专题06 相似（期中真题汇编，浙江专用）九年级数学上学期

**基本信息** 聚焦相似专题的期中试题汇编，覆盖图形的相似、三角形相似判定与应用等6大考点，精选浙江多地期中真题，结合黄金分割在人体雕像设计、光的反射测旗杆高度等真实情境，实现基础巩固与实践应用的有机统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|多题|图形的相似（比例式、黄金分割）、平行线分线段成比例|结合叶片黄金分割、国旗五角星等生活情境，基础题占比高| |解答题|多题|三角形相似判定与性质、相似应用|包含网格作图、光的反射测高、动态几何综合题，体现逻辑推理与实践能力|

专题06 相似 6大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．（25-26学年九上·浙江舟山·期中）已知，则下列比例式成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查比例的基本性质，两外项之积等于两内项之积，根据性质解题即可． 【详解】 解：．，即，故本选项不符合题意； ．，即，故本选项不符合题意； ．，即，故本选项符合题意； ．，即，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）已知线段，，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么b等于（     ） A.  B. 6 C. 36 D.  【答案】B 【分析】 本题考查了比例性质．比例中项的定义，且线段长度为正数，故排除负值，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】 ∵线段b是线段a和c的比例中项，且，， ∴， ∴， 又∵为线段长度， ∴， ∴， 故选：B 3．（25-26学年九上·浙江金华·期中）生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（     ） A. 1．24米 B. 1．38米 C. 1．42米 D. 1．62米 【答案】A 【分析】 根据a:b≈0.618，且b=2即可求解． 【详解】 解：由题意可知，a:b≈0.618，代入b=2， ∴a≈2×0.618=1.236≈1.24． 故答案为：A 【点睛】 本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题． 4．（25-26学年九上·浙江杭州观成中学·期中）已知，那么下列式子中一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据比例的基本性质可得，即可求解， 本题考查了比例的基本性质，解题的关键是：熟练掌握比例的基本性质． 【详解】 解：∵， ∴， 故选：A． 5．（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中）若，则下列比例式正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了比例的基本性质，如果或，那么，即比例的内项之积与外项之积相等；反之，如果，那么或（）．据此对各选项分析即可． 【详解】 解：A．由得，故不符合题意； B．由得，故不符合题意； C．由得，符合题意； D．由得，故不符合题意； 故选：C． 6．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）已知，那么等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的基本性质．根据比例的性质将等积式转化为比例式即可求解． 【详解】 解：， ，即， 故选：D． 7．（25-26学年九上·浙江舟山名校协作体·期中）已知，则的值为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了比例的性质，分式的化简求值，根据比例关系，将 和分别用和表示，然后代入所求分式化简即可求值，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：． 8．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点P是的黄金分割点（），如果长为，那么的长约为（     ）． A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例为得到，据此求出的长，即可求出的长． 【详解】 解：∵点P是的黄金分割点（）， ∴， ∵长为， ∴， ∴， 故选：B． 9．（25-26学年九上·浙江杭州观成中学·期中）点C、D是线段的两个黄金分割点，若，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了黄金分割，线段的和差，由题意可得，再由线段的和差计算即可得解． 【详解】 解：如图： ， ∵点C、D是线段的两个黄金分割点， ∴， ∴， 故选：C． 10．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）已知线段，点C是线段的黄金分割点（），则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查黄金分割点的概念．黄金分割点将线段分为两部分，较长部分与整个线段的比值等于较短部分与较长部分的比值，该比值为． 根据题意，说明点靠近，此时为较长部分，然后运用黄金分割点的定义求解即可． 【详解】 解：由线段，点是黄金分割点且，则为较长部分． 根据黄金分割的定义，代入，得：． 故选B． 11．（25-26学年九上·浙江名校共同体·期中）已知，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用比例的性质即可得到答案． 【详解】 解：， ， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 12．（25-26学年九上·浙江金华·期中）已知，且2x+3y﹣z＝18，求x+y+z的值． 【答案】18 【分析】 设，得出x=2k，y=3k，z=4k，再根据2x+3y-z=18，求出k的值，然后得出x，y，z的值，从而得出x+y+z的值． 【详解】 解：设，则x=2k，y=3k，z=4k， ∵2x+3y-z=18， ∴4k+9k-4k=18， ∴k=2， ∴x=4，y=6，z=8， ∴x+y+z=4+6+8=18． 【点睛】 本题考查比例的性质，关键是设，得出k的值． 13．（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金分割比时，可以敲击出音阶“”．如图，若瓶高，且敲击时发出音阶“”，则液面高度为　　　　　　　　　　．（结果保留根号） 【答案】 【分析】 本题主要考查了黄金分割及二次根式的应用，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】 解：由题知， ． 因为， 所以． 故答案为：． 14．（25-26学年九上·浙江舟山·期中）两地的实际距离是1200千米，在地图上量得这两地的距离为2厘米，则这幅地图的比例尺是1∶　　　． 【答案】60000000 【分析】 根据比例尺＝图上距离：实际距离列式计算即可． 【详解】 解：1200千米＝120000000厘米， 2：120000000＝1：60000000． 故答案为：60000000． 【点睛】 本题考查了比例线段，掌握比例尺的定义是解题的关键，注意单位的换算问题． 15．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）小明同学在学习了九年级上册“比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在框架图的横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程． 【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 先推导出，，则，得到或（不符合题意，舍去），则，即可解答． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 或（不符合题意，舍去）， ∴． 故答案为：． 16．（25-26学年九上·浙江名校共同体·期中）若点是线段的黄金分割点（），，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 由黄金分割点可知 ，求解即可． 【详解】 解：∵点是线段的黄金分割点，， ∴， 解得： 故答案为： ． 【点睛】 本题考查黄金比例，掌握黄金比例的比值是解决本题的关键． 17．（25-26学年九上·浙江宁波鄞州区·期中）已知点是线段的黄金分割点，且，若，则线段的长为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查黄金分割点的定义，运用代数求解思想，解题关键是牢记黄金分割的比例公式，易错点是比例关系的对应或分母有理化失误；解题思路是根据黄金分割的比例关系建立方程求解线段长度． 【详解】 解：∵ 点 是线段 的黄金分割点，且 ， ∴ ． 已知 ， ∴ ， ∴ ； 有理化分母： ； 故答案为： ． 18．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）在“国旗在心中”活动中，小曲星近距离触摸五星红旗，聆听红旗的故事，如图，在国旗上的五角星中，、两点都是线段的黄金分割点.若，则的长为　　　　　　.（结果保留根号） 【答案】 【分析】 本题考查了黄金分割点的运用．解题关键是利用黄金分割点找到线段之间的比例关系． 利用黄金分割比为可得，再由即可求解． 【详解】 解：、两点都是线段的黄金分割点，， ， 解得：， ， 故答案为：． 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·浙江杭州观成中学·期中）如图，在中，，若，则的值为（       ） A. 3 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 直接利用平行线分线段成比例定理求解． 本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 【详解】 解：, ． , ， 故选：C． 2．（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中）如图，已知，，，的长为(　　) A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】 ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得，， 故选：B． 3．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）如图，直线，直线分别交，，于点，，，直线分别交，，于点，，，若，则的值是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴； 故选B． 4．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）如图，，分别交、、于点、、，分别交、、于点、、，若，，，则线段的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能根据定理得出比例式是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再代入求解即可． 【详解】 解：， ， 又，，， ， ， 故选：A． 5．（25-26学年九上·浙江宁波鄞州区·期中）如图，，则下列结论不一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，找到对应边，即可求解． 【详解】 解：∵ A. ，故该选项正确，不符合题意；        B. ，故该选项不正确，符合题意；        C. ，故该选项正确，不符合题意；        D. ，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 6．（25-26学年九上·浙江舟山名校协作体·期中）如图是一张矩形纸片，点E是中点，点F在上，把该纸片沿折叠，点A、B的对应点分别为、，与BC相交于点G，的延长线经过点C．若，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 如图，连接，过点G作于点T，然后设，， ， ，得出，由翻折的性质知，，，求出，接着推出，求出，，最后利用勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】 如图，连接，过点G作于点T， 设，， ， 设，则， 点E是AD中点， ， 由翻折的性质知，，， ， ， ， ， ， C，，共线，， ， ， ， （舍去）或， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ． 故答案为：C． 【点睛】 本题考查了翻折变换、矩形的性质、平行线分段成比例及勾股定理等知识，学会利用参数构建方程解决问题是解题的关键． 7．（25-26学年九上·浙江名校共同体·期中）图①是一个花架，图②是其侧面示意图．若，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是平行线分线段成比例的定理，根据平行线分线段成比例可得，再进一步求解即可． 【详解】 解：∵， ，即， 解得：， 故选：B． 8．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）如图，已知直线，直线AE交l，m，n分别于点A，C，E，直线BF交l，m，n分别于点B，D，F．已知，，，求的长． 【答案】 【分析】 本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，列出比例式进行求解即可． 【详解】 解：∵， ∴，即， ∴， ∴． 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26学年九上·浙江浙派联盟·期中）如图，点为边上的一个三等分点，（），以、、、为顶点构造平行四边形，与交于点，若四边形的面积为，则的面积为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据相似三角形的判定定理可推出、，根据“面积比是相似比的平方”即可求解． 【详解】 解：∵点E为边上的一个三等分点 ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴ ∵四边形的面积为m ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的面积为 故选：D 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质．抓住“面积比是相似比的平方”是解题关键． 2．（25-26学年九上·浙江杭州观成中学·期中）如图，点D，E，F分别在的边上，， ，，M是的中点，连结并延长交于点N，则的值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查的是平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质；先证明结合中点的含义可得，再证明，从而可得答案． 【详解】 解：如图，记与的交点为， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点，即， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D 3．（25-26学年九上·浙江金华·期中）如图，在四边形中，，则添加下列条件后，不能判定和相似的是（       ） A.  B.  C. 平分 D.  【答案】A 【分析】 本题考查了相似三角形的判定定理．相似三角形的判定定理有：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似．根据已知条件，运用相似三角形的判定定理逐一分析每个选项是否能判定和相似． 【详解】 、满足两边成比例，但比例边的夹角不确定是否相等，故不能判定和相似，符合题意； 、满足两边成比例且夹角相等，故能判定和相似，不符合题意； 、满足两角分别相等，故能判定和相似，不符合题意； 、满足两角分别相等，故能判定和相似，不符合题意； 故选：． 4．（25-26学年九上·浙江名校共同体·期中）如图，在中，，，，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段的长为（     ） A.  B.  C. 4 D.  【答案】A 【分析】 本题考查了勾股定理、角平分线的性质定理、相似三角形的判定与性质，由勾股定理可得，由作图可得，平分，，则，设和交于点，作于，则，设，由三角形的面积公式求出，从而可得，证明，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：∵在中，，，， ∴， 由作图可得，平分，， ∴， 设和交于点，作于，如图： 则， 设， ∵， ∴， ∴， 解得：，即， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 故选：A． 5．（25-26学年九上·浙江浙派联盟·期中）如图，在正方形中，点在以为直径的圆弧上，将绕点逆时针旋转得到，延长分别交，于点，．若，，则的值为（       ） A. 1 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查旋转性质，相似三角形判定及性质，勾股定理，圆周角定理等．根据题意可得，，，再根据圆周角定理得，继而得到，后由旋转性质推出，再设，则，后得出，利用相似三角形性质列式可得，再利用勾股定理继而得到本题答案． 【详解】 解：∵将绕点逆时针旋转得到，， ∴，，， ∵点在以为直径的圆弧上， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，即：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， 故选：B． 6．（25-26学年九上·浙江舟山名校协作体·期中）已知是直径，弦于点，．点是劣弧上任一点（不与、重合），交于点，与的延长线相交于点，已知时，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 连接，，，由线段垂直平分线的性质得到是等边三角形，设，由圆周角定理得到，由直角三角形的性质即可求出．由，求出，得到，因此，推出，得到，设圆的半径是r， ，代入有关数据即可求出的长，得到，的长，即可得到答案． 【详解】 解：连接，，， ∵弦于点E，， ， ， ∴是等边三角形， ， 设， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ∵直径， ， ， 设圆的半径是r，， ，， ， ， ， ，， 故答案为： 【点睛】 本题考查圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，关键是证明，求出与半径的数量关系，从而解决问题． 7．（25-26学年九上·浙江金华·期中）如图是用卡钳测量容器内径的示意图，已知，现量得卡钳上A，D两端点的距离为，则该容器内径的长是　　　　　　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 依题意得，，则由对应边成比例，由此得出的长度． 【详解】 解：如图根据题意可得 ， ， ， 故答案为：8． 8．（25-26学年九上·浙江杭州观成中学·期中）如图是以点为圆心，为直径的圆形纸片．点在上，将该圆形纸片沿直线对折，点落在上的点处（不与点重合）．连结，，分别延长和，并相交于点．若，，用含的代数式表示的面积是　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据直径或半圆所对圆周角为直角，折叠的性质可得，，，证明，得到，证明，得到，则，在中，由勾股定理得到，结合圆的面积公式即可求解． 【详解】 解：为直径， ∴， ∵折叠， ∴， 如图所示，设交于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴的面积是 故答案为： ． 【点睛】 本题考查了本题主要考查直径或半圆所对圆周角为直角，折叠的性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 9．（25-26学年九上·浙江杭州观成中学·期中）如图，在和中，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴；     （2）12      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解题的关键． （1）根据两角相等，两三角形相似即可证明； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 10．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）如图，等腰三角形中，，点在边上的高上，且，的延长线交于点，若，则　　　　　　. 【答案】8 【分析】 本题主要考查相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质是解题的关键；过点A作，交的延长线于点F，则有，然后可得，根据等腰三角形的性质可得，进而问题可求解． 【详解】 解：过点A作，交的延长线于点F，如图所示， ∴， ∴， ∵，， ∴，即点D为的中点， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴； 故答案为：8． 11．（25-26学年九上·浙江浙派联盟·期中）如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且，． （1）求证：； （2）若，，的周长为20，求的周长． 【答案】（1） 证明：， ， ，， ， ， ；     （2）．      【分析】 本题主要考查了三角形的外角的性质、相似三角形的判定与性质，正确地找到相似三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键． 由，可得，从而可证，又因为，即可根据“两边成比例有夹角相等的两个三角形相似”证明； 由可得，可证明，再根据“相似三角形周长的比等于相似比”求出的周长即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ，， ， 的周长为， 的周长， 的周长为． 12．（25-26学年九上·浙江金华·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫作格点，点、、均在格点上，用无刻度的直尺作图． （1）在图①中画一个格点三角形与原三角形相似且有一条公共边； （2）在图②中的线段上找一个点，使． 【答案】（1） 如图所示：      （2） 点如图所示： 【分析】 本题考查了网格与勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用网格与勾股定理得，则，故，即可作答． （2）运用网格特征，得，则，故，即，得，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 13．（25-26学年九上·浙江名校共同体·期中）如图，在中，点在的延长线上，与交于点． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ；     （2）      【分析】 本题考查平行四边形的性质与相似三角形的判定及性质．熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题关键． （1）通过平行四边形对边平行、对角相等的性质，找到两组对应角相等，证明三角形相似； （2）利用平行关系确定相似三角形，结合相似三角形的性质，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（25-26学年九上·浙江名校共同体·期中）如图，在中，，于点D，且，为上一点，连接并延长交于点．    （1）求证：； （2）若E为的中点，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，再由得出，即可得证； （2）求出，由勾股定理可得，过点D作，交于点G，则，，易证G为中点，得出，再证明得出，即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： 点为的中点， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 过点D作，交于点G，则，，    由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即G为中点， ， 点为的中点， ∴， ∵， ∴， ， ∴． 15．（25-26学年九上·浙江名校共同体·期中）由边长为1的小正方形组成的的网格中，线段的两个端点都在格点上． （1）如图1，C，D也在格点上，连接交于点，则___________． （2）如图2，仅用无刻度直尺在的边上找一点，使得． 【答案】（1）     （2） 解：如图，取格点，连接交于点，点即为所求， ， 由图可得：，，， ∴， ∴， ∵与等高， ∴．      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，，从而可得，再由相似三角形的性质即可得解； （2）取格点，连接交于点，点即为所求，由图可得，，，从而得出，由相似三角形的性质得出，即可得解． (1) 小问详解： 解：由题意可得：，，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 16．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）如图，在平行四边形中，为边上的点，若，交于，若，则等于　　　　　　． 【答案】70 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质．根据平行四边形的性质得，，则，再证明得到，所以，，再根据，得，，，从而得到的值． 【详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：70． 17．（25-26学年九上·浙江金华·期中）如图，在中，直径弦于点E，连结，，连结并延长交于点F，交于点G． （1）求证：； （2）若是等腰三角形，求的度数； （3）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为圆的直径， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴．     （2）或     （3）      【分析】 （1）利用直角三角形的性质和圆周角定理得到，，则，再利用相似三角形的判定定理解答即可； （2）设，则，利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当时，利用圆周角定理和三角形的内角和定理列方程解答即可；当时，则，利用圆周角定理和三角形的内角和定理列方程解答即可； （3）连接，利用垂径定理和勾股定理得到，，设的半径为r，则，，利用勾股定理求得圆的半径，再利用圆周角定理和相似三角形的判定与性质解答即可． (1) 小问详解： 证明：略； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴若是等腰三角形，则或， ① 当时， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∴，即， ② 当时，则， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∴，即， 综上所述，若是等腰三角形，的度数为或． (3) 小问详解： 解：如图，连接， ∵， ∴，， ∴，， 设的半径为r，则，， ∵， ∴，解得， ∴，，， ∵为圆的直径， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】 本题考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，分类讨论的思想方法，连接直径所对的圆周角是解决此类问题的关键． 18．（25-26学年九上·浙江金华·期中）如图，在中，点在边上，将沿着直线翻折得到，点的对应点恰好落在线段上，线段的延长线交边于点，如果，那么的值等于　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的性质和折叠的性质，构造出正确的辅助线是解决本题的关键． 延长，交于点H，根据题意设，再根据平行四边形的性质得到，进而可得，得，再根据可得，得进而即可得到． 【详解】 解：如图，延长，交于点H， ∵， ∴设， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵将沿着直线翻折得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ，， ， ， ， ， ， 设，， ， ， ， ， 故答案为：． 19．（25-26学年九上·浙江舟山名校协作体·期中）在中，，将绕点逆时针旋转得到． （1）如图，当点恰好落在的平行线上时，连接，取的中点，连接． ①求证：是等腰直角三角形； ②请直接写出，与的数量关系________________． （2）如图，若． ①当点恰好落在的中线的延长线上时，求的长； ②当所在直线经过中点，且与的平行线交于点时，请在图中补全图形，求的面积． 【答案】（1） ① 证明：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴是等腰直角三角形； ②     （2）①；②      【分析】 （）① 由旋转的性质得，，由平行线的性质得，进而得到，即得，即可求证；② 由旋转可得，，即得，进而由等腰直角三角形的性质得，又由直角三角形的性质得，即得，即得到，即可求解； （）① 由勾股定理得，由直角三角形的性质得，再证明，得到，即得到，进而根据线段的和差关系即可求解；② 连接，可证，得到，，由直角三角形的性质得，利用平行线的性质可证，即得到，再根据勾股定理得到，可得，最后根据三角形的面积公式计算即可求解． (1) 小问详解： ① 略 ② 由旋转可得，，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： ① ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 由旋转得，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； ② 如图，连接， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵为中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∵， ∴ ， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确画出图形并作出辅助线是解题的关键． 20．（25-26学年九上·浙江名校共同体·期中）如图，以为直径的半圆，为半圆上一点，延长至，使得，连接交半圆于点．若，，则的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了圆周角定理、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，由圆周角定理可得，即，从而得出垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，证明，求出，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：∵为半圆的直径， ∴，即， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵四边形为半圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 21．（25-26学年九上·浙江名校共同体·期中）如图1，，是以为直径的上的两动点，分别位于两侧，且满足=2．连结交于，连结，，． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）如图2，若直径为定值，当的面积最大时，求的面积与的面积比． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 设，则， ∵=2， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．     （2）；     （3）      【分析】 （1）连接，设，则，由=2可得，再由为直径，可得，求出，最后由等腰三角形的判定证明即可； （2）先由勾股定理求解，再判定为等腰三角形，且，根据边的关系求解即可； （3）由弧的关系可得圆心角的关系，证明为等腰直角三角形，再得到，由此可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：过点作垂直于，垂足为，如图， ∵，， ∴在中，， ∵，, ∴， ∵, ∴， , ∴为等腰三角形， ∵垂直于， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴，即， ∴． (3) 小问详解： 解：设点到线段的距离为， ∵， ∴要使得的面积最大，就是当， 此时，为等腰直角三角形，且， 连接，过点D作，如图， ∵=2， ∴， ∵，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查直径所对的圆周角为直角，勾股定理解三角形，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握以上性质并适当添加辅助线． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26学年九上·浙江浙派联盟·期中）如图，，点在上，已知，．则的长为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查相似三角形的性质，由相似三角形的性质，得到，代入有关数据即可求出的长． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为：． 考点05 相似三角形的应用 1．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）根据背景素材，探索解决问题． 测算旗杆的高度 背景素材：如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律．     问题解决1：如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中A，B，C，D在同一条直线上．     任务（1）小红求得用到的几何知识是             ；（2）求灯泡到地面的高度． 问题解决2：测量某广场旗杆的高度（旗杆垂直于地面），携带的测量工具有皮尺，标杆（标杆比人高）、平面镜，假如你是该校的学生，请你适当选用给出的工具，设计一种测量旗杆的高度的方案（不能攀登旗杆），画出测量示意图（不必写出测量过程），写出测量数据（线段长度用表示），并根据你的测量方案，计算出旗杆的高度（结果用含的式子表示）．     【答案】问题解决1：（1）相似三角形的应用；（2）灯泡到地面的高度为；问题解决2：旗杆的高度为． 【分析】 此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． 问题解决1： （1）先证明，再利用相似三角形的性质得出，即可求的长，进而得出结论； （2）先证明，再利用相似三角形的性质得出，代入数据即可求的长． 问题解决2：利用标杆进行测量，可以采用视线共线法，测量标杆高度，眼睛高度，及水平距离，通过相似来计算目标高度． 【详解】 问题解决1： 解：（1）由题意可得：， 则， ∴， ∴， 解得， 则小红求得用到的几何知识是相似三角形的应用， 故答案为：相似三角形的应用； （2）∵， ∴， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 问题解决2： 解：在旗杆左侧距离点B一定距离的点F处，竖直竖立标杆，测量人员继续向左走至点D处，观察旗杆顶部点A，视线恰好过标杆顶部，测量示意图如图所示，     测量数据：，，，， 由测量示意图易得，，，， ， 得， ， ， 故旗杆的高度为． 考点06 位似 1．（25-26学年九上·浙江舟山名校协作体·期中）如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了位似变换，相似三角形的判定与性质，根据位似图形的定义可得，，从而可得，再证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：∵与位似，位似中心为O， ∴，， ∵与的周长之比是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 相似 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．C 2．B 3．A 4．A 5．C 6．D 7．B 8．B 9．C 10．B 11．B 12．【答案】18 【分析】 设，得出x=2k，y=3k，z=4k，再根据2x+3y-z=18，求出k的值，然后得出x，y，z的值，从而得出x+y+z的值． 【详解】 解：设，则x=2k，y=3k，z=4k， ∵2x+3y-z=18， ∴4k+9k-4k=18， ∴k=2， ∴x=4，y=6，z=8， ∴x+y+z=4+6+8=18． 【点睛】 本题考查比例的性质，关键是设，得出k的值． 13．【答案】 【分析】 本题主要考查了黄金分割及二次根式的应用，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】 解：由题知， ． 因为， 所以． 故答案为：． 14．【答案】60000000 【分析】 根据比例尺＝图上距离：实际距离列式计算即可． 【详解】 解：1200千米＝120000000厘米， 2：120000000＝1：60000000． 故答案为：60000000． 【点睛】 本题考查了比例线段，掌握比例尺的定义是解题的关键，注意单位的换算问题． 15．【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 先推导出，，则，得到或（不符合题意，舍去），则，即可解答． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 或（不符合题意，舍去）， ∴． 故答案为：． 16．【答案】 【分析】 由黄金分割点可知 ，求解即可． 【详解】 解：∵点是线段的黄金分割点，， ∴， 解得： 故答案为： ． 【点睛】 本题考查黄金比例，掌握黄金比例的比值是解决本题的关键． 17．【答案】 【分析】 本题考查黄金分割点的定义，运用代数求解思想，解题关键是牢记黄金分割的比例公式，易错点是比例关系的对应或分母有理化失误；解题思路是根据黄金分割的比例关系建立方程求解线段长度． 【详解】 解：∵ 点 是线段 的黄金分割点，且 ， ∴ ． 已知 ， ∴ ， ∴ ； 有理化分母： ； 故答案为： ． 18．【答案】 【分析】 本题考查了黄金分割点的运用．解题关键是利用黄金分割点找到线段之间的比例关系． 利用黄金分割比为可得，再由即可求解． 【详解】 解：、两点都是线段的黄金分割点，， ， 解得：， ， 故答案为：． 考点02 平行线分线段成比例 1．C 2．B 3．B 4．A 5．B 6．C 7．B 8．【答案】 【分析】 本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，列出比例式进行求解即可． 【详解】 解：∵， ∴，即， ∴， ∴． 考点03 三角形相似的判定 1．D 2．D 3．A 4．A 5．B 6．C 7．【答案】8 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 依题意得，，则由对应边成比例，由此得出的长度． 【详解】 解：如图根据题意可得 ， ， ， 故答案为：8． 8．【答案】 【分析】 根据直径或半圆所对圆周角为直角，折叠的性质可得，，，证明，得到，证明，得到，则，在中，由勾股定理得到，结合圆的面积公式即可求解． 【详解】 解：为直径， ∴， ∵折叠， ∴， 如图所示，设交于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴的面积是 故答案为： ． 【点睛】 本题考查了本题主要考查直径或半圆所对圆周角为直角，折叠的性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 9．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴；     （2）12      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解题的关键． （1）根据两角相等，两三角形相似即可证明； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 10．【答案】8 【分析】 本题主要考查相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质是解题的关键；过点A作，交的延长线于点F，则有，然后可得，根据等腰三角形的性质可得，进而问题可求解． 【详解】 解：过点A作，交的延长线于点F，如图所示， ∴， ∴， ∵，， ∴，即点D为的中点， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴； 故答案为：8． 11．【答案】（1） 证明：， ， ，， ， ， ；     （2）．      【分析】 本题主要考查了三角形的外角的性质、相似三角形的判定与性质，正确地找到相似三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键． 由，可得，从而可证，又因为，即可根据“两边成比例有夹角相等的两个三角形相似”证明； 由可得，可证明，再根据“相似三角形周长的比等于相似比”求出的周长即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ，， ， 的周长为， 的周长， 的周长为． 12．【答案】（1） 如图所示：      （2） 点如图所示： 【分析】 本题考查了网格与勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用网格与勾股定理得，则，故，即可作答． （2）运用网格特征，得，则，故，即，得，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 13．【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ；     （2）      【分析】 本题考查平行四边形的性质与相似三角形的判定及性质．熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题关键． （1）通过平行四边形对边平行、对角相等的性质，找到两组对应角相等，证明三角形相似； （2）利用平行关系确定相似三角形，结合相似三角形的性质，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，再由得出，即可得证； （2）求出，由勾股定理可得，过点D作，交于点G，则，，易证G为中点，得出，再证明得出，即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： 点为的中点， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 过点D作，交于点G，则，，    由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即G为中点， ， 点为的中点， ∴， ∵， ∴， ， ∴． 15．【答案】（1）     （2） 解：如图，取格点，连接交于点，点即为所求， ， 由图可得：，，， ∴， ∴， ∵与等高， ∴．      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，，从而可得，再由相似三角形的性质即可得解； （2）取格点，连接交于点，点即为所求，由图可得，，，从而得出，由相似三角形的性质得出，即可得解． (1) 小问详解： 解：由题意可得：，，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 16．【答案】70 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质．根据平行四边形的性质得，，则，再证明得到，所以，，再根据，得，，，从而得到的值． 【详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：70． 17．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为圆的直径， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴．     （2）或     （3）      【分析】 （1）利用直角三角形的性质和圆周角定理得到，，则，再利用相似三角形的判定定理解答即可； （2）设，则，利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当时，利用圆周角定理和三角形的内角和定理列方程解答即可；当时，则，利用圆周角定理和三角形的内角和定理列方程解答即可； （3）连接，利用垂径定理和勾股定理得到，，设的半径为r，则，，利用勾股定理求得圆的半径，再利用圆周角定理和相似三角形的判定与性质解答即可． (1) 小问详解： 证明：略； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴若是等腰三角形，则或， ① 当时， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∴，即， ② 当时，则， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∴，即， 综上所述，若是等腰三角形，的度数为或． (3) 小问详解： 解：如图，连接， ∵， ∴，， ∴，， 设的半径为r，则，， ∵， ∴，解得， ∴，，， ∵为圆的直径， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】 本题考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，分类讨论的思想方法，连接直径所对的圆周角是解决此类问题的关键． 18．【答案】 【分析】 本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的性质和折叠的性质，构造出正确的辅助线是解决本题的关键． 延长，交于点H，根据题意设，再根据平行四边形的性质得到，进而可得，得，再根据可得，得进而即可得到． 【详解】 解：如图，延长，交于点H， ∵， ∴设， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵将沿着直线翻折得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ，， ， ， ， ， ， 设，， ， ， ， ， 故答案为：． 19．【答案】（1） ① 证明：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴是等腰直角三角形； ②     （2）①；②      【分析】 （）① 由旋转的性质得，，由平行线的性质得，进而得到，即得，即可求证；② 由旋转可得，，即得，进而由等腰直角三角形的性质得，又由直角三角形的性质得，即得，即得到，即可求解； （）① 由勾股定理得，由直角三角形的性质得，再证明，得到，即得到，进而根据线段的和差关系即可求解；② 连接，可证，得到，，由直角三角形的性质得，利用平行线的性质可证，即得到，再根据勾股定理得到，可得，最后根据三角形的面积公式计算即可求解． (1) 小问详解： ① 略 ② 由旋转可得，，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： ① ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 由旋转得，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； ② 如图，连接， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵为中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∵， ∴ ， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确画出图形并作出辅助线是解题的关键． 20．【答案】 【分析】 本题考查了圆周角定理、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，由圆周角定理可得，即，从而得出垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，证明，求出，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：∵为半圆的直径， ∴，即， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵四边形为半圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 21．【答案】（1） 证明：如图，连接， 设，则， ∵=2， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．     （2）；     （3）      【分析】 （1）连接，设，则，由\overset{\overparen }{CB}=2\overset{\overparen }{DB}可得，再由为直径，可得，求出，最后由等腰三角形的判定证明即可； （2）先由勾股定理求解，再判定为等腰三角形，且，根据边的关系求解即可； （3）由弧的关系可得圆心角的关系，证明为等腰直角三角形，再得到，由此可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：过点作垂直于，垂足为，如图， ∵，， ∴在中，， ∵，, ∴， ∵, ∴， , ∴为等腰三角形， ∵垂直于， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴，即， ∴． (3) 小问详解： 解：设点到线段的距离为， ∵， ∴要使得的面积最大，就是当， 此时，为等腰直角三角形，且， 连接，过点D作，如图， ∵=2， ∴， ∵，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查直径所对的圆周角为直角，勾股定理解三角形，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握以上性质并适当添加辅助线． 考点04 相似三角形的性质 1．【答案】 【分析】 本题考查相似三角形的性质，由相似三角形的性质，得到，代入有关数据即可求出的长． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为：． 考点05 相似三角形的应用 1．【答案】问题解决1：（1）相似三角形的应用；（2）灯泡到地面的高度为；问题解决2：旗杆的高度为． 【分析】 此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． 问题解决1： （1）先证明，再利用相似三角形的性质得出，即可求的长，进而得出结论； （2）先证明，再利用相似三角形的性质得出，代入数据即可求的长． 问题解决2：利用标杆进行测量，可以采用视线共线法，测量标杆高度，眼睛高度，及水平距离，通过相似来计算目标高度． 【详解】 问题解决1： 解：（1）由题意可得：， 则， ∴， ∴， 解得， 则小红求得用到的几何知识是相似三角形的应用， 故答案为：相似三角形的应用； （2）∵， ∴， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 问题解决2： 解：在旗杆左侧距离点B一定距离的点F处，竖直竖立标杆，测量人员继续向左走至点D处，观察旗杆顶部点A，视线恰好过标杆顶部，测量示意图如图所示，     测量数据：，，，， 由测量示意图易得，，，， ， 得， ， ， 故旗杆的高度为． 考点06 位似 1．【答案】 【分析】 本题考查了位似变换，相似三角形的判定与性质，根据位似图形的定义可得，，从而可得，再证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：∵与位似，位似中心为O， ∴，， ∵与的周长之比是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 相似 6大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．（25-26学年九上·浙江舟山·期中）已知，则下列比例式成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）已知线段，，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么b等于（     ） A.  B. 6 C. 36 D.  3．（25-26学年九上·浙江金华·期中）生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（     ） A. 1．24米 B. 1．38米 C. 1．42米 D. 1．62米 4．（25-26学年九上·浙江杭州观成中学·期中）已知，那么下列式子中一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中）若，则下列比例式正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）已知，那么等于（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·浙江舟山名校协作体·期中）已知，则的值为（　　） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点P是的黄金分割点（），如果长为，那么的长约为（     ）． A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·浙江杭州观成中学·期中）点C、D是线段的两个黄金分割点，若，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）已知线段，点C是线段的黄金分割点（），则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·浙江名校共同体·期中）已知，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·浙江金华·期中）已知，且2x+3y﹣z＝18，求x+y+z的值． 13．（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金分割比时，可以敲击出音阶“”．如图，若瓶高，且敲击时发出音阶“”，则液面高度为　　　　　　　　　　．（结果保留根号） 14．（25-26学年九上·浙江舟山·期中）两地的实际距离是1200千米，在地图上量得这两地的距离为2厘米，则这幅地图的比例尺是1∶　　　． 15．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）小明同学在学习了九年级上册“比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在框架图的横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程． 16．（25-26学年九上·浙江名校共同体·期中）若点是线段的黄金分割点（），，则　　　　　　． 17．（25-26学年九上·浙江宁波鄞州区·期中）已知点是线段的黄金分割点，且，若，则线段的长为　　　　　　　． 18．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）在“国旗在心中”活动中，小曲星近距离触摸五星红旗，聆听红旗的故事，如图，在国旗上的五角星中，、两点都是线段的黄金分割点.若，则的长为　　　　　　.（结果保留根号） 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·浙江杭州观成中学·期中）如图，在中，，若，则的值为（       ） A. 3 B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中）如图，已知，，，的长为(　　) A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）如图，直线，直线分别交，，于点，，，直线分别交，，于点，，，若，则的值是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）如图，，分别交、、于点、、，分别交、、于点、、，若，，，则线段的长为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·浙江宁波鄞州区·期中）如图，，则下列结论不一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·浙江舟山名校协作体·期中）如图是一张矩形纸片，点E是中点，点F在上，把该纸片沿折叠，点A、B的对应点分别为、，与BC相交于点G，的延长线经过点C．若，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·浙江名校共同体·期中）图①是一个花架，图②是其侧面示意图．若，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）如图，已知直线，直线AE交l，m，n分别于点A，C，E，直线BF交l，m，n分别于点B，D，F．已知，，，求的长． 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26学年九上·浙江浙派联盟·期中）如图，点为边上的一个三等分点，（），以、、、为顶点构造平行四边形，与交于点，若四边形的面积为，则的面积为（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·浙江杭州观成中学·期中）如图，点D，E，F分别在的边上，， ，，M是的中点，连结并延长交于点N，则的值是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·浙江金华·期中）如图，在四边形中，，则添加下列条件后，不能判定和相似的是（       ） A.  B.  C. 平分 D.  4．（25-26学年九上·浙江名校共同体·期中）如图，在中，，，，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段的长为（     ） A.  B.  C. 4 D.  5．（25-26学年九上·浙江浙派联盟·期中）如图，在正方形中，点在以为直径的圆弧上，将绕点逆时针旋转得到，延长分别交，于点，．若，，则的值为（       ） A. 1 B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·浙江舟山名校协作体·期中）已知是直径，弦于点，．点是劣弧上任一点（不与、重合），交于点，与的延长线相交于点，已知时，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·浙江金华·期中）如图是用卡钳测量容器内径的示意图，已知，现量得卡钳上A，D两端点的距离为，则该容器内径的长是　　　　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·浙江杭州观成中学·期中）如图是以点为圆心，为直径的圆形纸片．点在上，将该圆形纸片沿直线对折，点落在上的点处（不与点重合）．连结，，分别延长和，并相交于点．若，，用含的代数式表示的面积是　　　　　　． 9．（25-26学年九上·浙江杭州观成中学·期中）如图，在和中，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 10．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）如图，等腰三角形中，，点在边上的高上，且，的延长线交于点，若，则　　　　　　. 11．（25-26学年九上·浙江浙派联盟·期中）如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且，． （1）求证：； （2）若，，的周长为20，求的周长． 12．（25-26学年九上·浙江金华·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫作格点，点、、均在格点上，用无刻度的直尺作图． （1）在图①中画一个格点三角形与原三角形相似且有一条公共边； （2）在图②中的线段上找一个点，使． 13．（25-26学年九上·浙江名校共同体·期中）如图，在中，点在的延长线上，与交于点． （1）求证：； （2）若，求的值． 14．（25-26学年九上·浙江名校共同体·期中）如图，在中，，于点D，且，为上一点，连接并延长交于点．    （1）求证：； （2）若E为的中点，，求的长． 15．（25-26学年九上·浙江名校共同体·期中）由边长为1的小正方形组成的的网格中，线段的两个端点都在格点上． （1）如图1，C，D也在格点上，连接交于点，则___________． （2）如图2，仅用无刻度直尺在的边上找一点，使得． 16．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）如图，在平行四边形中，为边上的点，若，交于，若，则等于　　　　　　． 17．（25-26学年九上·浙江金华·期中）如图，在中，直径弦于点E，连结，，连结并延长交于点F，交于点G． （1）求证：； （2）若是等腰三角形，求的度数； （3）若，，求的长． 18．（25-26学年九上·浙江金华·期中）如图，在中，点在边上，将沿着直线翻折得到，点的对应点恰好落在线段上，线段的延长线交边于点，如果，那么的值等于　　　　　　　　　　　． 19．（25-26学年九上·浙江舟山名校协作体·期中）在中，，将绕点逆时针旋转得到． （1）如图，当点恰好落在的平行线上时，连接，取的中点，连接． ①求证：是等腰直角三角形； ②请直接写出，与的数量关系________________． （2）如图，若． ①当点恰好落在的中线的延长线上时，求的长； ②当所在直线经过中点，且与的平行线交于点时，请在图中补全图形，求的面积． 20．（25-26学年九上·浙江名校共同体·期中）如图，以为直径的半圆，为半圆上一点，延长至，使得，连接交半圆于点．若，，则的长为　　　　　　　　　　　． 21．（25-26学年九上·浙江名校共同体·期中）如图1，，是以为直径的上的两动点，分别位于两侧，且满足=2．连结交于，连结，，． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）如图2，若直径为定值，当的面积最大时，求的面积与的面积比． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26学年九上·浙江浙派联盟·期中）如图，，点在上，已知，．则的长为　　　　　． 考点05 相似三角形的应用 1．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）根据背景素材，探索解决问题． 测算旗杆的高度 背景素材：如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律．     问题解决1：如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中A，B，C，D在同一条直线上．     任务（1）小红求得用到的几何知识是             ；（2）求灯泡到地面的高度． 问题解决2：测量某广场旗杆的高度（旗杆垂直于地面），携带的测量工具有皮尺，标杆（标杆比人高）、平面镜，假如你是该校的学生，请你适当选用给出的工具，设计一种测量旗杆的高度的方案（不能攀登旗杆），画出测量示意图（不必写出测量过程），写出测量数据（线段长度用表示），并根据你的测量方案，计算出旗杆的高度（结果用含的式子表示）．     考点06 位似 1．（25-26学年九上·浙江舟山名校协作体·期中）如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为　　　　　　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $