浙教九上期中压轴题汇总01：二次函数+概率（压轴题专项训练）数学新教材浙教版九年级上册

期中压轴题型汇总 （题型突破·举一反三） 题型01 利用二次函数性质判断代数式的关系和符号 题型02 二次函数与几何的综合问题 题型03 二次函数的实际应用问题 题型04 二次函数性质的综合应用 题型05 二次函数与一次函数的综合问题 题型06 已知函数值的范围讨论字母参数的范围 题型07 根据函数的最值讨论字母参数的取值范围 题型08 自定义背景下二次函数性质的应用 题型09 利用列表法求概率 题型10 利用树状图求概率 题型11 概率计算中的不放回模型 题型12 概率计算中的放回模型 题型13 数学知识与概率的综合 题型14 用频率估计概率 题型15 游戏公平性问题 ▌题型01 期利用二次函数性质判断代数式的关系和符号 1. 看开口定 a：抛物线开口向上 ；开口向下 。 2. 看对称轴定 b：对称轴公式 。对称轴在 y 轴左侧，则 a, b 同号；对称轴在 y 轴右侧，则 a, b 异号（简称"左同右异"）。 3. 看与 y 轴交点定 c：抛物线与 y 轴交点在正半轴 ；在负半轴 ；过原点 。 4. 看特殊点代数式：当 时，；当 时，。通过观察 或 时图象上点的位置（在 x 轴上方或下方）来判断正负。 【典例1】（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知点，为抛物线上两点，且，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线的图象与性质，通过计算两点纵坐标之差，分析其符号与的关系，结合的条件，判断选项的正确性． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的符号取决于， 若，则，即， 选项D符合此结论，故正确． 故选：D． 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，当时，函数值为；当时，函数值为，若，则下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，由题意，得到，，进而得到，得到，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴的符号由的符号决定， 当时，，当时，．故B选项错误， ∴． ∵（二次函数中），且， ∴．故C选项正确，D选项错误； 无法判断的符号；故A选项错误； 故选C． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）设，是方程的两根，若，下列判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 设二次函数，当时，，可知二次函数经过点，再结合题意可知二次函数经过点和，则，代入点可得，再分2种情况：和讨论即可得出答案． 【详解】解：设二次函数， 当时，， ∴二次函数经过点， ∵，是方程的两根， ∴二次函数经过点和， ∴二次函数， 代入点得，， ∴， ∵， ∴， 若，则； 若，则； 结合选项可知，只有选项B判断正确，符合题意； 故选：B． 【变式1-3】（25-26九年级下·浙江温州·期中）已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）； (2)将抛物线向右平移6个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于点． ①求点的纵坐标． ②若点，分别在抛物线，上，若，，求的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为 (2)①点的纵坐标为；② 【分析】（1）化为顶点式求解即可． （2）①利用抛物线平移的性质（左加右减变横坐标）求出平移后的抛物线解析式，将两个抛物线联立方程推出即点横坐标，代入任意一个抛物线即可求出点纵坐标．②根据题意，将分别代入各自的抛物线，表示出，将其转化成 关于的一次函数，利用一次函数的图像性质和取值范围即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：①， ， 顶点坐标为． （2）解：①∵， ∴抛物线向右平移6个单位长度得到新的抛物线的解析式为． 是和的交点， ， ， ， 将代入得． ② ；，点、分别在抛物线，上，， ∴， ． 是关于的一次函数，且， 的值是随着的增加而减小， 当时，； 当时，， ． ▌题型02 二次函数与几何的综合问题 1. 面积问题：通常使用"铅垂高与水平宽"法（），或将图形割补为规则图形计算。 2. 等腰三角形存在性：常利用"两圆一线"法分类讨论（以两定点为圆心分别作圆，或作两点连线的垂直平分线）。 3. 直角三角形存在性：利用勾股定理逆定理、相似三角形性质或"一线三直角"（K字型）模型建立等量关系。 4. 特殊四边形存在性：平行四边形常利用"对角线互相平分"或"对边平行且相等（平移法）"求解。 【典例1】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在正方形中，，点E在边上，以BE为边向上作正方形．在AE上取点H，连结，以HF为边作正方形，连结DN．若点M落在边上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是证明三角形全等，利用二次函数的最值求解．． 过点作于点，证明，得，，设根据勾股定理用表示，进而求得的最小值． 【详解】解：如图，过点N作， ∵正方形， 正方形，正方形， ∴，， ， ∴， ∴， ， 同理可得：， ，， ∴， 设则 ， 当时，有最小值为． 故选：B． 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在等边三角形的三边上，分别取点D，E，F，使．若，的面积为y，y关于的函数大致图象如右图所示，求顶点坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明、，从而可得是等边三角形，于是有，从而可得，再将代入求出，再求出顶点坐标即可． 【详解】解：如图，分别过A、D作的垂线，垂足分别为H、I， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ， ∴，， ∴， ， 设等边的边长为a， ∵， ， ∴， 在和中， ∴， 同理可证， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴ 当时，有最小值， ∴抛物线的顶点坐标为， 又是抛物线上的点， ∴， 解得：或（舍去）， ∴抛物线的顶点坐标为， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查了含度的直角三角形的性质，勾股定理，把化成顶点式，等边三角形的判定和性质等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江舟山·期中）如图，已知线段和线段，．点先沿着线段从点匀速运动到点，再沿着射线方向以同样的速度运动；点出发的同时点从点出发，以相同的速度沿着射线的方向运动；当时，对于，两点间的距离的变化情况，下列说法正确的是（    ） A．先变大，最后不变 B．先变小，最后不变 C．先变小后变大，最后不变 D．先变大后变小，最后不变 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的应用、勾股定理，利用二次函数的性质求解是解答的关键． 设，，运动时间为t，速度为1，分点D在线段上和点D在射线上两种情况，结合勾股定理和二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设，，运动时间为t，速度为1， ①当点D在线段上时，， 此时， 则， ∵，对称轴， ∴当时，随t增大而增大， 即当时，随t的增大而增大； ②当点D在射线上时，， 此时， ∴， 即的值不变， 综上，选项A说法正确，符合题意， 故选：A． 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图1，四边形，，，，点从点出发，沿以每秒个单位的速度匀速运动到点．同时，点从点沿着线段向终点做匀速运动，它们同时到达终点．连结，，，设运动时间为（秒），的面积为，关于的函数图象如图2所示．下列选项正确的是（    ） A． B．点在该函数图象上 C．最大时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的判定与性质，梯形，等边三角形的判定，动点问题，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，二次函数最值，解决本题的关键是综合运用所学知识能力．根据已知条件，进行严格缜密的推理与计算即可判断． 【详解】解：如图， 过点作，交于点， 则， ， ， 是等边三角形 ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形为等腰梯形． ， 即点，点运动路程相等， 又它们同时到达终点， 点，点速度相等． 由图象可知，当时，点到达点， 又 ， ，，． ． 故A错误； 设点到的距离为， 根据含30度角的直角三角形的性质可得，， 此时，， 即图中曲线与线段的交点坐标为， 直线过点和， 利用待定系数法求出直线的解析式为：， 当时，， 点不在该函数图象上， 故B错误； 当点在边上时， 设点到的距离为， 此时， 根据含30度角的直角三角形的性质可得，， 此时，， 当时，有最大值， 此时，，， 根据含30度角的直角三角形的性质可得，点到的距离为， ， 故C正确； 当时， ， ， 解得，或， 故D错误； 综上，C选项正确． 故选：C． 【典例2】（25-26九年级上·浙江金华·期中）某班甲、乙两位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动． 【活动情境】如图2，将边长为的正方形纸片沿折叠（折痕分别与、交于点、），使点落在边上的点处，与交于点处，连接与交于点． 【所得结论】当点F与的中点重合时（如图1），甲、乙两位同学各得到一个正确结果： 甲：的边______，______．       乙：． 【完成任务】 (1)填写甲同学所得结果中的数据． (2)当点在边上任意一点（除点A、D外）时，乙同学所得结果还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)如图2，当点在边上（除点A、D外）时，记四边形的面积为S，为x，求S与x的函数关系式，当x为何值时，S最大？最大值是多少？ 【答案】(1)3，5； (2) 解：成立， 证明：如图2，如图：过作于， 、关于对称， 于， ∴， ∴， ， 在正方形中，， ， ． (3)，当时，，S最大,． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的最值、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、正方形的性质等知识点，相似三角形的判定与性质的应用是解题的关键． （1）根据图形翻折变换的性质可设，则，利用勾股定理即可求出的长，进而求出的长即可； （2）由正方形的性质及全等三角形的判定定理可知可得， （3）利用勾股定理可得出，进而可得，再表示四边形的面积，根据二次函数的性质求得面积的最大值即可． 【详解】（1）解： 设，则， ∵点F与的中点重合, ∴， ∵， ∴，解得：， ． 故答案为：3，5； （2）略 （3）解：∵四边形是正方形，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴ ∴ 当，即与的中点重合时，S最大,． 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为直线．解答下列问题． (1)抛物线的解析式是______． (2)若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，当的面积为时，求点的坐标． (3)在（2）的条件下，若动点在抛物线上，当的值最大时，求点的坐标和的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）设，运用待定系数法求得直线的解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点，则，，利用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案； （3）运用待定系数法求得直线的解析式，当的值最大时，在同一条直线上，联立方程组求解即可求得点的坐标，利用两点间距离公式可求得，即的最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，，且它的对称轴为直线， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）解：设，，交直线于点， ∵， ∴即：， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴， 即：（舍）， ∴； （3）解：当三点共线时，的值最大，最大值为的长； 设， ∵， ∴， 解得：， 即：， ∵， ∴（舍）， 当时，， ∴，此时三点共线，最大， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法函数解析式，三角形三边关系、二次函数与面积，一次函数的性质，勾股定理等知识点，利用线段和差求最值问题是解题的关键． 【变式2-2】（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线与直线相交于两点，与x轴相交于另一点C． (1)请直接写出 ， ． (2)点P是直线上方抛物线上的一个动点（不与A，B重合），过点P作直线轴于点D，交直线于点E，当时，求点P的坐标． (3)抛物线上是否存在点M使的面积等于面积的一半，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5；2； (2)； (3)，或，或，或． 【分析】（1）把代入求出，再用待定系数法可得b的值； （2）设，则，由，可得，解出t的值可得P的坐标为； （3）过M作轴交直线于K，求出，知，故，设，则，可得，，根据的面积等于面积的一半，有，可得，即或，解出m的值可得答案． 【详解】（1）解：把代入得：， 把代入得：， 解得：， 故答案为：5；2； （2）解：由（1）知抛物线的解析式为，设，则，， ∵， ∴， 解得或（此时P不在直线上方，舍去）； ∴P的坐标为； （3）解：抛物线上存在点M，使的面积等于面积的一半；理由如下： 过M作轴交直线于K，过点B作，延长交x轴于点F，如图： 在中，令得， 解得或， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 解得或 ∴M的坐标为，或，或，或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及二次函数的图像与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴交点问题，坐标与图形，解一元二次方程，三角形面积等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 【变式2-3】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）定义：若抛物线的顶点和与轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时，则称此抛物线为正抛物线． 概念理解： （1）如图，在中， ， 点是的中点． 试证明： 以点为顶点，且与轴交于两点的抛物线是正抛物线； 问题探究： （2）已知一条抛物线经过轴的两点（在的左边）， 且若此条抛物线为正抛物线，求这条抛物线的解析式； 应用拓展： （3） 将抛物线 向下平移个单位后得新的抛物线． 抛物线的顶点为，与轴的两个交点分别为（在左侧），把沿轴正半轴无滑动翻滚，当边 与轴重合时记为第次翻滚，当边 与轴重合时记为第次翻滚，依此类推，请求出当第次翻滚后抛物线的顶点的对应点坐标． 【答案】（）证明：∵， 点是的中点， ∴， ∵抛物线以为顶点与轴交于两点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， （）或； （）． 【分析】（）由中是斜边的中线可得，由抛物线对称性可得 ，即证得是等边三角形； （）设抛物线顶点为，根据正抛物线定义得是等边三角形，又易求坐标，即能求点坐标，由于不确定点纵坐标的正负号，故需分类讨论，再利用顶点式求抛物线解析式； （）根据题意求出抛物线的解析式，并按题意求出的坐标，得到等边 ，所以即每翻滚次为一个周期，当翻滚次数能被整除时，点纵坐标为，横坐标为，能被整除，代入即能求此时点坐标； 本题考查了二次函数的图象与性质，直角三角形和等边三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：（）略 ∴以点为顶点，且与轴交于两点的抛物线是正抛物线； （）∵且，点在轴上且在的左边， ∴ ∵一条经过轴的两点的抛物线为正抛物线，设顶点为， ∴是等边三角形， ∴，， 当时，设抛物线解析式为把点代入得：， ∴， ∴， 当时，设抛物线解析式为， 把点代入得： ∴， ∴， 综上所述，这条抛物线的解析式为或 ； （）∵抛物线， ∴向下平移个单位后得抛物线， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴第一次翻滚顶点的坐标变为，第二次翻滚得与 相同，第三次翻滚得 ， 即每翻滚次为一个周期，当翻滚次数能被整除时，点纵坐标为，横坐标为： ， ∵ ∴， ∴第次翻滚后抛物线的顶点的对应点坐标． ▌题型03 二次函数的实际应用问题 1. 建立模型：将实际问题转化为数学问题，明确自变量和因变量，设出二次函数解析式。 2. 求最值：实际问题中常求最大利润或最大面积，通过配方法或公式法求二次函数的顶点坐标来得到最值。 3. 注意范围：自变量的取值范围必须符合实际意义，若顶点不在自变量范围内，则需根据图象的增减性判断边缘值。 【典例1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某广场设有观赏性音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向随音乐变化而上下移动，不同高度的喷头喷出的水呈抛物线型（或其中一部分），但形状相同，水柱离地面的最高高度也相同，水都落在喷水管的同侧．当喷头在地面上时，其抛物线水柱如图1，水落地点离喷水口的距离米，水柱最高点离地面3米；当喷头升高时，水柱形状如图2，为喷水管，B为落水点，记的长为喷泉跨度． (1)在图1中，以O为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出该抛物线的函数表达式； (2)若喷水管最高可升到米，求出喷泉跨度的最小值； (3)如图3，安全通道在线段上，无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入上方的矩形区域，则称这个矩形区域为安全区域．若该安全区域的宽为米，为了保证安全，进入该通道的人最高身高为多少？（精确到米） 【答案】(1) (2)喷泉跨度的最小值为3 (3)能够进入该安全通道的人的最大身高为米 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据二次函数图象的不同特点设出相关函数解析式是解题的关键． （1）抛物线过原点，可设抛物线解析式为：，易得抛物线的顶点坐标为，抛物线经过（，把这两点代入可得抛物线的解析式； （2）两个抛物线的形状相同，则二次项的系数相同，抛物线的最高高度相同，那么两个抛物线顶点的纵坐标也相等，设抛物线解析式为顶点式，当喷水管最高时，的值最小，把代入抛物线解析式可得抛物线的解析式，进而求解； （3）设点的坐标为，则点的坐标为，根据点在过点的抛物线上，点在过点的抛物线上，求得纵坐标相等时的值，代入过点的抛物线可得纵坐标的值，即为能够进入该安全通道的人的最大身高． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为：，如图， ∵抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵水柱最高点离地面， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图， ∵不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线型或抛物线的一部分，形状相同，最高高度也相同， ∴图3中抛物线的顶点的坐标可设为：， ∴抛物线解析式为：， ∵喷水管最高时，的值最小， ∴抛物线经过点，即， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， 当时，， 解得：（负值舍去）， ∴； 答：喷泉跨度的最小值为3； （3）解：设点的坐标为，则点的坐标为， 由题意可知：点在抛物线上，点在抛物线上， 则， ∴， ， ， ， 解得：， ∴ ． 答：能够进入该安全通道的人的最大身高为米． 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点是一个固定观测点，运动点从处出发，沿笔直公路向目的地处运动．设为（单位：），为（单位：）．如图2，关于的函数图象与轴交于点，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（    ） A． B． C．点的纵坐标为 D．点在该函数图象上 【答案】D 【分析】作，当时，动点运动到点的位置，得到，当点运动到点的时候，最小为，，勾股定理求出的值，判断；当，点运动到点，根据三线合一，得到，进而求出的值，判断；连接，勾股定理求出，确定的纵坐标，判断，求出时，点运动到点，再利用勾股定理求出，判断，即可． 【详解】如图，作，当时，动点运动到点的位置，由题意和图像可知，当点运动到点的时候，最小，即，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， 故选项错误，该选项不符合题意； ∴，， 当时，点运动到点，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项错误，该选项不符合题意； .∴当，即点在点时， ∴； ∴点C的纵坐标为；故选项错误，该选项不符合题意； 当时，点运动到点，则：， ∴， ∴，即， ∴点在该函数图象上，故选项正确，该选项符合题意． 故选． 【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理，垂线段最短，三线合一等知识点，熟练掌握相关知识点，从函数图象中有效的获取信息，确定点的位置，是解题的关键． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江金华·期中）水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组的学生在科技节上制做出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】 为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，并确定了函数表达式为：．同时也收集了飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间 0 2 4 6 … 飞行高度 0 6 8 6 … 【建立模型】 任务1：求关于的函数表达式． 【反思优化】 图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为）时，求水火箭飞行的水平距离． 任务3：当水火箭落到内（包括端点，），求发射台高度的取值范围． 【答案】任务1：；任务2：；任务3： 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，掌握待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质是解题的关键． 任务1，先分析出顶点坐标，再利用待定系数法求解； 任务2，令，求出t的值，再根据，即可求解； 任务3，设长度为c米，且，得到水火箭的二次函数解析式为，再分别求出函数经过点A、B时，c的取值，即可求解． 【详解】解： 任务1：二次函数经过点， 函数顶点坐标为， 设函数解析式为， 二次函数经过点， ，解得， 关于的函数表达式为； 任务2：令，得 ， 解得（不合题意，舍去）， ； 任务3：设长度为c米，且， 水火箭的二次函数解析式为， 当函数经过点A时，， 点A坐标为， ，解得， 当函数经过点B时，，， 点B坐标为， ，解得， ， ． 答：发射台高度的取值范围为． 【典例2】（25-26九年级上·浙江温州·期中）草莓被誉为“水果皇后”，不仅美味可口，还富含营养.新鲜上市的草莓很受大家欢迎，某商店每千克草莓的成本价为17元，经调查研究，在开始销售的30天，其每日销售量（千克）与时间（天）存在一次函数关系，数据如表： 时间t（天） 1 2 5 10 20 日销售量 128 136 160 200 280 在这30天内，前25天每天的价格（元/千克）与时间t（天）的函数关系式为（且t为整数），从第26天开始，每天的价格则稳定在27元/千克． (1)直接写出m关于t的函数关系式______． (2)求第30天当天的销售利润． (3)这30天哪一天的销售利润最大，求出t的值及当天的销售利润． 【答案】(1)（且t为整数） (2)3600元 (3)第15天和第16天销售利润最大，或16，当天销售利润为3720元 【分析】本题考查一次函数和二次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）设一次函数关系式，选取表格中两组数据代入建立方程组，解方程组求出k和b，即可解答； （2）确定第30天属于价格稳定期，价格，用一次函数关系式计算第30天销售量m，计算每千克利润（价格－成本），再乘以销售量得总利润； （3）分两段讨论利润：前25天价格变化和后5天价格稳定，在前25天中，建立利润二次函数，求顶点横坐标（整数天），计算最大利润，再后5天中，建立利润一次函数，根据增减性求最大利润，比较两段最大利润，得出结论． 【详解】（1）解：设m关于t的函数关系式为， 将，和，代入得： ， 解得， ∴m关于t的函数关系式为（，且t为整数）． 故答案为：（，且t为整数）； （2）第30天价格（元/千克），销售量（千克）， 故利润（元）． 答：第30天当天销售利润为3600元； （3）①当时， 利润， 即， 二次函数开口向下，顶点横坐标， 故或16时，最大，为（元）； ②当时，利润，随t增大而增大， 故时，（元）； 比较得，第15、16天销售利润最大，最大利润为3720元． 答：第15天和第16天销售利润最大，或16，当天销售利润为3720元． 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江湖州·期中）甲、乙两个汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两位公司经理的一段对话： 甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．每辆汽车的月租费每增加50元，将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元． 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元． 说明：①汽车数量为整数． ②月利润月租车费月维护费． ③两个公司月利润差月利润较高公司的利润月利润较低公司的利润． 在两个公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题： (1)当乙公司租出的汽车为10辆时，该公司的月利润是___________元． (2)设两个公司租出的汽车数量都为辆． ①甲公司的月利润是___________元（用含的代数式表示）． ②求两公司月利润差的最大值． (3)甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出（）元给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，并且当两个公司租出的汽车均为16辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求的取值范围． 【答案】(1)33150元 (2)①；②33150元 (3) 【分析】本题主要考查了列代数式，二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可直接列式进行求解即可； （2）①根据题意可列式；②设两个公司的月利润分别为，，月利润差为，则，然后可分当甲公司的利润大于乙公司时，当乙公司的利润大于甲公司时，进而求解即可； （3）由（2）可知利润差为，则有对称轴为直线，然后根据“x只能取整数，且当两个公司租出的汽车均为16辆时，月利润之差最大”可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：（元）； 故答案为33150； （2）解：①由题意得：， 故答案为； ②设两个公司的月利润分别为，，月利润差为， 则， 当甲公司的利润大于乙公司时， 解得：， ， 当时，利润差最大，为18050元； 当乙公司的利润大于甲公司时，， 即， ， 该函数图象开口向上，对称轴为直线， 当时，利润差最大，为33150元； 综上：两个公司月利润差的最大值为33150元； （3）解：∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润， 则由（2）可知利润差为， 对称轴为直线， ∵x只能取整数，且当两个公司租出的汽车均为16辆时，月利润之差最大， ， 解得． 【变式2-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某超市为了销售一种新型饮料，对月销售情况作了如下调查，结果发现每月销售量瓶与销售单价元满足一次函数关系．所调查的部分数据如表：已知每瓶进价为5元，每瓶利润=销售单价-进价 单价元 5 6 7 … 销售量瓶 100 90 80 … (1)求y关于x的函数表达式． (2)该新型饮料每月的总利润为元，求w关于x的函数表达式，并指出单价为多少元时利润最大，最大利润是多少元？ (3)由于该新型饮料市场需求量较大，厂家进行了提价．此时超市发现进价提高了a元，每月销售量与销售单价仍满足第（1）问函数关系，当销售单价不超过17元时，利润随着x的增大而增大，求a的最小值． 【答案】(1)； (2)关于x的函数表达式为，单价为10元时利润最大，最大利润是250元； (3)的最小值为 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的性质及其应用，熟练掌握二次函数的相关性质，是解题的关键． （1）设y关于x的函数表达式为，由待定系数法求得k和b的值，即可得解； （2）根据每月的总利润等于每件的利润乘以销售量，列式得出关于x的二次函数，配方，根据二次函数的性质可得答案； （3）根据每月的总利润等于每件的利润乘以销售量，列式得出，求出其对称轴，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为， 由题意得：， ， 关于x的函数表达式为； （2）解：由题意得： ， 当时，W有最大值250元． 关于x的函数表达式为，单价为10元时利润最大，最大利润是250元； （3）解：由题意得： ， 二次函数的对称轴为：直线， ，当销售单价不超过17元时，利润随着x的增大而增大， ， ， 的最小值为 【典例3】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为甲、乙两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药．学校已订购篱笆120米（恰好用完）． (1)设，整个花园的面积为S，求S关于x的函数表达式，并求出S的最大值； (2)在花园面积最大的条件下，甲，乙两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？ 【答案】(1)S关于x的函数表达式为，S的最大值为1200平方米 (2)最多可以购买1400株牡丹 【分析】（1）设，则，面积为S平方米，由矩形面积公式得到S与x的函数关系式，配成顶点式求出函数的最大值即可； （2）设种植牡丹的面积为a平方米，则种植芍药的面积为平方米，由题意列出不等式求得种植牡丹面积的最大值，即可解答． 【详解】（1）解：设， 则， ∴面积为， ∵，墙足够长， ∴当时，S有最大值是1200， 即最大面积为1200平方米． （2）解：设种植牡丹的面积为a平方米，则种植芍药的面积为平方米， 由题意，得， 解得：， 即牡丹最多种植700平方米， （株）， 答：最多可以购买1400株牡丹． 【点睛】本题考查二次函数的应用、一元一次不等式的应用，熟练掌握矩形面积公式列函数解析式，二次函数与面积综合，总面积与每株面积和株数的关系，总价与单价和株数的关系列不等式，是解题的关键． 【变式3-1】根据素材回答问题： 素材1 如图1，空地上有两条互相垂直的小路，，中间有一正方形水池，已知水池的边长为4米，，，且与的距离为10米，与的距离为8米．    素材2 现利用两条小路，再购置30米长的栅栏（图中的细实线）在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行（或垂直），靠小路和水池的都不需要栅栏，接口损耗忽略不计． 任务1 任务2 小明同学按如图2的设计，若米，求出花圃的面积（不包含水池的面积）．      若按如图3、如图4设计方案，通过计算说明哪种方案的最大面积更大．    项目反思 如果栅栏不一定与墙面垂直（或平行），你还能设计出比以上方案面积更大的花圃吗？某学习小组在探究的过程中，设计了方案如图5，你认为图5的最大面积与以上方案比较，哪个更大，请通过计算说明．    【答案】任务1：花圃的面积为208；任务2：图4方案的最大面积更大，为273；项目反思：图5方案最大面积更大 【分析】任务1：根据矩形面积公式和正方形面积公式求解即可； 任务2：由图3，设，花圃面积为，则，由题意可得花圃面积，结合一次函数的性质计算该方案的最大面积；由图4，设，花圃面积为，则，由题意可得花圃面积，结二次函数的性质计算该方案的最大面积，即可获得答案； 项目反思：延长交于点，过点作于点，易得为矩形，进而可知，设，花圃面积为 ，则，，，由题意得列出函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：任务1：如图2， 由题意可知，则， 矩形面积为 ， ()， 答：花圃的面积为208； 任务2：由图3，设，花圃面积为，则， 由题意得：， 因为， ∴当时，有最大值，最大值为()； 由图4，设，花圃面积为， 则， 由题意得：， ∴当时，y有最大值为273， 所以，图4方案的最大面积更大，为273； 项目反思：如下图，    延长交于点，过点作于点， 易得为矩形， ∴， ∵， ， 设，花圃面积为 ， 则，，， 由题意得：， ∴当时，花圃面积有最大值， ∵， ∴图5方案最大面积更大． 【点睛】本题主要考查了矩形面积公式、一次函数的应用、二次函数的应用等知识，正确的求出函数解析式是解题的关键． ▌题型04 二次函数性质的综合应用 1. 比较大小：利用对称轴的位置和开口方向。离对称轴越近，函数值越大（当 时）或越小（当 时）。 2. 平移变换：遵循"上加下减（对常数项 k 而言），左加右减（对自变量 x 而言）"的原则，平移只改变顶点位置，不改变抛物线开口大小与方向。 【典例1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，抛物线与抛物线围成一个封闭曲线，它们与y轴的交点分别为A，B，点和点在这条封闭曲线上，且，若的值始终不大于2，则线段长的最大值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，利用二次函数解不等式，利用一次函数的增减性求最值，掌握相关知识是解决问题的关键．依据题意，由得顶点为，而抛物线的顶点为，可得，结合的值始终不大于2，有，即解得，又因为，所以，而，，故，进而利用一次函数增减性求得线段的最大值． 【详解】解：由题意， ， 抛物线的顶点为， 抛物线的顶点为，且， ， 当时，抛物线在抛物线上方； ∵点和点在这条封闭曲线上，且， ，， ， 的值始终不大于2， ， 整理得． 令， 解得， 由二次函数图象知若， 则， 又∵， ∴， 在中，令，则， ； 在中，令得， ； ， ∵， 随的增大而增大， ， 当时，取最大值，最大值为． 故选：B． 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与对称轴直线交于点A，与x、y轴交于B、C、D三点，下列命题正确的是（   ） ①； ②若，则； ③对于任意（），始终有； ④若，，（）为方程的两个根，则且． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数与x轴的交点问题及二次函数与一元二次方程的关系．判断命题的真假关键是根据二次函数的性质和图象得出信息判断．根据二次函数的性质和图象得出信息进行判断即可． 【详解】解：由图象得：，，， ∴， ∴， 故①正确； ， ， ， ，故②错误， ， 当时，函数的值最小， 对于任意，始终有，故③正确， ，对称轴为直线， 函数的图象与轴交点坐标为， 将方程变形为，如图所示， 可得且，故④正确， 故选：． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论： ①②③④．其中含所有正确结论的选项是（）． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，涉及知识点：二次函数的对称轴、与坐标轴的交点、判别式、函数值的符号．解题方法是利用对称轴确定系数关系，结合与坐标轴的交点范围分析系数的取值、函数值的符号及判别式的正负；解题关键是通过对称轴转化系数，结合交点范围列不等式，易错点是系数关系的转化与不等式的推导． 【详解】由对称轴得，代入得，即． 结论①：，因抛物线开口向下，故，或者当时，观察二次函数图像位于轴上方，所以，故①正确； 结论②：抛物线与轴有两个交点，故，即成立，故②正确； 结论③：轴交点，即，解得，故③错误； 结论④：，，因，故，，且，即，故④正确． 综上，正确结论是①②④． 故选：B． 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）设二次函数（b，c是常数）的图象与轴交于A，B两点． (1)若A，B两点的坐标分别为，，求函数的表达式及其图象的对称轴； (2)在（1）的条件下，若函数的图象上有，两点，若，且，求的范围； (3)若函数的表达式可写成的形式，当时，求的取值范围． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数与不等式（组），二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意列方程组，即可得到结论； （2）在（1）的条件下，二次函数解析式为，根据函数图象即可得到结论； （3）化简，求得，当时，，当时，，于是得到结论． 【详解】（1）解：由题意，二次函数（是常数）经过， ， 解得， ∴抛物线的解析， ∴抛物线对称轴是直线； （2）解：在（1）的条件下，二次函数解析式为，抛物线对称轴是直线， ∵，， ； （3）解：， ，， ∴当时，， 当时，， 故在顶点处取得最小值，当时取得最大值， ∴的取值范围为． ▌题型05 二次函数与一次函数的综合问题 1. 求交点坐标：联立二次函数与一次函数的解析式组成方程组，解方程组得到的解即为交点坐标。 2. 比较函数值大小：在图象上观察，交点左侧或右侧哪条线在上方，则对应的函数值较大。 3. 线段长度：两点水平或铅直距离通常用纵坐标差或横坐标差的绝对值来表示。 【典例1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，抛物线的顶点在直线上，对称轴为直线，有以下四个结论：① ，② ，③ ，④ ，其中正确的个数(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：①抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ，所以①正确，符合题意； ②时，， 即， ， ， ， ，所以②错误，不符合题意； ③当时，， 抛物线的顶点坐标为， 把代入得， ，所以③正确，符合题意； ④当时，， 即， ， ，所以④正确，符合题意． 故选：C． 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，线段平行于轴，，动点在直线上移动，若的坐标为，线段与抛物线有一个交点，则的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一次函数的交点问题，先根据题意得出点的坐标为，联立方程组求出二次函数与一次函数的交点，再分为线段的端点和端点在二次函数的图象上这两种情况，分别分析，结合函数图象和线段的移动轨迹，即可求解． 【详解】解：∵的坐标为，线段平行于轴，， 故点的坐标为， 若线段的端点在抛物线上， 联立方程组，得， 整理得， 解得，， 即当、时，线段的端点在抛物线上， 当时，点的坐标为， 令，此时， 即当时，线段的端点在抛物线上， 此时线段与抛物线有两个交点， 故． 当时，点的坐标为， 令，此时， 即当时，线段与抛物线有一个交点． 若线段的端点在抛物线上， 即， 整理，得， 解得，（舍去）； 即当时，线段与抛物线有一个交点． 结合函数图象可得， 当时，线段端点在抛物线上， 当时，线段与抛物线有一个交点， 当时，线段与抛物线有两个交点， 当时，线段与抛物线有一个交点， 当时，线段的端点在抛物线上， 综上，的取值范围为或． 故选：D． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，抛物线与x轴的交点为，，与y轴的交点为C，P是抛物线第一象限上一点，过点P作x轴的垂线，交x轴于点F，交直线BC于点E． (1)求抛物线的函数关系式． (2)当时，求点E的坐标， (3)连接，作点E关于的对称点E'，若E'落在y轴上，求点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数与几何的综合、用待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识点是解题的关键． （1）把，代入求出的值即可确定函数解析式； （2）先求出直线的函数解析式，设，则，，进而得到、，再根据列方程求得，即可确定点E的坐标； （3）过E作，先根据轴对称的性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质得到，设，则，，进而得到，，再根据列方程求得m，即可确定点E的坐标． 【详解】（1）解：把，代入 得：， 解得． 抛物线的函数关系式为． （2）解：设直线的解析式为， 把，代入 得∶， 解得：， 直线的解析式为， 设，则，， ∴，， ， ， 解得或（舍去）． ； （3）解：如图：过E作， ，关于PC对称， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， 设，则，， ， ，， ，即是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ ， ∵， ，解得：， ． 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A、B两点（点A在B的左侧），与y轴交于点C，且过点． (1)求a的值和点A，点B的坐标； (2)如图2，点是抛物线第四象限上的点，且，直线交y轴于点D，连结，过点B作交y轴于点E，连结，求面积的最大值． 【答案】(1)，， (2)面积的最大值为 【分析】（1）把点的坐标代入中，即可求得a的值，从而可得函数解析式；由所求函数解析式即可求得A、B两点的坐标； （2）求出直线的解析式，则可得点D的坐标，再求出直线与的解析式，则可得点E的坐标，从而求得的长，由三角形面积公式得的表达式，由一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， ， 当时，， 解得，， ，； （2）解：，是抛物线第四象限上的点， ∴， 设直线的解析式为，把B、P两点坐标分别代入解析式中， ，解得， 直线的解析式为， ， 同理得：直线的解析式为， ， 设的解析式为， ， ，解得， 的解析式为， ， 线段的长度为， ， 随m的增大而增大， 又， 当时，有最大值为， 即面积的最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，函数图象与坐标轴的交点，一次函数的性质，二次函数的图象与性质等知识． ▌题型06 已知函数值的范围讨论字母参数的范围 1. 端点值法：当自变量在 时，函数的最值往往在区间端点（）或顶点（如果顶点在区间内）处取得。 2. 分类讨论：根据对称轴相对于给定区间的位置（在左侧、在区间内、在右侧）进行分类，分别求出最大值和最小值并建立不等式组。 【典例1】（25-26九年级下·浙江舟山·阶段检测）已知二次函数． (1)求该二次函数图象的对称轴； (2)当时，y的最大值为8，求a的值； (3)若点和点在该函数图象上，点是二次函数图象上的任意一点，满足，求的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)或 (3) 【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式即可解答； （2）根据抛物线的开口方向，分情况讨论即可； （3）先根据题意，得出是最小的函数值，再根据抛物线的开口方向，分情况讨论即可． 【详解】（1）解： ， 该二次函数图象的对称轴为直线． （2）解：由（1）可知，该二次函数图象的对称轴为直线， 当时，抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大． ，且，，， 当时，y取得最大值，此时，， ， 解得； 当时，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值， 当时，y取得最大值，此时，， ， 解得，， 综上，a的值为或． （3）解：由题可知，是最小的函数值， 由（1）可知，该二次函数图象的对称轴为直线， 故当时，抛物线开口向上，此时，点为顶点， ，， 当时，， ， ， ∴关于关于的函数图像开口向下，当时取最大值， ∵， 随的增大而减小， 当时，， ∴； 当时，抛物线开口向下，无最小值，不符合题意，舍去， 综上，的取值范围是． 【变式1-1】（25-26九年级下·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，设二次函数（是常数）． (1)若函数图象经过点，求函数图象的顶点坐标； (2)若函数图象经过点，，求证：； (3)已知函数图象经过点，，若对于任意的，都有成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 证明：∵函数图象经过点，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴； (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）可求出，，则； （3）可得到二次函数开口向上，对称轴为直线，离对称轴越远函数值越大，则对于任意的，到对称轴的距离大于2，再分、、三种情况讨论求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为； （2）略 （3）解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， 离对称轴越远，函数值越大，又， ∴对于任意的，到对称轴的距离大于到对称轴的距离， 即到对称轴的距离的最小值大于2， 当时，离对称轴的最小值为，则，解得； 当时，离对称轴的最小值为0，不符合题意； 当时，离对称轴的最小值为，则，解得． 综上，或． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数的图象经过点． (1)求b的值． (2)当时，求y的取值范围． (3)当时，函数y的范围是，且，则的最大值为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】  本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的增减性与图象对称轴的关系是解题关键． （1）将点代入二次函数即可求出b的值； （2）结合（1）中求出的解析式，进一步求出对称轴和最值，进而由可以得解； （3）根据x的取值范围与对称轴的关系，分情况讨论，再通过增减性求出对应的值，列出式子求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ， ； （2）解：由（1）可知二次函数为， 则对称轴为直线， ，抛物线开口向上， 当时，函数有最小值， ∵，， ∴对于，当时，y取得最大值， 时，， 当时，； （3）解：函数的对称轴为，且， 已知，即y的最大值与最小值之差为4， 分情况讨论： 情况1：，此时最小值为，即， ∴， 令， 解得或不合题意，舍去， 故，此时当时，为该情况的最大值，最大值为； 情况2：对称轴在x的取值范围的右侧，即， 此时，时，， 显然该情况下，小于情况1中所取得的最大值； 情况3：对称轴在x的取值范围的左侧，即， ∵二次函数的图象开口向上， ∴当时，随的增大而增大， ∴，，， 利用求根公式可得，，（不合题意，舍去）， ，（不合题意，舍去）， ∴， 由， 整理，得， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， ∴， 综上，的最大值为． 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数（m为常数）． (1)当时，求该二次函数图象的对称轴． (2)若点在函数图象上，其中． ①若的最大值是1，求m的值． ②若点也在函数图象上，且，对于满足的任意，都有，求m的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)①；②或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的最值问题、二次函数与不等式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）当时，，再根据二次函数的顶点式即可求解； （2）①，得到二次函数图象开口向上，对称轴为，再根据二次函数的性质得出当时，有最大值，据此列出方程，即可求出m的值；②当时，有最大值，当时，，再结合对于满足的任意，都有，列出关于m的不等式，即可求出m的取值范围． 【详解】（1）解：当时，， ∴二次函数图象的对称轴为直线； （2）解：①， ∴二次函数图象开口向上，对称轴为， ∵，，， ∴当时，有最大值， ∵的最大值是1， ∴， 解得； ②由①得，当时，有最大值， 当时，， ∵对于满足的任意，都有， ∴， 解得或． ▌题型07 根据函数的最值讨论字母参数的取值范围 1. 判别式 ：若涉及与 x 轴交点问题，利用 的符号（大于0有两个交点，等于0有一个交点，小于0无交点）来限制参数范围。 2. 结合图象：利用数形结合思想，将代数问题转化为图象上的高低关系，画出边界状态，求出参数的临界值。 【典例1】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）在平面直角坐标系中，已知点、，点在线段上，设（a为常数）；下列两个说法： ①当时，t有最大值，无最小值； ②当时，的值一定是负数；下列说法正确的是（   ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 【答案】B 【分析】本题综合考查了一次函数的解析式、二次函数的最值以及代数式的符号分析，核心是将线段上点的坐标关系与二次函数的性质结合，进行分类讨论和推理。 点在线段上，先求出的直线方程，得到与的关系式，代入的表达式，得到关于的二次函数． 对于说法①，当时，在定义域内有最大值和最小值，但说法声称无最小值，故错误；对于说法②，当时，通过求的最大值，证明其恒为负，故正确． 【详解】设直线的函数表达式为（），将、代入可得方程组。 用第二个方程减去第一个方程消去可得：，解得， 将代入可得：，解得， 所以直线的函数表达式为， 因为点在线段上， 所以，且， 当时，， 将代入可得：， 对于二次函数，其中， 所以函数图象开口向下，对称轴为． 当时，有最大值，． 当时，； 当时，． ，所以的最小值为，故①错误． ． 对于二次函数，其中，函数图象开口向下，对称轴为． 因为， 所以当时，有最大值，． 因为， 所以，，则，即， 所以的值一定是负数，故②正确． 综上，①错误，②正确，选B． 故选：B． 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求b，c的值； (2)当时，求的最大值与最小值之差； (3)当时，若的最大值与最小值之差为9，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，一元二次方程的解法，的最值等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）将已知两点坐标代入函数解析式中，求得b，c的值； （2）先写出二次函数解析式，求出最小值，再在内求出最大值，从而可求得的最大值与最小值之差； （3）分、且、三种情况讨论，分别求出的值． 【详解】（1）解：∵函数（b，c为常数）的图象经过点，， ∴， 解得：； （2）∵函数，， ∴函数的解析式为， ， 二次项系数为， 所以抛物线的开口向上， 所以当时，有最小值2， 当时，在内， 取，则， 取，则， 所以二次函数的最小值为2，最大值为， 所以的最大值与最小值之差为； （3）①当时， 仅当时，取得最小值，此时； 仅当时，取最大值，此时； 所以， 解得：， ， 不符合； ②当且时，即，此时最小值为2， 当取得最大值时， 即时，， 所以， 此时最大值为， 所以， 解得：或， ， 不符合， 所以此时； 当取得最大值时， 即时，， 所以， 此时最大值为， 所以， 解得：或， 因为， 所以不符合， 所以此时； ③当时，即， 仅当，取得最小值， 此时， 仅当，取得最大值， 此时， 所以， 解得：， 因为， 所以不符合， 综上所述，的值为或． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数（为常数）的图象经过， ． (1)求和的值． (2)当时，求的取值范围； (3)当时，的最大值和最小值的和为17，求的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为1或 【分析】本题主要考查的是二次函数的最值，涉及到二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）把点， ，代入二次函数解析式，即可求解； （2）根据二次函数的对称轴和给定的取值范围求出最大值和最小值； （3）分三种情况讨论：当时，当时，当时，结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）二次函数（为常数）的图象经过点， ， ∴         解得 （2）由（1）知∶，， 所以该函数的对称轴是直线，函数图象开口向下， 当时，取得最大值，此时， ∵， ∴当时，取得最小值，此时． ∴ （3）因为， ∴该函数的对称轴是直线，函数图象开口向下，当时，取得最大值，此时， ①当时，时取得最小值，时取得最大值， 令， 解得，(舍去)； ②当时，时取得最小值，时取得最大值， 则（舍去）； ③当时，时取得最小值，时取得最大值， 令， 解得(舍去)，； 综上，的值为1或． 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数（b、c为常数）的图象经过点，对称轴为直线 (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数关系式，点的平移，二次函数图象的性质，解答本题的关键是熟练运用分类讨论的思想解决问题． （1）将点A的坐标和对称轴代入二次函数中，即可求解； （2）表示出平移后的点B的坐标，再代入关系式，求出m的值； （3）先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线， ∴解得， ∴二次函数的关系式为. （2）解：将点向上平移2个单位长度，再向左平移m个单位长度的点为，恰好落在抛物线上， ∴， 解得或（舍去）， ∴的值为4． （3）解：∵， ∴抛物线开口向上，关于直线对称， ∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， 当时，， 分三种情况： ①当时， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时取得最大值，即最大值为， 当时取得最小值，即最小值为， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得 与前提矛盾，这种情况不符合题意，舍去； ②当时， 此时时取得最大值，即最大值为， 时取得最小值，即最小值为， 此时最大值与最小值的差为，符合题意； ③当时， 此时时取得最小值，即最小值为， 时取得最大值，最大值为， 由题意可得：， 解得，， 与前提矛盾，这种情况不符合题意，舍去； 综上，n的取值范围为. ▌题型08 自定义背景下二次函数性质的应用 1. 提取关键信息：认真审题，找出新定义或新背景中隐藏的等量关系和变量关系。 2. 构建新函数：根据题意建立新的二次函数解析式，并将其转化为标准形式进行性质分析。 【典例1】（24-25九年级下·浙江杭州·期中）新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为． (1)写出的表达式（用含a的式子表示）及顶点坐标： (2)若，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线于点M，N． ①当时，求点P的坐标； ②当时，的最大值与最小值的差为2a，求a的值． 【答案】(1)， (2)①或；②或 【分析】本题考查二次函数背景下新定义类问题，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据“关联抛物线”的定义可得的解析式为：，利用待定系数法即可求解； （2）①设点P的横坐标为m，过点P作x轴的垂线分别交抛物线于点M，N，，得出 进行求解即可； ②根据题意可知，需要分三种情况讨论，I、当且和Ⅱ、当且以及当进行分析求解． 【详解】（1）解：根据“关联抛物线”的定义可得的解析式为：，     ∵， ∴的顶点坐标为； （2）①设点P的横坐标为m， ∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线于点M，N， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∴或．            ②∵的解析式为：， ∴当时，， 当时，， 当时，， 根据题意可知，需要分三种情况讨论， I、当且时，即， 函数的最大值为；函数的最小值为， ∴， 解得或 （舍）； Ⅱ、当且时，即， 函数的最大值为；函数的最小值为， ∴， 解得或（舍）： Ⅲ、当时，， 函数的最大值为，函数的最小值为； ∴， 解得（舍）； 综上，a的值为或． 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）我们约定：当，，，满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．若关于的二次函数是“对偶函数”，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式等知识点，正确理解新定义是解题的关键． 由题意可得，且时，有，整理得到，利用关于的一元二次方程必有实数根，分别根据判别式等于零和大于零求解即可． 【详解】解：设函数图象上两点和 为一对“对偶点”，则由定义有 和，即和， 同时，两点在函数图象上，故： ∴， 以上两式相减可得， 从而将， 代入①整理可得， 此关于的一元二次方程必有实数根， 由于时，（不符合题意）． 从而必有，解得． 故答案为：． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）定义：若两个函数图象有交点，则称这两个函数为“关联函数”，两个函数图象构成的封闭图形（含边界）叫做“关联区域”，如图1，与是关联函数，阴影部分是关联区域，如图2，过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象于、两点，当线段长度最大时，该距离叫做“最优关联距离”，若此时为整数，则称点为“最优关联点”， (1)证明：函数与是“关联函数”； (2)求“关联函数”与的“最优关联距离”； (3)若“关联函数”与恰有三个“最优关联点”，求的取值范围. 【答案】(1) 证明：由题意得，， 则， 整理得， ， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴这两个函数图像有2个交点， ∴函数与是“关联函数”； (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，涉及二次函数的图象与性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，一元二次方程的根的判别式等知识点． （1）联立两个函数解析式，得到一元二次方程，再由根的判别式判断一元二次方程根的情况，即可判断两个函数图像是否有交点，即可证明； （2）由题意得，则，再利用二次函数的性质求解最值； （3）由题意得，则，则当时，取得最大值，当时，；，则，由题意得有三个整数值，即为，故，再解不等式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图， 由题意得， ∴， ∴ ∵， ∴当时，取得最大值为， ∴“关联函数”与的“最优关联距离” 为； （3）解：如图： 由题意得， ∴， ∴ ∵， ∴当时，取得最大值， 当时，；， ∴ ∵“关联函数”与恰有三个“最优关联点”， ∴有三个整数值，即为，如图： ∴， 解得 ∴“关联函数”与恰有三个“最优关联点”，求的取值范围． 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江金华·期中）定义：将函数的图像绕点旋转，得到新的函数的图像，我们称函数是函数关于点的相关函数．例如：当时，函数关于点的相关函数为． (1)当时，①二次函数关于点的相关函数为________________． ②点在二次函数关于点的相关函数的图像上，求的值． (2)函数关于点的相关函数是，求点的坐标． (3)当时，二次函数的相关函数的最小值为3，求n的值． 【答案】(1)①；② (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了新定义函数以及二次函数的性质，关键是根据中点公式求出相关函数的顶点坐标，进而求出相关函数． （1）①直接根据相关函数的定义求解即可； ②根据二次函数的性质可知顶点坐标为，由相关函数的定义可知新函数的顶点为，可得新函数的表达式为：，最后将点A的坐标代入解析式求得a的值即可； （2）先分别求出两个函数的顶点坐标，然后运用中点公式确定中点坐标即可解答； （3）求出相关函数分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：①当时，点，相关函数顶点坐标为 则相关函数为：， 故答案为：； ②∵二次函数的顶点坐标为， ∴相关函数的顶点坐标为， ∴新函数的表达式为， 将点代入上式并解得； （2）解：函数和函数的顶点坐标分别为，， 由中点公式得：， 即； （3）的顶点为：， 设相关函数顶点为：， 由中点公式得：， 解得：， 则相关函数顶点为：， 则相关函数的表达式为：； 可知开口向上，对称轴为直线， 如图： ①当即时， 函数在时，取得最小值，即， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， 故； ②当即时， 函数在时，取得最小值，即， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， 故； ③当且即时， 函数在顶点处取得最小值，即， ， ， 解得：（舍去），（舍去）； 综上所述，或． ▌题型09 利用列表法求概率 1. 适用场景：适用于涉及两个因素，且可能出现的结果数目较多的试验。 2. 操作步骤：列出表格，横向和纵向分别列出第一个和第二个因素的所有可能结果，求出所有结果数 n 和符合条件的结果数 m，概率 。 【典例1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）为组建学校秋季田径运动会开幕式彩旗队，九（1）班决定从符合身高条件的3名男生和2名女生中随机抽调两名学生进入彩旗队．则恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用列表法求概率，解题的关键是通过列表列出所有抽取两名学生的可能情况，再找出恰好抽到一男一女的情况数，进而计算概率； 先给学生编号，用列表法枚举所有抽取情况，统计总情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式计算． 【详解】解：将3名男生记为A、B、名女生记为D、E，列出所有抽取两名学生的所有情况： A B C D E A —— B      —— C           —— D                —— E                     —— 共(种)情况； 其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有：共(种)； 则概率为． 故选：B． 【变式1-1】如图，电路图上有编号为①②③④⑤共5个开关和一个小灯泡，闭合开关①或同时闭合开关②③或同时闭合开关④⑤都可使小灯泡发光，任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 列表可得出所有等可能的结果数以及小灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： ① ② ③ ④ ⑤ ① ② ③ ④ ⑤ 共有20种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有：，，，，，，，，，，，，共12种， ∴小灯泡发光的概率为． 故选：A． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，有4张分别印有2023年杭州亚运会吉祥物和会徽图案的卡片：A宸宸、B琮琮、C莲莲、D潮涌．现将这4张卡片（卡片的形状，大小，质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回，搅匀，再从中任意取出1张卡片． (1)求第一次取出的卡片图案为“D潮涌”的概率． (2)用列表或画树状图的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张卡片图案为“A宸宸”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法求概率，熟练掌握列表法是解题的关键： （1）利用概率公式进行计算即可； （2）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：第一次取出的卡片图案为“D潮涌”的概率为； （2）解：由题意，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共16种等可能的结果，其中两次取出的2张卡片中至少有1张卡片图案为“A宸宸”的结果为7种， 故． 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江温州·期中）概率与应用： 【素材1】某校为培养学生“垃圾分类，从我做起”的环保意识，组织开展“游戏互动”“趣味问答”“模拟投放”三项活动（这三项活动分别记为A、B、C）． 【素材2】各班派两位同学参加，用抽签决定参加相应的活动．为了降低同班同学参加同项活动的概率，同时也为了让更多的同学参加“趣味问答”活动，学校制定了以下抽签规则： 将A、B、B、C这四个字母分别写在四张无差别不透明的卡片正面上，从中拿出写有A、B、C的三张卡片，洗匀后正面向下放在桌面上，某班第一位同学先随机抽取一张卡片，然后把桌面上剩下的两张与另一张写有字母B的卡片混合并洗匀，再由该班第二位同学从中随机抽取一张卡片． 【素材3】九年级1班派出小温和小州两位同学，先由小温抽签，再由小州抽签． 【任务】 (1)求小温同学抽到参加“趣味问答”活动的概率． (2)用列表法或画树状图法，求小温和小州都没有抽到参加“模拟投放”活动的概率． 【答案】(1)小温同学抽到参加“趣味问答”活动的概率为 (2)小温和小州都没有抽到参加“模拟投放”活动的概率为 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键； （1）根据概率公式可直接进行求解； （2）根据题意列出表格，然后可求解概率． 【详解】（1）解：由题意可知： 小温同学抽到参加“趣味问答”活动的概率为； （2）解：由题意可列表如下： 小温/小州 A C A C 由表可知：抽取的情况总共有9种，其中小温和小州都没有抽到参加“模拟投放”活动的结果有4种，所以小温和小州都没有抽到参加“模拟投放”活动的概率为． 四、利用树形图求概率 ▌题型10 利用树状图求概率 1. 适用场景：适用于涉及两个或两个以上因素（三步及以上试验），能清晰展示事件发展的层次。 2. 操作步骤：画出树状图，列出所有可能出现的结果，数出总结果数 n 和符合条件的结果数 m，概率 。 【典例1】（25-26九年级下·浙江杭州·期中）现有6张标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，3，5的卡片在甲手中，标有数字2，4，6的卡片在乙手中．两人随机各出一张卡片，两张卡片上的数字之和大于7的概率是_____． 【答案】 【分析】先画树状图得出所有等可能的结果，再找出满足条件的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中两张卡片上的数字之和大于的结果有种． 两张卡片上的数字之和大于的概率是． 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江金华·期中）三张除标记的数字外都相同的卡片上分别标着1、2、3． (1)随机抽取一张，求抽到卡片上数字是奇数的概率． (2)随机抽取两张，求两次抽取的数字之和是偶数的概率（用树状图或列表法）． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式求解即可． （2）画树状图得出所有等可能的结果数和抽取的两张卡片上的数字之和为偶数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：三张正面分别写有1，2，3的不透明卡片，奇数有两张， 从中随机抽取一张卡片，抽到卡片上数字是奇数的概率是； （2）解：画树状图如图： 共有6个等可能的结果，抽取的两张卡片上的数字之和为偶数的结果数有2种， （抽取的两张卡片上的数字之和为偶数）． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，一个可以自由转动的转盘被分成4等份，每份内标有数字1，2，3，4，（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止）． (1)转盘转动一次，求指针所指区域的数字是偶数的概率； (2)转盘转动两次，求指针两次所指区域的数字之和是偶数的概率（用树状图或列表法）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，可知共有16种等可能的结果，其中指针两次所指区域的数字之和是偶数的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一个可以自由转动的转盘被分成4等份，每份内标有数字1，2，3，4， 转盘转动一次，指针所指区域的数字是偶数的概率； （2）解：画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中指针两次所指区域的数字之和是偶数的结果有8种， 指针两次所指区域的数字之和是偶数的概率 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江温州·期中）有A，B两个黑布袋，A布袋中有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字1，2，3；B布袋中有两个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字4，5，小明先从A布袋中随机取出一个小球，再从Ｂ布袋中随机取出一个小球． (1)请用列表或树状图表示小明取球的所有可能结果． (2)求两次取出的球数字和大于6的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是用画树状图法求概率，掌握知识点是解题的关键．． （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图即求得所有等可能的结果； （2）先求出两次取出的球数字和大于6的结果有3种，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：画树状图得：    共6种等可能性结果，即． （2）两次取出的球数字和大于6的结果有3种，即， ∴两次取出的球数字和大于6的概率为． ▌题型11 概率计算中的不放回模型 1. 特征：在连续抽取中，每次抽取的对象不能放回，导致每次抽取的总对象数目减少。 2. 注意：树状图第二层的分支数量会减少；列表法中主对角线上的结果不成立（即不能抽到同一个对象）。 【典例1】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的1个黄色球和若干个白色球，从盒子里随机摸出一个乒乓球，摸到黄球的概率是． (1)白球的个数为__________个 (2)现从盒子中摸球，摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球．请通过列表或画树状图的方法，求两次摸到相同颜色球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比． （1）设白球的个数为个，根据摸到黄球的概率是列方程并解方程即可； （2）首先根据题意画树状图，然后由树状图即可求得所有等可能的结果与两次摸到相同颜色球的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）解：设白球的个数为个， 则， 解得， 经检验是方程的根且符合题意； 即白球的个数为个， 故答案为： （2）画树状图如下： 由树状图可知共有6种等可能的结果，两次摸到相同颜色球有2种情况， ∴两次摸到相同颜色球的概率是： 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪．将这4张卡片(形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出一张卡片． A．猪妖 B．蛤蟆精 C．黄鼠狼精 D．猩猩怪 (1)取出的卡片图案为“B蛤蟆精”的概率为________． (2)若现在要在这4个中挑选2个去除妖，请用画树状图或列表的方法，求选中“A猪妖”和“D猩猩怪”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查概率公式求概率，列表法或树状图法求概率； （1）直接由概率公式求解即可； （2）列表得出共有12种等可能的结果，其中选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪，搅匀后从中任意取出一张卡片， ∴取出的卡片图案为“B．蛤蟆精”的概率为； 故答案为：． （2）列表如下： 共有12种等可能的结果，其中选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的结果有2种，即、， ∴选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的概率为． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）一个不透明的袋中装有分别标着汉字“尚”、“贤”、“博”、“学”的四个小球，除标注的汉字不同外，小球无任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． (1)从袋中摸出一个球，球上的汉字刚好是“学”的概率是 ． (2)从袋中任摸一球，不放回，再从袋中任摸一球，请用树状图（或列表法）表示出所有可能出现的结果，并求出摸到的两个球上的汉字恰好是“尚”和“贤”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，运用列表法或树状图法展示所有可能得结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式：概率所求情况数与总情况数之比，求出事件A或B的概率． （1）直接利用概率公式可得答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及摸到的两个球上的汉字恰好是“尚”和“贤”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，从袋中摸出一个球，一共有4种可能，球上的汉字刚好是“学”的概率是， 故答案为：． （2）列表如下： 尚 贤 博 学 尚 尚，贤 尚，博 尚，学 贤 贤，尚 贤，博 贤，学 博 博，尚 博，贤 博，学 学 学，尚 学，贤 学，博 由表格可知，共有12种等可能出现的结果， 其中摸到的两个球上的汉字恰好是“尚”和“贤”的结果有2种， ∴摸到的两个球上的汉字恰好是“尚”和“贤”的概率为． ▌题型12 概率计算中的放回模型 1. 特征：在连续抽取中，每次抽取的对象记录后放回，导致每次抽取的总对象数目保持不变。 2. 注意：树状图每一层的分支数量相同；列表法中所有格子均为等可能结果。 【典例1】（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知教室的粉笔盒里现有1支白色粉笔，1支红色粉笔，1支黄色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同． (1)现从中任取一支粉笔，则取出黄色粉笔的概率是多少？ (2)老师先拿出一支粉笔，放回后，再拿出一支粉笔，用画树状图或列表的方法，求拿出的两支粉笔颜色相同的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了概率的计算，熟练掌握概率公式以及列表法（不同形式列表）求概率是解题的关键． （1）根据概率公式，用黄色粉笔的数量除以粉笔的总数量即可求解． （2）通过调整列表形式（第一次在列、第二次在行）列出所有可能的结果，再找出两支粉笔颜色相同的结果数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】（1）解：粉笔总数量为（支），黄色粉笔有支． ∴(取出黄色粉笔)； （2）解：列表如下（第一次在列，第二次在行）： 第二次第一次 白 红 黄 白 白-白 红-白 黄-白 红 白-红 红-红 黄-红 黄 白-黄 红-黄 黄-黄 总共有种等可能的结果，其中两支粉笔颜色相同的结果有种（白-白、红-红、黄-黄）． ∴(取出两支粉笔颜色相同)． 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）一个不透明布袋里共装有3个球，其中1个红球，2个白球．它们的形状大小完全相同，只有颜色不同．从中任意摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球． (1)请用树状图或列表的方法，求摸出的2个球都是白球的概率． (2)若往布袋里再放入一些红球，使每一次摸到白球的概率为，则应该再放入______个红球． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了概率的计算，已知概率求数量，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键． （1）根据题意列表，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计算即可； （2）先求出放入红球后，布袋里的球的数量，再减去原来的球的数量即可得出答案． 【详解】（1）解：设1个红球为，2个白球分别为， 列表如下： 由表格可得，共有9种等可能的结果，其中摸出的2个球都是白球的情况有4种， 摸出的2个球都是白球的概率． 答：摸出的2个球都是白球的概率为； （2）解：∵每一次摸到白球的概率为， ∴放入红球后，布袋里的球的数量为（个）， ∴应该再放入红球的数量为（个）， 故答案为：7． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）将3张分别写着字母A、B、C的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片． (1)用树状图或列表法列出所有可能的结果． (2)求取出的2张卡片中，字母相同的概率． 【答案】(1) 列表如下： 共有9种等可能的结果． (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． （1）根据题意列表即可． （2）由表格可得出所有等可能的结果数以及取出的2张卡片中，字母相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：列表如下： 共有9种等可能的结果． （2）解：由表格可知，取出的2张卡片中，字母相同的结果有3种， 取出的2张卡片中，字母相同的概率为． ▌题型13 数学知识与概率的综合 在其它数学知识的背景下，应用相关数学知识求出相关的可能，求出相关概率。 【典例1】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则二次函数与x轴有两个不同交点的概率为______． 【答案】 【分析】二次函数与轴有两个不同交点的条件是判别式大于零，即，从1、2、3、4中随机选取两个不同的数作为和，考虑顺序，总共有12种可能结果，找出满足条件的有序对，计算概率即可． 本题主要考查了简单概率的计算，二次函数与轴的交点问题，熟练掌握“二次函数与轴有两个不同交点的条件是判别式大于零”是解题的关键． 【详解】解：由于选取顺序不同，和的有序对共有、、、、、、、、、、、共12种； 二次函数与轴有两个不同交点的条件是判别式， 即， 解得， 满足的有序对有、、、共4种， 则二次函数与轴有两个不同交点的概率为； 故答案为：． 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）有三张大小、形状完全相同的卡片，正面分别写着如图中所示数的计算式．从中任意抽取一张，记下卡片上计算式的结果后，放回搅匀，再任意抽取一张．求两次抽取的卡片上计算式的结果都是正整数的概率． 【答案】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率，画树状图，共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片上计算式的结果都是正整数的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：，是正整数；，是正整数；是无理数． 把三张卡片按顺序分别记为A、B、C，其中正整数的有A、B， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片上计算式的结果都是正整数的结果有4种， ∴两次抽取的卡片上计算式的结果都是正整数的概率为． 【变式1-2】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.59 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的= ； (2)“摸到白球”的概率的估计值是 （精确到0.1）； (3)如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球． 【答案】(1) (2) (3)10 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率、频率与频数和样本容量的关系、概率的应用等知识点，掌握用频率估计概率的方法是解题的关键． （1）根据频率、频数、样本容量的关系求解即可； （2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近，据此即可解答； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：由表格的数据可得， “摸到白球的”的概率的估计值是． 故答案为：． （3）解： (个)． 答：除白球外，还有大约10个其它颜色的小球． 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江温州·期中）完全相同的3个小球，上面分别标有数字1、3、，将其放入一个不透明的盒子中摇匀，随机摸球两次（第一次摸出球后不放回），把第一次、第二次摸到的球上标有的数字分别记作x、y，以x、y分别作为坐标平面内一个点的横坐标与纵坐标． (1)第一次摸球时摸到正数的概率为__________； (2)求点在第二象限的概率（用树状图或列表法求解）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求事件发生的概率，根据题意得到所有等可能结果是解题关键． （1）根据题意可得任意摸一个小球，共有3种等可能结果，摸到正数的有2种等可能结果，根据概率公式即可求解； （2）画出树状图，由树状图得共有6种等可能结果，在第二象限的有2种等可能性，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：完全相同的3个小球，上面分别标有数字1、3、，任意摸一个小球，共有3种等可能结果，摸到正数的有2种等可能结果， ∴第一次摸球时摸到正数的概率为， 故答案为：； （2）解：画树状图得： 由树状图得共有6种等可能结果，在第二象限的有2种等可能性， ∴点在第二象限的概率． 【变式1-4】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，球上分别标有数字，1，2．第一次从袋中任意摸出一个小球（不放回），得到的数字作为点M的横坐标x；再从袋中余下的两个小球中任意摸出一个小球，得到的数字作为点M的纵坐标y． (1)用列表法或画树状图法，列出点的所有可能结果． (2)求点在二次函数的图象上的概率． 【答案】(1)，，，，， (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． （1）根据题意列表即可． （2）由表格可得出所有等可能的结果数以及点在二次函数的图象上的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：列表如下： 1 2 1 2 共有，，，，，这6种等可能的结果． （2）解：由表格可知，点在二次函数的图象上的结果有，，共2种， ∴点在二次函数的图象上的概率为． ▌题型14 用频率估计概率 1. 定义：在大量重复试验下，事件发生的频率（）稳定在某一个常数附近，这个常数就是该事件的概率。 2. 应用：当无法通过理论计算得出概率时，可以通过大量的试验，用频率来近似估计概率。 【典例1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种球共60个，它们除颜色外其余均相同．圆圆做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，不断重复上述摸球的过程，如表是实验中的若干统计数据： 摸球的次数n 50 100 200 400 1000 2000 3000 摸到白球的次数m 35 69 142 280 702 1398 2103 摸到白球的频率 (1)当n很大时，请估计摸到白球的概率．（精确到） (2)试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？ (3)若要使摸到白球的概率为，则需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】(1) (2)白球为42个，黑球为18个 (3)30个 【分析】本题考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目相应频率． （1）观察表格中的数据，随着摸球次数的增加，摸到白球频率逐渐趋近于某一个值，据此分析可得到答案； （2）白球个数=球的总数得到的白球的概率，让球的总数减去白球的个数即为黑球的个数； （3）设再放入x白球，根据摸到白球的概率为，列方程即可． 【详解】（1）解：由表格可知：当n的取值越来越大时，摸到白球的频率将会接近， 所以估计摸到白球的概率为； （2）解：盒子里白球的数量为（个， 所以黑球的数量为（个； （3）解：设再放入x个白球， 则有， 解得， 经检验，是方程的解， 答：需要往盒子里再放入30个白球． 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）张老师将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放入一个不透明的口袋并搅匀，让学生进行摸球试验，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，如表所示是试验得到的一组统计数据． 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)根据表中的有关数据，估计从袋中摸出一个黑球的概率是 ． (2)估算袋中白球的个数． (3)在（2）的条件下，若小强同学无放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算摸出一个黑球一个白球的概率． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率、概率的计算（古典概型），熟练掌握频率与概率的关系、概率公式及列表法（规范行列对应两次试验）求概率是解题的关键． （1）根据大量重复试验中频率的稳定值估计黑球概率； （2）设白球个数，利用黑球概率公式列方程求解； （3）按“第一列是第一次、第一行是第二次”的格式列表，统计所有结果及符合“一黑一白”的结果数，计算概率． 【详解】（1）解：观察表格，当试验次数增多时，摸到黑球的频率稳定在附近，故估计从袋中摸出一个黑球的概率是． （2）解：设袋中白球有个，由黑球概率公式： ， 解得， 经检验是原分式方程的解， ∴袋中白球有个； （3）解：袋中球为1个黑球（记为）、3个白球（记为、、），无放回连续两次摸球的列表如下（第一列为第一次摸球结果，第一行为第二次摸球结果）： 第一次 \ 第二次 总结果数为12种（表格中“-”表示无放回时无法重复摸同个球，实际有效结果为12种），其中“一个黑球一个白球”的结果有6种（、、、、、）， 故概率为． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，指针落在哪一个区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000 落在“橙汁”区域的次数 68 111 136 345 564 701 落在“橙汁”区域的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 (1)填空：__________，__________． (2)假如你去转动该转盘一次，你获得“橙汁”的概率大约是__________．（精确到0.1） (3)在该转盘中，表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是多少度？ 【答案】(1)0.705，0.701 (2)0.7 (3) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （1）根据频率的算法，频率频数÷总数，可得各个频率；填空即可； （2）根据频率的定义，可得当n很大时，频率将会接近其概率； （3）利用频率估计概率结合概率的意义可得表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是，再计算即可． 【详解】（1）解：；； 故答案为：0.705，0.701； （2）解：当n很大时，频率将会接近， 故获得“橙汁”的概率大约是， 故答案为：0.7； （3）解：∵获得“橙汁”的概率大约是； ∴获得“可乐”的概率大约是； 在该转盘中，表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是． 【变式1-2】下面三个情境中我们都可以估计或计算各自的概率 (1)在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，如图①所示，请估计钉尖朝上的概率； (2)图②是一个可以自由转动的转盘，任意转动该转盘，当转盘停止时，计算指针落在丁区域的概率； (3)图③是中国的《四大名著》，没有读过的两名同学准备从中各自随机挑选一本来阅读，请用列表法或树状图求他们选中同一名著的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了由频率估计概率，几何概率，列表法或树状图求概率等知识点，熟练掌握各概率的求法是解题的关键． （1）根据折线统计图，用频率估计概率即可； （2）用丁区域的圆心角度数除360度即可； （3）根据题意列出表格或画出树状图表示出所有等可能的结果，然后找出两名同学选中同一名著的结果数，最后根据概率公式计算概率即可． 【详解】（1）解：由折线统计图可知，经过大量重复试验，频率在上下波动，逐渐稳定在， ∴； （2）解：； （3）解：设西游记为A，红楼梦为B，水浒传为C，三国演义为D， 根据题意可列表如下： 甲                    乙 A B C D A AA AB AC AD B BA BB BC BD C CA CB CC CD D DA DB DC DD 由表格可知，共有16种等可能的结果，其中两名同学选中同一名著的结果有4种， ∴． ▌题型15 游戏公平性问题 1. 判断标准：游戏规则中，双方获胜的概率相等（即 ）时，游戏是公平的。 2. 解题步骤：分别求出双方获胜的概率；若概率不相等，说明游戏不公平；修改规则使双方获胜概率相等（通常通过调整计分规则，利用概率与得分的乘积相等来实现）。 【典例1】（25-26九年级上·浙江温州·期中）小丽和小芳玩游戏，规则是：将三张分别写有数字，，的卡片（除数字外卡片完全相同）放在一个不透明的盒子里，随机抽取两张，若抽到两张卡片上的数字之和为偶数则小丽获胜；若为奇数，则小芳获胜． (1)抽到两张卡片数字之和为的概率为______． (2)请用列表法或画树状图分析这个游戏是否公平． 【答案】(1) (2)这个游戏不公平 【分析】本题考查用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．解题的关键是掌握：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）通过画树状图法表示所有可能出现的结果情况，然后根据概率公式求出“抽到两张卡片数字之和为”的概率即可； （2）通过画树状图法表示所有可能出现的结果情况，求出“和为偶数”“和为奇数”的概率，然后进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解：画树状图如图： 共有个等可能的结果，抽取的两张卡片上的数字之和为的结果数有种， ∴（抽到两张卡片数字之和为）， 故答案为：； （2）画树状图如图： 共有个等可能的结果，抽取的两张卡片上的数字之和为偶数的结果数有种，和为奇数的结果数有种， ∴（抽取的两张卡片上的数字之和为偶数）， （抽取的两张卡片上的数字之和为奇数）， ∵， ∴这个游戏不公平． 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，有，两个转盘，其中转盘被分成4等份，转盘被分成3等份，并在每一份内标上数字．现甲、乙两人同时分别转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将转盘指针指向的数字记为，转盘指针指向的数字记为，从而确定点的坐标为． (1)请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点的坐标． (2)在（1）的基础上，求点落在反比例函数图象上的概率． (3)记，李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当时甲获胜，否则乙获胜，若这个游戏是公平的，求的值．（取整数） 【答案】(1) 列表如下： 1 2 3 4 2 4 6 由表格可得点的坐标共种． (2)(3) 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，反比例函数的性质和游戏公平性，准确分析计算是解题的关键． （1）利用树状图或列表法求解即可； （2）由（1）得到符合条件的点的个数，利用概率公式计算即可； （3）根据游戏公平性分析判断即可； 【详解】（1）列表如下： 1 2 3 4 2 4 6 由表格可得点的坐标共种． （2）当点坐标为或时，点在反比例函数上， 点落在反比例函数图象上的概率为． （3）由（1）中的表格可得：的值分别为3，4，5，6，5，6，7，8，7，8，9，10，共12个， 游戏是公平的， 甲乙获胜的概率都是，即的可能性有6个（的取值为3，4，5，5，6，6）． 又为整数， ． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）有三张背面完全相同的卡片，它们的正面分别写上、、，把它们的背面朝上洗匀后，小丽先从中抽取一张，然后小明从余下的卡片中再抽取一张． (1)直接写出小丽取出的卡片恰好是的概率； (2)小刚为他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积是有理数，则小丽获胜；否则小明获胜．你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由． 【答案】(1)小丽取出的卡片恰好是的概率为 (2) 解：小丽和小明抽取卡片的所有可能列表如下： 小丽 小明 数字之积 ∴共有6种等可能结果，其中积是有理数的有2种，不是有理数的有4种， ∴小丽获胜的概率，小明获胜的概率， ∵， ∴这个游戏不公平，对小明有利． 【分析】本题考查概率与游戏公平性的判断． （1）根据概率公式求解即可； （2）采用列表法可得小丽获胜的概率和小明获胜的概率，比较大小，判断公平性即可． 【详解】（1）解：小丽取出的卡片恰好是的概率为． （2）略 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江·期中）学校组织综合实践活动，有10名同学参加，其中男生6人，女生4人． (1)若从这10人中随机选取一人作为领队，求选到女生的概率． (2)若某项实践活动只在甲、乙两人中选一人，准备以游戏的方式决定由谁参加，规则如下：将四张牌面数字分别为2，3，4，5的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加．试问这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：列表如下：     第二张第一张 2 3 4 5 2 5 6 7 3 5 7 8 4 6 7 9 5 7 8 9 任取2张，牌面数字之和的所有可能结果为：5，6，7，5，7，8，6，7，9，7，8，9，共12种，其中和为偶数的有：6，8，6，8， 故甲参加的概率为，而乙参加的概率为． ∵， ∴游戏不公平． 【分析】本题考查简单公式求概率，列表法计算概率等． （1）由题意列式约分即可得到本题答案； （2）由题意列出表格，分别计算出偶数和奇数概率，再进行比较即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵有10名同学参加，其中男生6人，女生4人， ∴选到女生的概率为； （2）略 试卷第8页（共61页） 1 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中压轴题型汇总 （题型突破·举一反三） 题型01 利用二次函数性质判断代数式的关系和符号 题型02 二次函数与几何的综合问题 题型03 二次函数的实际应用问题 题型04 二次函数性质的综合应用 题型05 二次函数与一次函数的综合问题 题型06 已知函数值的范围讨论字母参数的范围 题型07 根据函数的最值讨论字母参数的取值范围 题型08 自定义背景下二次函数性质的应用 题型09 利用列表法求概率 题型10 利用树状图求概率 题型11 概率计算中的不放回模型 题型12 概率计算中的放回模型 题型13 数学知识与概率的综合 题型14 用频率估计概率 题型15 游戏公平性问题 ▌题型01 期利用二次函数性质判断代数式的关系和符号 1. 看开口定 a：抛物线开口向上 ；开口向下 。 2. 看对称轴定 b：对称轴公式 。对称轴在 y 轴左侧，则 a, b 同号；对称轴在 y 轴右侧，则 a, b 异号（简称"左同右异"）。 3. 看与 y 轴交点定 c：抛物线与 y 轴交点在正半轴 ；在负半轴 ；过原点 。 4. 看特殊点代数式：当 时，；当 时，。通过观察 或 时图象上点的位置（在 x 轴上方或下方）来判断正负。 【典例1】（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知点，为抛物线上两点，且，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，当时，函数值为；当时，函数值为，若，则下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）设，是方程的两根，若，下列判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-3】（25-26九年级下·浙江温州·期中）已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）； (2)将抛物线向右平移6个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于点． ①求点的纵坐标． ②若点，分别在抛物线，上，若，，求的取值范围． ▌题型02 二次函数与几何的综合问题 1. 面积问题：通常使用"铅垂高与水平宽"法（），或将图形割补为规则图形计算。 2. 等腰三角形存在性：常利用"两圆一线"法分类讨论（以两定点为圆心分别作圆，或作两点连线的垂直平分线）。 3. 直角三角形存在性：利用勾股定理逆定理、相似三角形性质或"一线三直角"（K字型）模型建立等量关系。 4. 特殊四边形存在性：平行四边形常利用"对角线互相平分"或"对边平行且相等（平移法）"求解。 【典例1】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在正方形中，，点E在边上，以BE为边向上作正方形．在AE上取点H，连结，以HF为边作正方形，连结DN．若点M落在边上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在等边三角形的三边上，分别取点D，E，F，使．若，的面积为y，y关于的函数大致图象如右图所示，求顶点坐标（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江舟山·期中）如图，已知线段和线段，．点先沿着线段从点匀速运动到点，再沿着射线方向以同样的速度运动；点出发的同时点从点出发，以相同的速度沿着射线的方向运动；当时，对于，两点间的距离的变化情况，下列说法正确的是（    ） A．先变大，最后不变 B．先变小，最后不变 C．先变小后变大，最后不变 D．先变大后变小，最后不变 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图1，四边形，，，，点从点出发，沿以每秒个单位的速度匀速运动到点．同时，点从点沿着线段向终点做匀速运动，它们同时到达终点．连结，，，设运动时间为（秒），的面积为，关于的函数图象如图2所示．下列选项正确的是（    ） A． B．点在该函数图象上 C．最大时， D．当时， 【典例2】（25-26九年级上·浙江金华·期中）某班甲、乙两位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动． 【活动情境】如图2，将边长为的正方形纸片沿折叠（折痕分别与、交于点、），使点落在边上的点处，与交于点处，连接与交于点． 【所得结论】当点F与的中点重合时（如图1），甲、乙两位同学各得到一个正确结果： 甲：的边______，______．       乙：． 【完成任务】 (1)填写甲同学所得结果中的数据． (2)当点在边上任意一点（除点A、D外）时，乙同学所得结果还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)如图2，当点在边上（除点A、D外）时，记四边形的面积为S，为x，求S与x的函数关系式，当x为何值时，S最大？最大值是多少？ 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为直线．解答下列问题． (1)抛物线的解析式是______． (2)若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，当的面积为时，求点的坐标． (3)在（2）的条件下，若动点在抛物线上，当的值最大时，求点的坐标和的最大值． 【变式2-2】（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线与直线相交于两点，与x轴相交于另一点C． (1)请直接写出 ， ． (2)点P是直线上方抛物线上的一个动点（不与A，B重合），过点P作直线轴于点D，交直线于点E，当时，求点P的坐标． (3)抛物线上是否存在点M使的面积等于面积的一半，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2-3】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）定义：若抛物线的顶点和与轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时，则称此抛物线为正抛物线． 概念理解： （1）如图，在中， ， 点是的中点． 试证明： 以点为顶点，且与轴交于两点的抛物线是正抛物线； 问题探究： （2）已知一条抛物线经过轴的两点（在的左边）， 且若此条抛物线为正抛物线，求这条抛物线的解析式； 应用拓展： （3） 将抛物线 向下平移个单位后得新的抛物线． 抛物线的顶点为，与轴的两个交点分别为（在左侧），把沿轴正半轴无滑动翻滚，当边 与轴重合时记为第次翻滚，当边 与轴重合时记为第次翻滚，依此类推，请求出当第次翻滚后抛物线的顶点的对应点坐标． ▌题型03 二次函数的实际应用问题 1. 建立模型：将实际问题转化为数学问题，明确自变量和因变量，设出二次函数解析式。 2. 求最值：实际问题中常求最大利润或最大面积，通过配方法或公式法求二次函数的顶点坐标来得到最值。 3. 注意范围：自变量的取值范围必须符合实际意义，若顶点不在自变量范围内，则需根据图象的增减性判断边缘值。 【典例1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某广场设有观赏性音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向随音乐变化而上下移动，不同高度的喷头喷出的水呈抛物线型（或其中一部分），但形状相同，水柱离地面的最高高度也相同，水都落在喷水管的同侧．当喷头在地面上时，其抛物线水柱如图1，水落地点离喷水口的距离米，水柱最高点离地面3米；当喷头升高时，水柱形状如图2，为喷水管，B为落水点，记的长为喷泉跨度． (1)在图1中，以O为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出该抛物线的函数表达式； (2)若喷水管最高可升到米，求出喷泉跨度的最小值； (3)如图3，安全通道在线段上，无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入上方的矩形区域，则称这个矩形区域为安全区域．若该安全区域的宽为米，为了保证安全，进入该通道的人最高身高为多少？（精确到米） 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点是一个固定观测点，运动点从处出发，沿笔直公路向目的地处运动．设为（单位：），为（单位：）．如图2，关于的函数图象与轴交于点，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（    ） A． B． C．点的纵坐标为 D．点在该函数图象上 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江金华·期中）水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组的学生在科技节上制做出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】 为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，并确定了函数表达式为：．同时也收集了飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间 0 2 4 6 … 飞行高度 0 6 8 6 … 【建立模型】 任务1：求关于的函数表达式． 【反思优化】 图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为）时，求水火箭飞行的水平距离． 任务3：当水火箭落到内（包括端点，），求发射台高度的取值范围． 【典例2】（25-26九年级上·浙江温州·期中）草莓被誉为“水果皇后”，不仅美味可口，还富含营养.新鲜上市的草莓很受大家欢迎，某商店每千克草莓的成本价为17元，经调查研究，在开始销售的30天，其每日销售量（千克）与时间（天）存在一次函数关系，数据如表： 时间t（天） 1 2 5 10 20 日销售量 128 136 160 200 280 在这30天内，前25天每天的价格（元/千克）与时间t（天）的函数关系式为（且t为整数），从第26天开始，每天的价格则稳定在27元/千克． (1)直接写出m关于t的函数关系式______． (2)求第30天当天的销售利润． (3)这30天哪一天的销售利润最大，求出t的值及当天的销售利润． 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江湖州·期中）甲、乙两个汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两位公司经理的一段对话： 甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．每辆汽车的月租费每增加50元，将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元． 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元． 说明：①汽车数量为整数． ②月利润月租车费月维护费． ③两个公司月利润差月利润较高公司的利润月利润较低公司的利润． 在两个公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题： (1)当乙公司租出的汽车为10辆时，该公司的月利润是___________元． (2)设两个公司租出的汽车数量都为辆． ①甲公司的月利润是___________元（用含的代数式表示）． ②求两公司月利润差的最大值． (3)甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出（）元给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，并且当两个公司租出的汽车均为16辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求的取值范围． 【变式2-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某超市为了销售一种新型饮料，对月销售情况作了如下调查，结果发现每月销售量瓶与销售单价元满足一次函数关系．所调查的部分数据如表：已知每瓶进价为5元，每瓶利润=销售单价-进价 单价元 5 6 7 … 销售量瓶 100 90 80 … (1)求y关于x的函数表达式． (2)该新型饮料每月的总利润为元，求w关于x的函数表达式，并指出单价为多少元时利润最大，最大利润是多少元？ (3)由于该新型饮料市场需求量较大，厂家进行了提价．此时超市发现进价提高了a元，每月销售量与销售单价仍满足第（1）问函数关系，当销售单价不超过17元时，利润随着x的增大而增大，求a的最小值． 【典例3】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为甲、乙两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药．学校已订购篱笆120米（恰好用完）． (1)设，整个花园的面积为S，求S关于x的函数表达式，并求出S的最大值； (2)在花园面积最大的条件下，甲，乙两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？ 【变式3-1】根据素材回答问题： 素材1 如图1，空地上有两条互相垂直的小路，，中间有一正方形水池，已知水池的边长为4米，，，且与的距离为10米，与的距离为8米．    素材2 现利用两条小路，再购置30米长的栅栏（图中的细实线）在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行（或垂直），靠小路和水池的都不需要栅栏，接口损耗忽略不计． 任务1 任务2 小明同学按如图2的设计，若米，求出花圃的面积（不包含水池的面积）．      若按如图3、如图4设计方案，通过计算说明哪种方案的最大面积更大．    项目反思 如果栅栏不一定与墙面垂直（或平行），你还能设计出比以上方案面积更大的花圃吗？某学习小组在探究的过程中，设计了方案如图5，你认为图5的最大面积与以上方案比较，哪个更大，请通过计算说明．    ▌题型04 二次函数性质的综合应用 1. 比较大小：利用对称轴的位置和开口方向。离对称轴越近，函数值越大（当 时）或越小（当 时）。 2. 平移变换：遵循"上加下减（对常数项 k 而言），左加右减（对自变量 x 而言）"的原则，平移只改变顶点位置，不改变抛物线开口大小与方向。 【典例1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，抛物线与抛物线围成一个封闭曲线，它们与y轴的交点分别为A，B，点和点在这条封闭曲线上，且，若的值始终不大于2，则线段长的最大值为（   ） A．1 B． C． D．2 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与对称轴直线交于点A，与x、y轴交于B、C、D三点，下列命题正确的是（   ） ①； ②若，则； ③对于任意（），始终有； ④若，，（）为方程的两个根，则且． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论： ①②③④．其中含所有正确结论的选项是（）． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）设二次函数（b，c是常数）的图象与轴交于A，B两点． (1)若A，B两点的坐标分别为，，求函数的表达式及其图象的对称轴； (2)在（1）的条件下，若函数的图象上有，两点，若，且，求的范围； (3)若函数的表达式可写成的形式，当时，求的取值范围． 五、二次函数与一次函数的综合问题 ▌题型05 二次函数与一次函数的综合问题 1. 求交点坐标：联立二次函数与一次函数的解析式组成方程组，解方程组得到的解即为交点坐标。 2. 比较函数值大小：在图象上观察，交点左侧或右侧哪条线在上方，则对应的函数值较大。 3. 线段长度：两点水平或铅直距离通常用纵坐标差或横坐标差的绝对值来表示。 【典例1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，抛物线的顶点在直线上，对称轴为直线，有以下四个结论：① ，② ，③ ，④ ，其中正确的个数(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，线段平行于轴，，动点在直线上移动，若的坐标为，线段与抛物线有一个交点，则的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，抛物线与x轴的交点为，，与y轴的交点为C，P是抛物线第一象限上一点，过点P作x轴的垂线，交x轴于点F，交直线BC于点E． (1)求抛物线的函数关系式． (2)当时，求点E的坐标， (3)连接，作点E关于的对称点E'，若E'落在y轴上，求点E的坐标． 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A、B两点（点A在B的左侧），与y轴交于点C，且过点． (1)求a的值和点A，点B的坐标； (2)如图2，点是抛物线第四象限上的点，且，直线交y轴于点D，连结，过点B作交y轴于点E，连结，求面积的最大值． 六、已知函数值的范围讨论字母参数的范围 ▌题型06 已知函数值的范围讨论字母参数的范围 1. 端点值法：当自变量在 时，函数的最值往往在区间端点（）或顶点（如果顶点在区间内）处取得。 2. 分类讨论：根据对称轴相对于给定区间的位置（在左侧、在区间内、在右侧）进行分类，分别求出最大值和最小值并建立不等式组。 【典例1】（25-26九年级下·浙江舟山·阶段检测）已知二次函数． (1)求该二次函数图象的对称轴； (2)当时，y的最大值为8，求a的值； (3)若点和点在该函数图象上，点是二次函数图象上的任意一点，满足，求的取值范围． 【变式1-1】（25-26九年级下·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，设二次函数（是常数）． (1)若函数图象经过点，求函数图象的顶点坐标； (2)若函数图象经过点，，求证：； (3)已知函数图象经过点，，若对于任意的，都有成立，求的取值范围． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数的图象经过点． (1)求b的值． (2)当时，求y的取值范围． (3)当时，函数y的范围是，且，则的最大值为______． 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数（m为常数）． (1)当时，求该二次函数图象的对称轴． (2)若点在函数图象上，其中． ①若的最大值是1，求m的值． ②若点也在函数图象上，且，对于满足的任意，都有，求m的取值范围． 七、根据函数值的范围或最值讨论字母参数的取值范围 ▌题型07 根据函数的最值讨论字母参数的取值范围 1. 判别式 ：若涉及与 x 轴交点问题，利用 的符号（大于0有两个交点，等于0有一个交点，小于0无交点）来限制参数范围。 2. 结合图象：利用数形结合思想，将代数问题转化为图象上的高低关系，画出边界状态，求出参数的临界值。 【典例1】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）在平面直角坐标系中，已知点、，点在线段上，设（a为常数）；下列两个说法： ①当时，t有最大值，无最小值； ②当时，的值一定是负数；下列说法正确的是（   ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求b，c的值； (2)当时，求的最大值与最小值之差； (3)当时，若的最大值与最小值之差为9，求的值． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数（为常数）的图象经过， ． (1)求和的值． (2)当时，求的取值范围； (3)当时，的最大值和最小值的和为17，求的值． 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数（b、c为常数）的图象经过点，对称轴为直线 (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 八、自定义背景下二次函数性质的应用 ▌题型08 自定义背景下二次函数性质的应用 1. 提取关键信息：认真审题，找出新定义或新背景中隐藏的等量关系和变量关系。 2. 构建新函数：根据题意建立新的二次函数解析式，并将其转化为标准形式进行性质分析。 【典例1】（24-25九年级下·浙江杭州·期中）新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为． (1)写出的表达式（用含a的式子表示）及顶点坐标： (2)若，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线于点M，N． ①当时，求点P的坐标； ②当时，的最大值与最小值的差为2a，求a的值． 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）我们约定：当，，，满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．若关于的二次函数是“对偶函数”，则实数的取值范围为_____． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）定义：若两个函数图象有交点，则称这两个函数为“关联函数”，两个函数图象构成的封闭图形（含边界）叫做“关联区域”，如图1，与是关联函数，阴影部分是关联区域，如图2，过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象于、两点，当线段长度最大时，该距离叫做“最优关联距离”，若此时为整数，则称点为“最优关联点”， (1)证明：函数与是“关联函数”； (2)求“关联函数”与的“最优关联距离”； (3)若“关联函数”与恰有三个“最优关联点”，求的取值范围. 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江金华·期中）定义：将函数的图像绕点旋转，得到新的函数的图像，我们称函数是函数关于点的相关函数．例如：当时，函数关于点的相关函数为． (1)当时，①二次函数关于点的相关函数为________________． ②点在二次函数关于点的相关函数的图像上，求的值． (2)函数关于点的相关函数是，求点的坐标． (3)当时，二次函数的相关函数的最小值为3，求n的值． ▌题型09 利用列表法求概率 1. 适用场景：适用于涉及两个因素，且可能出现的结果数目较多的试验。 2. 操作步骤：列出表格，横向和纵向分别列出第一个和第二个因素的所有可能结果，求出所有结果数 n 和符合条件的结果数 m，概率 。 【典例1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）为组建学校秋季田径运动会开幕式彩旗队，九（1）班决定从符合身高条件的3名男生和2名女生中随机抽调两名学生进入彩旗队．则恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，电路图上有编号为①②③④⑤共5个开关和一个小灯泡，闭合开关①或同时闭合开关②③或同时闭合开关④⑤都可使小灯泡发光，任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，有4张分别印有2023年杭州亚运会吉祥物和会徽图案的卡片：A宸宸、B琮琮、C莲莲、D潮涌．现将这4张卡片（卡片的形状，大小，质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回，搅匀，再从中任意取出1张卡片． (1)求第一次取出的卡片图案为“D潮涌”的概率． (2)用列表或画树状图的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张卡片图案为“A宸宸”的概率． 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江温州·期中）概率与应用： 【素材1】某校为培养学生“垃圾分类，从我做起”的环保意识，组织开展“游戏互动”“趣味问答”“模拟投放”三项活动（这三项活动分别记为A、B、C）． 【素材2】各班派两位同学参加，用抽签决定参加相应的活动．为了降低同班同学参加同项活动的概率，同时也为了让更多的同学参加“趣味问答”活动，学校制定了以下抽签规则： 将A、B、B、C这四个字母分别写在四张无差别不透明的卡片正面上，从中拿出写有A、B、C的三张卡片，洗匀后正面向下放在桌面上，某班第一位同学先随机抽取一张卡片，然后把桌面上剩下的两张与另一张写有字母B的卡片混合并洗匀，再由该班第二位同学从中随机抽取一张卡片． 【素材3】九年级1班派出小温和小州两位同学，先由小温抽签，再由小州抽签． 【任务】 (1)求小温同学抽到参加“趣味问答”活动的概率． (2)用列表法或画树状图法，求小温和小州都没有抽到参加“模拟投放”活动的概率． ▌题型10 利用树状图求概率 1. 适用场景：适用于涉及两个或两个以上因素（三步及以上试验），能清晰展示事件发展的层次。 2. 操作步骤：画出树状图，列出所有可能出现的结果，数出总结果数 n 和符合条件的结果数 m，概率 。 【典例1】（25-26九年级下·浙江杭州·期中）现有6张标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，3，5的卡片在甲手中，标有数字2，4，6的卡片在乙手中．两人随机各出一张卡片，两张卡片上的数字之和大于7的概率是_____． 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江金华·期中）三张除标记的数字外都相同的卡片上分别标着1、2、3． (1)随机抽取一张，求抽到卡片上数字是奇数的概率． (2)随机抽取两张，求两次抽取的数字之和是偶数的概率（用树状图或列表法）． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，一个可以自由转动的转盘被分成4等份，每份内标有数字1，2，3，4，（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止）． (1)转盘转动一次，求指针所指区域的数字是偶数的概率； (2)转盘转动两次，求指针两次所指区域的数字之和是偶数的概率（用树状图或列表法）． 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江温州·期中）有A，B两个黑布袋，A布袋中有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字1，2，3；B布袋中有两个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字4，5，小明先从A布袋中随机取出一个小球，再从Ｂ布袋中随机取出一个小球． (1)请用列表或树状图表示小明取球的所有可能结果． (2)求两次取出的球数字和大于6的概率． ▌题型11 概率计算中的不放回模型 1. 特征：在连续抽取中，每次抽取的对象不能放回，导致每次抽取的总对象数目减少。 2. 注意：树状图第二层的分支数量会减少；列表法中主对角线上的结果不成立（即不能抽到同一个对象）。 【典例1】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的1个黄色球和若干个白色球，从盒子里随机摸出一个乒乓球，摸到黄球的概率是． (1)白球的个数为__________个 (2)现从盒子中摸球，摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球．请通过列表或画树状图的方法，求两次摸到相同颜色球的概率． 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪．将这4张卡片(形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出一张卡片． A．猪妖 B．蛤蟆精 C．黄鼠狼精 D．猩猩怪 (1)取出的卡片图案为“B蛤蟆精”的概率为________． (2)若现在要在这4个中挑选2个去除妖，请用画树状图或列表的方法，求选中“A猪妖”和“D猩猩怪”的概率． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）一个不透明的袋中装有分别标着汉字“尚”、“贤”、“博”、“学”的四个小球，除标注的汉字不同外，小球无任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． (1)从袋中摸出一个球，球上的汉字刚好是“学”的概率是 ． (2)从袋中任摸一球，不放回，再从袋中任摸一球，请用树状图（或列表法）表示出所有可能出现的结果，并求出摸到的两个球上的汉字恰好是“尚”和“贤”的概率． ▌题型12 概率计算中的放回模型 1. 特征：在连续抽取中，每次抽取的对象记录后放回，导致每次抽取的总对象数目保持不变。 2. 注意：树状图每一层的分支数量相同；列表法中所有格子均为等可能结果。 【典例1】（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知教室的粉笔盒里现有1支白色粉笔，1支红色粉笔，1支黄色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同． (1)现从中任取一支粉笔，则取出黄色粉笔的概率是多少？ (2)老师先拿出一支粉笔，放回后，再拿出一支粉笔，用画树状图或列表的方法，求拿出的两支粉笔颜色相同的概率． 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）一个不透明布袋里共装有3个球，其中1个红球，2个白球．它们的形状大小完全相同，只有颜色不同．从中任意摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球． (1)请用树状图或列表的方法，求摸出的2个球都是白球的概率． (2)若往布袋里再放入一些红球，使每一次摸到白球的概率为，则应该再放入______个红球． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）将3张分别写着字母A、B、C的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片． (1)用树状图或列表法列出所有可能的结果． (2)求取出的2张卡片中，字母相同的概率． ▌题型13 数学知识与概率的综合 在其它数学知识的背景下，应用相关数学知识求出相关的可能，求出相关概率。 【典例1】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则二次函数与x轴有两个不同交点的概率为______． 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）有三张大小、形状完全相同的卡片，正面分别写着如图中所示数的计算式．从中任意抽取一张，记下卡片上计算式的结果后，放回搅匀，再任意抽取一张．求两次抽取的卡片上计算式的结果都是正整数的概率． 【变式1-2】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.59 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的= ； (2)“摸到白球”的概率的估计值是 （精确到0.1）； (3)如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球． 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江温州·期中）完全相同的3个小球，上面分别标有数字1、3、，将其放入一个不透明的盒子中摇匀，随机摸球两次（第一次摸出球后不放回），把第一次、第二次摸到的球上标有的数字分别记作x、y，以x、y分别作为坐标平面内一个点的横坐标与纵坐标． (1)第一次摸球时摸到正数的概率为__________； (2)求点在第二象限的概率（用树状图或列表法求解）． 【变式1-4】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，球上分别标有数字，1，2．第一次从袋中任意摸出一个小球（不放回），得到的数字作为点M的横坐标x；再从袋中余下的两个小球中任意摸出一个小球，得到的数字作为点M的纵坐标y． (1)用列表法或画树状图法，列出点的所有可能结果． (2)求点在二次函数的图象上的概率． ▌题型14 用频率估计概率 1. 定义：在大量重复试验下，事件发生的频率（）稳定在某一个常数附近，这个常数就是该事件的概率。 2. 应用：当无法通过理论计算得出概率时，可以通过大量的试验，用频率来近似估计概率。 【典例1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种球共60个，它们除颜色外其余均相同．圆圆做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，不断重复上述摸球的过程，如表是实验中的若干统计数据： 摸球的次数n 50 100 200 400 1000 2000 3000 摸到白球的次数m 35 69 142 280 702 1398 2103 摸到白球的频率 (1)当n很大时，请估计摸到白球的概率．（精确到） (2)试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？ (3)若要使摸到白球的概率为，则需要往盒子里再放入多少个白球？ 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）张老师将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放入一个不透明的口袋并搅匀，让学生进行摸球试验，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，如表所示是试验得到的一组统计数据． 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)根据表中的有关数据，估计从袋中摸出一个黑球的概率是 ． (2)估算袋中白球的个数． (3)在（2）的条件下，若小强同学无放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算摸出一个黑球一个白球的概率． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，指针落在哪一个区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000 落在“橙汁”区域的次数 68 111 136 345 564 701 落在“橙汁”区域的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 (1)填空：__________，__________． (2)假如你去转动该转盘一次，你获得“橙汁”的概率大约是__________．（精确到0.1） (3)在该转盘中，表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是多少度？ 【变式1-2】下面三个情境中我们都可以估计或计算各自的概率 (1)在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，如图①所示，请估计钉尖朝上的概率； (2)图②是一个可以自由转动的转盘，任意转动该转盘，当转盘停止时，计算指针落在丁区域的概率； (3)图③是中国的《四大名著》，没有读过的两名同学准备从中各自随机挑选一本来阅读，请用列表法或树状图求他们选中同一名著的概率． ▌题型15 游戏公平性问题 1. 判断标准：游戏规则中，双方获胜的概率相等（即 ）时，游戏是公平的。 2. 解题步骤：分别求出双方获胜的概率；若概率不相等，说明游戏不公平；修改规则使双方获胜概率相等（通常通过调整计分规则，利用概率与得分的乘积相等来实现）。 【典例1】（25-26九年级上·浙江温州·期中）小丽和小芳玩游戏，规则是：将三张分别写有数字，，的卡片（除数字外卡片完全相同）放在一个不透明的盒子里，随机抽取两张，若抽到两张卡片上的数字之和为偶数则小丽获胜；若为奇数，则小芳获胜． (1)抽到两张卡片数字之和为的概率为______． (2)请用列表法或画树状图分析这个游戏是否公平． 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，有，两个转盘，其中转盘被分成4等份，转盘被分成3等份，并在每一份内标上数字．现甲、乙两人同时分别转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将转盘指针指向的数字记为，转盘指针指向的数字记为，从而确定点的坐标为． (1)请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点的坐标． (2)在（1）的基础上，求点落在反比例函数图象上的概率． (3)记，李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当时甲获胜，否则乙获胜，若这个游戏是公平的，求的值．（取整数） 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）有三张背面完全相同的卡片，它们的正面分别写上、、，把它们的背面朝上洗匀后，小丽先从中抽取一张，然后小明从余下的卡片中再抽取一张． (1)直接写出小丽取出的卡片恰好是的概率； (2)小刚为他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积是有理数，则小丽获胜；否则小明获胜．你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江·期中）学校组织综合实践活动，有10名同学参加，其中男生6人，女生4人． (1)若从这10人中随机选取一人作为领队，求选到女生的概率． (2)若某项实践活动只在甲、乙两人中选一人，准备以游戏的方式决定由谁参加，规则如下：将四张牌面数字分别为2，3，4，5的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加．试问这个游戏公平吗？请说明理由． 试卷第8页（共61页） 1 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $