12.3 频率与概率&12.4 随机事件的独立性（讲义）高二数学沪教版必修第三册

本高中数学讲义聚焦概率初步中的频率与概率、随机事件的独立性，系统梳理频率的定义与稳定性，明确频率与概率的区别联系，构建相互独立事件的定义、性质及概率计算体系，通过对比辨析互斥与独立事件，形成从基础概念到综合应用的学习支架。 资料通过分层知识点讲解、7类题型典例与变式训练，强化数学思维，如用随机模拟题（例5）培养数学眼光，以表格对比互斥与独立事件提升数学语言表达。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升概率问题解决能力。

12章 概率初步 12.3 频率与概率&12.4 随机事件的独立性 课标要点 1.掌握频数、频率的定义，理解频率的随机性与稳定性，明确频率与概率的本质区别，熟练掌握用大量试验的频率估计概率的方法。 2.理解相互独立事件的教材定义与核心公式，熟记独立事件的三大衍生性质，能准确判断简单事件的独立性。 3.熟练掌握两个独立事件同时发生、都不发生、恰有一个、至少一个、至多一个发生的概率计算公式，能规范解题运算。 4.精准区分互斥事件与相互独立事件的概念、判定依据和概率公式，规避易混易错点，提升概率题型解题准确率。 学习重难点 重点： 1.频率的稳定性规律，频率与概率的区别联系，用频率估计概率的核心思想。 2.相互独立事件的定义、判定公式及衍生性质，独立事件各类概率公式的灵活运用。 3.互斥事件与相互独立事件的对比辨析，两类事件概率公式的正确选用。 难点： 1.辨析频率的随机性与稳定性，区分频率（变量）与概率（定值），避免概念混淆。 2.精准区分互斥事件与独立事件，根据题意选用对应公式，解决“至少、至多、恰有一个”类综合概率问题。 知识点一 频率与概率 1.1随机事件的频率 在相同条件下重复次试验，观察某一事件是否出现。称次试验中事件出现的次数为事件出现的频数；称事件出现的比例为事件出现的频率。 1.2频率的特点 随机事件在一次试验中是否发生具有不确定性；在相同条件下大量重复试验，频率有如下特点： ①单次试验中，事件发生的频率是变量，事先不能确定；大量重复试验下，频率具有稳定性，会在某个常数附近摆动，试验次数越多，摆动幅度越小。 ②少数次试验，频率有可能和这个常数偏差较大；但试验次数增大，频率偏离该常数的可能性会变小。 ③一次试验中事件可能发生也可能不发生；大量重复试验时，事件发生次数和总试验次数的比值趋于稳定，该现象叫作频率的稳定性，反映随机事件的内在规律。 1.3频率的稳定性（用频率估计概率） 大量随机试验中，有限次试验得到的频率本身带有随机性。 随着试验次数不断增大，频率偏离概率的幅度会缩小，事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，这就是频率的稳定性。 结论：可以用大量重复试验得到的频率去估计概率。 注意：频率不等同于概率，频率是试验得到的统计结果，概率是事件本身固有的属性。 即学即练 1．把一枚硬币在同等条件下抛掷2025次后，统计正面向上的次数，则下列说法正确的有（   ） A．正面向上的次数是1012或1013 B．正面向上的频率一定等于0.48 C．正面向上的频率一定等于0.5 D．若正面向上的频率等于0.4，则硬币质量分布可能不均匀 【答案】D 【详解】对于A，正面向上的次数是随机的，A的说法过于绝对，故A错误； 对于BC，正面向上的频率是随机的，只不过随着样本量的增加，频率应趋近于0.5，BC的说法过于绝对，故BC错误； 对于D，随着样本量的增加，正面向上的频率应趋近于0.5，0.4与0.5差距较大，故有硬币质量分布不均匀（即正面朝上的概率）的可能，故D正确. 故选：D. 2．在随机模拟中，用计算机生成三枚均匀硬币的抛掷结果（正面记作1，反面记作0），每次抛掷三枚硬币得到一组三位数（如101表示第一枚正面、第二枚反面、第三枚正面），连续生成以下8组随机数：110，010，101，000，111，001，100，011，统计事件“三枚硬币恰好出现一个正面”的组数，若用这8组数据估计该事件的概率，则估计值为________．（用最简分数表示） 【答案】/ 【详解】8组随机数：110，010，101，000，111，001，100，011中， 统计事件“三枚硬币恰好出现一个正面”的组是，共三组， 所以若用这8组数据估计该事件的概率，则估计值为. 知识点二 相互独立事件的概念 对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称独立。 性质1：必然事件、不可能事件与任意事件都相互独立。 性质2：若事件与相互独立，则与，与，与也相互独立。 由此可得：，，。 特别提醒 不要凭生活感觉直接判定两个事件相互独立，真正定义是。部分看上去互不影响的事件，实际上并不独立，必须结合计算判断。 3．甲袋中装有2红1白共3个大小相同的球，乙袋中装有1红2白共3个大小相同的球，从甲袋与乙袋中分别随机取一个球，则取出的两球都是红球的概率为________． 【答案】 【详解】甲袋有2红1白共3个大小相同的球，则从甲袋中取出红球的概率为， 乙袋有1红2白共3个大小相同的球，则从乙袋中取出红球的概率为. 由于两事件独立，则取出的两球都是红球的概率为. 知识点三 相互独立事件的概率求法 已知事件，相互独立，概率分别为、 事件情况 符号表示 概率 同时发生 （或） 都不发生 恰有一个发生 至少有一个发生 或 至多有一个发生 或 即学即练 4．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每次射击中靶与否相互独立，设甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，其中．已知甲乙两人都中靶的概率为，甲乙两人恰好有一人中靶的概率为． (1)求甲乙两人至少有一人中靶的概率； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）记甲中靶为事件A，乙中靶为事件B，则, 根据题意可知：， 由甲乙两人至少有一人中靶的概率为： ； （2）由题意可知：， ， 代入可得：， 故为方程的两个根， 解得：． 知识点四 互斥事件与相互独立事件的区别 相互独立事件 互斥事件 判断依据 一个事件发生与否，不改变另一事件发生的概率 两事件不能同时发生，即 核心公式 相互独立 互斥 即学即练 5．一个盒子中装有支圆珠笔，其中支优等品和支合格品．若从中任取支，设事件“恰有1支优等品”，“两支都是优等品”，则与的关系为（    ） A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 【答案】A 【详解】∵ 从支圆珠笔中任取支，事件为“恰有支优等品”，事件为“两支都是优等品”， ∴ 事件与不可能同时发生，满足互斥事件的定义，故A正确. ∵ 除事件外，还存在“两支都是合格品”的情况，即A与B的并集不是该试验的所有可能结果， ∴ 与不互为对立事件，故B错误. ∵ 事件不可能同时发生，故， 又 ，， ，不满足相互独立事件的定义，故C错误. ∵ 事件与包含的基本事件完全不同，∴ 两事件不相等，故D错误. 题型01 计算频率 典｜例｜精｜析 【例1】某口袋中有大小、质地均相同的红色、黄色、蓝色玻璃球共72个，小明通过多次摸球试验后，发现摸到红、黄、蓝球的频率依次为35%、25%和40%，试估计口袋中三种玻璃球的数目是（    ） A．35个、25个、12个； B．15个、18个、39个； C．25个、18个、29个； D．29个、25个、18个． 【答案】C 【详解】由题意得口袋中红球的数目为个， 黄球的数目为个， 蓝球的数目为个. 故选：C 【例2】某产品的设计长度为，规定误差不超过为合格品．今对一批产品进行测量，测量结果如下表： 长度 以下 以上 件数 5 68 7 则这批产品的不合格率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为某产品的设计长度为，规定误差不超过为合格品，且, 所以长度在的为合格品， 所以这批产品的不合格率为. 故选:D. 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率为_____________． 【答案】0.45 【详解】正面向上的频率为：. 故答案为： 【变式1-2】从存放号码分别为的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到次数 15 10 5 7 6 9 18 9 12 9 取到号码为奇数的频率为__________. 【答案】 【详解】由数表知，取到奇数号码的次数是：， 所以取到号码为奇数的频率为. 故答案为：0.56 【变式1-3】“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有7600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有_________人． 【答案】 【详解】由题意，在随机抽取的50人中，持反对态度的有36人， 故可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的约有. 故答案为：. 题型02 频率与概率的关系 解题贴士 概率是事件固有属性，固定不变，与试验次数无关；频率是试验结果，具有随机性，次数少波动大；试验次数越多，频率越接近概率。 典｜例｜精｜析 【例3】下列命题中正确的是（    ） A．有一批产品的次品率为0.05，则从中任意取出200件产品中必有10件是次品 B．抛100次硬币，结果51次出现正面，则出现正面的概率是0.51 C．随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率 D．掷骰子100次，得点数为6的结果有20次，则出现6点的频率为0.2 【答案】D 【详解】对于A，实验中，出现的某种事件的频率总在一个固定的值的附近波动， 并不是一个确定的值，一批产品次品率为0.05， 则从中任取200件，次品的件数在10件左右，而不一定是10件，A错误； 对于B，100次并不是无穷多次， 只能说明这100次试验出现正面朝上的频率为，故B错误； 对于C，根据定义，随机事件的频率只是概率的近似值，它并不等于概率，C错误； 对于D，频率估计概率，频率为出现的次数与重复试验的次数的比值， 抛掷骰子100次，得点数是6的结果有20次，则出现1点的频率是，D正确. 故选：D. 【例4】抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件“正面向上”，则下列说法正确的是（    ） A．抛掷硬币次，事件必发生次 B．抛掷硬币次，事件不可能发生次 C．抛掷硬币次，事件发生的频率一定等于 D．随着抛掷硬币次数的增多，事件发生的频率逐渐稳定在附近 【答案】D 【详解】不管抛掷硬币多少次，事件A发生的次数是随机事件，故ABC错误； 随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小； 故选：D 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】给出下列四个命题： ①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品； ②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是； ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率； ④抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是. 其中正确命题有（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【详解】对于①，实验中，出现的某种事件的频率总在一个固定的值的附近波动，并不是一个确定的值， 一批产品次品率为0.05，则从中任取200件，次品的件数在10件左右，而不一定是10件，①错误； 对于②，100次并不是无穷多次，只能说明这100次试验出现正面朝上的频率为，故②错误； 对于③，根据定义，随机事件的频率只是概率的近似值，它并不等于概率，③错误； 对于④，频率估计概率，频率为出现的次数与重复试验的次数的比值， 抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是，④正确. 故选：D. 【变式2-2】某同学做立定投篮训练，共做3组，每组投篮次数和命中的次数如下表： 第一组 第二组 第三组 合计 投篮次数 100 200 300 600 命中的次数 68 124 174 366 命中的频率 0.68 0.62 0.58 0.61 根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，则使误差较小、可能性大的估计值是（    ） A．0.58 B．0.61 C．0.62 D．0.68 【答案】B 【详解】由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差越小，可能性越大， 所以合计列对应的频率最为合适. 故选：B. 【变式2-3】有下列说法： ①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小． ②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A的概率． ③频率是不能脱离n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值． ④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值． 其中正确说法的序号是______． 【答案】①③④ 【详解】解：频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，所以它们并不是同一个值，故②错误． 故答案为：①③④. 题型03 用频率估算概率 典｜例｜精｜析 【例5】高一数学下学期人教A版）盒子中有四张卡片，分别写有“笔墨纸砚”四个字，有放回地从中任取一张卡片，直到“纸”“砚”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次取到卡片后停止的概率．利用电脑随机产生到之间取整数值的随机数，分别用代表“笔墨纸砚”这四个字，以每三个随机数为一组，表示三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数： 343  432  314  134  234  132  243  331  112  324 342  241  244  342  124  431  233  214  344  434 由此可以估计，恰好第三次结束时就停止的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，在组随机数中，恰好第三次结束时就停止有、、、、，共有组， 343  432  314  134  234  132  243  331  112  324 342  241  244  342  124  431  233  214  344  434 则恰好第三次结束时就停止的概率，故C正确. 【例6】调查敏感问题时，一般难以获得被调查者的合作，所得结果可能不真实，此时通常采用“瓦纳随机问答法”进行调查. 为调查中学生心理压力的情况，提出如下问题，问题 1 ：你现在心理压力很大吗？ 问题 2： 你学籍号尾号是偶数吗? 然后要求被调查的中学生抛掷硬币回答， 如果出现正面朝上， 就回答第一个问题； 否则回答第二个问题. 整个调查过程全程保密， 由于回答哪一个问题只有测试者自己知道，所以测试者一般乐意如实回答问题. 现在对学籍号为的1000名中学生进行调查， 其中有260名学生回答 “是”，则估计心理压力很大的中学生百分比大约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，回答问题2的学生有：人， 则回答问题2的学生回答是的有人， 而回答问题1的学生有500人，其中有人回答是， 因此估计心理压力很大的中学生百分比大约为. 故选：A 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】已知某运动员每次投篮命中的概率为0.5，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生之间的随机整数，以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中．如图，在软件的控制台，输入“sample（0:999，20，）”，按回车键，得到范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为_______． > sample（0:999， 20， ） [1] 848 633 761 728 309 16 807 55 606 543 [11] 247 23 538 440 898 557 140 213 458 62 【答案】/ 【详解】在20个不重复的数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有633，309，16，543，247，62共6个， 所以据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为. 【变式3-2】某企业生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测，某日检测抽取的100件产品的柱状图如图所示，根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从出厂的所有产品中随机取出3件，则至少有一件产品是一级品的概率为__________． 【答案】0.973 【详解】由柱状图可知，100件样本中，一级品共70件，因此任取1件产品是一级品的概率为，任取1件产品不是一级品的概率为.“取出3件中至少有1件一级品”的对立事件是“取出的3件都不是一级品”，因此从出厂的所有产品中随机取出3件，至少有一件产品是一级品的概率为. 【变式3-3】在一个不透明的盒子里，装有6个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复该试验，共摸球100次，其中30次摸到黑球，则估计一次取球试验中摸出白球的概率为______，盒子中大约有白球______个 【答案】 /0.7 14 【详解】由题意可知摸球100次，其中30次摸到黑球， 所以其中70次摸到白球，故一次试验中摸到白球的概率为， 设不透明的盒子里，装有6个黑球和个白球， 则摸到白球的概率为，解得. 故答案为：；14. 题型04 事件独立性的判断 解题贴士 分别求出、、，计算，与对比，若相等则独立，不相等则不独立。 典｜例｜精｜析 【例7】连续抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有1，2，3，4，5，6的骰子两次，分别记录两次骰子正面朝上的点数，A表示事件“第一次正面朝上的点数为3”，B表示事件“第二次正面朝上的点数为奇数”，C表示事件“两次正面朝上的点数之和为7”，D表示事件“恰有一次正面朝上的点数不大于3”，则不正确的是（   ） A．A 与B 相互独立 B．A与C 相互独立 C．A 与D 相互独立 D．C与D 相互独立 【答案】D 【详解】根据题意得，，，，． 选项A：，，，A正确； 选项B：，，，B正确； 选项C：，，，C正确； 选项D．，，，D错误． 【例8】已知某黑箱子中放着编号的n张纸条，每张纸条除了编号不同其他完全一致，现随机抽取一张纸条，记随机事件“抽出的纸条上的编号小于3”，随机事件“抽出的纸条上的编号是偶数”. (1)当时，计算、、，并判断随机事件A与B是否相互独立； (2)当时，计算、、，并判断随机事件A与B是否相互独立． 【答案】(1)，，，随机事件A与B相互独立 (2)，，，随机事件A与B不相互独立 【详解】（1）由题意得，时，样本空间包含6个等可能样本点，其中随机事件A包含2个等可能样本点，随机事件B包含三个等可能样本点，随机事件包含1个样本点， 所以，，， 因为此时，所以随机事件A与B相互独立． （2）由题意得，时，样本空间包含7个等可能样本点，其中随机事件A包含2个等可能样本点，随机事件B包含三个等可能样本点，随机事件包含1个样本点， 所以，，， 因为此时，所以随机事件A与B不相互独立． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则不正确的是（   ） A．甲与乙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 【答案】C 【详解】设甲，乙，丙，丁事件分别为,则， 事件“两次取出的球的数字之和是6”的样本点有， 样本总量为，故， 事件“两次取出的球的数字之和是7” 的样本点有， 故， 对于A，，故正确； 对于B，，故正确； 对于C，，故错误； 对于D，，故正确， 故选：C. 【变式4-2】在一个不透明的袋子中装有6个小球，其中有3个红球（分别标有数字1，2，3），2个黄球（分别标有数字1，2），1个白球（标有数字1）．现从袋中随机一次性摸出3个小球，记事件“3个小球的颜色均不相同”， “取出的小球上的数字分别为1，2，3”， “取出的3个小球上的数字之和大于5”． (1)求； (2)判断事件A，B是否相互独立，并说明理由． 【答案】(1) (2)事件 ："3个小球颜色均不相同"，即必须取到红、黄、白各一个.红球有3种取法，黄球有2种，白球1种，故 ，.事件 ："取出的小球上的数字分别为 "，即取到的三个数字恰好是1、2、3各一个.数字1的球有3个（），数字2的球有2个（），数字3的球有1个（），故 ，.事件 ：既满足颜色均不相同，又满足数字分别为1,2,3.在 的6种取法中，只有符合条件，故 ，.计算，而，两者不相等.因此 ，故事件A，B不相互独立． 【分析】 【详解】（1）设3个红球分别为（对应数字1，2，3），2个黄球分别为（对应数字1，2）， 白球为（数字1）.从中任取3个球， 取法有：，，， ，，，共个. 其中数字和大于5的有：，，，，，，，共7种. 故. （2）略 【变式4-3】若袋中有6个大小质地完全相同的球，其中2个红球、4个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球. (1)求摸出的2个球的颜色不一样的概率； (2)记事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“第二次摸到红球”，试判断事件与事件是否相互独立？并说明理由. 【答案】(1) (2)不相互独立，理由如下： ，共含有10个样本点，所以； ，共含有10个样本点，所以， ，共含有2个样本点，所以， 所以，所以事件与事件不相互独立. 【分析】 【详解】（1）将两个红球编号为1，2，四个黄球编号为3，4，5，6. 从中不放回地依次随机摸出2个球有样本空间， 共含有30个样本点. 设事件表示“摸出的2个球的颜色不一样”，则， 样本点有16个，所以. （2）不相互独立，理由略. 题型05 求独立事件的概率 典｜例｜精｜析 【例9】超市有A，B两种品牌的羽毛球拍，甲、乙两人各购买一支羽毛球拍，若甲、乙买A品牌羽毛球拍的概率分别是0.6，0.5，则甲、乙两人买相同品牌羽毛球拍的概率为（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 【答案】B 【详解】由条件可知，甲和乙买两种品牌的羽毛球拍相互独立， 则甲和乙买品牌羽毛球拍的概率为，买品牌羽毛球拍的概率为， 所以甲、乙两人买相同品牌羽毛球拍的概率为. 【例10】甲、乙两班决定举行篮球比赛，比赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到一个班比另一个班多2分或打满5局时结束．设甲班在每局中获胜的概率为，乙班在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．比赛结束时甲班所得分数为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】事件表示的情况包括： ①甲在第一、第二局取得连胜，赢得比赛，对应的概率为：； ②甲大比分输了比赛，且前2局的比分为，前局的比分为，第5局甲负， 对应的概率为. 所以. 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与､与．在一次制取的实验中，与的原子个数比为，与的原子个数比为，若实验恰好完全反应生成且氧原子完全消耗，则从反应生成的中随机抽取1个，其为的概率为______． 【答案】 【详解】因为与的原子个数比为，所以选到的概率为， 与的原子个数比为，所以选到的概率为， 原子和原子的选择相互独立，所以反应生成的概率为. 【变式5-2】在如图所示的电路图中，开关闭合与断开的概率分别是和，开关，闭合与断开的概率都是，且所有开关的闭合与断开是相互独立的，则灯亮的概率为________． 【答案】/0.5625 【详解】记“开关闭合”为事件，“开关至少有一个闭合”为事件， 则， 因为所有开关的闭合与断开都是相互独立的， 则， 灯亮的概率为. 【变式5-3】甲、乙两人参加元宵节猜灯谜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，甲、乙都猜不对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，则____________. 【答案】/ 【详解】由题意得，甲每轮猜错的概率为，乙每轮猜错的概率为， 因为甲、乙猜对与否互不影响，故事件“甲猜错”与“乙猜错”为相互独立事件， 根据概率乘法公式可知甲乙都猜不对的概率为，解得. 题型06 独立事件与互斥事件 解题贴士 1.互斥事件：不能同时发生，，用加法公式； 2.独立事件：互不影响概率，可以同时发生，用乘法公式； 3.若，互斥一定不独立，独立一定不互斥。 典｜例｜精｜析 【例11】已知两个随机事件相互独立，，则（     ） A．0.6 B．0.72 C．0.84 D．0.9 【答案】B 【详解】因为，所以， 因为事件相互独立， 所以， 所以． 【例12】已知事件，，满足：，，则下列结论正确的为（     ） A．若，则与相互对立 B．若，则 C．若事件与相互独立，则 D．若事件与相互独立，则 【答案】D 【详解】. 对于选项A，对立事件需同时满足两个条件：①与互斥；②.所以只有不能判定是否对立，故A错误； 对于选项B，因为，所以，故B错误； 对于选项C，因为事件与相互独立，所以，故C错误； 对于选项D，因为事件与相互独立，则事件与相互独立.又，所以，故D正确. 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】已知事件与事件相互独立，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设， 又，则，整理得， 由，且，可得， 所以. 【变式6-2】已知随机事件与对立，与相互独立，若，则__________. 【答案】 【详解】因为随机事件与对立，根据对立事件的概率性质，得：， 因为与相互独立，根据相互独立事件的概率乘法公式，得： 故答案为：. 【变式6-3】在名男生，名女生中随机选取一名男生和一名女生，记“男生甲和女生乙入选”为事件，“男生甲入选”为事件，“女生乙入选”为事件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】显然男生甲是否入选不会影响女生乙是否入选，故事件相互独立，且， 于是，A错误，B正确； 事件包含“男生甲未入选，女生乙入选”、“男生甲入选，女生乙未入选”、“男生甲､女生乙都未入选”三种情况， 因此，则，所以C错误； 依题意，，， 而且，因此，即，D错误. 题型07 独立事件的实际应用 典｜例｜精｜析 【例13】甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，则投篮结束时，乙只投了2个球的概率为_________． 【答案】 【详解】设分别表示甲、乙在第次投篮时投中，，由题意得，且各次投篮结果相互独立。 记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件，事件包含两类互斥情形： 前两次甲、乙投篮均未命中，乙第二次投篮命中获胜，对应事件为； 前两次甲、乙投篮均未命中，甲第三次投篮命中获胜，对应事件为. 根据独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式可得： 【例14】某校举办安全知识闯关活动，共设四轮，每轮选手从该轮题库中随机抽取一题作答，答对则进入下一轮，否则淘汰，各轮题库情况如下：第一轮6题（会做4题），第二轮6题（会做3题），第三轮6题（会做2题），第四轮6题（会做1题）．各轮答题相互独立． (1)求该选手第一轮答对的概率； (2)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； (3)求该选手至多进入第三轮的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设事件表示 “选手第轮答对”，，各轮答题相互独立， 由题意得，所以该选手第一轮答对的概率是； （2），，，， ,该选手进入第四轮才被淘汰,即前3轮全部答对，第4轮答错， 所以 所以该选手进入第四轮才被淘汰的概率是； （3）因为 “至多进入第三轮”的对立事件为“进入第四轮”，即前3轮均答对，对应事件为， ， 所以至多进入第三轮的概率是. 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动.在一次元宵节猜灯谜活动中，三位同学独立竞猜，其中的20道灯谜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了n道.以频率估计概率，任选一道灯谜，甲、乙两位同学恰有一个人猜对的概率为______；若甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，则n的值为______. 【答案】 10 【详解】设事件A为“任选一道灯谜甲猜对”，事件B为“任选一道灯谜乙猜对”， 事件C为“任选一道灯谜丙猜对”，则，，， ，，. “甲、乙两位同学恰有一个人猜对”即，且与互斥.每位同学独立竞猜， 故A，B相互独立，则A与，与B，与均相互独立， . 设事件D为“甲、乙、丙三人中至少有一个人猜对”，则， ， 解得. 【变式7-2】一次数学考试有道填空题，共分，每道题完全答对得分，否则得分.在试卷命题时，设计第一道题使考生都能完全答对，后三道题能完全答对的概率分别为，，，且每道题答对与否相互独立. (1)当时，求考生填空题得分的概率； (2)若考生填空题得分与得分的概率相等，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设考生填空题得20分、15分、10分分别为事件A，B，， 考生填空题得20分的概率 （2）由题意可得：， ， 由，得 【变式7-3】甲、乙两人参加某公司的招聘，招聘过程分为笔试和面试，笔试共有道题，这道题都解答正确才能进入面试环节．已知甲答对这道题的概率依次为，，，乙答对每道题的概率均为，且甲、乙两人每道题是否答对互不影响，甲、乙两人是否进入面试环节也互不影响． (1)求甲进入面试环节的概率； (2)求甲、乙两人中恰有一人进入面试环节的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设事件为“甲答对第道题”，，则，，， 设事件为“甲进入面试环节”，则， 所以． （2）设事件为“乙答对第道题”，，则， 设事件为“乙进入面试环节”，则， 则，， 由（1）知，所以． 由题意可知，事件，相互独立，事件，相互独立， 设事件为“甲、乙两人恰有一人进入面试环节”，则， 所以． 基础通关 一、单选题 1．气象局预报，今天小店区的降雨概率是，迎泽区的降雨概率是，下列说法正确的是（    ） A．小店区今天一定降雨，而迎泽区一定不降雨 B．小店区今天可能降雨，而迎泽区可能没有降雨 C．小店区和迎泽区都会降雨 D．迎泽区降雨的可能性比小店区大 【答案】B 【详解】概率的本质是表示事件发生的可能性大小，不是确定的必然结果. 小店区降雨概率，只说明降雨可能性大，不是一定降雨； 迎泽区降雨概率，只说明降雨可能性小，不是一定不降雨， 两个区域都存在降雨或不降雨两种可能. 对A：将概率当成必然结果，错误； 对B：符合概率的意义，正确； 对C：两个区域都不是一定会降雨，错误； 对D：因为，小店区降雨可能性更大，错误. 2．已知两个随机事件相互独立，，则（    ） A．0.72 B．0.76 C．0.84 D．0.90 【答案】A 【详解】因为随机事件相互独立，， 所以，， 所以. 3．某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生10组随机数：812，832，569，684，271，989，730，537，925，907．由此估计3例心脏手术全部成功的概率为（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】B 【详解】随机模拟产生10组随机数中，有3组随机数表示手术成功， 故3例心脏手术全部成功的概率为：． 故选：B. 4．投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，甲、乙是唐朝的两位投壶游戏参与者，假设甲、乙每次投壶时，投中的概率均为且投壶结果互不影响．若甲、乙各投壶次，则只有一个人投中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设甲投中为事件，乙投中为事件， 由题意可知，，且事件与事件相互独立， 则，， “只有一个人投中”包含“甲投中且乙未投中”与“甲未投中且乙投中”两种互斥情况， 故所求概率， 故B正确. 5．对于古典概率模型中的事件，若，则之间的关系一定为（   ） A．互斥事件 B．独立事件 C．对立事件 D．以上选项均不正确 【答案】A 【详解】根据概率加法公式，对任意事件有， 将代入上式，得. 因为，所以事件互斥，故选项A正确； ，所以事件不独立，故选项B错误； 因为，所以事件不对立，故选项C错误；因此选项D错误. 6．甲、乙两颗卫星同时独立的监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为（   ） A．0.95 B．0.6 C．0.05 D．0.4 【答案】A 【详解】设在同一时刻至少有一颗卫星预报准确为事件， 方法一：在同一时刻至少有一颗卫星预报准确可分为： ①甲预报准确，乙预报不准确，此事件的概率为， ②甲预报不准确，乙预报准确，此事件的概率为， ③甲预报准确，乙预报准确，此事件的概率为， 这三个事件彼此互斥，故事件的概率为， 方法二：“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是 “在同一时刻甲、乙两颗卫星预报都不准确”， 故事件的概率为． 二、填空题 7．在一个不透明的纸盒中装有6个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有_________个. 【答案】24 【详解】设袋中红球有个，根据题意，得，解得：， 经检验：是分式方程的解，所以袋中红球有24个. 故答案为：24 8．“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在南宋时期．开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜．因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎．在一次猜灯谜活动中，共有30道灯谜，甲，乙两位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了10道，任选一道灯谜，甲，乙两位同学至少有一个人猜对的概率为____________． 【答案】 【详解】设甲、乙同学猜对一道题分别为事件，则, 则任选一道灯谜，甲，乙均猜对为事件,依题意，, 则甲，乙两位同学至少有一个人猜对的概率为. 9．在如图所示的一个电路图中，A，B，C，D，E，F为6个开关，每个开关闭合的概率均为，且是相互独立的，则灯亮的概率是______. 【答案】 【详解】因为每个开关闭合的概率均为，且是相互独立的， 所以由并联电路和串联电路的性质得灯亮的概率. 故答案为：. 三、解答题 10．某射击运动员进行双向飞碟射击训练，七次训练的成绩记录如下： 射击次数n 100 120 150 100 150 160 150 击中飞碟次数 81 95 120 81 119 127 121 (1)求各次击中飞碟的频率；（保留三位小数） (2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少？ 【答案】(1)0.810，0.792，0.800，0.810，0.793，0.794，0.807 (2)0.800 【分析】 【详解】（1）根据表格中数据，击中飞碟的频率依次为 ， . （2）由（1）可知该射击运动员在同一条件下击中飞碟的频率都在0.800附近摆动， 所以该运动员击中飞碟的概率约为0.800. 11．校羽毛队有3名男队员、2名女队员，现采用不放回简单随机抽样从中抽取2人. (1)列举出所有等可能的基本事件，并求抽取到的2人全是男队员的概率； (2)若选出的两名选手分别为甲、乙，进行定点发球比拼，甲发球成功的概率为0.7，乙发球成功的概率为0.8，两人发球互不影响.求： ①甲、乙两人全部发球成功的概率； ②甲、乙至少有一人发球成功的概率. 【答案】(1)设3名男队员为，2名女队员为， 所有等可能的基本事件分别为：， 抽取到的2人全是男队员的概率为； (2)①；②. 【分析】 【详解】（1）设3名男队员为，2名女队员为， 从5人中不放回抽取2人，所有等可能的基本事件共有个， 分别为：， 记事件为“抽到的2人都是男队员”，则包含的基本事件有，共3个， 所以 （2）①因甲乙两人发球相互独立， 所以甲、乙两人全部发球成功的概率：； ②甲乙两人都失败的概率为： 所以甲乙至少一人成功的概率为： 12．某旅游景区停车场的收费标准为：1小时以内（含）不收费，1小时2小时（含）按5元收费．超出2小时的部分按每小时6元收费（不足1小时的按1小时计算）．现有甲、乙两人临时停车，两人停车都不超过4小时． (1)若甲停车不超过1小时的概率为，超过2小时的概率为，求甲停车1小时以上且不超过2小时的概率； (2)若甲乙两人停车的时长是相互独立的，且每个人停车费为0元、5元、11元的概率分别为，求甲、乙两人停车费之和为22元的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设甲停车1小时以上且不超过2小时的事件为A， 则； （2）由题意可知，每个人停车时间超过3小时，即停车费为17元的概率为. 设甲乙两人停车费之和为22元的事件为M， 甲要付0元、5元、11元、17元停车费的事件分别为， 乙要付0元、5元、11元、17元停车费的事件分别为， 则. 因为每人停车的时长是相互独立的，所以， . 素养提升 1．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为.我们通过设计模拟实验的方法求概率.由计算机产生的随机数，当出现随机数2，4时，表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为_________. 【答案】/ 【详解】由题意可知，随机数中，2、4表示下雨，每组三位随机数对应三天的天气情况，只需统计每组中数字2、4的总个数恰好为2的组数即可， 逐一筛查20组随机数，符合条件的随机数为：344、124、524、342、432、245，共6组， 由频率估计概率，可得三天中恰有两天下雨的概率近似为． 2．某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.调查中使用了两个问题.问题1：你父亲的公历出生月份是不是奇数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的密封袋子，每个被调查者随机地从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做.若最终盒子中的小石子为56个，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（    ） A．2% B．3% C．6% D．8% 【答案】C 【详解】因为一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子中， 随机摸出1个球，摸到白球和红球的概率都为， 因此，这200人中，回答了第一个问题的有100人， 而一年12个月中，奇数的占一半， 所以对第一个问题回答“是”的概率为 所以这100个回答第一个问题的学生中，约有50人回答了“是”， 从而可以估计，在回答第二个问题的100人中，约有人回答了“是”， 所以可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为． 故选：C 3．设，为两个随机事件，则下列说法不正确的是（     ） A．若，，，则，为相互独立事件 B．若，，，则，为相互独立事件 C．若，，，则，为相互独立事件 D．若，为互斥事件，且，，则 【答案】A 【详解】对于A，由得，则，即，不符合独立条件，故A错误； 对于B，由，得，符合独立事件定义，故B正确； 对于C，由得，则，符合独立事件定义，故C正确； 对于D，，为互斥事件得，故D正确. 4．某超市在端午节举行猜粽子促销活动，活动分两个环节，基础环节：顾客需要在5个粽子内随机挑选两个粽子（其中有两个咸粽子和三个甜粽子），如果选中的两个粽子风味一致，那么可以领取一个粽子直接带回家；如果选中的两个粽子风味不一致，那么进入升级环节：从剩余3个粽子内再随机挑选一个粽子，如果选中的粽子是甜粽子，那么可以领取两个粽子带回家；如果选中的粽子是咸粽子，那么可以领取五个粽子带回家．已知每次挑选到每个粽子的可能性完全相等． (1)在基础环节中，求样本空间，并计算进入升级环节的概率； (2)求参加活动的顾客成功领取五个粽子的概率； (3)有两位顾客甲和乙独立参加活动，求恰有一人带走五个粽子的概率． 【答案】(1)设五个粽子编号分别为1、2、3、4、5，其中1、2为咸粽子，样本空间； (2) (3)． 【分析】 【详解】（1）设五个粽子编号分别为1、2、3、4、5，其中1、2为咸粽子， 设事件“从包含两个咸粽子和三个甜粽子的五个粽子中随机挑选出两个粽子，两个粽子风味不同”，由题意得， 样本空间为， ， 所以，， 根据古典概型的计算公式， 得． （2）设事件“从包含一个咸粽子和两个甜粽子的三个粽子中随机挑选出一个粽子，是咸粽子”， 则， 事件“参加活动的顾客带走5个粽子”， 根据题意可得， 所以参加活动的顾客成功领取五个粽子的概率为． （3）事件“甲带走5个粽子”，事件“乙带走5个粽子”， 事件“恰有一人带走五个粽子”， 根据题意可得， ， 因为， 由已知，相互独立，所以，相互独立，，也相互独立． 所以 ． 故甲、乙两人恰有一人带走五个粽子的概率为． 5．某商场开展促销活动，每消费满500元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同，抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. (1)已知甲在该商场消费了500元，求甲获得一等奖的概率； (2)为加大促销力度，在原规则的基础上，当顾客在该商场消费满1000元时，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了1000元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件A，“乙恰好获得一个二等奖”为事件B. ①求事件A发生的概率； ②判断事件A与B是否相互独立，并说明理由. 【答案】(1) (2)①；②事件与不相互独立；理由：因为，，，所以，所以事件与不相互独立. 【分析】 【详解】（1）记个红球分别为，个白球分别为，蓝球为. 一次性摸2个球的样本空间为，共个样本点. 获得一等奖的样本点有，共个样本点. 所以甲获得一等奖的概率为. （2）乙消费1000元，共获得2次独立的抽奖机会，单次抽奖获得一等奖的概率为. ①记“乙单次抽奖获得一等奖”为事件，则“乙单次抽奖未获得一等奖”为事件， 所以，，两次均未获得一等奖的概率为， 所以. ②先计算单次抽奖各事件的概率： 按原规则获得二等奖（摸出1红1蓝）的概率为； 摸出1白1蓝的概率为； 未摸到蓝球的概率为. 事件为“恰好获得1个二等奖”，包含三类互斥情况：第一次中二等奖、第二次未摸蓝球；第二次中二等奖、第一次未摸蓝球；两次均摸出1白1蓝（仅获得额外1个二等奖），所以. 事件为“至少获得1个一等奖，且恰好获得1个二等奖”，此时仅包含两类互斥情况：第一次中一等奖、第二次中二等奖；第一次中二等奖、第二次中一等奖， 所以. 所以， 因为，即， 所以事件与不相互独立. 迁移创新 1．在当今科技迅速发展的时代，人工智能（AI）已经成为科技创新的核心驱动力.当前AI正处于从生成式向智能体跃进的关键阶段，同时也面临着算力､数据､安全与可解释性等核心难题.某公司成立了甲､乙､丙三个科研攻关小组，决定对其中某个技术难题进行攻关，攻克该技术难题的小组都会受到奖励.已知甲､乙､丙三个小组各自独立进行攻关，且攻克该技术难题的概率分别为，则不正确的是（    ） A．若甲､乙两个小组各自独立攻克该技术难题为事件，则 B．该技术难题被攻克的概率为 C．只有一个小组受到奖励的概率等于 D．甲､乙､丙三个小组均受到奖励的概率为 【答案】A 【详解】设事件分别表示甲、乙、丙小组攻克技术难题，由题意得，且相互独立， 对于选项A：根据和事件概率公式， 因相互独立，所以， 所以，所以A错误； 对于选项B：技术难题被攻克的概率等于三个小组至少有一个攻克，即其对立事件为三个小组都未攻克， 故所求概率为，所以B正确； 对于选项C：只有一个小组受奖励包含三种互斥情况：仅甲攻克、仅乙攻克、仅丙攻克， 其概率为， 所以C正确； 对于选项D：三个小组均受奖励即三个小组都攻克，概率为，所以D正确． 2．数据传输包括发送与接收两个环节．在某数据传输中，数据是由数字和组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字．发送数字时，收到的数字是的概率为，收到的数字是的概率为；发送数字时，收到的数字是的概率为，收到的数字是的概率为．假设每次数字的传输相互独立，且． (1)若发送的数据为“”，且，，求接收到的两个数字中有且只有一个正确的概率； (2)用表示收到的数字串，将中数字的个数记为，如“”，则，对应的概率记为．若发送的数据为：“”，且，求； 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）记“接收到的两个数字中有且只有一个正确”为事件，事件包含两类互斥情况： ① 发送的接收正确、发送的接收错误，且每次数字的传输相互独立，所以概率为； ② 发送的接收错误、发送的接收正确，且每次数字的传输相互独立，所以概率为. 因此. 所以接收到的两个数字中有且只有一个正确的概率为. （2）发送数据为“”时：事件表示收到的数字串含个，包含两类互斥情况： ① 发送的接收正确，个恰好个接收错误为，概率为； ② 发送的接收错误为，个全部接收错误为，概率为； 因此. 事件表示收到的数字串含个，仅对应“发送的接收正确，个全部接收错误为”的情况， 因此. 由，得： ， 因为，所以，所以， ，， ，因为，所以， 即，解得或（舍去，因为）. 因此. 3．某平台推出答题赢会员活动，共设置3道独立题目，每位用户可自主安排答题顺序．规则如下：连续答对2题可获得7天会员；连续答对3题可获得30天会员；其他情况均不获得会员．已知甲答对题1的概率为，答对题2的概率为，答对题3的概率为，各题答对与否相互独立． (1)若，且甲按题1题2题3的顺序答题，求甲获得30天会员的概率； (2)若，要使甲获得会员的概率最大，应如何安排答题顺序？ 【答案】(1) (2)应将题1放在中间，题2、题3放在首尾，即答题顺序为题2→题1→题3或题3→题1→题2，此时获得会员的概率最大. 【分析】 【详解】（1）甲按题1→题2→题3的顺序答题，获得30天会员的条件是连续答对3道题，即3道题全部答对. 由于各题答对与否相互独立，因此所求概率为： . （2）设任意答题顺序为（为3道题的一个排列），获得会员的条件为至少存在连续2道题答对， 即事件“答对且答对”与“答对且答对”至少一个发生. 由各题答题结果相互独立得 而3道题的答对概率分别为，，， 类型①：中间放答对概率最低的题3， ， 类型②：中间放题2，， 类型③：中间放概率最高的题1，， 而，因此应将题1放在中间，题2、题3放在首尾， 即答题顺序为题2→题1→题3或题3→题1→题2，此时获得会员的概率最大. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 12章 概率初步 12.3 频率与概率&12.4 随机事件的独立性 课标要点 1.掌握频数、频率的定义，理解频率的随机性与稳定性，明确频率与概率的本质区别，熟练掌握用大量试验的频率估计概率的方法。 2.理解相互独立事件的教材定义与核心公式，熟记独立事件的三大衍生性质，能准确判断简单事件的独立性。 3.熟练掌握两个独立事件同时发生、都不发生、恰有一个、至少一个、至多一个发生的概率计算公式，能规范解题运算。 4.精准区分互斥事件与相互独立事件的概念、判定依据和概率公式，规避易混易错点，提升概率题型解题准确率。 学习重难点 重点： 1.频率的稳定性规律，频率与概率的区别联系，用频率估计概率的核心思想。 2.相互独立事件的定义、判定公式及衍生性质，独立事件各类概率公式的灵活运用。 3.互斥事件与相互独立事件的对比辨析，两类事件概率公式的正确选用。 难点： 1.辨析频率的随机性与稳定性，区分频率（变量）与概率（定值），避免概念混淆。 2.精准区分互斥事件与独立事件，根据题意选用对应公式，解决“至少、至多、恰有一个”类综合概率问题。 知识点一 频率与概率 1.1随机事件的频率 在相同条件下重复次试验，观察某一事件是否出现。称次试验中事件出现的次数为事件出现的频数；称事件出现的比例为事件出现的频率。 1.2频率的特点 随机事件在一次试验中是否发生具有不确定性；在相同条件下大量重复试验，频率有如下特点： ①单次试验中，事件发生的频率是变量，事先不能确定；大量重复试验下，频率具有稳定性，会在某个常数附近摆动，试验次数越多，摆动幅度越小。 ②少数次试验，频率有可能和这个常数偏差较大；但试验次数增大，频率偏离该常数的可能性会变小。 ③一次试验中事件可能发生也可能不发生；大量重复试验时，事件发生次数和总试验次数的比值趋于稳定，该现象叫作频率的稳定性，反映随机事件的内在规律。 1.3频率的稳定性（用频率估计概率） 大量随机试验中，有限次试验得到的频率本身带有随机性。 随着试验次数不断增大，频率偏离概率的幅度会缩小，事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，这就是频率的稳定性。 结论：可以用大量重复试验得到的频率去估计概率。 注意：频率不等同于概率，频率是试验得到的统计结果，概率是事件本身固有的属性。 即学即练 1．把一枚硬币在同等条件下抛掷2025次后，统计正面向上的次数，则下列说法正确的有（   ） A．正面向上的次数是1012或1013 B．正面向上的频率一定等于0.48 C．正面向上的频率一定等于0.5 D．若正面向上的频率等于0.4，则硬币质量分布可能不均匀 2．在随机模拟中，用计算机生成三枚均匀硬币的抛掷结果（正面记作1，反面记作0），每次抛掷三枚硬币得到一组三位数（如101表示第一枚正面、第二枚反面、第三枚正面），连续生成以下8组随机数：110，010，101，000，111，001，100，011，统计事件“三枚硬币恰好出现一个正面”的组数，若用这8组数据估计该事件的概率，则估计值为________．（用最简分数表示） 知识点二 相互独立事件的概念 对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称独立。 性质1：必然事件、不可能事件与任意事件都相互独立。 性质2：若事件与相互独立，则与，与，与也相互独立。 由此可得：，，。 特别提醒 不要凭生活感觉直接判定两个事件相互独立，真正定义是。部分看上去互不影响的事件，实际上并不独立，必须结合计算判断。 3．甲袋中装有2红1白共3个大小相同的球，乙袋中装有1红2白共3个大小相同的球，从甲袋与乙袋中分别随机取一个球，则取出的两球都是红球的概率为________． 知识点三 相互独立事件的概率求法 已知事件，相互独立，概率分别为、 事件情况 符号表示 概率 同时发生 （或） 都不发生 恰有一个发生 至少有一个发生 或 至多有一个发生 或 即学即练 4．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每次射击中靶与否相互独立，设甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，其中．已知甲乙两人都中靶的概率为，甲乙两人恰好有一人中靶的概率为． (1)求甲乙两人至少有一人中靶的概率； (2)求的值． 知识点四 互斥事件与相互独立事件的区别 相互独立事件 互斥事件 判断依据 一个事件发生与否，不改变另一事件发生的概率 两事件不能同时发生，即 核心公式 相互独立 互斥 即学即练 5．一个盒子中装有支圆珠笔，其中支优等品和支合格品．若从中任取支，设事件“恰有1支优等品”，“两支都是优等品”，则与的关系为（    ） A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 题型01 计算频率 典｜例｜精｜析 【例1】某口袋中有大小、质地均相同的红色、黄色、蓝色玻璃球共72个，小明通过多次摸球试验后，发现摸到红、黄、蓝球的频率依次为35%、25%和40%，试估计口袋中三种玻璃球的数目是（    ） A．35个、25个、12个； B．15个、18个、39个； C．25个、18个、29个； D．29个、25个、18个． 【例2】某产品的设计长度为，规定误差不超过为合格品．今对一批产品进行测量，测量结果如下表： 长度 以下 以上 件数 5 68 7 则这批产品的不合格率为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率为_____________． 【变式1-2】从存放号码分别为的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到次数 15 10 5 7 6 9 18 9 12 9 取到号码为奇数的频率为__________. 【变式1-3】“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有7600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有_________人． 题型02 频率与概率的关系 解题贴士 概率是事件固有属性，固定不变，与试验次数无关；频率是试验结果，具有随机性，次数少波动大；试验次数越多，频率越接近概率。 典｜例｜精｜析 【例3】下列命题中正确的是（    ） A．有一批产品的次品率为0.05，则从中任意取出200件产品中必有10件是次品 B．抛100次硬币，结果51次出现正面，则出现正面的概率是0.51 C．随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率 D．掷骰子100次，得点数为6的结果有20次，则出现6点的频率为0.2 【例4】抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件“正面向上”，则下列说法正确的是（    ） A．抛掷硬币次，事件必发生次 B．抛掷硬币次，事件不可能发生次 C．抛掷硬币次，事件发生的频率一定等于 D．随着抛掷硬币次数的增多，事件发生的频率逐渐稳定在附近 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】给出下列四个命题： ①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品； ②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是； ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率； ④抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是. 其中正确命题有（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【变式2-2】某同学做立定投篮训练，共做3组，每组投篮次数和命中的次数如下表： 第一组 第二组 第三组 合计 投篮次数 100 200 300 600 命中的次数 68 124 174 366 命中的频率 0.68 0.62 0.58 0.61 根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，则使误差较小、可能性大的估计值是（    ） A．0.58 B．0.61 C．0.62 D．0.68 【变式2-3】有下列说法： ①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小． ②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A的概率． ③频率是不能脱离n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值． ④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值． 其中正确说法的序号是______． 题型03 用频率估算概率 典｜例｜精｜析 【例5】高一数学下学期人教A版）盒子中有四张卡片，分别写有“笔墨纸砚”四个字，有放回地从中任取一张卡片，直到“纸”“砚”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次取到卡片后停止的概率．利用电脑随机产生到之间取整数值的随机数，分别用代表“笔墨纸砚”这四个字，以每三个随机数为一组，表示三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数： 343  432  314  134  234  132  243  331  112  324 342  241  244  342  124  431  233  214  344  434 由此可以估计，恰好第三次结束时就停止的概率为（　　） A． B． C． D． 则恰好第三次结束时就停止的概率，故C正确. 【例6】调查敏感问题时，一般难以获得被调查者的合作，所得结果可能不真实，此时通常采用“瓦纳随机问答法”进行调查. 为调查中学生心理压力的情况，提出如下问题，问题 1 ：你现在心理压力很大吗？ 问题 2： 你学籍号尾号是偶数吗? 然后要求被调查的中学生抛掷硬币回答， 如果出现正面朝上， 就回答第一个问题； 否则回答第二个问题. 整个调查过程全程保密， 由于回答哪一个问题只有测试者自己知道，所以测试者一般乐意如实回答问题. 现在对学籍号为的1000名中学生进行调查， 其中有260名学生回答 “是”，则估计心理压力很大的中学生百分比大约为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】已知某运动员每次投篮命中的概率为0.5，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生之间的随机整数，以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中．如图，在软件的控制台，输入“sample（0:999，20，）”，按回车键，得到范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为_______． > sample（0:999， 20， ） [1] 848 633 761 728 309 16 807 55 606 543 [11] 247 23 538 440 898 557 140 213 458 62 【变式3-2】某企业生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测，某日检测抽取的100件产品的柱状图如图所示，根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从出厂的所有产品中随机取出3件，则至少有一件产品是一级品的概率为__________． 【变式3-3】在一个不透明的盒子里，装有6个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复该试验，共摸球100次，其中30次摸到黑球，则估计一次取球试验中摸出白球的概率为______，盒子中大约有白球______个 题型04 事件独立性的判断 解题贴士 分别求出、、，计算，与对比，若相等则独立，不相等则不独立。 典｜例｜精｜析 【例7】连续抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有1，2，3，4，5，6的骰子两次，分别记录两次骰子正面朝上的点数，A表示事件“第一次正面朝上的点数为3”，B表示事件“第二次正面朝上的点数为奇数”，C表示事件“两次正面朝上的点数之和为7”，D表示事件“恰有一次正面朝上的点数不大于3”，则不正确的是（   ） A．A 与B 相互独立 B．A与C 相互独立 C．A 与D 相互独立 D．C与D 相互独立 【例8】已知某黑箱子中放着编号的n张纸条，每张纸条除了编号不同其他完全一致，现随机抽取一张纸条，记随机事件“抽出的纸条上的编号小于3”，随机事件“抽出的纸条上的编号是偶数”. (1)当时，计算、、，并判断随机事件A与B是否相互独立； (2)当时，计算、、，并判断随机事件A与B是否相互独立． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则不正确的是（   ） A．甲与乙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 【变式4-2】在一个不透明的袋子中装有6个小球，其中有3个红球（分别标有数字1，2，3），2个黄球（分别标有数字1，2），1个白球（标有数字1）．现从袋中随机一次性摸出3个小球，记事件“3个小球的颜色均不相同”， “取出的小球上的数字分别为1，2，3”， “取出的3个小球上的数字之和大于5”． (1)求； (2)判断事件A，B是否相互独立，并说明理由． 【变式4-3】若袋中有6个大小质地完全相同的球，其中2个红球、4个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球. (1)求摸出的2个球的颜色不一样的概率； (2)记事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“第二次摸到红球”，试判断事件与事件是否相互独立？并说明理由. 题型05 求独立事件的概率 典｜例｜精｜析 【例9】超市有A，B两种品牌的羽毛球拍，甲、乙两人各购买一支羽毛球拍，若甲、乙买A品牌羽毛球拍的概率分别是0.6，0.5，则甲、乙两人买相同品牌羽毛球拍的概率为（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 【例10】甲、乙两班决定举行篮球比赛，比赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到一个班比另一个班多2分或打满5局时结束．设甲班在每局中获胜的概率为，乙班在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．比赛结束时甲班所得分数为，则（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与､与．在一次制取的实验中，与的原子个数比为，与的原子个数比为，若实验恰好完全反应生成且氧原子完全消耗，则从反应生成的中随机抽取1个，其为的概率为______． 【变式5-2】在如图所示的电路图中，开关闭合与断开的概率分别是和，开关，闭合与断开的概率都是，且所有开关的闭合与断开是相互独立的，则灯亮的概率为________． 【变式5-3】甲、乙两人参加元宵节猜灯谜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，甲、乙都猜不对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，则____________. 题型06 独立事件与互斥事件 解题贴士 1.互斥事件：不能同时发生，，用加法公式； 2.独立事件：互不影响概率，可以同时发生，用乘法公式； 3.若，互斥一定不独立，独立一定不互斥。 典｜例｜精｜析 【例11】已知两个随机事件相互独立，，则（     ） A．0.6 B．0.72 C．0.84 D．0.9 【例12】已知事件，，满足：，，则下列结论正确的为（     ） A．若，则与相互对立 B．若，则 C．若事件与相互独立，则 D．若事件与相互独立，则 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】已知事件与事件相互独立，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知随机事件与对立，与相互独立，若，则__________. 【变式6-3】在名男生，名女生中随机选取一名男生和一名女生，记“男生甲和女生乙入选”为事件，“男生甲入选”为事件，“女生乙入选”为事件，则（    ） A． B． C． D． 题型07 独立事件的实际应用 典｜例｜精｜析 【例13】甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，则投篮结束时，乙只投了2个球的概率为_________． 【例14】某校举办安全知识闯关活动，共设四轮，每轮选手从该轮题库中随机抽取一题作答，答对则进入下一轮，否则淘汰，各轮题库情况如下：第一轮6题（会做4题），第二轮6题（会做3题），第三轮6题（会做2题），第四轮6题（会做1题）．各轮答题相互独立． (1)求该选手第一轮答对的概率； (2)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； (3)求该选手至多进入第三轮的概率． 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动.在一次元宵节猜灯谜活动中，三位同学独立竞猜，其中的20道灯谜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了n道.以频率估计概率，任选一道灯谜，甲、乙两位同学恰有一个人猜对的概率为______；若甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，则n的值为______. 【变式7-2】一次数学考试有道填空题，共分，每道题完全答对得分，否则得分.在试卷命题时，设计第一道题使考生都能完全答对，后三道题能完全答对的概率分别为，，，且每道题答对与否相互独立. (1)当时，求考生填空题得分的概率； (2)若考生填空题得分与得分的概率相等，求的值. 【变式7-3】甲、乙两人参加某公司的招聘，招聘过程分为笔试和面试，笔试共有道题，这道题都解答正确才能进入面试环节．已知甲答对这道题的概率依次为，，，乙答对每道题的概率均为，且甲、乙两人每道题是否答对互不影响，甲、乙两人是否进入面试环节也互不影响． (1)求甲进入面试环节的概率； (2)求甲、乙两人中恰有一人进入面试环节的概率． 基础通关 一、单选题 1．气象局预报，今天小店区的降雨概率是，迎泽区的降雨概率是，下列说法正确的是（    ） A．小店区今天一定降雨，而迎泽区一定不降雨 B．小店区今天可能降雨，而迎泽区可能没有降雨 C．小店区和迎泽区都会降雨 D．迎泽区降雨的可能性比小店区大 2．已知两个随机事件相互独立，，则（    ） A．0.72 B．0.76 C．0.84 D．0.90 3．某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生10组随机数：812，832，569，684，271，989，730，537，925，907．由此估计3例心脏手术全部成功的概率为（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 4．投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，甲、乙是唐朝的两位投壶游戏参与者，假设甲、乙每次投壶时，投中的概率均为且投壶结果互不影响．若甲、乙各投壶次，则只有一个人投中的概率为（   ） A． B． C． D． 5．对于古典概率模型中的事件，若，则之间的关系一定为（   ） A．互斥事件 B．独立事件 C．对立事件 D．以上选项均不正确 6．甲、乙两颗卫星同时独立的监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为（   ） A．0.95 B．0.6 C．0.05 D．0.4 二、填空题 7．在一个不透明的纸盒中装有6个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有_________个. 8．“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在南宋时期．开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜．因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎．在一次猜灯谜活动中，共有30道灯谜，甲，乙两位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了10道，任选一道灯谜，甲，乙两位同学至少有一个人猜对的概率为____________． 9．在如图所示的一个电路图中，A，B，C，D，E，F为6个开关，每个开关闭合的概率均为，且是相互独立的，则灯亮的概率是______. 三、解答题 10．某射击运动员进行双向飞碟射击训练，七次训练的成绩记录如下： 射击次数n 100 120 150 100 150 160 150 击中飞碟次数 81 95 120 81 119 127 121 (1)求各次击中飞碟的频率；（保留三位小数） (2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少？ 11．校羽毛队有3名男队员、2名女队员，现采用不放回简单随机抽样从中抽取2人. (1)列举出所有等可能的基本事件，并求抽取到的2人全是男队员的概率； (2)若选出的两名选手分别为甲、乙，进行定点发球比拼，甲发球成功的概率为0.7，乙发球成功的概率为0.8，两人发球互不影响.求： ①甲、乙两人全部发球成功的概率； ②甲、乙至少有一人发球成功的概率. 12．某旅游景区停车场的收费标准为：1小时以内（含）不收费，1小时2小时（含）按5元收费．超出2小时的部分按每小时6元收费（不足1小时的按1小时计算）．现有甲、乙两人临时停车，两人停车都不超过4小时． (1)若甲停车不超过1小时的概率为，超过2小时的概率为，求甲停车1小时以上且不超过2小时的概率； (2)若甲乙两人停车的时长是相互独立的，且每个人停车费为0元、5元、11元的概率分别为，求甲、乙两人停车费之和为22元的概率． 素养提升 1．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为.我们通过设计模拟实验的方法求概率.由计算机产生的随机数，当出现随机数2，4时，表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为_________. 2．某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.调查中使用了两个问题.问题1：你父亲的公历出生月份是不是奇数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的密封袋子，每个被调查者随机地从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做.若最终盒子中的小石子为56个，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（    ） A．2% B．3% C．6% D．8% 3．设，为两个随机事件，则下列说法不正确的是（     ） A．若，，，则，为相互独立事件 B．若，，，则，为相互独立事件 C．若，，，则，为相互独立事件 D．若，为互斥事件，且，，则 4．某超市在端午节举行猜粽子促销活动，活动分两个环节，基础环节：顾客需要在5个粽子内随机挑选两个粽子（其中有两个咸粽子和三个甜粽子），如果选中的两个粽子风味一致，那么可以领取一个粽子直接带回家；如果选中的两个粽子风味不一致，那么进入升级环节：从剩余3个粽子内再随机挑选一个粽子，如果选中的粽子是甜粽子，那么可以领取两个粽子带回家；如果选中的粽子是咸粽子，那么可以领取五个粽子带回家．已知每次挑选到每个粽子的可能性完全相等． (1)在基础环节中，求样本空间，并计算进入升级环节的概率； (2)求参加活动的顾客成功领取五个粽子的概率； (3)有两位顾客甲和乙独立参加活动，求恰有一人带走五个粽子的概率． 5．某商场开展促销活动，每消费满500元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同，抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. (1)已知甲在该商场消费了500元，求甲获得一等奖的概率； (2)为加大促销力度，在原规则的基础上，当顾客在该商场消费满1000元时，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了1000元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件A，“乙恰好获得一个二等奖”为事件B. ①求事件A发生的概率； ②判断事件A与B是否相互独立，并说明理由. 迁移创新 1．在当今科技迅速发展的时代，人工智能（AI）已经成为科技创新的核心驱动力.当前AI正处于从生成式向智能体跃进的关键阶段，同时也面临着算力､数据､安全与可解释性等核心难题.某公司成立了甲､乙､丙三个科研攻关小组，决定对其中某个技术难题进行攻关，攻克该技术难题的小组都会受到奖励.已知甲､乙､丙三个小组各自独立进行攻关，且攻克该技术难题的概率分别为，则不正确的是（    ） A．若甲､乙两个小组各自独立攻克该技术难题为事件，则 B．该技术难题被攻克的概率为 C．只有一个小组受到奖励的概率等于 D．甲､乙､丙三个小组均受到奖励的概率为 2．数据传输包括发送与接收两个环节．在某数据传输中，数据是由数字和组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字．发送数字时，收到的数字是的概率为，收到的数字是的概率为；发送数字时，收到的数字是的概率为，收到的数字是的概率为．假设每次数字的传输相互独立，且． (1)若发送的数据为“”，且，，求接收到的两个数字中有且只有一个正确的概率； (2)用表示收到的数字串，将中数字的个数记为，如“”，则，对应的概率记为．若发送的数据为：“”，且，求； 3．某平台推出答题赢会员活动，共设置3道独立题目，每位用户可自主安排答题顺序．规则如下：连续答对2题可获得7天会员；连续答对3题可获得30天会员；其他情况均不获得会员．已知甲答对题1的概率为，答对题2的概率为，答对题3的概率为，各题答对与否相互独立． (1)若，且甲按题1题2题3的顺序答题，求甲获得30天会员的概率； (2)若，要使甲获得会员的概率最大，应如何安排答题顺序？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $