具有如下特征： （1）有限性：试验的样本空间的样本点总数__有限______，即样本空间为__有限样本空间______． （2）等可能性：每次试验中，样本空间的各个样本点出现的可能性__相等______． 则称这样的试验模型为古典概率模型，简称古典概型． 2．古典概型的计算公式 如果样本空间包含的样本点总数为，随机事件包含的样本点个数为，那么事件发生的概率为________． 【易错提醒】 1.忽略古典概型两大前提有限样本点基本事件等可能缺任一条件不能套用公式 2.混淆有放回与无放回抽取的计数规则总样本数计算出现重复或遗漏 3.统计事件包含基本事件数时重复计数违背样本点互异性 4.误将几何概型随机试验套用古典概型公式无限样本空间不适用 5.认为所有等可能试验都是古典概型忽略样本空间有限这条硬性要求 6.计算完成后分数不化简保留繁杂原始分数作为最终概率结果 7.有序无序试验样本点书写混乱造成分子分母统计数值出错 即时即练 1.（25-26高二下·上海杨浦·期末）抛掷枚质地均匀的正方体形状的骰子，得到的点数是偶数的概率为_________． 2.（24-25高二下·上海·阶段检测）掷两枚硬币，恰有一枚硬币正面朝上的概率为______． 知识点02 概率的基本性质 性质1  对任意的事件A，都有． 性质2  必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即_1 ______，__0_____． 性质3  如果事件A与事件B互斥，那么_______． 性质4  如果事件A与事件B互为对立事件，那么_________，________． 性质5  如果，那么_____． 性质6  设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有_______． 概率加法公式的推广 如果事件两两互斥，那么事件发生的概率，等于这个事件的概率和，即__________； 【易错提醒】 1.混淆概率取值边界随机事件错写为标准范围应为 2.认为概率为0的事件都是不可能事件几何概型存在概率为0的随机事件 3.认为概率为1的事件都是必然事件几何概型存在概率为1的随机事件 4.直接对任意两个事件做概率相加不区分事件是否互斥 5.遗忘必然事件概率恒为1不可能事件概率恒为0的固定结论 6.多事件叠加时忽略概率可加性的使用前提盲目累加概率 7.对立事件公式乱用在普通互斥事件上 即时即练 1.（25-26高二下·上海杨浦·期末）已知事件和互斥，下列等式一定成立的为（     ） A．； B．； C．； D．． 2.（25-26高二上·上海·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子1次，设“出现的点数为偶数”为事件，“出现的点数大于4”为事件，则=________. 知识点03 互斥事件与对立事件 名称 定义 表示法 图示 互斥事件 如果事件与事件__不能同时发生______，称事件与事件互斥（或互不相容） 若，则与互斥 对立事件 如果事件和事件在任何一次试验中_有且仅有一个发生_______，称事件与事件互为对立事件，事件的对立事件记为 若，且，则与对立 两个事件的关系和运算 含义 符号表示 含义 包含关系 若事件A发生，则事件B一定发生 ________ 相等关系 且 ________ 并事件（和事件） ____事件A与事件B至少有一个发生___________ 或 交事件（积事件） 事件A与事件B同时发生 __或______ 互斥（互不相容） 事件A与事件B不能同时发生 互为对立 事件A与事件B有且仅有一个发生 ________，且__________ 【易错提醒】 1.概念包含关系记反对立事件一定互斥互斥事件不一定对立 2.判断对立事件只验证互斥忽略两事件并集等于全体样本空间的条件 3.文字描述写对立事件仅否定局部条件无法覆盖全部剩余样本点 4.跨试验的两个事件判定为互斥互斥对立关系仅针对同一试验 5.不互斥事件套用互斥加法公式重复计算重叠部分概率 6.两个事件交集为空只判定为对立事件缺少填满样本空间的验证 7.混淆互斥事件与独立事件把互斥等同于互不影响发生概率 即时即练 1.（24-25高三上·上海黄浦·期末）掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数．设事件：点数是奇数，事件：点数是偶数，事件：点数是3的倍数，事件：点数是4．下列每对事件中，不是互斥事件的为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2.从装有6个红球和4个白球的口袋中任取4个球，那么互斥但不对立的事件是（    ） A．至少有一个红球与都是红球 B．至少有一个红球与都是白球 C．至少有一个红球与至少有一个白球 D．恰有2个红球与恰有3个红球 题型1 求古典概型概率 【例1】（25-26高三下·上海徐汇·阶段检测）已知集合，任取，则函数的图像过点的概率为____________. 【例2】（25-26高二上·上海·期末）已知有一个质地均匀的正方体骰子，其六个面上的数分别为1，2，3，4，5，6，抛掷这个骰子两次，则向上的点数之和是8的概率为______. 【技巧归纳】 1.先验证试验满足两大条件样本空间有限所有基本事件等可能发生 2.分步枚举或计数算出总基本事件个数与目标事件包含基本事件个数 3.代入公式计算后约分至最简分数 4.有序试验区分先后顺序书写样本点无序试验合并重复组合避免计数出错 5.计数完成后复查剔除重复样本点补齐遗漏边界结果 【变式1-1】（25-26高二上·上海金山·期末）将一枚质地均匀的正方体骰子抛掷一次，则出现“正面向上的点数等于3”的概率是______． 【变式1-2】（2025·上海静安·一模）为开展社区与学校教育共建活动，某地区教育系统从、两所学校的5名教师志愿者中随机抽调2人到某社区为居民开展“义务教育咨询”活动． 已知、两所学校中的志愿者学科分布如下： 学科 语文 数学 学校 1 2 学校 1 1 (1)假设学校语文a老师、数学b、c老师，学校语文d老师、数学e老师，列出“从，两所学校的5名教师志愿者中随机抽调2人” 的样本空间； (2)求事件“抽到的2人恰好都是语文老师”的概率； (3)求事件“抽到的2人中，恰好有1名语文老师1名数学老师，且这2人恰好来自同一所学校”的概率． 题型2 有放回与无放回的概率问题 【例1】（25-26高二上·上海金山·期末）一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组表示可能的结果，其中表示第一次取出的标签上的数字，表示第二次取出的标签上的数字． (1)若标签的选取是不放回的，写出样本空间，并求的概率； (2)若标签的选取是有放回的，求的概率． 【例2】（23-24高二下·上海青浦·阶段检测）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是__________. 【技巧归纳】 1.先区分抽取模式有放回抽取每次可选元素总数不变允许重复样本点 2.无放回抽取每抽取一次剔除对应元素后续可选数量依次递减无重复样本点 3.分步相乘计算总样本数量与符合条件样本数量 4.有放回可直接分步独立计数无放回需依次减少备选数量再列式 5.两类模型分开列式计算不混用计数规则最后代入古典概型公式求概率 【变式2-1】一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红色球、2个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两个球颜色相同的概率为_________. 【变式2-2】一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1，2，3，…，10这10个数字，今随机地先后取出两个小球，若取出不放回，则两个小球上的数字是相邻整数的概率是__________. 题型3 互斥事件的判断 【例1】（24-25高二上·上海黄浦·期末）在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有________ . ①A：“所取3件中至多2件次品”，B：“所取3件中至少2件为次品”； ②A：“所取3件中有一件为次品”，B：“所取3件中有二件为次品”； ③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”； ④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”. 【例2】（24-25高二·上海·课堂例题）抛掷一颗骰子，设事件A：落地时向上的点数是奇数，事件B：落地时向上的点数是偶数，事件C：落地时向上的点数小于3，事件D：落地时向上的点数大于5，则下列每对事件中，不是互斥事件的为是（    ） A．A与B； B．B与C； C．A与D； D．C与D． 【技巧归纳】 1.锁定同一试验背景跨试验事件无需讨论互斥关系 2.列出两个事件全部样本点若不存在公共样本点则为互斥事件 3.文字题型假设两件事在一次试验中同时发生推出矛盾即可判定互斥 4.多事件判断需两两验证任意一组有公共样本点则整体不两两互斥 5.抓住核心判定标准一次试验内两件事无法同时出现 【变式3-1】（23-24高二下·上海·阶段检测）从0，1，2，3这四个数字中，不放回地取两次，每次取一个.构成数对，x为第一次取到的数字，y为第二次取到的数字．设事件“第一次取出的数字是1”，“第二次取出的数字是2”． (1)写出此试验的样本空间及的值； (2)判断A与B是否为互斥事件，并求． 【变式3-2】掷一颗骰子，设事件：落地时向上的点数是奇数，事件：落地时向上的点数是偶数，事件：落地时向上的点数是的倍数，事件：落地时向上的点数是．则下列每对事件中，不是互斥事件的为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型4 对立事件的判断 【例1】从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（    ） A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与都是红球 C．恰有一个黑球与恰有两个黑球 D．至少有一个黑球与至少有一个红球 【例2】某人在打靶中，连续射击2次，至多有一次中靶的对立事件是（    ） A．至少有一次中靶 B．两次都中靶 C．两次都不中靶 D．恰有一次中靶 【技巧归纳】 1.分两步验证第一步判断两事件是否互斥第二步判断二者并集为全部样本空间 2.牢记逻辑关系对立事件一定互斥互斥事件不一定对立 3.列出两事件样本点合并后完全填满样本空间且无交集才是对立事件 4.文字题检验事件不发生的全部情况恰好组成另一事件即为对立 5.排除仅满足互斥但无法覆盖全部试验结果的组合 【变式4-1】从装有4个红球和3个白球的口袋中任取4个球，那么互斥而不对立的事件是（    ） A．至多有2个白球与恰有3个白球 B．至少有1个白球与都是红球 C．恰有1个红球与恰有3个白球 D．至多有1个红球与至多有1个白球 【变式4-2】某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件． (1)恰有1名男生与2名全是男生； (2)至少有1名男生与2名全是男生； (3)至少有1名男生与2名全是女生； (4)至少有1名男生与至少有1名女生． 题型5 写出某事件的对立事件 【例1】（24-25高二·上海·课堂例题）一个袋子中有两个红球和一个黑球，从中取出两个球，请分别说出一个必然事件、一个不可能事件、一个对立事件的例子． 【例2】（24-25高二上·上海黄浦·阶段检测）从装有4个红球和3个白球的袋中任取2个球，事件“取出的2球中至少有1个白球”的对立事件是________. 【技巧归纳】 1.对事件整体描述全部取反不可只否定局部单个条件 2.写完后双重检验对立事件与原事件无公共样本点合并包含所有样本点 3.带范围限制的事件把限定条件整体反向改写不漏掉边界情况 4.多条件并列事件统一否定全部约束不遗漏任意一条描述 5.区分对立事件与普通互斥事件对立必须覆盖剩余所有试验结果 【变式5-1】连续抛掷一枚硬币4次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（    ） A．有3次或4次出现反面 B．只有3次出现反面 C．有3次或4次出现正面 D．只有1次出现正面 【变式5-2】抽查10件产品，设“至多抽到1件次品”为事件A，则A的对立事件是（    ） A．至多抽到2件次品 B．至多抽到2件正品 C．至少抽到2件次品 D．至少抽到1件次品 题型6 利用对立事件公式求概率 【例1】（25-26高二上·上海普陀·阶段检测）已知事件A，其对立事件记为，若，则_________． 【例2】（25-26高二上·上海奉贤·阶段检测）设两个事件与都不发生的概率为，则事件与事件至少有一个发生的概率为______. 【技巧归纳】 1.观察原事件样本点数量包含大量样本点时优先选用对立公式简化计算 2.先写出原事件的对立事件计算对立事件对应的古典概型概率 3.代入公式用1减去对立事件概率得到结果 4.计算后回代检验原事件概率与对立事件概率相加等于1 5.仅对立事件可使用该公式普通互斥事件不能套用 【变式6-1】（24-25高二下·上海·阶段检测）事件A与事件B为对立事件，已知，则_____________. 【变式6-2】（24-25高二上·上海宝山·期末）已知事件，其对立事件记为，若，则__________． 题型7 利用互斥事件的公式求概率 【例1】（25-26高二下·上海·阶段检测）已知事件和互斥，它们都不发生的概率为，且，则________． 【例2】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知随机事件互斥，且，，则等于（   ） A． B．0.4 C．0.5 D．0.7 【技巧归纳】 1.先拆分复杂事件为若干简单子事件逐一验证所有子事件两两互斥 2.分别计算每个互斥子事件的概率 3.满足两两互斥条件再代入加法公式 4.多事件分步累加不遗漏任意一个拆分后的子事件 5.存在重叠样本点的事件禁止直接相加避免重复计算交集概率 【变式7-1】（25-26高一上·上海普陀·期末）已知事件与事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则_____． 【变式7-2】（24-25高二下·上海·阶段检测）若事件、互斥，则______． 题型8 概率的基本性质 【例1】已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则________． 【例2】设是一个随机试验中的两个事件，且，则________ 【技巧归纳】 1.固定结论直接套用必然事件不可能事件随机事件 2.互斥事件使用加法性质前先验证互斥条件 3.遇复杂正面事件优先使用对立性质简化运算 4.多事件综合题分层处理先判断事件关系再选用对应性质列式 5.计算概率后核对取值区间随机事件结果不能等于0或1 【变式8-1】（24-25高二上·上海·阶段检测）事件A、B互斥，它们都不发生的概率为，且，则_______． 【变式8-2】（24-25高二上·上海浦东新·阶段检测）已知集合，若分别从集合中随机抽取一个数和，二次函数.记事件为“是二次函数的单调递增区间”，事件为“是二次函数的单调递减区间”. (1)分别求事件、事件的概率； (2)求事件、事件至少一个发生的概率. 一、单选题 1．（24-25高二上·上海·随堂练习）从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（    ） A．至少有1个白球和都是白球 B．至少有1个白球和至少有1个红球 C．恰有1个白球和恰有2个白球 D．至少有1个白球和都是红球 2．（25-26高二下·上海·期中）设事件是互斥事件，，，则下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·上海·期末）先后抛掷质地均匀的硬币4次，得到以下结论错误的是（    ） A．可以从不同的观察角度写出不同的样本空间 B．事件“至少2次正面朝上”与事件“至少2次反面朝上”是互斥事件 C．事件“至少1次正面朝上”与事件“4次反面朝上”是对立事件 D．事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是 4．（25-26高二下·上海·期末）将、、、分为没有公共元素的两组，每组各个数．现从这两组中独立且随机地各选择一个数、，定义随机变量．在所有分组方式中，的最大值与最小值分别为（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 二、填空题 5．（24-25高二下·上海·期中）已知事件、互斥，且事件发生的概率，事件发生的概率，则事件、至少有一个发生的概率为________． 6．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知，则_________ 7．（25-26高二下·上海·期中）投掷一颗质地均匀的骰子（每一面上分别标注数值1、2、3、4、5、6），得到点数为5的概率为__________. 8．（24-25高二下·上海闵行·期中）已知事件A与事件B互斥，如果，，那么______． 9．（24-25高二下·上海·期中）小明在书店随机地选一本书，设事件：小明选的书是数学书，事件：小明选的书是中文版的书，事件：小明选的书是2024年或2024年以后出版的书，请写出表示的事件：______. 10．（25-26高二下·上海徐汇·期末）已知事件与事件为互斥事件，且，，则______． 11．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知事件与事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则___________． 三、解答题 12．（24-25高二上·上海·课堂例题）盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球．设事件A：1个红球和2个白球，事件B：2个红球和1个白球，事件C：至少有1个红球，事件D：既有红球又有白球，则： (1)事件D与事件A，B是什么关系？ (2)事件C与事件A是什么关系？ 13．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共6个．若从中随机抽取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)将这6个红球、黄球、蓝球按照“红、黄、蓝”的顺序依次编号为1，2，3，4，5，6．现在从盒中有放回的随机抽取两次，每次抽取一球．将第一、二次取出的小球的编号分别记为，． ①写出一个等可能的样本空间； ②设置游戏规则如下：若取出的两个球中有黄球或编号之和不小于9则甲胜，否则乙胜．试从甲或乙获胜的概率角度，判断这个游戏是否公平． 14．（24-25高二·上海·课堂例题）从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张．设A：抽出红桃，B：抽出黑桃，C：抽出红色牌，D：抽出黑色牌，E：抽出的牌点数为5的倍数，F：抽出的牌点数大于9，G：抽出黑桃10．讨论： (1)A与B的关系； (2)C与D的关系； (3)B与D的关系； (4)E与F的关系； (5)B、F、G之间的关系． 15．（24-25高二·上海·课堂例题）把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分别写在10张形状大小一样的卡片上，并随机抽取1张．设A：出现奇数，B：出现被3除余2的数．写出下面两个事件的对应子集： (1)A、B至少有一个发生； (2)A、B同时发生． 16．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效．设事件A：“甲元件正常”，事件B：“乙元件正常”．（可以用、分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用（，）表示这个并联电路的状态：以1表示元件正常，0表示元件失效） (1)写出表示两个元件工作状态的样本空间； (2)写出事件A、B以及它们的对立事件的对应子集； (3)写出事件和事件，并说明它们的含义及关系． 17．（24-25高二上·上海·随堂练习）新高考实行“”模式，其中“3”为语文、数学，外语这3门必选科目，“1”由考生在物理、历史2门首选科目中选择1门，“2”由考生在政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门．已知武汉大学临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门．从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求的概率． 18．（24-25高二·上海·课堂例题）已知集合，任取A的一个子集B，计算： (1)子集B含有两个元素的概率是多少？ (2)子集B一定含有元素1、2、3的概率是多少？ 19．（25-26高二上·上海·阶段检测）在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学3名（记为，，），女同学2名（记为，）、现从中随机选出2名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同）. (1)写出这个随机试验的样本空间，并写出样本点的个数； (2)设事件为“参赛的2名同学都是女同学”，写出事件所对应的子集，并求出事件发生的概率； (3)求事件“参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”发生的概率. 20．（24-25高二上·上海·随堂练习）掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件：“出现奇数点”，事件：“出现偶数点”，事件：“点数小于”，事件：“点数大于”，事件：“点数是的倍数”.求： (1)，； (2)，； (3)，，，. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 古典概率 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 求古典概型概率 题型5 写出某事件的对立事件 题型2 有放回与放回的概率问题 题型6 利用对立事件公式求概率 题型3 互斥事件的判断 题型7 利用互斥事件的公式求概率 题型4 对立事件的判断 题型8 概率的基本性质 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 计算古典概型问题的概率 1.掌握古典概型两大判定条件：有限样本点、每个基本事件等可能发生 2.熟记古典概型概率公式 3.能分步枚举样本空间，分别统计分子、分母的基本事件数量并计算概率 有放回与无放回问题的概率 1.区分有放回、无放回抽取的样本总数计算差异 2.有放回抽取每次可选元素数量不变，无放回抽取每次可选数量依次递减 3.能结合枚举或分步计数，求解两类抽取模型下对应事件的概率 判断所给事件是否是互斥关系 1.理解互斥事件定义：同一试验中两个事件不可能同时发生 2.会验证两事件有无公共样本点，无公共样本点即为互斥事件 3.能快速辨析文字描述的事件，判断二者能否同时发生 确定所给事件的对立关系 1.掌握对立事件双重条件：两事件互斥、且二者并集为全部样本空间 2.区分对立事件与普通互斥事件，对立一定互斥，互斥不一定对立 3.对照样本空间验证两事件是否填满全部试验结果 写出某事件的对立事件 1.掌握对立事件书写规则：否定原事件全部描述，覆盖剩余所有样本点 2.原事件含多个限定条件时，整体取反，不可只否定局部条件 3.区分对立事件与无关互斥事件，保证两事件合起来包含全部结果 利用对立事件的概率公式求概率 1.熟记对立事件概率公式 2.当原事件包含大量基本事件时，优先算对立事件简化计算 3.能结合古典概型计数，联立公式求解复杂事件概率 互斥事件的概率加法公式 1.互斥事件加法公式：若A、B互斥，则 2.拓展至多件互斥事件： 3.牢记公式使用前提：事件必须两两互斥 利用互斥事件的概率公式求概率 1.先判定事件两两互斥，再拆分总事件为若干互斥子事件 2.分别计算每个子事件概率，代入加法公式求和 3.规避不互斥事件直接套用加法公式的计算错误 学习重点： 1.古典概型的判定标准与基础概率计算公式应用 2.有放回、无放回抽取模型的计数与概率计算 3.互斥事件、对立事件的概念区分与判定方法 4.对立事件概率公式、互斥事件概率加法公式的计算运用 学习难点： 1.有放回与无放回问题样本总数计数容易混淆，出现数值计算错误 2.混淆互斥事件与对立事件，误将普通互斥事件当作对立事件使用 3.多事件混合题型，未先验证互斥关系直接套用加法公式 4.复杂文字事件书写对立事件时，无法完整覆盖全部剩余样本点 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 古典概型 1．定义：一般地，若试验具有如下特征： （1）有限性：试验的样本空间的样本点总数__有限______，即样本空间为__有限样本空间______． （2）等可能性：每次试验中，样本空间的各个样本点出现的可能性__相等______． 则称这样的试验模型为古典概率模型，简称古典概型． 2．古典概型的计算公式 如果样本空间包含的样本点总数为，随机事件包含的样本点个数为，那么事件发生的概率为________． 【易错提醒】 1.忽略古典概型两大前提有限样本点基本事件等可能缺任一条件不能套用公式 2.混淆有放回与无放回抽取的计数规则总样本数计算出现重复或遗漏 3.统计事件包含基本事件数时重复计数违背样本点互异性 4.误将几何概型随机试验套用古典概型公式无限样本空间不适用 5.认为所有等可能试验都是古典概型忽略样本空间有限这条硬性要求 6.计算完成后分数不化简保留繁杂原始分数作为最终概率结果 7.有序无序试验样本点书写混乱造成分子分母统计数值出错 即时即练 1.（25-26高二下·上海杨浦·期末）抛掷枚质地均匀的正方体形状的骰子，得到的点数是偶数的概率为_________． 【答案】/ 【详解】抛掷枚质地均匀的正方体骰子，朝上一面的点数的所有可能结果为，共6种， 且每种结果出现的可能性相等，其中点数为偶数的结果为，共种， 所以抛掷枚质地均匀的正方体形状的骰子，得到的点数是偶数的概率为. 2.（24-25高二下·上海·阶段检测）掷两枚硬币，恰有一枚硬币正面朝上的概率为______． 【答案】/ 【详解】根据题意，共有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）共4种， 恰有一枚硬币正面朝上的有2种，故概率为． 知识点02 概率的基本性质 性质1  对任意的事件A，都有． 性质2  必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即_1 ______，__0_____． 性质3  如果事件A与事件B互斥，那么_______． 性质4  如果事件A与事件B互为对立事件，那么_________，________． 性质5  如果，那么_____． 性质6  设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有_______． 概率加法公式的推广 如果事件两两互斥，那么事件发生的概率，等于这个事件的概率和，即__________； 【易错提醒】 1.混淆概率取值边界随机事件错写为标准范围应为 2.认为概率为0的事件都是不可能事件几何概型存在概率为0的随机事件 3.认为概率为1的事件都是必然事件几何概型存在概率为1的随机事件 4.直接对任意两个事件做概率相加不区分事件是否互斥 5.遗忘必然事件概率恒为1不可能事件概率恒为0的固定结论 6.多事件叠加时忽略概率可加性的使用前提盲目累加概率 7.对立事件公式乱用在普通互斥事件上 即时即练 1.（25-26高二下·上海杨浦·期末）已知事件和互斥，下列等式一定成立的为（     ） A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【分析】根据题意，利用互斥事件的定义和互斥事件的概率加法公式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若事件和互斥，且不妨设， 此时，所以A不一定正确； 对于B，由事件和互斥，可得，所以， 因为不一定为，所以与不一定相等，所以B不正确； 对于C，由互斥事件的概率加法公式，若事件和互斥， 可得，所以C正确； 对于D，若事件和互斥，且不妨设， 则，所以D不一定正确； 2.（25-26高二上·上海·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子1次，设“出现的点数为偶数”为事件，“出现的点数大于4”为事件，则=________. 【答案】 【分析】根据题意先求，再利用即可求解. 【详解】由题意有：样本空间为，所以， 所以，所以， 所以， 故答案为：. 知识点03 互斥事件与对立事件 名称 定义 表示法 图示 互斥事件 如果事件与事件__不能同时发生______，称事件与事件互斥（或互不相容） 若，则与互斥 对立事件 如果事件和事件在任何一次试验中_有且仅有一个发生_______，称事件与事件互为对立事件，事件的对立事件记为 若，且，则与对立 两个事件的关系和运算 含义 符号表示 含义 包含关系 若事件A发生，则事件B一定发生 ________ 相等关系 且 ________ 并事件（和事件） ____事件A与事件B至少有一个发生___________ 或 交事件（积事件） 事件A与事件B同时发生 __或______ 互斥（互不相容） 事件A与事件B不能同时发生 互为对立 事件A与事件B有且仅有一个发生 ________，且__________ 【易错提醒】 1.概念包含关系记反对立事件一定互斥互斥事件不一定对立 2.判断对立事件只验证互斥忽略两事件并集等于全体样本空间的条件 3.文字描述写对立事件仅否定局部条件无法覆盖全部剩余样本点 4.跨试验的两个事件判定为互斥互斥对立关系仅针对同一试验 5.不互斥事件套用互斥加法公式重复计算重叠部分概率 6.两个事件交集为空只判定为对立事件缺少填满样本空间的验证 7.混淆互斥事件与独立事件把互斥等同于互不影响发生概率 即时即练 1.（24-25高三上·上海黄浦·期末）掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数．设事件：点数是奇数，事件：点数是偶数，事件：点数是3的倍数，事件：点数是4．下列每对事件中，不是互斥事件的为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据条件，利用互斥事件的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项A错误， 对于选项B，当朝上面的点数为时，与同时发生，即与不是互斥事件，所以选项B正确， 对于选项C，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项C错误， 对于选项D，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项D错误， 故选：B. 2.从装有6个红球和4个白球的口袋中任取4个球，那么互斥但不对立的事件是（    ） A．至少有一个红球与都是红球 B．至少有一个红球与都是白球 C．至少有一个红球与至少有一个白球 D．恰有2个红球与恰有3个红球 【答案】D 【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解 【详解】从装有6个红球和5个白球的口袋中任取4个球， 在A中，至少一个红球与都是红球能同时发生，不是互斥事件，故A错误； 在B中，至少一个红球与都是白球是对立事件，故B错误； 在C中，至少一个红球与至少一个白球能同时发生，不是互斥事件，故C错误； 在D中，恰有2个红球与恰有3个红球是互斥而不对立的事件，故D正确． 故选：D． 题型1 求古典概型概率 【例1】（25-26高三下·上海徐汇·阶段检测）已知集合，任取，则函数的图像过点的概率为____________. 【答案】 【分析】先统计集合A的元素总个数，再逐一判断每个元素作为幂指数时幂函数是否过点，统计符合条件的元素个数后用古典概型公式计算概率. 【详解】验证当取不同值时函数是否满足， 当时，，满足条件； 当时，，不满足； 当时，的定义域为，不在定义域内，不满足； 当时，，满足条件； 当时，，不满足。 计算概率：符合条件的共2个，由古典概型公式得所求概率. 【例2】（25-26高二上·上海·期末）已知有一个质地均匀的正方体骰子，其六个面上的数分别为1，2，3，4，5，6，抛掷这个骰子两次，则向上的点数之和是8的概率为______. 【答案】 【分析】先求出基本事件总数，再利用列举法求出点数之和为8的情况，即可求解. 【详解】将先后两次的向上点数记为有序实数对，则共有个基本事件， 其中向上点数之和为8的情况有，共5种， 所以满足条件的概率为. 故答案为：. 【技巧归纳】 1.先验证试验满足两大条件样本空间有限所有基本事件等可能发生 2.分步枚举或计数算出总基本事件个数与目标事件包含基本事件个数 3.代入公式计算后约分至最简分数 4.有序试验区分先后顺序书写样本点无序试验合并重复组合避免计数出错 5.计数完成后复查剔除重复样本点补齐遗漏边界结果 【变式1-1】（25-26高二上·上海金山·期末）将一枚质地均匀的正方体骰子抛掷一次，则出现“正面向上的点数等于3”的概率是______． 【答案】 【分析】利用古典概型来计算概率即可. 【详解】将一枚质地均匀的正方体骰子抛掷一次，则出现正面向上的点数一共有6种可能， 所以出现“正面向上的点数等于3”的概率是， 故答案为： 【变式1-2】（2025·上海静安·一模）为开展社区与学校教育共建活动，某地区教育系统从、两所学校的5名教师志愿者中随机抽调2人到某社区为居民开展“义务教育咨询”活动． 已知、两所学校中的志愿者学科分布如下： 学科 语文 数学 学校 1 2 学校 1 1 (1)假设学校语文a老师、数学b、c老师，学校语文d老师、数学e老师，列出“从，两所学校的5名教师志愿者中随机抽调2人” 的样本空间； (2)求事件“抽到的2人恰好都是语文老师”的概率； (3)求事件“抽到的2人中，恰好有1名语文老师1名数学老师，且这2人恰好来自同一所学校”的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可列出其样本空间，即可求解； （2）符合“抽到的人恰好都是语文老师”只有一种可能，利用古典概率即可求解； （3）由题符合题意的有：，，有种可能，即可求解. 【详解】（1）样本空间为：. （2）事件“抽到的人恰好都是语文老师”只有一种可能，所以概率为， （3）事件“抽到的人中，恰好有名语文老师名数学老师，且这人恰好来自同一所学校”， 来自学校有两种可能：，，来自学校一种可能，总计结果有种可能， 所以概率为. 题型2 有放回与无放回的概率问题 【例1】（25-26高二上·上海金山·期末）一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组表示可能的结果，其中表示第一次取出的标签上的数字，表示第二次取出的标签上的数字． (1)若标签的选取是不放回的，写出样本空间，并求的概率； (2)若标签的选取是有放回的，求的概率． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）通过不放回列举样本空间和满足随机事件的样本空间，即可求出相应概率； （2）通过有放回列举样本空间和满足随机事件的样本空间，即可求出相应概率. 【详解】（1）若标签的选取是不放回的，则样本空间为： ，共12种等可能情形， 满足的有：，共6种情形， 所以满足的概率为； （2）若标签的选取是有放回的，则样本空间为： ，共16种等可能情形， 满足的有：，共6种情形， 所以满足的概率． 【例2】（23-24高二下·上海青浦·阶段检测）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率即可. 【详解】两次抽取的试验的样本空间，共16个， 两次抽取的卡片数字之和大于6的事件，共3个， 所以两次抽取的卡片数字之和大于6的概率是， 则不大于6的概率为. 故答案为：. 【技巧归纳】 1.先区分抽取模式有放回抽取每次可选元素总数不变允许重复样本点 2.无放回抽取每抽取一次剔除对应元素后续可选数量依次递减无重复样本点 3.分步相乘计算总样本数量与符合条件样本数量 4.有放回可直接分步独立计数无放回需依次减少备选数量再列式 5.两类模型分开列式计算不混用计数规则最后代入古典概型公式求概率 【变式2-1】一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红色球、2个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两个球颜色相同的概率为_________. 【答案】/0.4 【分析】根据题意写出从袋中不放回地依次随机摸出2个球的所以可能结果结合两个球颜色相同的结果，利用古典概型概率计算公式计算即可. 【详解】用1、2、3表示3个红色球，4、5表示2个绿色球，用数组表示可能的结果，x是第一次摸到球的标号，y是第二次摸到球的标号，则样本空间所包含的样本点为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20个. 其中两个球颜色相同的事件有：，，，，，，，，共8种，故所求事件的概率为. 【变式2-2】一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1，2，3，…，10这10个数字，今随机地先后取出两个小球，若取出不放回，则两个小球上的数字是相邻整数的概率是__________. 【答案】0.2/ 【分析】不放回的取出球，第一个球有10种取法，第二个球有9种取法，可得取出球所有的可能数，利用列举法求出满足题意的基本事件，即可得出结果. 【详解】不放回的取出球， 第一次袋子有10个球，共有10种取法， 第二次袋子有9个球，共有9种取法， 所以共有的可能结果为种取法，但可行的只有： (1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)、(7,8)、(8,9)、(9,10)、 (2,1)、(3,2)、(4,3)、(5,4)、(6,5)、(7,6)、(8,7)、(9,8)、(10,9)， 共18种取法， 所以不放回时两个小球上的数字为相邻整数的概率为. 故答案为：. 题型3 互斥事件的判断 【例1】（24-25高二上·上海黄浦·期末）在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有________ . ①A：“所取3件中至多2件次品”，B：“所取3件中至少2件为次品”； ②A：“所取3件中有一件为次品”，B：“所取3件中有二件为次品”； ③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”； ④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”. 【答案】②③ 【分析】对于①，写出两个事件的基本事件，两事件均包含2件次品，1件正品，故不是互斥事件，①错误；对于②，两事件不可能同时发生，②正确；对于③，写出两个事件的基本事件，得到③正确；对于④，两事件为同一事件，故不是互斥事件，④错误. 【详解】对于①，A：“所取3件中至多2件次品”包含3个基本事件，即3件正品；1件次品，2件正品；2件次品，1件正品； B：“所取3件中至少2件为次品”包含2个基本事件，即3件次品；2件次品，1件正品； 两事件均包含2件次品，1件正品，故不是互斥事件，①错误； 对于②，A：“所取3件中有一件为次品”，和B：“所取3件中有二件为次品”不可能同时发生，为互斥事件，②正确； 对于③，B：“所取3件中至少有一件为次品”包含3个基本事件，即1件次品，2件正品；2件次品，1件正品；3件次品； 与A：“所取3件中全是正品”不可能同时发生，故为互斥事件，③正确； 对于④，A：“所取3件中至多有2件次品”，包含3个基本事件，即3件正品；1件次品，2件正品；2件次品，1件正品； B：“所取3件中至少有一件是正品”包含3个基本事件，即3件正品；1件次品，2件正品；2件次品，1件正品； 两事件为同一事件，故不是互斥事件，④错误. 故答案为：②③ 【例2】（24-25高二·上海·课堂例题）抛掷一颗骰子，设事件A：落地时向上的点数是奇数，事件B：落地时向上的点数是偶数，事件C：落地时向上的点数小于3，事件D：落地时向上的点数大于5，则下列每对事件中，不是互斥事件的为是（    ） A．A与B； B．B与C； C．A与D； D．C与D． 【答案】B 【分析】根据互斥事件的定义逐个分析判断. 【详解】对于A，因为落地时向上的点数是奇数与落地时向上的点数是偶数不可能同时发生， 所以事件A与B是互斥事件，所以A错误， 对于B，因为落地时向上的点数是偶数与落地时向上的点数小于3可能同时发生，如落地时向上的点数为2， 所以事件B与C不是互斥事件，所以B正确， 对于C，因为落地时向上的点数是奇数与落地时向上的点数大于5不可能同时发生， 所以事件A与D是互斥事件，所以C错误， 对于D，因为落地时向上的点数小于3与落地时向上的点数大于5不可能同时发生， 所以事件C与D是互斥事件，所以D错误. 故选：B 【技巧归纳】 1.锁定同一试验背景跨试验事件无需讨论互斥关系 2.列出两个事件全部样本点若不存在公共样本点则为互斥事件 3.文字题型假设两件事在一次试验中同时发生推出矛盾即可判定互斥 4.多事件判断需两两验证任意一组有公共样本点则整体不两两互斥 5.抓住核心判定标准一次试验内两件事无法同时出现 【变式3-1】（23-24高二下·上海·阶段检测）从0，1，2，3这四个数字中，不放回地取两次，每次取一个.构成数对，x为第一次取到的数字，y为第二次取到的数字．设事件“第一次取出的数字是1”，“第二次取出的数字是2”． (1)写出此试验的样本空间及的值； (2)判断A与B是否为互斥事件，并求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意直接写出样本空间的所有基本事件，再分析满足的基本事件求解即可； （2）判断是否能同时发生即可判断与是否为互斥事件，再结合（1）可得； 【详解】（1）样本空间：， 所以.因为，， 所以，.从而，. （2）因为，故与不是互斥事件. 又.所以. 从而. 【变式3-2】掷一颗骰子，设事件：落地时向上的点数是奇数，事件：落地时向上的点数是偶数，事件：落地时向上的点数是的倍数，事件：落地时向上的点数是．则下列每对事件中，不是互斥事件的为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】判断选项中的两个事件是否可以同时发生即可. 【详解】对于A，“落地时向上的点数是奇数”与“落地时向上的点数是偶数”不可能同时发生， ∴，事件与事件互斥，故选项A不正确； 对于B，“落地时向上的点数是偶数”与“落地时向上的点数是的倍数”同时发生即“落地时向上的点数是”， ∴“落地时向上的点数是”，事件与事件不是互斥事件，故选项B正确； 对于C，“落地时向上的点数是奇数”与“落地时向上的点数是” 不可能同时发生， ∴，事件与事件互斥，故选项C不正确； 对于D，“落地时向上的点数是的倍数”与“落地时向上的点数是” 不可能同时发生， ∴，事件与事件互斥，故选项D不正确. 故选：B. 题型4 对立事件的判断 【例1】从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（    ） A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与都是红球 C．恰有一个黑球与恰有两个黑球 D．至少有一个黑球与至少有一个红球 【答案】C 【分析】先写出从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球所包含的基本事件，再根据选项写出各事件的基本事件，利用互斥事件与对立事件的定义判断即可. 【详解】根据题意，记2个红球分别为A、B，2个黑球分别为a，b， 则从这4个球中任取2个球的总基本事件为AB，Aa，Ba，Ab，Bb，ab： A、都是黑球的基本事件为ab，至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab， 两个事件有交事件ab，所以不为互斥事件，故A错误； B、至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab， 都是红球的基本事件为AB， 两个事件不仅是互斥事件，也是对立事件，故B错误； C、恰有两个黑球的基本事件为ab，恰有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb， 两个事件是互斥事件，但不是对立事件，故C正确； D、至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab， 至少有一个红球的基本事件为AB，Aa，Ba，Ab，Bb， 两个事件不是互斥事件，故D错误. 故选：C. 【例2】某人在打靶中，连续射击2次，至多有一次中靶的对立事件是（    ） A．至少有一次中靶 B．两次都中靶 C．两次都不中靶 D．恰有一次中靶 【答案】B 【分析】先写出所有可能结果，由此确定正确答案. 【详解】某人在打靶中，连续射击2次的所有可能结果为： ①第一次中靶，第二次中靶； ②第一次中靶，第二次未中靶； ③第一次未中靶，第二次中靶； ④第一次未中靶，第二次未中靶． 至多有一次中靶包含了②③④三种可能，故其对立事件为①，即两次都中靶． 故选：B 【技巧归纳】 1.分两步验证第一步判断两事件是否互斥第二步判断二者并集为全部样本空间 2.牢记逻辑关系对立事件一定互斥互斥事件不一定对立 3.列出两事件样本点合并后完全填满样本空间且无交集才是对立事件 4.文字题检验事件不发生的全部情况恰好组成另一事件即为对立 5.排除仅满足互斥但无法覆盖全部试验结果的组合 【变式4-1】从装有4个红球和3个白球的口袋中任取4个球，那么互斥而不对立的事件是（    ） A．至多有2个白球与恰有3个白球 B．至少有1个白球与都是红球 C．恰有1个红球与恰有3个白球 D．至多有1个红球与至多有1个白球 【答案】D 【分析】根据给定条件，分析各个选项中的两个事件包含的基本事件，再结合对立事件、互斥事件的定义判断作答. 【详解】从装有4个红球和3个白球的口袋中任取4个球的基本事件有：4个红球，1个白球3个红球，2个白球2个红球，3个白球1个红球， 对于A，至多有2个白球的事件有：2个白球2个红球，1个白球3个红球，4个红球， 恰有3个白球的事件是3个白球1红球的事件，显然两个事件互斥且对立，A不是； 对于B，至少有1个白球的事件有：1个白球3个红球，2个白球2个红球，3个白球1红球， 都是红球的事件是4个红球，显然两个事件互斥且对立，B不是； 对于C，恰有1个红球的事件是3个白球1红球的事件，因此恰有1个红球与恰有3个白球为同一事件，C不是； 对于D，至多有1个红球的事件是1个红球3个白球的事件，至多有1个白球的事件有：1个白球3个红球，4个红球， 显然这两个事件不能同时发生，可以同时不发生，即至多有1个红球与至多有1个白球是互斥而不对立的事件，D是. 故选：D 【变式4-2】某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件． (1)恰有1名男生与2名全是男生； (2)至少有1名男生与2名全是男生； (3)至少有1名男生与2名全是女生； (4)至少有1名男生与至少有1名女生． 【答案】(1)是互斥事件；不是对立事件 (2)不是互斥事件 (3)是互斥事件；是对立事件 (4)不是互斥事件 【分析】根据互斥事件与对立事件的概念以及二者的关系，依次判断(1)(2)(3)(4)即可； 【详解】（1）因为“恰有1名男生”与“2名全是男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件； 当2名都是女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件． （2）因为“2名全是男生”发生时“至少有1名男生”也同时发生，所以它们不是互斥事件． （3）因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件； 由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件． （4）由于选出的是“1名男生1名女生”时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件． 题型5 写出某事件的对立事件 【例1】（24-25高二·上海·课堂例题）一个袋子中有两个红球和一个黑球，从中取出两个球，请分别说出一个必然事件、一个不可能事件、一个对立事件的例子． 【答案】答案见详解 【分析】由必然事件、不可能事件、对立事件的定义，结合袋子中有两个红球和一个黑球，从中取出两个球这个事件，即可得到例子． 【详解】必然事件：两个球中至少有一个是红球； 不可能事件：两个球都是黑球； 对立事件：两个球都是红球与两个球中有一个黑球. 【例2】（24-25高二上·上海黄浦·阶段检测）从装有4个红球和3个白球的袋中任取2个球，事件“取出的2球中至少有1个白球”的对立事件是________. 【答案】取出的2球都是红球 【分析】根据对立事件的概念即得. 【详解】从装有4个红球和3个白球的袋中任取2个球，结果有“取出的2球都是红球”，“取出的2球是一红一白”，“取出的2球都是白球”， 所以事件“取出的2球中至少有1个白球”的对立事件是“取出的2球都是红球”. 故答案为：取出的2球都是红球. 【技巧归纳】 1.对事件整体描述全部取反不可只否定局部单个条件 2.写完后双重检验对立事件与原事件无公共样本点合并包含所有样本点 3.带范围限制的事件把限定条件整体反向改写不漏掉边界情况 4.多条件并列事件统一否定全部约束不遗漏任意一条描述 5.区分对立事件与普通互斥事件对立必须覆盖剩余所有试验结果 【变式5-1】连续抛掷一枚硬币4次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（    ） A．有3次或4次出现反面 B．只有3次出现反面 C．有3次或4次出现正面 D．只有1次出现正面 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用对立事件的定义判断即可. 【详解】连续抛掷一枚硬币4次，共有5种结果：4正0反，3正1反，2正2反，1正3反，0正4反， 事件“至少2次出现正面”包含了4正0反，3正1反，2正2反， 则其对立事件包含1正3反，0正4反，即有3次或4次出现反面. 故选：A 【变式5-2】抽查10件产品，设“至多抽到1件次品”为事件A，则A的对立事件是（    ） A．至多抽到2件次品 B．至多抽到2件正品 C．至少抽到2件次品 D．至少抽到1件次品 【答案】C 【分析】根据对立事件的定义去判断. 【详解】抽查10件产品，设“至多抽到1件次品”为事件A，所以的对立事件为“至少抽到2件次品”．故C正确. 故选：C. 题型6 利用对立事件公式求概率 【例1】（25-26高二上·上海普陀·阶段检测）已知事件A，其对立事件记为，若，则_________． 【答案】0.7/ 【分析】根据对立事件的性质即可求解． 【详解】事件A的对立事件为，， 则． 故答案为：0.7． 【例2】（25-26高二上·上海奉贤·阶段检测）设两个事件与都不发生的概率为，则事件与事件至少有一个发生的概率为______. 【答案】 【分析】利用对立事件的概率公式可求得结果. 【详解】如下图所示：    由图可知，且， 所以事件与事件至少有一个发生的概率为. 故答案为：. 【技巧归纳】 1.观察原事件样本点数量包含大量样本点时优先选用对立公式简化计算 2.先写出原事件的对立事件计算对立事件对应的古典概型概率 3.代入公式用1减去对立事件概率得到结果 4.计算后回代检验原事件概率与对立事件概率相加等于1 5.仅对立事件可使用该公式普通互斥事件不能套用 【变式6-1】（24-25高二下·上海·阶段检测）事件A与事件B为对立事件，已知，则_____________. 【答案】/ 【分析】利用对立事件的概率公式即可求解. 【详解】由对立事件概率公式，因为事件A与事件B为对立事件， 所以， 故答案为： 【变式6-2】（24-25高二上·上海宝山·期末）已知事件，其对立事件记为，若，则__________． 【答案】0.8/ 【分析】根据对立事件的性质即可求解. 【详解】事件的对立事件为， ,则． 故答案为：0.8． 题型7 利用互斥事件的公式求概率 【例1】（25-26高二下·上海·阶段检测）已知事件和互斥，它们都不发生的概率为，且，则________． 【答案】 【分析】利用对立事件和互斥事件的概率公式求解即可． 【详解】因为事件和互斥，， 所以， 因为事件和都不发生的概率为， 所以，所以， 所以． 【例2】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知随机事件互斥，且，，则等于（   ） A． B．0.4 C．0.5 D．0.7 【答案】D 【分析】因为和互斥，由求出，再由，可得到答案. 【详解】因为和互斥， 所以， 又，所以， 因为， 所以. 故选：D. 【技巧归纳】 1.先拆分复杂事件为若干简单子事件逐一验证所有子事件两两互斥 2.分别计算每个互斥子事件的概率 3.满足两两互斥条件再代入加法公式 4.多事件分步累加不遗漏任意一个拆分后的子事件 5.存在重叠样本点的事件禁止直接相加避免重复计算交集概率 【变式7-1】（25-26高一上·上海普陀·期末）已知事件与事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则_____． 【答案】/0.9375 【分析】根据所给条件，利用互斥事件和对立事件的概率公式求解即可. 【详解】因为事件与事件互斥，且， 所以， 又因为事件与事件都不发生的概率为， 所以，解得， 所以， 故答案为： 【变式7-2】（24-25高二下·上海·阶段检测）若事件、互斥，则______． 【答案】0 【分析】由互斥事件的概念即可求解； 【详解】因为事件、互斥， 所以 ， 故答案为：0 题型8 概率的基本性质 【例1】已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则________． 【答案】/ 【分析】先根据对立事件的概率关系求出，再利用互斥事件的概率加法公式计算. 【详解】根据题意，因为，事件与事件对立， 所以， 又事件与事件互斥，， 所以. 故答案为： 【例2】设是一个随机试验中的两个事件，且，则________ 【答案】 【分析】根据对立事件的概率与互斥事件的概率计算公式求解即可. 【详解】因为， 因为互斥， 所以 ， 解得，所以 故答案为：. 【技巧归纳】 1.固定结论直接套用必然事件不可能事件随机事件 2.互斥事件使用加法性质前先验证互斥条件 3.遇复杂正面事件优先使用对立性质简化运算 4.多事件综合题分层处理先判断事件关系再选用对应性质列式 5.计算概率后核对取值区间随机事件结果不能等于0或1 【变式8-1】（24-25高二上·上海·阶段检测）事件A、B互斥，它们都不发生的概率为，且，则_______． 【答案】/0.15 【分析】利用对立事件和互斥事件的概率公式即可求解． 【详解】根据题意，设，则， 事件、互斥，它们都不发生的概率为， 则， 即， 解可得，即， 故答案为：. 【变式8-2】（24-25高二上·上海浦东新·阶段检测）已知集合，若分别从集合中随机抽取一个数和，二次函数.记事件为“是二次函数的单调递增区间”，事件为“是二次函数的单调递减区间”. (1)分别求事件、事件的概率； (2)求事件、事件至少一个发生的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得出数对的样本空间，结合二次函数的性质得出事件包含的基本事件，利用古典概型的概率公式求出事件、事件的概率； （2）利用互斥事件的概率公式求解. 【详解】（1）由题意可得，，数对的样本空间为 ，样本点共个. 若是二次函数的单调递增区间， 则且二次函数的对称轴， ∴事件包含的基本事件为，共个， 因为总的基本事件个数为个， 所以； 若是二次函数的单调递减区间， 则且二次函数的对称轴， ∴事件包含的基本事件为，共个， 因为总的基本事件个数为个， 所以； （2）记“事件、事件至少一个发生”为事件， 因为与互斥，所以. 一、单选题 1．（24-25高二上·上海·随堂练习）从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（    ） A．至少有1个白球和都是白球 B．至少有1个白球和至少有1个红球 C．恰有1个白球和恰有2个白球 D．至少有1个白球和都是红球 【答案】C 【分析】利用互斥事件和对立事件的概念分析各个选项的具体含义求解即可. 【详解】“至少有1个白球”和“都是白球”可以同时发生，故它们不互斥； “至少有1个白球”和“至少有1个红球”，因为1个白球1个红球时两种情况同时发生，故它们不互斥； “恰有1个白球”和“恰有2个白球”不可能同时发生，所以它们互斥，当2个球都是红球时它们都不发生，所以它们不是对立事件； “至少有1个白球”和“都是红球”不可能同时发生，所以它们互斥. 因为它们必有一个发生，所以它们是对立事件. 故选：C. 2．（25-26高二下·上海·期中）设事件是互斥事件，，，则下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】事件互斥，则不能同时发生． A选项：，所以A正确； B选项：，所以B正确； C选项：互斥事件，所以，所以C错误； D选项：互斥，，所以D正确. 3．（25-26高二上·上海·期末）先后抛掷质地均匀的硬币4次，得到以下结论错误的是（    ） A．可以从不同的观察角度写出不同的样本空间 B．事件“至少2次正面朝上”与事件“至少2次反面朝上”是互斥事件 C．事件“至少1次正面朝上”与事件“4次反面朝上”是对立事件 D．事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是 【答案】B 【分析】根据样本空间的定义判断A；古典概型计算判断D；应用互斥事件定义判断B；应用对立事件定义判断C. 【详解】对于A，不同的观察角度所得到的样本空间可以不同，A正确； 对于B，事件“至少2次正面朝上”与事件“至少2次反面朝上”可以同时发生，如正正反反，B错误； 对于C，事件“至少1次正面朝上”与事件“4次反面朝上”不同时发生， 而必有一个发生，它们是对立事件，C正确； 对于D，先后抛掷质地均匀的硬币4次，有16个基本事件，其中事件“1次正面朝上3次反面朝上” 有：正反反反，反正反反，反反正反，反反反正，共4个基本事件，其概率为，D正确. 故选：B 4．（25-26高二下·上海·期末）将、、、分为没有公共元素的两组，每组各个数．现从这两组中独立且随机地各选择一个数、，定义随机变量．在所有分组方式中，的最大值与最小值分别为（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】D 【分析】设数的取值构成的集合为，数构成的集合为，列举出满足的数组，找出满足取最大值和最小值对应的集合、，结合古典概型的概率公式可求得结果. 【详解】设数的取值构成的集合为，数构成的集合为， 满足的数组有：、、、、、、 、、、、、、、、 、、、、，共对， 当，时， 或，时， 满足的样本点有个，此时取最大值，且最大值为； 考虑，若，且集合中的元素个数为， 根据题意可知，任取，则满足的元素， 由此可知，于是得出， 但是，不符合题意，故， 且此时满足的样本点只有个，且为， 此时取最小值，且最小值为. 综上所述，的最大值为，最小值为. 二、填空题 5．（24-25高二下·上海·期中）已知事件、互斥，且事件发生的概率，事件发生的概率，则事件、至少有一个发生的概率为________． 【答案】 【分析】利用互斥事件的概率加法公式可求得结果. 【详解】因为事件、互斥，且事件发生的概率，事件发生的概率， 则事件、至少有一个发生的概率为. 故答案为：. 6．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知，则_________ 【答案】 【分析】根据对立事件的关系求解即可. 【详解】因为，所以 . 故答案为：. 7．（25-26高二下·上海·期中）投掷一颗质地均匀的骰子（每一面上分别标注数值1、2、3、4、5、6），得到点数为5的概率为__________. 【答案】 【分析】根据古典概型的概率计算即可. 【详解】因为投掷一枚质地均匀的骰子，有6种情况，所以得到点数为5的概率为. 8．（24-25高二下·上海闵行·期中）已知事件A与事件B互斥，如果，，那么______． 【答案】/ 【分析】根据互斥事件的概率加法公式求解. 【详解】因为事件A与事件B互斥， 所以， 故答案为： 9．（24-25高二下·上海·期中）小明在书店随机地选一本书，设事件：小明选的书是数学书，事件：小明选的书是中文版的书，事件：小明选的书是2024年或2024年以后出版的书，请写出表示的事件：______. 【答案】选到一本2024年前出版的中文版的数学书 【分析】根据并事件、交事件、对立事件的定义判断即可； 【详解】因为{选到一本数学书}，{选到一本中文版的书}，{选到一本2024年或2024年以后出版的书}， 所以{选到一本2024年前出版的中文版的数学书}． 故答案为：选到一本2024年前出版的中文版的数学书 10．（25-26高二下·上海徐汇·期末）已知事件与事件为互斥事件，且，，则______． 【答案】/ 【详解】由题意知，事件与事件互斥，且，， 可得，所以. 11．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知事件与事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则___________． 【答案】 【分析】根据互斥事件及所给条件求出，即可求出，从而得解. 【详解】因为事件与互斥，它们都不发生的概率为，且， ，解得， ， 则． 故答案为：． 三、解答题 12．（24-25高二上·上海·课堂例题）盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球．设事件A：1个红球和2个白球，事件B：2个红球和1个白球，事件C：至少有1个红球，事件D：既有红球又有白球，则： (1)事件D与事件A，B是什么关系？ (2)事件C与事件A是什么关系？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由事件的运算即可判断； （2）由事件的基本关系即可判断. 【详解】（1）对于事件D，可能的结果为1个红球和2个白球或2个红球和1个白球，故． （2）对于事件C，可能的结果为1个红球和2个白球，2个红球和1个白球或3个红球，故事件C真包含事件A，． 13．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共6个．若从中随机抽取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)将这6个红球、黄球、蓝球按照“红、黄、蓝”的顺序依次编号为1，2，3，4，5，6．现在从盒中有放回的随机抽取两次，每次抽取一球．将第一、二次取出的小球的编号分别记为，． ①写出一个等可能的样本空间； ②设置游戏规则如下：若取出的两个球中有黄球或编号之和不小于9则甲胜，否则乙胜．试从甲或乙获胜的概率角度，判断这个游戏是否公平． 【答案】(1)盒中红球、黄球、蓝球的个数分别为：2,1,3. (2)①答案见解析；②不公平 【分析】（1）根据古典概型的计算公式求盒中红球、黄球、蓝球的个数. （2）①根据题意，列出样本空间即可； ②结合古典概型，分别求出甲乙获胜的概率，即可作出判断. 【详解】（1）设盒中红球个，黄球个，则篮球（）个， 由题意： . 所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别为：2,1,3. （2）①因为是有放回的随机抽取两次，每次抽取一球，所以样本空间为：，其中包含个样本点，并且每个样本点发生的可能性相同. ②因为红球的编号为1,2，黄球的编号为3，篮球的编号为4,5,6. 根据规则，甲获胜的样本点有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共19个样本点，所以甲获胜的概率为， 从而乙获胜的概率为：. 因为，所以这个游戏不公平. 14．（24-25高二·上海·课堂例题）从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张．设A：抽出红桃，B：抽出黑桃，C：抽出红色牌，D：抽出黑色牌，E：抽出的牌点数为5的倍数，F：抽出的牌点数大于9，G：抽出黑桃10．讨论： (1)A与B的关系； (2)C与D的关系； (3)B与D的关系； (4)E与F的关系； (5)B、F、G之间的关系． 【答案】(1)是互斥事件，不是对立事件； (2)既是互斥事件，又是对立事件； (3)； (4)； (5) 【分析】（1）（2）根据互斥事件和对立事件的定义分析判断； （3）（4）根据事件的包含关系分析判断； （5）根据事件的运算关系分析判断. 【详解】（1）从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生，所以A与B是互斥事件， 但不能保证其中必有一个发生，因为可能抽出“方块”或“梅花”，所以事件A与B不是对立事件， 所以A与B是互斥事件，不是对立事件； （2）从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张,“抽出红色牌”和“抽出黑色牌”是不可能同时发生，且其中必有一个发生， 所以C与D既是互斥事件，又是对立事件； （3）从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张，抽出的是黑桃，一定是黑色牌， 但抽出的是黑色牌，不一定是黑桃，有可能是梅花， 所以事件B发生时，事件D一定发生，而事件D发生时，事件B不一定发生， 所以； （4）从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张，抽出的牌点数大于9，即牌点数为10，一定是5的倍数， 而抽出的牌点数为5的倍数，可能牌的点数为5，也可能是10， 所以事件F发生时，事件E一定发生，而事件E发生时，事件F不一定发生， 所以； （5）从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张， 若抽出的是黑桃，且牌点数大于9，则抽出的一定是黑桃10， 所以 15．（24-25高二·上海·课堂例题）把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分别写在10张形状大小一样的卡片上，并随机抽取1张．设A：出现奇数，B：出现被3除余2的数．写出下面两个事件的对应子集： (1)A、B至少有一个发生； (2)A、B同时发生． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意将事件一一列出，然后求它们的并事件即可； （2）根据题意将事件一一列出，然后求它们的交事件即可； 【详解】（1）由题意可知出现奇数所有可能为， 出现被3除余2的数的可能为， 所以A、B至少有一个发生为； （2）由（1）知事件，事件， 所以A、B同时发生为. 16．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效．设事件A：“甲元件正常”，事件B：“乙元件正常”．（可以用、分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用（，）表示这个并联电路的状态：以1表示元件正常，0表示元件失效） (1)写出表示两个元件工作状态的样本空间； (2)写出事件A、B以及它们的对立事件的对应子集； (3)写出事件和事件，并说明它们的含义及关系． 【答案】(1) (2)，，， (3)，，答案见解析 【分析】（1）依据题意写出样本空间即可. （2）利用对立事件定义求解即可. （3）依据事件的基本关系求解即可. 【详解】（1）样本空间； （2），， ，； （3），； 表示电路工作正常，表示电路工作不正常；和互为对立事件. 17．（24-25高二上·上海·随堂练习）新高考实行“”模式，其中“3”为语文、数学，外语这3门必选科目，“1”由考生在物理、历史2门首选科目中选择1门，“2”由考生在政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门．已知武汉大学临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门．从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求的概率． 【答案】 【分析】利用古典概型的概率求解. 【详解】解：用a，b分别表示“选择物理”和“选择历史”，用c，d，e，f分别表示“选择化学”“选择生物”“选择政治”“选择地理”， 则所有选科组合的样本空间，共有12种等可能结果， 事件M为“从所有选科组合中任意选取1个， 该选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求”，则，共有5种结果， ∴． 18．（24-25高二·上海·课堂例题）已知集合，任取A的一个子集B，计算： (1)子集B含有两个元素的概率是多少？ (2)子集B一定含有元素1、2、3的概率是多少？ 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出集合的子集个数，再利用列举法求出子集的个数，然后利用古典概率公式计算即得. （2）求出集合的子集个数，再结合集合运算及古典概率公式计算即得. 【详解】（1）集合的子集共有个，子集B含有两个元素， 有，共有10个， 所以子集B含有两个元素的概率. （2）由子集B一定含有元素1、2、3，得子集B是集合与集合的子集的并集， 而集合的子集有个，因此一定含有元素1、2、3的子集B有4个， 所以所求概率. 19．（25-26高二上·上海·阶段检测）在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学3名（记为，，），女同学2名（记为，）、现从中随机选出2名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同）. (1)写出这个随机试验的样本空间，并写出样本点的个数； (2)设事件为“参赛的2名同学都是女同学”，写出事件所对应的子集，并求出事件发生的概率； (3)求事件“参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”发生的概率. 【答案】(1)答案见解析 (2)， (3) 【分析】（1）列举法写出样本空间，得到样本点个数； （2）由题意写出，根据古典概型求概率； （3）根据题意写出，根据古典概型求概率. 【详解】（1）从名同学中选取名同学参赛，这个随机试验的样本空间 ，共个样本点. （2）由事件为“参赛的2名同学都是女同学”知，，共1个样本点， 所以. （3）设 “参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”， 则，共个样本点. 所以. 20．（24-25高二上·上海·随堂练习）掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件：“出现奇数点”，事件：“出现偶数点”，事件：“点数小于”，事件：“点数大于”，事件：“点数是的倍数”.求： (1)，； (2)，； (3)，，，. 【答案】(1)， (2)， (3)，，， 【分析】（1）根据交事件（积事件）的概念求解即可； （2）根据并事件（和事件）的概念求解即可； （3）根据对立事件与交事件、并事件运算求解即可. 【详解】（1）掷一枚质地均匀的正方体骰子，样本空间为， 事件包含的样本点为,. 故,. （2）由（1）知，. （3）由（1）知，, 故. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $