专题03 圆心角、圆周角（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03圆心角、圆周角 内容概览 目常考题型精准突破 考点一圆心角 题型1利用弧、弦、圆心角的关系求解（重） 题型2利用弧、弦、圆心角的关系求值 考点二圆周角 题型1利用圆周角定理求角（重） 题型2同弧或等弧所对的圆周角相等 题型3半圆（直径）所对的圆周角是直角（高频） 题型490°的圆周角所对的弦是直径 题型5已知圆内接四边形求角度（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ●考点一圆心角●一 ◆题型1利用弧、弦、圆心角的关系求解 1.30° 2.44° 3.65 ◆题型2利用弧、弦、圆心角的关系求值 4. 【答案】(1)证明见解析： 9√2 (2②)o0的半径为8 【详解】(I)证：：BC=CD=DE=EA, 1/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.DE+EA=CD+DE, 即AD=CE, .AD=CE (2)解：连接BD、OA、OB、OD,作DF⊥AB交AB于点F, E F A B BC=CD=DE=EA :DE+EA=CD+BC 即AD=BD, .AD=BD=CE=3. ∴.DF是△ABD中线， 即AF=BF=AB=L, 2 又△AOB中，OA=OB, ∴OF⊥AB 故DF过点O, 设OA=OB=OD=r,OF=h, :R1△AOF中，OF2+AF2=OA, RIADF中，DF2+AF2=AD2, 2+12=r2 (+h)}2+12=32: (r+h)(r-h)=1 (r+h)2=8 .r-h_1 r+h83 2/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7 :.h=gr, 代入h2+12=r2, 解得r=9V2 8’ 9√2 即o0的半径为8· 5. 【答案】(1) 证明：AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E, :.AC=AD. C是AF的中点， :.Ac=CF AC+CF=Ac+AD,即F=C, .AF=CD: 29 (24 【详解】(1)略； (2)解：如图，连接OD, F E D 由(1)可知AF=CD=10 设⊙O的半径为r,则OA=OD=r, AE=2, ..OE=OA-AE=(r-2). CD⊥AB于点E, 0E=cD=5, 3/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在R1a0DE中，OE2+DE2=0D2,即(-2}'+52=r2, 29 解得r= 4 29 :00的半径为4： 6. 【答案】(1)证明见解析 09a.g 【详解】(1)证明：：4C是⊙0的直径， ∠ABC=90°， .∠A=90°-∠ACB BE⊥AC, .∠CEB=90°， .∠EBC=90°-∠ACB. ∴.∠EBC=∠A :B为CD的中点， .BD=BC, .∠DCB=∠A, ∴.∠EBC=∠DCB, :.BF=CF: (2)解：B为CD的中点，BD=2, .BD=BC, .BC=BD=2 :AB=4,由(1)知∠ABC=90° :.在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC2=V42+2=25. 在R△ABC中，由等面积法，得x号4CE-BBC, Ix2J5BE-x4x2, .. 2 BE=45 5 4/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ●考点二圆周角● ◆题型1利用圆周角定理求角 7.100°/100度 8.120°/120度 9.13° ◆题型2同弧或等弧所对的圆周角相等 10.63°163度 11.25125度 12.84 ◆题型3半圆（直径）所对的圆周角是直角 13. 【答案】(I)证明：BC是半圆O的直径， .∠BAC=90°」 ∴.∠ABC+∠ACB=90° 又：AD⊥BC, .∠ADB=90° .∠ABC+∠BAD=90°， .∠BAD=∠ACB, (2) AB=AF, .∠ACB=∠ABF 由(1)得∠BAD=∠ACB, .∠ABF=∠BAD, 'AE=BE. 14. 【答案】(I)证明：：AD=AD, .∠ABD=∠ACD: (2)2V5 5/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)略 (2)解：AB是⊙0的直径， ∴.∠ACB=90°， AB=10,AC=8 六BC=AB2-4C=I02-8=6,40=B0=D0=)AB=5, 2 OD⊥AC于点E, .AE-CE-1AC=4. 2 .OE是△ABC的中位线， C3. .'.DE =OD-OE=2, 在Rt△CDE中，∠CED=90°，DE=2,CE=4, ∴.CD=VDE2+CE2=V22+42=25 15 【答案】()B=52 (2)证明：如图，延长FD至点2，使得D0=BP,连接A0,EP, B P ,正方形ABCD, ∴.AB=AD,∠ABP=∠ADF=90°」 ∠ABP=∠AD2=90°， ..BP=DO .△ABP≌aADQ(SAS) .∠I=∠3，∠APB=∠AQF,AP=Ag, ∠AEP=90°，∠APE=45°， 6/19 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠PAE=45°， .∠1+∠2=45°， .∠3+∠2=45°，即∠0AF=45, ∴.∠PAF=∠QAF AP=AO,AF=AF, .△APF≌aAQF(SAS), .∠APF=∠AQF, ∴.∠APB=∠APF, 又：∠APB=∠AEB, ∴.∠APF=∠AEB: (3)y=2x 【详解】(1)解：如图，连接EP, E B P AP为直径， ∴.∠ABP=∠AEP=90, BP=3,AB=4, .AP=V32+42=5, :BD是正方形ABCD的对角线， .∠ABD=45o ∴.∠APE=∠ABD=45° ∴.△AEP是等腰直角三角形， AE=2AP=5)2. 2 (2)略 (3)解：如图，连接EP、EC,过点E分别作BC、CD的垂线，交BC、CD于点G、H,过点A作BD 的垂线，交BD于点I, 7/19 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D E H F B G :AB=4,∠ABD=45°， = AB=2/2. EG⊥BC,EH⊥CD ∴.∠EGC=∠EHC=∠BCD=90° 四边形EGCH是矩形， .EH=GC, 由正方形的轴对称性可知AE=CE,由(1)已知AE=EP, .EP=EC, .EG⊥BC, .PG=CG=EH, .∠DBC=45°，EG⊥BC, ∴.BE=V2BG, 同理可得，DE=V2EH, BE-DE=2BG-2EH=2(BG-EH)=(BG-PG)=2BP=x. :.y-S.m-S.m-IAl(BE-DE)=1xAlx/2BP-1x2/xx-2x, 2 即y=2x ◆题型490°的圆周角所对的弦是直径 16.1 17.17 18.V5-1/-1+V5 ◆题型5已知圆内接四边形求角度 8/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19. 【答案】(1) 0 DM ,点是 的中点， C·∠ABC=90° M AC .BM=AM=MC .∴∠A=∠ABM」 四边形ABED是圆内接四边形， ,∠MDE=LABM,∠MED=∠A, ∴.∠MDE=∠MED. :MD ME. (2) 是等边三角形， COA=0D∠A=60°∴△AOD .·.∠AOD=60° .∠MED=∠A=60°，MD=ME,· ∴△MDE为等边三角形， .MD=ME=DE,∠MDE=60°=LA, DE∥AB, ∴.∠ODE=∠AOD=60 .OD=OE ,∴△ODE是等边三角形， ·OD=OE=DE」 ∴.OD=OE=EM=DM, ∴四边形ODME是菱形. 20. 【答案】(1) 证明：连接OD,OB,如图① 9/19 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图① ∠BAD=)∠BOD,∠BCD=B60°-∠BOD). &∠BAD+∠BCD=)∠B0D+,(360°-∠BOD)=180】 2 (2)4V5 【详解】(1)略 (2)解：连接OB,OD,过点O作OM⊥BD于点M,如图②， 图② 由(1)可知∠BAD+∠BCD=180°， ⊙∠BAD=)∠BCD】 .∠BAD=60 .∠BOD=2∠BAD=120°，OD=OB=4, .∠OBM=∠ODB=30°， 则0M=0B=2, :.BD=2BM=2OB2-OM2=2×V12=4V5」 21. 【答案】(1)135 (2)①证明：，DE⊥AD, ∴∠ADE=90°， .∠A=45° .∠DEA=∠A=45°， 10/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴AD=DE, :∠ABD=90°， .∠ADB=LBDE=45°， .∠CDE+∠BDC=45°， .∠A+∠BCD=180°， .∠BCD=135° .∠DBC+∠BDC=45°， .∠DBC=∠CDE: ②5 【详解】(1)解：，AD是直径， .∠ABD=90°， AB=BD, ∴.∠A=∠ADB=45°， ,四边形ABCD内接于⊙O, .∠BCD=180°-∠A=135°： (2)①略 ②解：将△DBC绕着点B按顺时针方向旋转90°得到△EBF, D A B E 则△EBF≌ADBC】 ∴.BF=BC=2W2,EF=CD=3,∠DBC=∠FBE,∠BFE=∠BCD=135°， .∠DBC+∠CBE=90°， ∴.∠FBE+∠CBE=90° 即∠CBF=90°」 .∠BCF=∠BFC=45°， .CF=V2BF=4,∠CFE=∠BFE-∠BFC=90°， ∴.CE=VCF2+EF2=V√42+32=5. 11/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.B 2.C 3.A 4.B 5.D 二、填空题 6.80° 7.50°150度 8.20 9.30 10.√2+1 三、解答题 11. 【答案】(1) 证明：如图，连接AD, :AB为⊙0的直径， .∠ADB=90°， AB=AC, .△ABC为等腰三角形 .BD=CD: (2)122° 【详解】(1)略 12/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：：△ABC为等腰三角形， ∴∠BAD=∠DAC, .BD=DE=64°， 又AB为⊙O的直径， .ABD=180°+64°=244°， ∴.∠AED的度数是ABD度数的一半， 即∠ABD=,×240=12°. 12. 【答案】(1) 证明：AB为⊙0的直径， .∠ACB=90°， 即BC⊥AC, OD∥BC, OD⊥AC, .OD平分弧AC, :AD=CD: (②)00的半径长为12 【详解】(1)略 (2)解：AC=14,0D⊥AC, AF=CE=AC=7 设OA=OD=a, :DE=6, ∴.OE=OD-DE=a-6, 在Rt△AOE中，由勾股定理得： AE2+OE2=OA2, 即7+(a-62=a2, 解得a8的 12 13/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 即o0的半径长为12 13. 【答案】(I) 证明：连接DQ, 0, D :直径AB⊥CD于P, .'.CP=DP A,Q两点关于点P对称， .PA=PO .四边形ACQD是平行四边形， 又AQ⊥CD .平行四边形ACQD是菱形， .AD=CQ,∠ACD=LQCD .AD=DE, .AD=DE, .CO=DE (2)4V2 【详解】(1)略 (2)解：连接C0, D AB=6」 14/19 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :A0=C0=)AB=3, ..OP=00.PA=PO=OP+00. .AP=20P, 又AP+OP=3, ∴OP=1, 在RtACPO中，CP=VCO2-OP2=22=DP, ∴.CD=CP+DP=42】 14. 【答案】(1)135° a号 【详解】(1)解：如图1，在⊙0上任取一点G,连接AG,EG. A ，是 的中点， 图1 .AC=BC O AB .OC⊥AB, ∴.∠AOC=90° .∠4GE=1∠40C=450 2 在圆内接四边形AGED中， ∠ADE+∠AGE=180°， .∠ADE=180°-45°=135°： (2)解：如图2，连接OD D ,D为 的中点， 图2 :∠AOC=90% AC 15/19 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 1 .OD=AD=5AC=5×4=2, .OA=OD ∴.OD=OA=AD=2, :∴△ADO为等边三角形， ∴.∠AOD=60° .∠D0E=90°-60°=30°， 30m×2_T :D元的长为180=3 15. 【答案】(1)2√2 (2)∠BAC=60° (3) 111 解：结论：CDCG5,理由如下： 连接AO,并延长AO交BC于点N H D ON C 设CD=a,CG=b ..AB=AC, ·AN⊥BC, BN=NC=IBC=1, 在Rt△AWB中，AB=VI0,BN=1, ∴.AW=3, 在Rt△AWG中，WG=1+b, AG=AW2+NG2=9+1+b)2, ①若AE与AN不共线时， 在RtAAND中，AD2=AW2+DN2=9+(a-1) CE=CH 16/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠EAC=∠GAC, 过点C作CQ⊥AG于点Q,CH L AE于点H, M H B G DE CH=CO, S△4m=2 ADxCH 1CDXAN AGxCQ 1 2 GXAN AD CD AG-CG' AD2 CD2 9+(a-1)2a2 4G2-CGZ 即g++bF, .10b2+a2b2-2ab2=a2b2+2ba2+10a2, .10(d-b2)+2ab(a+b)=0,又a+b≠0， ,11_1 a b5' 111 ∴CDCG5 ②若AE与AN共线时， M B C E AN CN 同理AGCG, AN2 CN2 AG=CG, 17/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9 1 六9+1+b6, .4b2-b-5=0, 解得6=-1（舍），b= 4 111 ab5' 111 ·CDCG5 111 综上， CDCG5· 【详解】(1)解：连接OB,OC,如图， 4 B .∠BOC=2∠BAC,∠BAC=45」 .∠BOC=90°， .⊙0的半径为2， .0B=0C=2, ∴，在等腰Rt△BOC中，BC=V2OB=2V2: (2)解：在BE上截取BF=CE,连接AF,如图， A AE=AE, .∠ABE=∠ACE, 在△ABF和△ACE中， AB=AC ∠ABE=∠ACE BF=CE 18/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.△ABF≌△ACE(SAS) ∴.∠BAF=∠CAE,AF=AE ..BE=AE+CE=BF+EF=CE+EF, .∴.EF=AE. ∴.AF=EF=AE, ∴.△AEF为等边三角形， .∠FAE=60° .∠FAC+∠CAE=60° .∠FAC+∠BAF=60°，即∠BAC=60°： (3)略 19/19的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03 圆心角、圆周角 内容概览 目常考题型精准突破 考点一圆心角 题型1利用弧、弦、圆心角的关系求解（重） 题型2利用弧、弦、圆心角的关系求值 考点二圆周角 题型1利用圆周角定理求角（重） 题型2同弧或等弧所对的圆周角相等 题型3半圆（直径）所对的圆周角是直角（高频） 题型490°的圆周角所对的弦是直径 题型5已知圆内接四边形求角度（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ●考点一圆心角● ◆题型1利用弧、弦、圆心角的关系求解 1.(26-27九年级上吉林长春开学考试)如图，在⊙0中，AB=CD,1=30°，则∠2=」 B 2.(2026陕西西安模拟预测)如图，⊙O的两弦AB、CD相交于点P,且AC=BC，连接OD.若 ∠APC=46°，则∠0DC的度数为— 1/11 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 3.(2026陕西咸阳模拟预测)如图，四边形ABCD内接于⊙0，AC是⊙O的直径，点D是AC的中点， ∠BOD=140°，则∠BAC的度数为_°. ◆题型2利用弧、弦、圆心角的关系求值 4. (2026江苏南京·一模)如图，点A,B,C,D,E在⊙0上，且BC=CD=DE=EA. D A B (I)求证：AD=CE: (2)若AB=2,CE=3,求⊙0的半径. 5.(25-26九年级下·安徽芜湖期中)如图，AB是⊙0的直径，CD是O0的弦，CD⊥AB于点E,C是 AF的中点，连接AF. F B E D (I)求证：AF=CD (2)若AE=2,AF=10,求⊙0的半径. 2/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(2026安徽安庆二模)如图，以△ABC的边AC为直径作⊙0，点B在⊙0上，点D为⊙0上一点，连 接BD,且B为CD的中点，BE⊥AC于点E,连接CD交BE于点F. B D (I)求证：BF=CF: (2)若AB=4,BD=2,求BE的长 ·考点二圆周角。 ◆题型1利用圆周角定理求角 7.(25-26九年级下江苏盐城期末)如图，四边形ABCD内接于⊙0，若∠C=130°，则∠BOD的度数 为 B 8.(2026九年级上全国·专题练习)如图，AB为⊙0的一条弦，且AB=8,∠AOB=120°，C为劣弧 AB上一点，连接AC,BC,则∠ACB的度数为一· 9.(2026安徽安庆·一模)如图，在O0中，AB是直径，点C在O0上，且OC⊥AB,连接AD,CD 若∠0CD=32°，则∠A的度数是. 3111 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B ◆题型2同弧或等弧所对的圆周角相等 10.(2026湖南益阳二模)如图，A,B,C,D,E五点在⊙O上，连接EA,EB,EC,ED.若 AB=BC=CD,∠AEB=2I°，则∠AED的度数是· B 11.(26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试)如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB是圆O直 径，点E为半径OB上一点，连接CE并延长交圆O于点F,连接BF,若∠D=115°，则∠CFB的度数为 B 12.(2026山东淄博中考真题)如图，AB是⊙0的直径，C,D是O0上的点，∠ABC=58°，CD平分 ∠ACO,DE⊥AB交O0于点E,垂足为F,则∠COE=—°. ◆题型3半圆（直径）所对的圆周角是直角 13.(25-26九年级上：山东烟台：阶段检测)如图所示，BC是半圆O的直径，AD垂直BC于点D, 4/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BM=AF,BF与AD交于点E. A F E B DO C (I)求证：∠BAD=∠ACB； (2)求证：AE=BE 14.(2026河南周口·二模)如图，AB是⊙0的直径，点C在⊙0上，OD⊥AC于点E,交⊙0于点D, 连接CD、AD D B (I)求证：∠ABD=∠ACD: (2)若AB=10,AC=8,求CD的长。 15.(2026浙江绍兴二模)如图，在正方形ABCD中，P为BC边上一点（不与点B,C重合），连接 AP,以AP为直径作圆，交对角线BD于点E,连接AE并延长交CD于点F,连接PF,已知AB=4. A D B C (备用图) (1)若BP=3,求线段AE的长. (2)求证：∠APF=∠AEB (3)设BP=x,记△ABE与△ADE的面积差为y,试确定y与x的函数关系式. ◆题型490°的圆周角所对的弦是直径 16.(2026江西中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4,E是边AD上的动点，连接 BE,过点C作CF⊥BE于点F.当△BFC面积最大时，DE的长为 5/11 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B 17.(25-26九年级下·河南商丘期中)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=5,BC=6,D为平面内 一点，连接BD,CD,且∠BDC=90°，连接AD,则AD的最小值为一，最大值为一 D 18.(2026广西柳州二模)如图，在正方形ABCD中，AB=4,点E在正方形ABCD内部，且满足 ∠AEB=9O°，连接DE,取DE,CD的中点F,G,连接FG,则FG的最小值为一 E B ◆题型5已知圆内接四边形求角度 19.(第二十九章圆高效同步练习29.2.3圆周角第2课时圆内接多边形)如图，在Rt△ABC中， ∠ABC=90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O,分别交AC,BM于点D、E. DM E (1I)求证：MD=ME: (2)连接OD,OE,当∠A的度数为60°时，求证：四边形ODME是菱形. 20.(25-26九年级上·河北秦皇岛·期末)课本第160页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个 性质，圆内接四边形的对角互补. 6/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 B 图① 图② (1)完成上述性质的证明过程： 如图①，已知点A,B,C,D在⊙0上，求证：∠BAD+∠BCD=180°； ②图②.已知点ABC:D在O0上，若∠B4D=∠BCD,O0的￥径为4，求D的长 21.(25-26九年级上·浙江温州阶段检测)四边形ABCD内接于圆O,AD为直径，连接BD,己知 AB=BD O B E 图1 图2 (I)求∠BCD的度数： (2)如图2，过点D作DE⊥AD交AB延长线于点E,连接CE. ①求证：∠DBC=∠CDE, ②若BC=2W2,CD=3,求CE的长， 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.(2627九年级上北京课前预习)下列各图中的角，其中为圆周角的是() D 2.(25-26九年级上辽宁盘锦期中)如图，AB是⊙0的直径，CD是⊙0的一条弦，CD1AB,连接OD 若∠CAB=22°，则∠BOD的度数是() 7111 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.12° B.22° C.44° D.40° 3.(25-26九年级上湖北孝感期末)如图，四边形ABCD内接于O0,BC=CD,∠BCD=120°，O0的半 径为3，则弦BC的长为() D A.3 B.2W5 C.22 D.4 4.(26-27九年级上北京课后作业)如图，点A,B,C,D顺次分布在半径为2的⊙0上，其中AD是 ⊙O的直径，点C是弧BD的中点，顺次连接AB,BC,CD,若∠BCD=I00°，则弧CD的长为() B A 0 10 A.3π D.gπ 5.(第二十九章圆高效同步练习29.2.3圆周角第2课时圆内接多边形)己知△ABC内接于⊙0，OD1AC 于点D,如果∠COD=32°，那么∠B的度数为() A.16° B.32° C.16°或164° D.32°或148 二、填空题 6.(2026黑龙江绥化中考真题)如图，在⊙0中，AB=AC,∠ABC=70°，则∠BOC=一 B 7.(2026贵州遵义模拟预测)如图，AB为⊙0的直径，点C,D,E是⊙0上的三点.若∠D=40°， 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则∠E的度数为. B 8.(2026江苏盐城一模)如图，AB是半圆的直径，点C、D是半圆上的两点，AD=DC,且 LCAD=35°，则LBAC的度数为—°. D B 9.(2026陕西渭南·一模)如图，AB是⊙0的直径，CD是⊙0的弦，AC=AD,点E是劣弧BC上一点， 连接DE交AB于点F,若∠CDE=60°，则∠BFE的度数为·」 E 10.(2026河北石家庄·二模)如图，点P是边长为2的正方形ABCD内部一点，且∠APD=90°，点E是 BC边的中点，将线段DP以点D为中心逆时针旋转90°得到线段DQ,连结QE,CQ,线段EQ长度的最 大值为 三、解答题 11.(25-26九年级上浙江绍兴期中)如图，在△ABC中，AB=AC,，以AB为直径作⊙0，交BC于点 D,交AC于点E. 9111 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D (1)求证： BD=CD (2)若DE=64°，求∠AED的度数. 12.(2026安徽六安·二模)如图，AB为⊙0的直径，四边形ABCD内接于⊙0，连接OC,OD,OD与 AC交于点E,且OD∥BC D B (I)求证：AD=CD: (2)若AC=14,DE=6,求⊙0的半径. 13.(2026浙江杭州一模)如图，AB为O0的直径，点P在线段OA上，A,Q两点关于点P对称，过点 P作CD⊥AB交⊙O于点C,D,连接CQ并延长交⊙O于点E,连接DE,AC,AD P (1)求证：C0=DE: (②)若AB=6,且OP=O2,求CD的长. 14.(25-26九年级下·河南周口阶段检测)如图，在△ABC中，AC=BC,以AB为直径作⊙0，与AC相 交于点D,连接OC,与⊙O相交于点E. 10/11 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 0 E B 图1 图2 (I)如图1，连接DE,求∠ADE的度数： (2)如图2，若点D为AC的中点，且AC=4,求DE的长. 15.(25-26九年级下·湖南长沙期中)己知：△ABC内接于⊙0，AB=AC,点E是⊙0上的一个动点. A E 0. B B B G E 图1 图2 图1 (1)如图1，若∠BAC=45°，⊙0的半径为2，求BC的长： (②)如图2，点E在劣弧AC上（不与点A、C重合），连接AE,CE,BE.若BE=AE+CE,求∠BAC的度 数； (3)如图3，己知AB=V0,BC=2,点E在劣弧BC上（不与点B、C重合），AE与BC交于点D,在 11 BC延长线上取一点G,连接4G,交o0于点H,CE=CH·请判断CDCG的结果是否为定值，若是 请求出其定值，若不是请说明理由. 11/11 专题03 圆心角、圆周角 常考题型·精准突破 考点一 圆心角 题型1 利用弧、弦、圆心角的关系求解（重） 题型2 利用弧、弦、圆心角的关系求值 考点二 圆周角 题型1 利用圆周角定理求角（重） 题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等 题型3 半圆（直径）所对的圆周角是直角（高频） 题型4 90°的圆周角所对的弦是直径 题型5 已知圆内接四边形求角度（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 圆心角 ◆题型1 利用弧、弦、圆心角的关系求解 1．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，，，则______． 【答案】 【分析】利用同圆中相等的弧对应的圆心角相等的性质，直接建立两个已知角的等量关系求解即可． 【详解】解：在中，， ， ， ， 即． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，的两弦、相交于点P，且，连接．若，则的度数为______． 【答案】 【分析】连接，，，，根据圆周角定理得到，，，根据角的和差及等量代换，三角形外角的性质求出，最后利用等腰三角形的性质求解． 【详解】解：连接，，，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴． 3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，四边形内接于，是的直径，点是的中点，，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据题意，则，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵是的直径， 又∵点是的中点， ∴是整圆的，即， ∴， ∵， ∴． ◆题型2 利用弧、弦、圆心角的关系求值 4．（2026·江苏南京·一模）如图，点，，，，在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析； (2)的半径为． 【分析】（1）结合等弧所对的弦相等即可得证； （2）连接、、、，作交于点，结合弧、弦、圆心角的关系证明，结合三线合一定理证明过点，设，，结合勾股定理推出后即可求得的半径． 【详解】（1）证：， ， 即， ． （2）解：连接、、、，作交于点， ， ， 即， ， 是中线， 即， 又中，， ， 故过点， 设，， 中，， 中，， ， ， ， ， 代入， 解得， 即的半径为． 5．（25-26九年级下·安徽芜湖·期中）如图，是的直径，是的弦，于点，是的中点，连接． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：是的直径，于点， ， 是的中点， ， ，即， ； (2) 【分析】（1）根据垂径定理得，由是的中点即可得，进而得，根据圆心角定理，即可证明结论； （2）连接，根据垂径定理及勾股定理，即可列方程求解． 【详解】（1）略； （2） 解：如图，连接， 由（1）可知， 设的半径为，则， ， ， 于点， ， 在中，，即， 解得， 的半径为． 6．（2026·安徽安庆·二模）如图，以的边为直径作，点B在上，点D为上一点，连接，且B为的中点，于点E，连接交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)BE＝ 【分析】本题考查了圆的相关性质和等腰三角形的性质． （1）由垂直关系得出，再由为的中点得出，从而，故； （2）由结合，可得出的长． 【详解】（1）证明：是的直径， ， ． ， ， ， ． 为的中点， ， ，‘ ， ； （2）解：为的中点，， ， ． ，由（1）知， 在中，． 在中，由等面积法，得， ， ． 考点二 圆周角 ◆题型1 利用圆周角定理求角 7．（25-26九年级下·江苏盐城·期末）如图，四边形内接于，若，则的度数为_________ ． 【答案】/100度 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∴． 8．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，为的一条弦，且，，为劣弧上一点，连接，，则的度数为_____． 【答案】/120度 【分析】在优弧上构造圆周角，利用同弧所对圆周角等于圆心角的一半求出该角，再利用圆内接四边形对角互补求出． 【详解】解：在优弧上任取一点，连接，． ， ， 四边形内接于 ， ， ． 9．（2026·安徽安庆·一模）如图，在中，是直径，点C在上，且，连接，．若，则的度数是______． 【答案】 【分析】连接，根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理可得，结合可求出，最后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接，如图， 则， ∴， 在中，， ∵， ， ∴， ∴． ◆题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等 10．（2026·湖南益阳·二模）如图，，，，，五点在上，连接，，，．若，，则的度数是______． 【答案】/63度 【分析】首先根据求出，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 11．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，四边形是圆的内接四边形，是圆直径，点为半径上一点，连接并延长交圆于点，连接，若，则的度数为___________． 【答案】/度 【分析】连接,则为直角，可以求出的值，根据同弧所对的圆周角相等，即可求出的值． 【详解】解：连接,如图所示． ∵是圆直径， ∴为直角， ∴， ∴, ∵圆周角与圆周角所对同一段弧， ∴, ∴． 12．（2026·山东淄博·中考真题）如图，是的直径，，是上的点，，平分，交于点，垂足为，则______． 【答案】 【分析】利用圆周角定理求出的度数，结合等腰三角形性质求出，再根据角平分线定义求出，最后利用垂径定理推导，通过角的和差关系求解． 【详解】解： 与分别是中所对的圆周角和圆心角， ， ， ， ， 平分， ， ，是的直径， ， ， ． ◆题型3 半圆（直径）所对的圆周角是直角 13．（25-26九年级上·山东烟台·阶段检测）如图所示，是半圆O的直径，垂直于点D，，与交于点E． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：是半圆O的直径， ， ． 又， ， ， ， (2) ， ． 由（1）得， ， ∴． 【分析】（1）根据题意得，．，，再由各角之间的等量代换即可证明； （2）利用圆周角定理得，再由等量代换及等角对等边即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 14．（2026·河南周口·二模）如图，是的直径，点C在上，于点E，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴； (2) 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角进行证明即可； （2）求出，，在中利用勾股定理进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵是的直径， ∴ ∵， ∴，， ∵于点E， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， 在中，， ∴ 15．（2026·浙江绍兴·二模）如图，在正方形中，为边上一点（不与点重合），连接，以为直径作圆，交对角线于点，连接并延长交于点，连接．已知．    (1)若，求线段的长． (2)求证：． (3)设，记与的面积差为，试确定与的函数关系式． 【答案】(1) (2)证明：如图，延长至点，使得，连接，，    ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； (3) 【分析】（）连接，由圆周角定理得，即得，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理解答即可求解； （）延长至点，使得，连接，，可证，得到，，，再证明，得到，进而由 即可求证； （）连接、，过点分别作、的垂线，交、于点，过点作的垂线，交于点，可得，由四边形是矩形得，又由正方形的轴对称性可知，由（）已知，进而得到，即得到 ，由根据等腰直角三角形的性质和勾股定理得，，得到，最后根据列出函数关系式即可． 【详解】（1）解：如图，连接，    ∵为直径， ∴， ∵，， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）略 （3）解：如图，连接、，过点分别作、的垂线，交、于点，过点作的垂线，交于点，    ∵，， ∴， ，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由正方形的轴对称性可知，由（）已知， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， 即． ◆题型4 90°的圆周角所对的弦是直径 16．（2026·江西·中考真题）如图，在矩形 中， ， ， 是边 上的动点，连接，过点作于点．当面积最大时，的长为_______________． 【答案】1 【分析】根据题意得出在以为直径的上运动，进而可得当时，到的距离最大，此时面积最大，得出，结合题意得出是等腰直角三角形，求得，根据线段的和差关系，即可求解． 【详解】解：如图，设的中点为， ∵ ∴ ∴在以为直径的上运动 ∴当时，到的距离最大，此时面积最大， ∴ ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 17．（25-26九年级下·河南商丘·期中）如图，在等腰三角形中，，，D为平面内一点，连接，，且，连接，则的最小值为______，最大值为______． 【答案】 1 7 【分析】根据题意，得，，得点D的运动轨迹是以为直径的，且的半径为2，连接，并延长交于点E，F，利用的等腰三角形的性质，勾股定理，圆的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴点D的运动轨迹是以为直径的，且的半径为3， 如图所示，连接，并延长交于点E，F， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴当点D与点E重合时，有最小值1，当点D与点F重合时，有最大值7， 故答案为：1，7． 18．（2026·广西柳州·二模）如图，在正方形中，，点E在正方形内部，且满足，连接，取，的中点F，G，连接，则的最小值为_____． 【答案】/ 【分析】由，可知点E的运动轨迹在以为直径的圆上，是的中位线，求的最小值，也就是求的最小值，当点、、，三点共线的时候，最小，结合勾股定理，即可求出，进而求出的最小值． 【详解】解：， 点E的运动轨迹在以为直径的圆上， 以为直径作圆，圆心为，点为中点，连接、，如下图 是的中位线， ，求的最小值，也就是求的最小值， 当点、、，三点共线的时候，最小， 四边形是正方形， ，， 点为中点， ，， 在中，， ， ， 即的最小值为． ◆题型5 已知圆内接四边形求角度 19．（第二十九章圆高效同步练习29.2.3圆周角第2课时圆内接多边形）如图，在中，，点是的中点，以为直径作，分别交，于点、． (1)求证：； (2)连接，，当的度数为时，求证：四边形是菱形． 【答案】(1) ，点是的中点，， ， 四边形是圆内接四边形， ，， ， ． (2) ，，是等边三角形， ， ，， 为等边三角形， ，， ， , ， 是等边三角形， , ， 四边形是菱形． 【分析】（1）先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，再利用圆内接四边形的性质，最后用等腰三角形的判定即可得到结论； （2）先利用等边三角形的判定，再利用菱形的判定即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 20．（25-26九年级上·河北秦皇岛·期末）课本第页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质，圆内接四边形的对角互补． (1)完成上述性质的证明过程： 如图①，已知点，，，在上，求证：； (2)如图②，已知点，，，在上，若，的半径为4．求的长． 【答案】(1) 证明：连接，，如图① ∵，， ∴． (2) 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，，可得，，即可得证； （2）连接，，过点作于点，由角度关系可得出，利用勾股定理可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：连接，，过点作于点，如图②， 由（1）可知， ∵， ∴． ∵，， ∴， 则， ∴． 21．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）四边形内接于圆O，为直径，连接，已知． (1)求的度数； (2)如图2，过点D作交延长线于点E，连接． ①求证：， ②若，，求的长． 【答案】(1) (2)①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②5 【分析】本题考查了勾股定理、圆内接四边形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形和圆周角定理的推论，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）根据直径所对的圆周角是直角得到，然后根据等腰三角形的性质，再根据圆内接四边形的性质解答即可； （2）①先得到是等腰直角三角形，即可得到，进而根据角的转换求证即可；②将绕着点B按顺时针方向旋转得到，即可得到，即可求出，然后根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴； （2）①略 ②解：将绕着点B按顺时针方向旋转得到， 则， ∴，，，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（26-27九年级上·北京·课前预习）下列各图中的角，其中为圆周角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角的定义，可以判断哪个选项是正确的． 【详解】解：∵顶点在圆上，角的两条边都与圆相交的角叫做圆周角， ∴选项A、C、D中的角不是圆周角，选项B中的角是圆周角． 2．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，是的直径，是的一条弦，，连接，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由圆周角定理得到，再由垂径定理得到，即可根据等弧所对圆心角相等求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵是直径，， ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，四边形内接于的半径为，则弦的长为（     ） A．3 B． C． D．4 【答案】A 【分析】连接，先由圆内接四边形对角互补求出，再由圆周角定理求出圆心角，再由径、弦、弧关系得出，然后借助圆的半径相等证得是等边三角形，得到弦的长等于圆的半径即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形内接于， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形，则， 的半径为， ． 4．（26-27九年级上·北京·课后作业）如图，点A，B，C，D顺次分布在半径为2的上，其中是的直径，点C是弧的中点，顺次连接，，，若，则弧的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，．求出的度数，利用弧长公式进行解答即可． 【详解】解：连接，． 点C是弧的中点， ， ． ， ， ， ∴弧的长． 5．（第二十九章圆高效同步练习29.2.3圆周角第2课时圆内接多边形）已知内接于，于点D，如果，那么的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用三线合一求得圆心角的度数，再分点在优弧、劣弧两种情况，利用圆周角定理和圆内接四边形的性质计算的度数. 【详解】解：连接， ∵，， ∴， 当点在优弧上时，. 当点在劣弧上，如图点的位置时，. 二、填空题 6．（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，在中，，，则______． 【答案】 【分析】先由弧、弦、圆心角的关系得，所以，再通过三角形内角和定理可得，最后由圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，为的直径，点，，是上的三点．若，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据同弧所对的圆周角相等可得，进而求得的度数，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径， ∴ ∵ ∴ 8．（2026·江苏盐城·一模）如图，是半圆的直径，点C、D是半圆上的两点，，且，则的度数为_____°． 【答案】20 【分析】先求得，根据四边形是半圆的内接四边形，可以求得 ，根据直角三角形的两个锐角互余求解即可． 【详解】解：，， ， ， 由四边形是半圆的内接四边形， ， 是半圆的直径， ， ； 9．（2026·陕西渭南·一模）如图，是的直径，是的弦，，点E是劣弧上一点，连接交于点F，若，则的度数为________°． 【答案】 【分析】根据垂径定理可得，再根据直角三角形的锐角互余即可求解． 【详解】解：∵，为的直径， ∴， ∵， ∴． 10．（2026·河北石家庄·二模）如图，点P是边长为2的正方形内部一点，且，点E是边的中点，将线段以点D为中心逆时针旋转得到线段，连结，，线段长度的最大值为_________． 【答案】 【分析】证明，可得，从而得到点Q在以为直径的圆上运动，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质得：， ∴，即， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴点Q在以为直径的圆上运动， 如图，取的中点H，连接，则， ∴， ∵， ∴当点E，H，Q在同一直线上时，取得最大值，最大值为的长，即． 三、解答题 11．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了直径所对圆周角是直角这一定理，等腰三角形三线合一的性质，圆周角定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）连接，根据直径所对圆周角是直角，根据三线合一即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质得出，即，然后根据圆周角定理进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵为等腰三角形， ∴， ∴， 又∵为的直径， ∴， ∴的度数是度数的一半， 即． 12．（2026·安徽六安·二模）如图，为的直径，四边形内接于，连接，，与交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：为的直径， ， 即， ， ， ∴平分弧， ； (2)的半径长为 【分析】（1）由是直径推出，结合已知，推出，垂直于弦 ，所以，最后根据 “等弧对等弦”即可求证； （2）由 ，得， 设半径，则， 在中利用勾股定理列方程，解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， 设， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 即， 解得， 即的半径长为． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，弧弦关系，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活应用是解决本题的关键． 13．（2026·浙江杭州·一模）如图，为的直径，点P在线段上，A，Q两点关于点P对称，过点P作交于点C，D，连接并延长交于点E，连接，，． (1)求证：； (2)若，且，求的长． 【答案】(1) 证明：连接， ∵直径于P， ∴， ∵A，Q两点关于点P对称， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， (2) 【分析】（1）连接，根据垂径定理得出，根据轴对称的性质得出，则可证明四边形是平行四边形，进而证明平行四边形是菱形，得出，，根据圆周角定理得出，根据弧、弦的关系得出，即可得证； （2）连接，根据并结合可求出，结合可求出，在中，根据勾股定理求出，结合（1）中即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， 在中，， ∴． 14．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）如图，在中，，以为直径作，与相交于点D，连接，与相交于点E． (1)如图1，连接，求的度数； (2)如图2，若点D为的中点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质可知，在上任取一点G，连接，把放到圆内接四边形中求解即可； （2）由点D为AC的中点可证为等边三角形，进而确定出所在的扇形的圆心角度数，代入公式求解即可． 【详解】（1）解：如图1，在上任取一点G，连接． ，是的中点， ， ． , 在圆内接四边形中， ， ； （2）解：如图2，连接． ，D为的中点， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 的长为 15．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）已知：内接于，，点E是上的一个动点． (1)如图1，若，的半径为2，求的长； (2)如图2，点E在劣弧上（不与点A、C重合），连接．若，求的度数； (3)如图3，已知，，点E在劣弧上（不与点B、C重合），与交于点D，在延长线上取一点G，连接，交于点H，．请判断的结果是否为定值，若是请求出其定值，若不是请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 解：结论：，理由如下： 连接，并延长交于点N． 设， ∵， ∴，， 在中，， ， ∴， 在中， ， ∴， ①若与不共线时， 在中， ∵ ∴， 过点C作于点Q，于点H， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴，又， ∴， ∴； ②若与共线时， 同理， ∴， ∴， ∴， 解得（舍），， ∴， ∴； 综上，． 【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得，即可求解； （2）在上截取，连接，证明，可得，再证明为等边三角形，可得，从而得到，即可解答； （3）连接，并延长交于点N．设，根据等腰三角形的性质可得，在和中，分别求出， ，然后分两种情况：若与不共线时；若与共线时，即可求解． 【详解】（1）解：连接，如图， ∵，， ， ∵的半径为2， ∴， ∴在等腰中，； （2）解：在上截取，连接，如图， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ， ，即； （3）略 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $