专题09 二次函数章末36道压轴题型专训（12大题型）-2026-2027学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

**基本信息** 聚焦二次函数12大压轴题型，36道典例覆盖从图象性质到综合应用的完整逻辑链，强化数学思维与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图象与性质|3|顶点、平移、含参综合|从概念理解到性质应用| |系数关系|3|图象与a,b,c关系判断|数形结合推导| |平移问题|3|整点、旋转翻折综合|变换规律迁移| |最值问题|3|区间最值、新定义不动点|函数增减性应用| |存在性问题|3|直角三角形、菱形存在性|分类讨论思想| |角度问题|3|角平分线、等角构造|几何转化代数| |面积问题|3|面积最值、不规则图形|割补法与坐标计算| |方程不等式综合|3|交点、取值范围|函数与方程思想| |含参应用|3|利润、成本参数问题|实际问题建模| |符合要求问题|3|仓储、遮阳棚设计|空间几何应用| |相似结合|3|运动、比例线段|相似性质与函数结合| |新定义问题|3|关联点、三倍点|新概念迁移应用|

专题09 二次函数章末36道压轴题型专训（12大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、二次函数的图象与性质 1 题型二、二次函数的图象与各系数关系 2 题型三、二次函数的平移问题 3 题型四、二次函数的最值问题 5 题型五、二次函数的存在性问题 6 题型六、二次函数的角度问题 8 题型七、二次函数的面积问题 9 题型八、二次函数与方程、不等式综合 10 题型九、二次函数应用之含参问题 11 题型十、二次函数应用之符合要求问题 12 题型十一、二次函数应用与相似结合 13 题型十二、二次函数的新定义问题 14 【经典例题一 二次函数的图象与性质】 1．（26-27九年级上·福建福州·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线顶点为． (1)求的值，并用含的式子表示； (2)已知是抛物线上的点，的横坐标为，抛物线的顶点为，且可以由抛物线平移得到（特别地，当是的顶点时，即为）， ①求抛物线的解析式（用含的式子表示）； ②将抛物线向右平移个单位，再向上平移1个单位得抛物线．若无论为何值，抛物线都不经过点，求的取值范围． 2．（2026·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，已知函数（a为常数）． (1)求此函数图像的顶点坐标．（用含a的式子表示） (2)当此函数图像与坐标轴只有两个公共点时，求a的值． (3)设此函数图像与y轴交于点A，与直线交于点B，此函数图像在A、B两点之间的部分（包含A、B两点）记为G． ①当G的最低点到x轴的距离等于2时，求a的值． ②把G的最低点向上平移2个单位得到点M，过点M作y轴的垂线，垂足为点N，当G与线段只有1个公共点时，直接写出a的取值范围． 3．（2026·山东泰安·三模）已知平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)用含a的代数式表示b； (2)当时，二次函数的最小值为，求a的值； (3)将函数的图象向左平移a个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新函数图象顶点记为点P，点Q在该新函数图象上．当最小时，的面积为4，直接写出点P和点Q的坐标． 【经典例题二 二次函数的图象与各系数关系】 4．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤（为任意实数），其中正确的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于两点，，且．下列结论： ①； ②； ③； ④若点，在抛物线上，则． 其中包含所有正确结论的是（     ） A．①② B．①④ C．①②④ D．②③④ 6．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知二次函数（a，b，c为常数，）图象的顶点坐标是，且经过点，．有下列结论：①；②关于x的方程有两个不相等的实数根；③；④对于任意实数t，总有．⑤当，时，y的最小值是1，则或6．其中正确的结论有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【经典例题三 二次函数的平移问题】 7．（26-27九年级上·北京·课后作业）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，如图，抛物线的图象与轴正半轴、轴正半轴围成的封闭图形内（不包含边界）有5个整点，平移该抛物线使得抛物线与轴正半轴、轴正半轴围成的封闭图形内（不包含边界）只有2个整点，则平移后的抛物线的顶点坐标可以为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数（、为常数，），当时函数值有最大值2，若将该二次函数的图象向左平移2个单位长度后经过原点，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 9．（2026·江苏扬州·三模）在数学的世界里，几何图形是重要的研究对象．图形的形状、大小和位置是平面几何的三大研究要素，平移、翻折、旋转更是我们研究图形性质的常用工具．某学校数学兴趣小组的同学们在掌握了二次函数的相关知识后，对该函数图象的平移、旋转、翻折问题展开了深入探究，过程如下： (1)如图1所示，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后的函数表达式为 ． (2)如图2所示，抛物线与直线交于、两点．将位于直线下方的抛物线沿着直线翻折，点是直线下方抛物线上的一动点，点的对应点为点，连接交直线于点． ①请判断点 翻折后的图象上（填“在”或“不在”）； ②在点的运动过程中，求线段的最大值． (3)如图3所示，将抛物线绕点逆时针旋转得到新的抛物线．直线l：与抛物线交于点、，点在点的下方，请直接写出点的坐标． 【经典例题四 二次函数的最值问题】 10．（2026·河南平顶山·三模）定义：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． (1)对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且只有一个不动点； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是___________（填写正确结论的序号）． 该兴趣小组继续对二次函数进行探究，并设计了以下问题，请你解答． (2)若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． (3)在（2）的条件下，当时，对应函数的最大值与最小值的差为5，请求出b，c的值． 11．（2026·吉林·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点在抛物线（b，c为常数）上，该抛物线与y轴的交点为．点P在该抛物线上，其横坐标为m．当点P不在坐标轴上时，过点P分别向x轴与y轴作垂线，垂足分别为点M和点Q． (1)求该抛物线对应的函数解析式． (2)当点Q在抛物线上时，求m的值． (3)当，且四边形内部（包括边界）的抛物线上的最高点与最低点的纵坐标的差为时，求m的值． (4)当四边形内部的抛物线上的点的纵坐标y随x的增大而减小，且此抛物线的顶点在四边形的对角线所在的直线上时，直接写出m的值． 12．（2026·广西梧州·一模）已知二次函数． (1)该二次函数图象的对称轴是直线_________； (2)当且时，函数图象的最高点为，最低点为，点的纵坐标为，求点和点R的坐标； (3)已知线段的两个端点坐标分别为，，当此二次函数图象与线段只有一个交点时，求的取值范围； (4)如图，当时，二次函数的图象交轴负半轴于点，交轴于点，已知，两点的纵坐标相等．直线交抛物线于，两点（点在点的左侧），过点作轴的平行线，与的延长线交于点，连接，交抛物线于另一点，请直接写出的最大值． 【经典例题五 二次函数的存在性问题】 13．（2026·甘肃平凉·一模）如图，已知抛物线与轴交于，两点，过点的直线与抛物线交于点．其中点，点． (1)求抛物线的表达式． (2)M是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点的坐标． (3)将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线，在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 14．（25-26九年级下·重庆沙坪坝·开学考试）如图，抛物线交轴于，两点（点位于点的左侧），交轴于点直线：交轴于点，交抛物线于，两点．为直线下方抛物线上一动点，点，点为直线上的两个动点． (1)求； (2)如图，当轴，轴时，求的最大值及对应的点的坐标； (3)如图，将抛物线沿射线平移一定的距离得新抛物线，使得新抛物线过点，点为新抛物线的顶点，点为抛物线上的一动点，当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 15．（2026·湖南长沙·三模）定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“立信之点”． (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点中，是矩形“立信之点”的是 ； (2)如图②，已知点A，B是抛物线上的“立信之点”，点C是抛物线的顶点．连接，，，若是以点C为直角顶点的直角三角形，求c的值； (3)在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题六 二次函数的角度问题】 16．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，平分，，． (1)点的坐标为______；(请直接写出结果) (2)求抛物线的表达式，及抛物线的对称轴； (3)若点为抛物线上第一象限内一动点，当时，求点的坐标． 17．（25-26九年级上·重庆渝北·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点为下方抛物线一动点，直线上有点、满足点在点的左侧且，当最大时，求此时点的坐标与的最小值． (3)将抛物线沿直线方向平移个单位得到新抛物线，在新抛物线找一点使，求符合条件的所有的坐标，并写出至少一个求解的坐标的过程． 18．（25-26九年级上·重庆江津·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，点为轴上一动点，点为抛物线对称轴上的动点，连接，，，，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)连接，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为抛物线上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【经典例题七 二次函数的面积问题】 19．（2026·上海·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点和点，点为抛物线的顶点，直线与抛物线交于点． (1)求抛物线的解析式，并求出点坐标； (2)若在轴上有一点，使得的三条高所在直线交于三角形外一点，设点的横坐标为，求的取值范围； (3)若直角坐标平面中的点和点、、构成直角梯形，且面积为，直接写出点的坐标． 20．（2026·湖南长沙·二模）已知：抛物线交x轴于点A和点C，与y轴交于点B，且．    (1)求抛物线解析式； (2)点P是第四象限抛物线上一点，连接交y轴于点F，若点P的横坐标为t，的面积为s，求s与t的关系式； (3)在（2）的条件下，，延长、交于点，点在线段上，过点作于点，的延长线交抛物线于点，点在直线下方的第四象限内，连接、、，，点在的延长线上，连接并延长交轴于点，，当的面积为9，点是的中点时，求点D的横坐标． 21．（2026·四川德阳·模拟预测）如图1，抛物线与轴交于两点，对称轴是直线 ，图象与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线位于第二象限图象上的一点，连接，当时，求点的坐标； (3)如图2，点是线段上一动点，的坐标，连接，求的最小值． 【经典例题八 二次函数与方程、不等式综合 】 22．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知二次函数． (1)若，求此函数与x轴的交点坐标； (2)对于二次函数，当，时，y的最大值与最小值的差为5，求a的值： (3)将在间的图象记为G，若图象G与直线有2个不同的交点，请求出a的取值范围． 23．（2026·广西南宁·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于 、两点（点在点左侧），与 轴交于点．直线经过、两点． (1)求点、的坐标，并求直线的函数解析式（用含的代数式表示）； (2)当时，若自变量 满足时，函数 的最大值与最小值之差为5，求的值； (3)设线段的中点为，点在抛物线上，且 ，若满足条件的点 恰好有2个，直接写出的取值范围． 24．（2026·广东茂名·二模）在平面直角坐标系中，抛物线． (1)①证明：抛物线与轴恒有两个交点； ②求出抛物线与轴交点的坐标（用含的式子表示）； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点（，不重合）． ①若，，求的长； ②若当，的长随的增大而增大，求的取值范围． 【经典例题九 二次函数应用之含参问题】 25．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）根据背景素材，探索解决问题． 背景 某公司的一种商品，每件成本为50元．经市场调研，售价为60元时，可销售800件；售价每提高1元，销售量将减少20件，设商品的售价为x（，且x为整数）元． 问题解决 任务1 当元时，该种商品的销售量为 件． 任务2 公司销售这批商品获利12000元时，这种商品每件售价是多少？ 任务3 当售价为多少时，销售这种商品的利润最大？最大利润是多少？ 任务4 若该种商品的销售得到当地政府的支持，公司每销售一件商品政府补贴给公司n元（n为正整数）．公司发现当售价为70时，利润最大，则n为 ． （利润销售利润补贴） 26．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）一阆中特产商店销售某种规格的保宁醋，经市场调查发现，这种规格的保宁醋月销量（件）是售价（元／件）的一次函数，该保宁醋的月销售总利润（售价-成本）×月销量，三者有如下数据： 售价（元／件） 30 40 60 月销量（件） 210 180 120 月销售总利润（元） 2100 3600 4800 (1)试求关于的函数关系式（的取值范围不必写出）； (2)求当保宁醋售价为多少元时，月销售总利润有最大值，最大值为多少元？ (3)由于进价下降，从本月起，该规格保宁醋成本下降元／件（），且物价局规定该保宁醋售价最高不得超过元／件．若月销量与售价仍满足（1）中的关系，预计本月总利润最高为元，请你求出的值． 27．（25-26九年级下·四川成都·自主招生）某公司生产的某种时令商品每件成本为元，经过市场调研发现，这种商品在未来天内的日销售量（件）与时间（天）的关系如下表： 时间（天） 1 3 6 10 36 … 日销售量（件） 94 90 84 76 24 … 未来天内，前天每天的价格（元/件）与时间（天）的函数关系式为：（且为整数）；后天每天的价格（元/件）与时间（天）的函数关系式为：（且为整数）．下面我们来研究这种商品的有关问题． (1)认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的函数关系式； (2)请预测未来天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？ (3)在实际销售的前天中该公司决定每销售一件商品就捐赠元利润（）给希望工程，公司通过销售记录发现，前天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间的增大而增大，求的取值范围． 【经典例题十 二次函数应用之符合要求问题 】 28．（2026·山西忻州·二模）综合与实践 问题背景：二连跨拱形仓库采用抛物线形拱顶设计，为双跨一体式结构，内部无立柱，空间开阔．采光通风良好，坚固耐用，可适配各类仓储场景．其纵切面如图1所示． 建立模型：如图2，表示水平直线（地面），，表示立柱，且，均垂直于，过点A的竖直直线与交于点O，此时构成拱顶的两段抛物线和、立柱和均关于直线对称．以O为原点，水平直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）． 测量数据：，跨度，拱顶最高点距离地面的高度为． (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出抛物线的函数表达式． 问题解决：储物箱纵切面为矩形，长为，高为．以为对称轴向两侧摆放一排储物箱，为保障存放安全，相邻两列储物箱之间的距离均为． (2)若每列放置两个储物箱，请计算最右侧储物箱的右上顶点M与抛物线在竖直方向上的距离． (3)根据安全要求，储物箱上表面任意一点到拱顶的竖直距离不得小于，请问：在保证安全的前提下，这一排最多可以放置多少个这样的储物箱？请直接写出结果． 29．（25-26九年级下·辽宁沈阳·开学考试）某城市建设调研小组发现，部分公交站台的遮阳棚在风雨天气下存在安全隐患与遮挡不足的问题．为优化设计，该小组考察了某遮阳棚的结构．以下为该小组调研报告的部分记录，请认真阅读，并解决问题． 发现问题 遮阳棚抗风加固 公交车安全停靠 模型抽象与图形表示 遮阳棚横截面示意图，棚顶可视为抛物线的一部分如图2所示． 公交车停靠示意图如图3所示（忽略公交车车顶的实际弧度、空调装置等微小起伏，假设车厢顶部在车辆全长范围内是完全平坦且水平的．） 条件与规范整理 如图4当风力较大时，需在棚内侧安装钢架（为线段）加固，且在棚顶与钢架之间安装一根垂直钢架（在棚顶，在上，轴）． 车身完全覆盖要求：公交车需完全停入遮阳棚下方，即车辆整体（包括车厢最高点）均位于遮阳棚的横向覆盖范围内．垂直安全间隙要求：车厢最高点与棚顶之间需保持一定的安全间隙，以避免因车辆振动、风载或路面不平等因素发生碰撞． 实测数据采集 棚顶最高点B到地面距离为4米，棚顶与立柱交点A到地面距离为2米，A、B两点水平距离为12米． 已知车身长约8米，公交车车厢最高点距地面约米，车身宽度与站台停靠都匹配，不考虑宽度影响． 问题解决： (1)如图2，以地面为x轴，过点A的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)如图3，请通过计算说明钢架加固前该公交车能否完全停入遮阳棚正下方； (3)如图4，为了让遮阳棚更加稳固，计划在遮阳棚内侧安装两段钢架．其中一段为，然后在棚顶某处取点C，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．直接写出第二段钢架长度的最大值． 30．（2026九年级下·全国·专题练习）如图，一座古桥的桥拱截面为抛物线，，是桥墩，桥的跨径为，水位在处时，桥拱最高点P离水面，水面以上的桥墩，都为．以所在直线为x轴、所在直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求此桥拱截面所在抛物线的表达式； (2)当水位上涨时，一艘宽的游船能否从桥洞下通过？请说明理由． 【经典例题十一 二次函数应用与相似结合】 31．（2026·广东佛山·三模）【问题提出】某班开展课外锻炼，有7位学生组队参加跳长绳运动，如何才能顺利开展活动呢？ 【实践活动】在体育老师的指导下，队员们进行了以下实践： 步骤一：收集身高数据如下： 队员 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 身高 1.70 1.70 1.73 1.60 1.68 1.80 1.60 步骤二：为增加甩绳的稳定度，确定两位身高较高且相近的甲、乙队员甩绳，其余队员跳绳； 步骤三：所有队员站成一排，跳绳队员按照中高、两低的方式排列，同时7名队员每两人间的距离至少为才能保证安全； 步骤四，如图1，两位甩绳队员通过多次实践发现，当两人的水平距离，手离地面的高度，绳子最高点距离地面时，效果最佳； 根据以下素材，探索完成任务． 设计跳长绳方案 素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下： （1）每班需要报名跳绳同学9人，摇绳同学2人； （2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1． 素材2：某班进行赛前训练，发现： （1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为，绳子最高点为，摇绳同学的出手高度均为，如图2： （2）9名跳绳同学身高如表． 身高（） 人数 素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现： （1）跳绳时，人的跳起高度在及以下较为舒服； （2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的． (1)任务1：确定长绳形状．请在图2中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式． (2)任务2：确定排列方案，该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距，请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学． 32．（2026·山东·中考真题）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与O点水平距离的C处达到最高，高度为． ①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是（），丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度． 33．（2026·河南驻马店·三模）转枝是果树栽培中的核心技术之一，目的是调整枝条生长方向、抑制顶端优势、促进花芽分化、平衡树势．某果农在进行枝条牵引定形时，将枝条弯成抛物线形状作为支撑骨架（如图1），以垂直于地面的果树主干为轴，水平地面为轴建立平面直角坐标系如图2所示．枝条上的点，，在抛物线形骨架上，点到主干的水平距离为，点在枝条抛物线形骨架的外端处，主干的高度为，已知抛物线形枝条的最高点到的水平距离为，离地面的高度为． (1)设抛物线形枝条上某处离地面的高度为，该处到主干的水平距离为，求与之间的函数解析式． (2)若枝条外端到主干的水平距离（即枝条牵引深度）为，求点离地面的高度． (3)为保证枝条弯枝之后不至于断枝（当的长度超过时枝条会被折断），需测量安全监测距离（为枝条上某点到牵引绳的铅锤距离）．已知点，间的距离为，试判断该枝条会不会被折断，并说明理由． 【经典例题十二 二次函数的新定义问题】 34．（25-26八年级下·北京·阶段检测）对于平面内三个不同的点，，，给出如下定义：若为直角三角形且，则称为线段的关联点，特别的如果，称为线段的强关联点，在平面直角坐标系中，已知， (1)如图1在点，，，中，线段的关联点是_____________________； (2)已知点，． ①如图2，当时，若直线上存在线段的强关联点，求的取值范围； ②如图3，若存在点既是线段的关联点又是线段的强关联点，直接写出的取值范围是_____________________． 35．（2026·山东枣庄·三模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标3倍，则称这个点为“三倍点”．如：等都是“三倍点”． (1)已知二次函数．①若该函数图象向左平移5个单位，其顶点刚好是三倍点，求该函数表达式；②点在该函数图象上，其中，若的最小值是，求的值； (2)若二次函数的图象上不存在“三倍点”，令，求的取值范围． 36．（2026·安徽合肥·二模）对于代数式和定义一种新运算：． (1)求二次函数的顶点坐标； (2)已知：二次函数（为常数，且）； （i）若函数的对称轴为直线，求的值； （ii）若与的函数图象交点为，过点作一条直线，该直线与两个函数图象交于、两点，当、两点横坐标的差为5时，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 二次函数章末36道压轴题型专训（12大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、二次函数的图象与性质 1 题型二、二次函数的图象与各系数关系 2 题型三、二次函数的平移问题 3 题型四、二次函数的最值问题 5 题型五、二次函数的存在性问题 6 题型六、二次函数的角度问题 8 题型七、二次函数的面积问题 9 题型八、二次函数与方程、不等式综合 10 题型九、二次函数应用之含参问题 11 题型十、二次函数应用之符合要求问题 12 题型十一、二次函数应用与相似结合 13 题型十二、二次函数的新定义问题 14 【经典例题一 二次函数的图象与性质】 1．（26-27九年级上·福建福州·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线顶点为． (1)求的值，并用含的式子表示； (2)已知是抛物线上的点，的横坐标为，抛物线的顶点为，且可以由抛物线平移得到（特别地，当是的顶点时，即为）， ①求抛物线的解析式（用含的式子表示）； ②将抛物线向右平移个单位，再向上平移1个单位得抛物线．若无论为何值，抛物线都不经过点，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】（1）根据抛物线顶点为，得出顶点式，可得，与一般式对应系数，即可得，； （2）①将点的横坐标代入的解析式，求得顶点的纵坐标为，再根据顶点式结合平移的性质即可写出抛物线的解析式；②先根据“右移个单位、上移1个单位”得到的解析式；将点代入，得到关于的一元二次方程．“无论为何值都不经过”等价于该方程无实数根，通过判别式求出的范围，再结合，分和两类解分式不等式，最终得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴抛物线为 ， 又∵抛物线为， ∴，； （2）解：①∵点在抛物线上，横坐标为， ∴将代入的解析式，得， ∵抛物线由平移得到，且顶点为， ∴的解析式为； ②∵将抛物线向右平移个单位，再向上平移1个单位得抛物线， ∴抛物线为， 若抛物线经过点， 将，代入抛物线，得 ， ， ∵无论为何值，抛物线都不经过点， ∴没有实数根， ∴ ， 令，得， ， 解得， ∵， ∴， ∴， 当（即）时，， ， 解得， 结合，则此时范围为； 当（即）时，， ， 解得， 结合，则此时范围为； 综上所述，的取值范围为或． 2．（2026·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，已知函数（a为常数）． (1)求此函数图像的顶点坐标．（用含a的式子表示） (2)当此函数图像与坐标轴只有两个公共点时，求a的值． (3)设此函数图像与y轴交于点A，与直线交于点B，此函数图像在A、B两点之间的部分（包含A、B两点）记为G． ①当G的最低点到x轴的距离等于2时，求a的值． ②把G的最低点向上平移2个单位得到点M，过点M作y轴的垂线，垂足为点N，当G与线段只有1个公共点时，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为． (2)的值为，，，． (3)①的值为或． ②的取值范围是或或． 【分析】（1）将函数解析式配方为顶点式，即可得到顶点坐标； （2）分抛物线过原点、与x轴仅有一个交点两种情况，列方程求解即可； （3）①分和确定G的最低点，根据到x轴的距离为2列方程求解；②分和两种情况：当时，最低点为，则，再分和当两种情况求解即可；当时，G的最低点为顶点，则，当时，，此时G与线段只有1个公共点． 【详解】（1）解：对函数解析式配方： ∴ 顶点坐标为． （2）解：∵当时，函数为二次函数， ∴ 令x=0，得，即与y轴交点为，与y轴必有1个公共点． 由函数图像与坐标轴只有2个公共点，分两种情况： ①抛物线过原点，即与y轴交点在x轴上， ∴ ， 解得或． 此时，即与x轴有2个交点，其中1个为原点，总公共点为2个，符合题意； ② 抛物线与x轴仅有1个交点，且该交点不在y轴上， ∴， ∵， ∴， 解得或． 此时顶点横坐标为，与x轴的交点不在y轴上，总公共点为2个，符合题意． 综上所述，a的值为，，，． （3）解：①由题意，A为函数与y轴交点， ∴， 将代入函数解析式， 得， ∴ ， ∵G为A、B之间的函数图像， ∴当时，x的取值范围是； 当时，x的取值范围是， 由（1）知顶点坐标为，且a在0与之间，故顶点在G上， ① 当时，抛物线开口向上， ∴ G的最低点为顶点，纵坐标为， ∵ 最低点到x轴的距离为2， ∴． 当时，，不符合，舍去； 当时，， 解得（不符合，舍去）； 当时，抛物线开口向下，顶点为最高点， ∴ G的最低点为A、B中纵坐标较小的点，． ∵，， ∴，即， ∴最低点为B点，纵坐标为， ∵ 最低点到x轴的距离为2， ∴， 当时，解得或，均不符合舍去； 当时， 解得， ∵， ∴． 综上所述，的值为或． ② 如图1：当时，最低点为， ， 当时，，此时G与线段只有1个公共点； 当时，即时，此时G与线段只有1个公共点； 如图2：当时，， 的最低点为顶点， ， 当时，，此时点N始终在A点上方， 当时，G与线段只有1个公共点； 综上所述或或时，G与线段只有1个公共点． 3．（2026·山东泰安·三模）已知平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)用含a的代数式表示b； (2)当时，二次函数的最小值为，求a的值； (3)将函数的图象向左平移a个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新函数图象顶点记为点P，点Q在该新函数图象上．当最小时，的面积为4，直接写出点P和点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)a的值为或2； (3)，点或． 【分析】（1）把点代入二次函数即可求解； （2）先求出对称轴为直线，然后分当时和当时两种情况求解即可； （3）求出平移后的顶点，由求出当时，取得最小值，设，过点Q作x轴的垂线，交于点H，则，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把点代入二次函数得， ， ∴； （2）解：由（1）得， ∴对称轴为直线， 当时，抛物线开口向下，当时，y取得最小值， ∴， ∴， 当时，抛物线开口向上，当时，y取得最小值，， ∴， ∴， 综上a的值为或2； （3）解：由得，顶点为， ∵图象向左平移a个单位长度，再向上平移1个单位长度后， ∴顶点P为， ∵， ∴当时，取得最小值，即取得最小值， ∴点P为时，最小， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， ∴直线为， 当时，平移后的新函数为， 设，过点Q作x轴的垂线，交于点H，则， ∵的面积为4， ∴， ∴， 解得或， ∴点或． 【经典例题二 二次函数的图象与各系数关系】 4．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤（为任意实数），其中正确的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得，根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；推出，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据当时，抛物线有最大值，即可得到，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于点和点， ∴抛物线对称轴为直线，故②正确； ∴， ∴， ∴，故①错误； 由函数图象可知，当时，抛物线在x轴上方， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，抛物线有最大值， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有②③⑤，共个． 5．（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于两点，，且．下列结论： ①； ②； ③； ④若点，在抛物线上，则． 其中包含所有正确结论的是（     ） A．①② B．①④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据图象开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点位置判断的符号及相关代数式的符号，利用二次函数的对称性及增减性判断函数值的大小． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，故； 抛物线对称轴位于轴右侧，且，故； 抛物线与轴交于负半轴，故； ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴交于两点，， ∴对称轴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 当时，由图像可知，即，故③错误； ∵对称轴，抛物线开口向上， ∴离对称轴越远的点，函数值越大， ∵，关于直线对称， ∴点离对称轴的距离大于点离对称轴的距离， ∴，故④正确； 综上，正确的结论是①②④． 6．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知二次函数（a，b，c为常数，）图象的顶点坐标是，且经过点，．有下列结论：①；②关于x的方程有两个不相等的实数根；③；④对于任意实数t，总有．⑤当，时，y的最小值是1，则或6．其中正确的结论有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】先根据顶点坐标和已知点得到参数关系，再由 的范围得到 的取值范围，最后逐一判断各结论即可． 【详解】解：∵二次函数顶点坐标为， ∴对称轴为直线，即，得， 设顶点式为， 将代入得， 即，得， 当时，，代入得， ∵， ∴， 解得， ∴ ，，， ∴，故①错误； ②原方程整理得，左边为非负数， 当时，，方程无解，故②错误； ③， ∵， ∴， ∴，即，故③正确； ④代入得：， ∵ ， ∴，不满足对任意 都有，故④错误； ⑤当时，得，开口向上，对称轴， ∴， ∴， 区间中 最小值为， 若，即，最小值在处， ∴， 解得或（舍）； 若，即时，当时，取最小值，无解； 若，最小值在处， ∴， 解得或（舍）， 故或，结论⑤错误； 综上，只有1个结论正确． 【经典例题三 二次函数的平移问题】 7．（26-27九年级上·北京·课后作业）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，如图，抛物线的图象与轴正半轴、轴正半轴围成的封闭图形内（不包含边界）有5个整点，平移该抛物线使得抛物线与轴正半轴、轴正半轴围成的封闭图形内（不包含边界）只有2个整点，则平移后的抛物线的顶点坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据整点的定义并结合封闭图形区域逐一判断即可． 【详解】解：选项A，如图1，满足条件的整点个数为1个，故选项A不符合题意； 选项B，如图2，满足条件的整点个数为3个，故选项B不符合题意； 选项C，如图3，满足条件的整点个数为2个，故选项C符合题意； 选项D，如图4，满足条件的整点个数为4个，故选项D不符合题意． 8．（2026·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数（、为常数，），当时函数值有最大值2，若将该二次函数的图象向左平移2个单位长度后经过原点，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先根据平移后过原点得到与的关系，再结合二次函数开口方向分情况讨论，利用时的最大值为求解． 【详解】∵二次函数向左平移个单位后经过原点， ∴平移后的解析式为， ∵图像过， ∴， ∴， ∴原函数可化为，对称轴为，且在这个范围内， 分两种情况讨论： （1） 当时，抛物线开口向上，区间内离对称轴越远函数值越大 ∵离对称轴最远 ∴代入得最大值为 ∵最大值为， ， ∴ （2） 当时，抛物线开口向下，顶点在区间内，最大值在顶点处取得 代入得， ∵最大值为， ， ∴ 综上，的值为或． 9．（2026·江苏扬州·三模）在数学的世界里，几何图形是重要的研究对象．图形的形状、大小和位置是平面几何的三大研究要素，平移、翻折、旋转更是我们研究图形性质的常用工具．某学校数学兴趣小组的同学们在掌握了二次函数的相关知识后，对该函数图象的平移、旋转、翻折问题展开了深入探究，过程如下： (1)如图1所示，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后的函数表达式为 ． (2)如图2所示，抛物线与直线交于、两点．将位于直线下方的抛物线沿着直线翻折，点是直线下方抛物线上的一动点，点的对应点为点，连接交直线于点． ①请判断点 翻折后的图象上（填“在”或“不在”）； ②在点的运动过程中，求线段的最大值． (3)如图3所示，将抛物线绕点逆时针旋转得到新的抛物线．直线l：与抛物线交于点、，点在点的下方，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①在；② (3) 【分析】（1）把抛物线的解析式整理成顶点坐标式，可得抛物线的顶点坐标是，根据平移的方向和距离得到平移后抛物线的顶点坐标为，即可得到平移后新抛物线的解析式； （2）①设点的坐标是，找到点关于直线的对称点，点的对称点在抛物线上，则点就在抛物线翻折后的图象上； ②过点作轴，交直线于点，连接，设点的坐标是，可得：点的坐标是，从而可得，根据等腰直角三角形斜边与直角边之间的关系可知，根据二次函数的性质即可求出的最大值； （3）设点绕点逆时针旋转后得到点，过点作轴于点，过点作轴，可证，根据全等三角形的性质可得点的坐标是，把点的坐标代入抛物线，可得：，解方程组，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：整理抛物线的解析式， 可得：， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后抛物线的顶点坐标为， 平移后的抛物线的解析式为； （2）①解：如下图所示，设点的坐标是， 解方程， 可得：，， 点的坐标是，点的坐标是， 轴于点， ，， 过点作于点，交轴于点 当时，可得：， 点的坐标是， ， 点的坐标是， ， ， ， ， ， ， 点与点关于直线对称， ， ， 点的坐标是， 点与点重合， 点关于直线的对称点在抛物线上， 点在抛物线翻折后的图象上； ②解：如下图所示，过点作轴，交直线于点，连接， 设点的坐标是， ， 点关于直线对称， ，， ， 点的纵坐标是， 解方程， 整理可得：， 点的坐标是， ， ， 整理可得： 的最大值为； （3）解：如下图所示，设点绕点逆时针旋转后得到点， 则， ， 过点作轴于点，过点作轴， ， ， ， 由旋转可知， 在和中，， ， ，， 设点的坐标是， ，， ，， ， 点的坐标是， 把点的坐标代入抛物线， 可得：， 整理可得：， 解方程组， 整理可得：， 解得：，， 点在点的下方， 点的纵坐标为， 点的横坐标为， 点的坐标为． 【经典例题四 二次函数的最值问题】 10．（2026·河南平顶山·三模）定义：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． (1)对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且只有一个不动点； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是___________（填写正确结论的序号）． 该兴趣小组继续对二次函数进行探究，并设计了以下问题，请你解答． (2)若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． (3)在（2）的条件下，当时，对应函数的最大值与最小值的差为5，请求出b，c的值． 【答案】(1)②③ (2) (3)b，c的值分别为，或， 【分析】（1）根据新定义逐一进行判断即可； （2）一般式化为顶点式，求出顶点坐标，根据新定义即可得出对应的关系式； （3）分3种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：①当时，，故不是“不动点函数”； ②把点代入，得，解得， ∴是“不动点函数”，且只有一个不动点； ③对于任意一个的值，点都在直线上，故是“不动点函数”，且有无数个不动点． 综上：正确的是②③； （2）解：∵， ∴顶点坐标为， ∵抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴，即． （3）解：由（2），得． ∴函数图象为开口向上的抛物线，顶点坐标为． 分以下三种情况讨论： ①当时，由二次函数的性质，可知当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最小值，；当时，y有最大值，． ∴，解得． ∵， ∴符合题意． 将代入，得． ∴，． ②当时，由二次函数的性质，可知当时，y随x的增大而减小． ∴当时，y有最大值，；当时，y有最小值，． ∴，解得， ∵， ∴符合题意， 将代入，得， ∴，． ③当时，函数在时取最小值，． Ⅰ．当时，函数在时取最大值，． ∴，即，解得． ∵， ∴不符合题意． Ⅱ．当时，函数在时取最大值，， ∴，即，解得． ∵， ∴不符合题意， 综上所述，b，c的值分别为，或，． 11．（2026·吉林·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点在抛物线（b，c为常数）上，该抛物线与y轴的交点为．点P在该抛物线上，其横坐标为m．当点P不在坐标轴上时，过点P分别向x轴与y轴作垂线，垂足分别为点M和点Q． (1)求该抛物线对应的函数解析式． (2)当点Q在抛物线上时，求m的值． (3)当，且四边形内部（包括边界）的抛物线上的最高点与最低点的纵坐标的差为时，求m的值． (4)当四边形内部的抛物线上的点的纵坐标y随x的增大而减小，且此抛物线的顶点在四边形的对角线所在的直线上时，直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）将点和代入解出，进而写出函数解析式； （2）由，向轴作垂线得垂足，因在抛物线上，代入抛物线方程得，即可解得的值； （3）先求出抛物线顶点，令得抛物线与轴交点，由题意，分、、三种情况讨论矩形内抛物线的最值，分别列方程求解的值即可； （4）由题意得矩形四个顶点坐标，抛物线顶点，分两种情况：顶点在对角线上，代入直线解析式；顶点在对角线上，代入直线解析式，分别解出的值，再结合函数图象，检验是否满足四边形内部的抛物线上的点的纵坐标y随x的增大而减小． 【详解】（1）解：由题意，点和在抛物线上， 可得，解得， 该抛物线对应的函数解析式为． （2）解：点P在该抛物线上，其横坐标为m， ， 过点P分别向y轴作垂线，垂足为点Q， 则 ， 在抛物线上， ， 可得，解得或， 不在坐标轴上， ． （3）解：如图， 抛物线，顶点， 由（2）得，， 令，解得， ，， 当时，如图： 四边形内部（包括边界）的抛物线上的最高点的纵坐标为，最低点的纵坐标为， ，解得或（舍）， ， 当时，四边形内部（包括边界）与抛物线仅有一个交点，不符合题意； 当时，如图： 四边形内部（包括边界）的抛物线上的最高点的纵坐标为，最低点的纵坐标为， ，解得或（舍）， ， 综上， 或． （4）解：由题意，，，，． 抛物线顶点在对角线或 上． 设对角线的函数解析式为， 可得，解得， ， 代入 可得，化简得 解得或， 如图， 当或时，四边形内部的抛物线上的点的纵坐标y随x的增大而减小，符合题意； 设对角线的函数解析式为， 可得，解得， ， 代入 可得，化简得， ， ， ， 如图，此时点在的右边， 此时，四边形内部没有抛物线上的点，不符合题意； 综上，或． 12．（2026·广西梧州·一模）已知二次函数． (1)该二次函数图象的对称轴是直线_________； (2)当且时，函数图象的最高点为，最低点为，点的纵坐标为，求点和点R的坐标； (3)已知线段的两个端点坐标分别为，，当此二次函数图象与线段只有一个交点时，求的取值范围； (4)如图，当时，二次函数的图象交轴负半轴于点，交轴于点，已知，两点的纵坐标相等．直线交抛物线于，两点（点在点的左侧），过点作轴的平行线，与的延长线交于点，连接，交抛物线于另一点，请直接写出的最大值． 【答案】(1)； (2)，； (3)或； (4)． 【分析】（1）利用对称轴公式求解即可； （2）根据二次函数开口向上，可知，取得最小值，取得最大值，分别代入解析式，可求得、的坐标； （3）通过代入坐标求函数值，从而判断抛物线上点的位置，采用分类讨论思想，当，开口方向讨论函数； （4）根据二次函数定点性质，以及联立一次函数与二次函数，用一元二次方程根与系数的关系求出、横坐标的关系，以及构造函数，利用顶点求最大值． 【详解】（1）解：对于二次函数，对称轴公式为， 在中，，代入得， 所以对称轴是直线； （2）解：， 二次函数的图象开口向上． 对称轴是直线，当时，，，， 当时，取得最大值；当时，取得最小值． 函数图象的最高点为，最低点为，点的纵坐标为， ， 将代入：，得， 解得， 二次函数的解析式为． 将代入，得， ， 综上，； （3）， 当或时，， 抛物线经过定点，． ， 顶点坐标为． 当时，抛物线开口向上， 如图（1），当顶点落在上时，满足题意， 此时，解得． 当时，抛物线开口向下， 抛物线经过定点， 抛物线不经过点． 如图（2），当抛物线经过点时，将代入，得， 解得． 或； （4）当时，抛物线解析式为． 令，解得或， ， 令，得， 抛物线对称轴为，、纵坐标相同，得， 设点，的横坐标分别为，， 联立， 整理，得， ，， ， 代入，得， 整理，得， ，， 直线的解析式为． 当时，，， 点在直线上． 设直线交轴于点， 当时，，解得， ， ． 如图（3），过点作交轴于点， ， 当取得最大值时，有最大值， 当直线与抛物线有唯一公共点时，最大，此时取得最大值，如图（4）， 设直线的解析式为， 联立上式和抛物线的解析式并整理，得， ，解得，此时， 的最大值为． 【经典例题五 二次函数的存在性问题】 13．（2026·甘肃平凉·一模）如图，已知抛物线与轴交于，两点，过点的直线与抛物线交于点．其中点，点． (1)求抛物线的表达式． (2)M是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点的坐标． (3)将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线，在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)8， (3)存在，或或或 【分析】（1）利用待定系数法，即可求解； （2）过点作轴，交于点，先利用待定系数法，求直线的解析式，设点，则点，可得，从而，再根据二次函数的性质，即可求解； （3）根据二次函数图象平移的规律，可得，设点的坐标为，可得，，，再根据题意，分类讨论：当时，列方程求解即可；当时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：点，点在抛物线上， ，解得， 抛物线的表达式为； （2）解：如图，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 过，， ，解得， 直线的解析式为， 设点，则点， ， ， ， 当时，的面积最大，最大值为8，此时点的坐标为； （3）解： 在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形． 理由如下： ，将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线， ， 设点的坐标为， 点，点， ，， 是以为直角边的直角三角形， 或， 当时，， 解得或5，此时点或； 当时，， 解得或，此时点或， 综上所述，在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，符合条件的点的坐标为或或或． 14．（25-26九年级下·重庆沙坪坝·开学考试）如图，抛物线交轴于，两点（点位于点的左侧），交轴于点直线：交轴于点，交抛物线于，两点．为直线下方抛物线上一动点，点，点为直线上的两个动点． (1)求； (2)如图，当轴，轴时，求的最大值及对应的点的坐标； (3)如图，将抛物线沿射线平移一定的距离得新抛物线，使得新抛物线过点，点为新抛物线的顶点，点为抛物线上的一动点，当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)2 (2)， (3)，，， 【分析】（1）先根据抛物线解析式求出坐标，，，再代入直线，求出，得到直线解析式，将直线解析式与抛物线解析式联立，求出交点坐标，根据坐标的特点即可求出三角形的面积； （2）先设点，通过直线的解析式，得到点、的坐标，用含的式子列出，利用二次函数的性质求出的最大值和点的坐标； （3）先求原抛物线的顶点坐标，由抛物线沿方向移动可知原抛物线上的点移动到了点，可知抛物线平移的距离，当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，与的距离相等，再分情况讨论：在下方，在上方这两种情况，分别讨论得到点坐标． 【详解】（1）解：如图，连接，， 对于抛物线解析式，当时，， 解得，， 当时，， ，，， 直线：过点， ∴把点代入的解析式，得， ， ：， 由，解得：，， ， 轴， ． （2）解：设点， 轴，轴，点、在直线上， ，， ，， ， 时，，此时， （3）解：原抛物线的对称轴为， 原抛物线的顶点为， 原抛物线沿方向移动后经过点， 抛物线上的点移动到了点，即向右移动了个单位，向下移动个单位， ， 以，，，为顶点的四边形为平行四边形， 与到的距离相等 以或为对角线时，，如图，过点作，交原抛物线于，， ， 设：， 把点代入得：， 解得：， ：， 由，解得：，， ，， 以为对角线，点、在直线的两侧，且到的距离相等，如图， 在上方作，交轴于点，使到的距离等于到的距离， 同理可得，， 由，解得：，， ，， 综上所述：符合条件的点坐标为：，，， 15．（2026·湖南长沙·三模）定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“立信之点”． (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点中，是矩形“立信之点”的是 ； (2)如图②，已知点A，B是抛物线上的“立信之点”，点C是抛物线的顶点．连接，，，若是以点C为直角顶点的直角三角形，求c的值； (3)在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1 (3)存在，或 【分析】（1）根据“立信之点”的定义解答即可； （2）设点的坐标为，点的坐标为，先求出和的值，再求出顶点的坐标，然后利用两点之间的距离公式、勾股定理建立方程求解即可； （3）先求出点的坐标，再根据建立方程求出点的坐标，然后根据对角线互相平分可求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点坐标分别是，，，， ∴矩形“立信之点”满足，， ∴点是矩形“立信之点”． （2）解：∵点是抛物线上的“立信之点”， ∴点是直线上的点， 设点的坐标为，点的坐标为， 联立得：， ∴是这个关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， 将二次函数化成顶点式为， ∴抛物线的顶点的坐标为， ∴，，， ∵是以点为直角顶点的直角三角形， ∴，即， 整理得：， ∴，即， 解得或， 当时，二次函数为，顶点坐标为， 联立，解得或， 此时，点与点重合，不能构成，不符合题意，舍去， ∴的值为1． （3）解：由（2）可知，二次函数的解析式为， 联立得：， 解得或， ∴，， 设点的坐标为， ∵以为顶点的菱形是以为对角线的， ∴， ∴， 即， 整理得：， 解得或， 当时，，则此时点的坐标为， 当时，，则此时点的坐标为， 设点的坐标为， 由菱形的性质得：对角线互相平分， ∴或， 解得或， ∴存在点，使得以为对角线，以为顶点的四边形是菱形，此时点的坐标为或． 【经典例题六 二次函数的角度问题】 16．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，平分，，． (1)点的坐标为______；(请直接写出结果) (2)求抛物线的表达式，及抛物线的对称轴； (3)若点为抛物线上第一象限内一动点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)抛物线的表达式为，对称轴为直线 (3)点的坐标为 【分析】本题是一道二次函数与几何的综合题，考查了二次函数的表达式与对称轴求解、角平分线的性质与定理、相似三角形判定与性质、勾股定理及坐标与图形的综合应用，核心是将几何性质转化为代数方程，通过数形结合的思路解题． （1）先由、的长度用勾股定理算出的长，再利用角平分线性质，通过的面积等于与的面积和建立方程，求出的长度，从而得到点的坐标； （2）因抛物线过、两点，可设交点式，代入点的坐标求出系数，进而得到解析式，再根据交点式的性质或对称轴公式求出对称轴； （3）作垂直轴构造直角三角形，结合已知角相等的条件证明与相似，利用相似三角形对应边成比例得到与的关系式，再联立抛物线解析式求解，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：已知，，则，． 由勾股定理得 . 如图过点作． 由平分，根据角平分线性质，点到的距离． ∵，， ∴，即， 解得，故点的坐标为． 故答案为：； （2）解：结合（1），设抛物线的交点式为， 代入得：，解得． ∴抛物线的表达式为． 抛物线的对称轴为直线； （3）解：如图，过点作轴于点．设点． 在和中，，， ∴． ∴，即， 整理化简得， 解得(舍去)，此时． 因此，点的坐标为． 17．（25-26九年级上·重庆渝北·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点为下方抛物线一动点，直线上有点、满足点在点的左侧且，当最大时，求此时点的坐标与的最小值． (3)将抛物线沿直线方向平移个单位得到新抛物线，在新抛物线找一点使，求符合条件的所有的坐标，并写出至少一个求解的坐标的过程． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，轴对称的性质，直线与二次函数的交点，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）过点作轴的平行线，交于点，根据铅锤法求得最大时，点的坐标，再把沿的方向移动个单位，求得移动后点的对应点的坐标，再利用两点之间线段最短的原理，求得的最小值，再加上即可解答； （3）抛物线沿直线方向平移个单位，即向下平移个单位，向右平移个单位，得到新抛物线的解析式，根据，得，即，分两种情况，点在轴上方和点在轴下方，分别列方程，求得点的坐标即可． 【详解】（1）解：把点，代入， 可得， 解得， 所以抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴的平行线，交于点， 令，可得， ， 设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， 所以直线的解析式为， 令，则， ， ， ∴当时，的面积取最大值，此时； 如图，把沿的方向移动个单位，点的对应点为，点的对应点为点， ， 根据勾股定理可得， ， ∴把沿的方向移动个单位，相当于向左平移个单位，向下平移1个单位， ， ， ， 当取最小值，即取最小值， 三点共线时，取最小值，此时点在处， ， ∴的最小值为； （3）解：， 为等腰直角三角形， ， 抛物线沿直线方向平移个单位得到新抛物线，即向下平移个单位，向右平移个单位， ， 抛物线的顶点为， ∴新抛物线的顶点为，即， ， ， ， ， ， ， 如图，当点在轴上方时，作，交轴于点， ，， ， 设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， 所以直线的解析式为， 令， 解得，， ，； 如图，当点在轴下方时，作直线关于轴的对称直线，交轴于点， 则， 令， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入可得， ， 解得， 所以直线的解析式为， 令， 解得，， ，； 综上，点的坐标为或或或． 18．（25-26九年级上·重庆江津·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，点为轴上一动点，点为抛物线对称轴上的动点，连接，，，，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)连接，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为抛物线上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为，的最小值为 (3)或 【分析】（1）使用待定系数法求函数解析式即可； （2）过点作轴的平行线，交于点，连接，，作点关于轴的对称点，连接，设点的坐标为，先求出直线的函数解析式为，则点的坐标为，使用割补法表示出的面积，得到关于的关系式，求出的面积最大时，点的坐标，从而得到点的坐标．由轴对称的性质可得，，，因此．根据两点之间，线段最短，可得当、、、四点共线时，取得最小值，即取得最小值，使用勾股定理计算即可； （3）根据题意可得，抛物线由抛物线向右平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度得到，则．当点在直线下方时，作射线交轴于点，容易证明，则点的坐标为，求出的函数解析式，再与抛物线联立，求出点的坐标．当点在直线上方时，作，且，容易证明，从而得到点的坐标为，经过分析可得，点即为所求的点． 【详解】（1）解：将，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴的平行线，交于点，连接，，作点关于轴的对称点，连接，设点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， ∵轴， ∴， ∴点的坐标为， ∴， ∵点到直线的距离为，点到直线的距离为， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ∴当时，取得最大值，此时点的坐标为， ∴点的坐标为， 由轴对称的性质可得，，， ∴ 由线段公理可得，， ∴当、、、四点共线时，取得最小值，即取得最小值， 由勾股定理可得，， ∴的最小值为； （3）解：①当点在直线下方时，如图，作射线交轴于点，设点平移到点处，作，垂足为， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由题意可知，， 由勾股定理可得，， ∴， ∴抛物线由抛物线向右平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度得到， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∵点在第一象限， ∴点的坐标为； ②当点在直线上方时，如图，作，且， ∴射线与抛物线的交点即为点， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴点坐标为， 将代入，得， ∴点在抛物线上， ∴点即为所求的点， ∴点坐标为； 综上所述，点坐标为或； 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，函数的平移规律，解一元二次方程，轴对称的性质，线段和最值问题，熟练掌握相关知识是关键． 【经典例题七 二次函数的面积问题】 19．（2026·上海·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点和点，点为抛物线的顶点，直线与抛物线交于点． (1)求抛物线的解析式，并求出点坐标； (2)若在轴上有一点，使得的三条高所在直线交于三角形外一点，设点的横坐标为，求的取值范围； (3)若直角坐标平面中的点和点、、构成直角梯形，且面积为，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，顶点坐标为； (2)或或 (3)点的坐标为或或． 【分析】（1）用待定系数法求出二次函数的解析式，把解析式转化为顶点坐标式，即可得到抛物线的顶点坐标； （2）根据锐角三角形三条高的交点在三角形内部、直角三角形三条高的交点是直角顶点、钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，可知是钝角三角形，分三种情况讨论； （3）根据点、、的坐标可知，若点和点、、构成直角梯形，则有三种情况，一种情况是，另一种情况是，根据梯形的面积是分情况求解，第三种情况为，，验证面积等于13.2即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把点的坐标代入解析式， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 整理得：； 把整理成顶点坐标式， 可得：， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：的三条高所在直线交于三角形外一点， 是钝角三角形， 如下图所示，当点在点的左侧时， 即时，是钝角三角形， 的三条高所在直线交于三角形外一点； 如下图所示，过点作轴， 点的坐标是， 点的坐标为， 当点在点右侧，点左侧时， 即时，是钝角三角形， 的三条高所在直线交于三角形外一点； 如下图所示，过点作交轴于点，作轴于点， 则， 又， ， ， 由点和点可知点的坐标为， ，，， ， ， 解得：， ， 点的坐标为， 当点在点右侧， 即时，是钝角三角形， 的三条高所在直线交于三角形外一点； 综上所述，当的三条高所在直线交于三角形外一点时，的取值范围为或或； （3）解：由点、点、点的坐标， 可知，，， ， ， 是直角三角形，，且，； 当时，如下图所示， 梯形的面积为， ， 整理可得：， 解得：， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 则直线的解析式为， ，， ， 设直线的解析式为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的坐标为， ， ， 解得：，（不符合条件，舍去）， ， 点的坐标为； 当时，如下图所示， 梯形的面积为， ， 解得：， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：，     直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的坐标为， ， ， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 点的坐标为． 当，时，如下图所示， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：，     直线的解析式为，     ∵， ∴设直线的解析式为， 把代入直线解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∴，， ∵ ∴， ∴, ∴， 整理得， 解得： ∵，当的横坐标为时，与不平行，舍去， ∴    , ∴，即， ，即， ∴，符合题意； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查二次函数图像和性质，待定系数法求函数的解析式，一次函数解析式，特殊四边形的面积计算等相关知识点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 20．（2026·湖南长沙·二模）已知：抛物线交x轴于点A和点C，与y轴交于点B，且．    (1)求抛物线解析式； (2)点P是第四象限抛物线上一点，连接交y轴于点F，若点P的横坐标为t，的面积为s，求s与t的关系式； (3)在（2）的条件下，，延长、交于点，点在线段上，过点作于点，的延长线交抛物线于点，点在直线下方的第四象限内，连接、、，，点在的延长线上，连接并延长交轴于点，，当的面积为9，点是的中点时，求点D的横坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，可求得，，再根据，求得，代入点即可求得抛物线解析式； （2）过点作轴，则可得，点的横坐标为，可得，，利用相似三角形性质可得，即：，求出，利用即可求得与的关系式； （3）当时，求得，进而可得直线的解析式为：，直线的解析式为：，可求得交点，由两点间距离公式可得：，，，，， 过点作交于，可解得，，即可得，进而可得，延长使得，过点作交于，易证得，可证得，进而可证，则，结合题意易知为等腰直角三角形，设，则，利用相似三角形所列比例关系可得，由，，可得，进而可得，通过的面积为9，即，可得，则，，设，，，，可列方程，，求得，，进而可得的解析式为：，联立直线与抛物线可得：，可求得点的横坐标为． 【详解】（1）解：令，则，解得：，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 将代入，可得，解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：过点作轴，交x轴于点E，如图所示：    ∵轴， ∴， ∴， ∵点是第四象限抛物线上一点，点的横坐标为，则纵坐标为， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为： ， ∴与的关系式为； （3）解：当时，即，可得， 则， 即：， 设直线的解析式为：， 将，代入中可得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 同理可得，直线的解析式为：， 联立， 解得：， 即， 由，，，，， 由两点间距离公式可得： ，，，，， 如图，过点作交于， 则， 即， ∴， 则， ∴， ∴， ∵， ∴，即 又∵，即， ∴， 如图，延长使得，过点作交于，      ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，则为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵，即， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 又∵的面积为9，即， ∴，负值舍去， ∴，， ∵点在线段上，则点在点上方， 则设，，，， ∴， 解得，（舍去）， 则， ， 解得，（舍去）， 则， ∴，， 设的解析式为：，代入，，可得 ， 解得： ， ∴的解析式为：， 联立直线与抛物线可得：， 解得：， 由题意可知点的横坐标为负值， ∴点的横坐标为． 21．（2026·四川德阳·模拟预测）如图1，抛物线与轴交于两点，对称轴是直线 ，图象与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线位于第二象限图象上的一点，连接，当时，求点的坐标； (3)如图2，点是线段上一动点，的坐标，连接，求的最小值． 【答案】(1)； (2)点的坐标为； (3)3． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当时，，利用待定系数法求得直线的解析式，联立求解即可； （3）过点作于点，作于点，求得，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，对称轴是直线， ∴，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作平行线，交抛物线于点，此时， 令， 则， ∴，， ∵， ∴设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴设直线的解析式为， 联立解析式：， 解得：，， ∴点的坐标为； （3）解：如图，过点作于点，作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值为3． 【经典例题八 二次函数与方程、不等式综合 】 22．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知二次函数． (1)若，求此函数与x轴的交点坐标； (2)对于二次函数，当，时，y的最大值与最小值的差为5，求a的值： (3)将在间的图象记为G，若图象G与直线有2个不同的交点，请求出a的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或且 【分析】（1）当时，，令，求出对应的自变量取值，即可得到与x轴的交点坐标； （2）将函数化为顶点式，得出抛物线开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越小，进而求出时，y的最大值与最小值，即可得解； （3）根据与轴的交点可得，图象G与直线始终有1个交点，分两种情况讨论：当时，在处图象上的点需在直线上或它的上方；当时，在处图象上的点需在直线上或它的下方，再考虑直线与图象相切时只有1个交点，即可得解． 【详解】（1）解：当时，， 令，则， 解得：，， 此函数与x轴的交点坐标为，； （2）解：， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越小， 当时，为最大值； ， 当时，为最小值 时，y的最大值与最小值的差为5， ， ， 解得：； （3）解：， 抛物线与x轴的交点坐标为，， 令，则， 直线与x轴的交点坐标为， 图象与直线始终有1个交点， 当时， 当时，， 图象G与直线有2个不同的交点， 当时，， ， 解得：； 当时， 当时，， 图象G与直线有2个不同的交点， 当时，， ， 解得：， 当时，整理得，， 若直线与图象相切，则， 整理得，，即 解得：，此时只有1个交点， 综上可知，若图象G与直线有2个不同的交点，a的取值范围为或且． 23．（2026·广西南宁·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于 、两点（点在点左侧），与 轴交于点．直线经过、两点． (1)求点、的坐标，并求直线的函数解析式（用含的代数式表示）； (2)当时，若自变量 满足时，函数 的最大值与最小值之差为5，求的值； (3)设线段的中点为，点在抛物线上，且 ，若满足条件的点 恰好有2个，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，当或时，，直线的解析式为 ；当时， ，直线的解析式为 (2) (3)或或或 【分析】令，因式分解得，再分情况得到点及直线的解析式； 分、、、四种情况，结合抛物线的性质求即可； 分、、且、，结合函数图象进行判断求解即可. 【详解】（1）解：令，，则， 令，则，即， 解得， 所以当或时，，直线的解析式为 ； 当时， ，直线的解析式为； （2）解：，对称轴为， 当时，，则时，随 的增大而减小， 则时，取得最大值，最大值为， 时，取得最小值，最小值为， ，解得（舍去）； 当时，，则时，随 的增大而增大， 则时，取得最小值，最小值为， 时，取得最大值，最大值为， ，解得（舍去）； 当，，则离对称轴更远， 则时，取得最大值，最大值为， 时，取得最小值，最小值为， ，即， 解得（舍去），（舍去）； 当，，则离对称轴更远， 则时，取得最大值，最大值为， 时，取得最小值，最小值为， ，即， 解得或（舍去）； 综上； （3）解：由（1）知时，，， 则为等腰直角三角形，， 又， 所以或， 即直线的解析式为，与抛物线有两个交点，此时有一个点符合题意， 直线的解析式为，与抛物线只有一个交点，此时有一个点符合题意， 即时，符合题意； 时，，则，如图点再开口的内部， 当时，这样的直线有两条，每条与抛物线有两个交点，其中一个符合题意， 则恰有2个点使得， 所以时，符合题意； 且时，同理恰有2个点使得，符合题意； 时，，， 与夹角为的直线有两条，或， 时，此时，不符合题意， 时，与抛物线有两个交点，其中一个能使， 故此时，满足题意的点只有1个，不符合题意； 综上或或或． 24．（2026·广东茂名·二模）在平面直角坐标系中，抛物线． (1)①证明：抛物线与轴恒有两个交点； ②求出抛物线与轴交点的坐标（用含的式子表示）； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点（，不重合）． ①若，，求的长； ②若当，的长随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1)①证明：∵令，则，即，，， ∴， ∵， ∴， ∴抛物线与轴恒有两个交点； ②抛物线与轴交点坐标为和 ． (2)①；②或或． 【分析】（1）①将二次函数转换成一元二次方程，利用判别式判断出一元二次方程解的情况即二次函数与轴交点的情况，②再运用公式法求解交点即可； （2）①先根据题意求出二次函数解析式和一次函数解析式，以及点坐标，再根据题意判断出三点共线，即，即可求出，最后根据求解即可；②根据题意判断出三点共线，即，即可求出，再根据求出是关于的二次函数解析，分类讨论（），（），根据二次函数的性质和不等方程的性质分别求解即可． 【详解】（1）①略； ②由①得且， ∴， ∵， ∴解得：，， ∴抛物线与轴交点坐标为和 ； （2）①∵， ∴抛物线解析式为：，直线解析式为：， ∵， ∴， ∵点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点， ∴三点共线，即， ∴，， ∴； ②∵点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点， ∴三点共线，即， ∴，， ∴， 分类讨论： （），即， ∵， ∴是关于的二次函数，即对称轴为直线， ∴当，的长随的增大而增大， ∴，解得， （）当时， ∵， ∵， ∴， ∴，即 ， ∴，解得， ∴， （）当时， ∵， ∵， ∴， ∴，即 ， ∴，解得， ∴， （），即， ∵， ∴是关于的二次函数，即对称轴为直线， ∴当，的长随的增大而增大， ∴，解得， ∵， ∵，， ∴， ∴，即 ， ∴，解得， ∴ ∴当，的长随的增大而增大，求的取值范围为或或． 【经典例题九 二次函数应用之含参问题】 25．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）根据背景素材，探索解决问题． 背景 某公司的一种商品，每件成本为50元．经市场调研，售价为60元时，可销售800件；售价每提高1元，销售量将减少20件，设商品的售价为x（，且x为整数）元． 问题解决 任务1 当元时，该种商品的销售量为 件． 任务2 公司销售这批商品获利12000元时，这种商品每件售价是多少？ 任务3 当售价为多少时，销售这种商品的利润最大？最大利润是多少？ 任务4 若该种商品的销售得到当地政府的支持，公司每销售一件商品政府补贴给公司n元（n为正整数）．公司发现当售价为70时，利润最大，则n为 ． （利润销售利润补贴） 【答案】任务1：600；任务2：70或80元；任务3：售价为75元，有最大值，最大值为12500元；任务4：10 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，求得二次函数解析式，并利用二次函数的性质得出最值． 任务1：根据题意列式计算即可； 任务2：设这种商品每件售价是元，根据等量关系“利润（售价进价） 销量”列出一元二次方程，解之可得． 任务3：设当售价为元时，该商店销售这种商品每天获得的利润为元，根据与任务2中相同的关系列出函数关系式，配方后依据二次函数的性质求得利润最大值． 任务4：根据题意列出函数关系式，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】任务1：当元时，该种商品的销售量为件， 故答案为：600； 任务2：设这种商品每件售价是元， 根据题意，得， 解方程得：或， 即当每件的销售价为70或80元时，销售该商品每天能获得利润12000元； 任务3：设当售价为元时，该商店销售这种商品每天获得的利润为元， 由题意得： ∵，， ∴该函数图象为开口向下的抛物线，在对称轴处取得最大值， ∴每件销售价为75元时，获得最大利润；最大利润为12500元． 任务4：根据题意可得此时 ， ∵当销售价为70元时，利润最大， ∴， 解得：， 故答案为：10． 26．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）一阆中特产商店销售某种规格的保宁醋，经市场调查发现，这种规格的保宁醋月销量（件）是售价（元／件）的一次函数，该保宁醋的月销售总利润（售价-成本）×月销量，三者有如下数据： 售价（元／件） 30 40 60 月销量（件） 210 180 120 月销售总利润（元） 2100 3600 4800 (1)试求关于的函数关系式（的取值范围不必写出）； (2)求当保宁醋售价为多少元时，月销售总利润有最大值，最大值为多少元？ (3)由于进价下降，从本月起，该规格保宁醋成本下降元／件（），且物价局规定该保宁醋售价最高不得超过元／件．若月销量与售价仍满足（1）中的关系，预计本月总利润最高为元，请你求出的值． 【答案】(1) (2)当售价为元时，月销售总利润有最大值，最大值为元 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． （1）设关于的函数解析式为，用待定系数法求解即可； （2）根据销售利润的关系式求解即可； （3）根据题意重新列出二次函数，再结合自变量的取值范围，以及函数轴对称的位置，判断出当，总利润最高，代入函数表达式进行求解即可． 【详解】（1）解：令关于的函数表达式为， 当时，，当时，，代入函数表达式， 得，解得， 故函数表达式为． （2）解：当时，，利润， 由此计算出成本为， 故成本价为元／件， ∴， 化简得， ∴当时，利润最大，最大利润为元． （3）解：利润， 函数图像对称轴为直线， ∵， ∴， ∴当时，总利润最高，为元 得， 解得，满足条件； 故的值为． 27．（25-26九年级下·四川成都·自主招生）某公司生产的某种时令商品每件成本为元，经过市场调研发现，这种商品在未来天内的日销售量（件）与时间（天）的关系如下表： 时间（天） 1 3 6 10 36 … 日销售量（件） 94 90 84 76 24 … 未来天内，前天每天的价格（元/件）与时间（天）的函数关系式为：（且为整数）；后天每天的价格（元/件）与时间（天）的函数关系式为：（且为整数）．下面我们来研究这种商品的有关问题． (1)认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的函数关系式； (2)请预测未来天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？ (3)在实际销售的前天中该公司决定每销售一件商品就捐赠元利润（）给希望工程，公司通过销售记录发现，前天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，利润最大，最大利润是元 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数应用销售问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）设时间为，日销售量为，待定系数法求解析式即可． （2）设销售利润为，根据题意可得或，化为顶点式即可求解． （3）由题意列出利润的式子，并化成顶点式再根据前天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间的增大而增大即可列，求解即可． 【详解】（1）解：设时间为，日销售量为， 经分析和成一次函数关系，设， 将，代入上式， 可得， 解得：， ∴． （2）解：设销售利润为， 根据题意可得：或， 整理得或， 综上知，当时，利润最大，最大利润是元； （3）解：由题意得， 整理得， ∵前天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间的增大而增大， ∴， 解得：， 综上可得：． 【经典例题十 二次函数应用之符合要求问题 】 28．（2026·山西忻州·二模）综合与实践 问题背景：二连跨拱形仓库采用抛物线形拱顶设计，为双跨一体式结构，内部无立柱，空间开阔．采光通风良好，坚固耐用，可适配各类仓储场景．其纵切面如图1所示． 建立模型：如图2，表示水平直线（地面），，表示立柱，且，均垂直于，过点A的竖直直线与交于点O，此时构成拱顶的两段抛物线和、立柱和均关于直线对称．以O为原点，水平直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）． 测量数据：，跨度，拱顶最高点距离地面的高度为． (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出抛物线的函数表达式． 问题解决：储物箱纵切面为矩形，长为，高为．以为对称轴向两侧摆放一排储物箱，为保障存放安全，相邻两列储物箱之间的距离均为． (2)若每列放置两个储物箱，请计算最右侧储物箱的右上顶点M与抛物线在竖直方向上的距离． (3)根据安全要求，储物箱上表面任意一点到拱顶的竖直距离不得小于，请问：在保证安全的前提下，这一排最多可以放置多少个这样的储物箱？请直接写出结果． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为；抛物线的函数表达式为 (2) (3)28个 【分析】（1）运用待定系数法可求出抛物线的函数表达式为，根据对称性可得出抛物线的函数表达式为； （2）设y轴右侧可以摆放m列储物箱，根据题意列不等式求解即可； （3）由（2）知，右边仓库可放4列储物箱，求出每列数量分别为3，4，4，3，共14个，同理可求左边仓库也可放14个，共计可放28个． 【详解】（1）解：由题意，得抛物线的对称轴为直线，拱顶最高点距离地面的高度为， ∴抛物线的顶点坐标为； 设抛物线的函数表达式为， 由题意得，点A的坐标为，且点A在抛物线上， ∴， 解得 ∴抛物线的函数表达式为， 由对称得抛物线的函数表达式为； （2）解：设y轴右侧可以摆放m列储物箱，由题意,得， 解得， ∵m为正整数，且取最大值， ∴， 此时点M的横坐标为， 将代入， 得， ∴点M与抛物线在竖直方向上的距离为； （3）解：由（2）知，右边仓库可放4列储物箱， 由题意得，第一列储物箱离的距离为， 当时，， （个）余1.08米， 同理可求第二列4个， 根据对称性，第三列4，第四列3个， 所以，这个仓库可摆放（个）， 同样左边的仓库也可摆放14个储物箱， 共计可摆放（个）储物箱． 29．（25-26九年级下·辽宁沈阳·开学考试）某城市建设调研小组发现，部分公交站台的遮阳棚在风雨天气下存在安全隐患与遮挡不足的问题．为优化设计，该小组考察了某遮阳棚的结构．以下为该小组调研报告的部分记录，请认真阅读，并解决问题． 发现问题 遮阳棚抗风加固 公交车安全停靠 模型抽象与图形表示 遮阳棚横截面示意图，棚顶可视为抛物线的一部分如图2所示． 公交车停靠示意图如图3所示（忽略公交车车顶的实际弧度、空调装置等微小起伏，假设车厢顶部在车辆全长范围内是完全平坦且水平的．） 条件与规范整理 如图4当风力较大时，需在棚内侧安装钢架（为线段）加固，且在棚顶与钢架之间安装一根垂直钢架（在棚顶，在上，轴）． 车身完全覆盖要求：公交车需完全停入遮阳棚下方，即车辆整体（包括车厢最高点）均位于遮阳棚的横向覆盖范围内．垂直安全间隙要求：车厢最高点与棚顶之间需保持一定的安全间隙，以避免因车辆振动、风载或路面不平等因素发生碰撞． 实测数据采集 棚顶最高点B到地面距离为4米，棚顶与立柱交点A到地面距离为2米，A、B两点水平距离为12米． 已知车身长约8米，公交车车厢最高点距地面约米，车身宽度与站台停靠都匹配，不考虑宽度影响． 问题解决： (1)如图2，以地面为x轴，过点A的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)如图3，请通过计算说明钢架加固前该公交车能否完全停入遮阳棚正下方； (3)如图4，为了让遮阳棚更加稳固，计划在遮阳棚内侧安装两段钢架．其中一段为，然后在棚顶某处取点C，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．直接写出第二段钢架长度的最大值． 【答案】(1)抛物线解析式为； (2) 令，则， 解得或（舍去）， ， 钢架加固前该公交车能完全停入遮阳棚正下方； (3)的最大值为． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式等知识点，灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （）由题意得，，设抛物线解析式为，然后求出的值即可； （）令，则，解得或（舍去），因为，所以钢架加固前该公交车能完全停入遮阳棚正下方； （）先求出解析式为，设，则，则，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， 设抛物线解析式为， ，解得， 抛物线解析式为； （2）略 （3）解：设解析式为， ，解得， 解析式为， 设，则， ， ， 当时，的最大值为． 30．（2026九年级下·全国·专题练习）如图，一座古桥的桥拱截面为抛物线，，是桥墩，桥的跨径为，水位在处时，桥拱最高点P离水面，水面以上的桥墩，都为．以所在直线为x轴、所在直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求此桥拱截面所在抛物线的表达式； (2)当水位上涨时，一艘宽的游船能否从桥洞下通过？请说明理由． 【答案】(1)； (2) 解：水位上涨后， 得， 解得，， 则水面宽为， ∴故游船能通过． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出抛物线解析式是解题的关键． （1）先求出点A，点B，点P的坐标，再设出抛物线解析式代入求解即可得到答案； （2）将水位上涨时的y代入解析式求出当时x的值，然后计算出两个对应的x的值之间的差值即可得到答案； 【详解】（1）解：设抛物线表达式为， 由题意得，，， 代入得， 解得， ∴表达式为； （2）略 【经典例题十一 二次函数应用与相似结合】 31．（2026·广东佛山·三模）【问题提出】某班开展课外锻炼，有7位学生组队参加跳长绳运动，如何才能顺利开展活动呢？ 【实践活动】在体育老师的指导下，队员们进行了以下实践： 步骤一：收集身高数据如下： 队员 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 身高 1.70 1.70 1.73 1.60 1.68 1.80 1.60 步骤二：为增加甩绳的稳定度，确定两位身高较高且相近的甲、乙队员甩绳，其余队员跳绳； 步骤三：所有队员站成一排，跳绳队员按照中高、两低的方式排列，同时7名队员每两人间的距离至少为才能保证安全； 步骤四，如图1，两位甩绳队员通过多次实践发现，当两人的水平距离，手离地面的高度，绳子最高点距离地面时，效果最佳； 根据以下素材，探索完成任务． 设计跳长绳方案 素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下： （1）每班需要报名跳绳同学9人，摇绳同学2人； （2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1． 素材2：某班进行赛前训练，发现： （1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为，绳子最高点为，摇绳同学的出手高度均为，如图2： （2）9名跳绳同学身高如表． 身高（） 人数 素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现： （1）跳绳时，人的跳起高度在及以下较为舒服； （2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的． (1)任务1：确定长绳形状．请在图2中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式． (2)任务2：确定排列方案，该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距，请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学． 【答案】(1) (2)当绳子在最高点时，长绳不会触碰到最边侧的同学 【分析】（1）根据题意得到，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意确定最边侧同学的横坐标，纵坐标，代入计算函数值进行比较即可． 【详解】（1）解：如图所示， ∴， 设绳子摇至最高点时的抛物线为，把代入得， ， 解得，， ∴； （2）解：9名同学中，身高最小的是，在最右（左）边， ∵将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距， ∴最右则同学的横坐标为， ∵当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，头顶到地面的高度是身高的， ∴此时，头顶到地面的高度是， 在抛物线中， 当时，， ∵， ∴当绳子在最高点时，长绳不会触碰到最边侧的同学． 32．（2026·山东·中考真题）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与O点水平距离的C处达到最高，高度为． ①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是（），丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度． 【答案】(1)如图，建立平面直角坐标系． 函数表达式为； ②的取值范围为 (2)丙的平均速度为米/秒 【分析】（1）由题意得，，设函数表达式为：，把代入，即可求解； ②当时，，由题意得，，即可求解； （2）当时，，求得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，设函数表达式为：， 把代入，得， 解得， ∴函数表达式为：． ②当时，， 由题意得，， 当时，整理得，， 令， 当时，， 解得，， ∴的解集为； 当时，整理得，， 令， 当时，， 解得，， ∴的解集为或； 由题意得，， 综上所述，的取值范围为． （2）解：当时，， 解得，（舍去）， ∴丙的平均速度为（米/秒）． 33．（2026·河南驻马店·三模）转枝是果树栽培中的核心技术之一，目的是调整枝条生长方向、抑制顶端优势、促进花芽分化、平衡树势．某果农在进行枝条牵引定形时，将枝条弯成抛物线形状作为支撑骨架（如图1），以垂直于地面的果树主干为轴，水平地面为轴建立平面直角坐标系如图2所示．枝条上的点，，在抛物线形骨架上，点到主干的水平距离为，点在枝条抛物线形骨架的外端处，主干的高度为，已知抛物线形枝条的最高点到的水平距离为，离地面的高度为． (1)设抛物线形枝条上某处离地面的高度为，该处到主干的水平距离为，求与之间的函数解析式． (2)若枝条外端到主干的水平距离（即枝条牵引深度）为，求点离地面的高度． (3)为保证枝条弯枝之后不至于断枝（当的长度超过时枝条会被折断），需测量安全监测距离（为枝条上某点到牵引绳的铅锤距离）．已知点，间的距离为，试判断该枝条会不会被折断，并说明理由． 【答案】(1) (2)点离地面的高度为 (3)该枝条不会被折断，理由如下： ∵，， ∴， ∵点到主干的水平距离为， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， 这是一个开口向下的二次函数，顶点在处， 代入得：的最大值为， ∵， ∴该枝条不会被折断． 【分析】（1）根据题意得抛物线顶点的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中所求的解析式，求出点P的纵坐标，即可判断． （3）运用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，则，求出的最大值即可． 【详解】（1）解：根据题意得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 由题意得，点在抛物线上，代入得：， 解得：， 所以，抛物线的解析式为，即：； （2）解：∵枝条外端到主干的水平距离（即枝条牵引深度）为， ∴， ∴ ， ∴点离地面的高度为； （3）略 【经典例题十二 二次函数的新定义问题】 34．（25-26八年级下·北京·阶段检测）对于平面内三个不同的点，，，给出如下定义：若为直角三角形且，则称为线段的关联点，特别的如果，称为线段的强关联点，在平面直角坐标系中，已知， (1)如图1在点，，，中，线段的关联点是_____________________； (2)已知点，． ①如图2，当时，若直线上存在线段的强关联点，求的取值范围； ②如图3，若存在点既是线段的关联点又是线段的强关联点，直接写出的取值范围是_____________________． 【答案】(1)，； (2)①且；②且， ，，，， 【分析】（1）直角在、时，在竖直线上，逐一验证各点坐标，即可判断； （2）①强关联点需满足直角在或，且，即直角边、．分别推导两种直角下所在直线及横坐标范围，再联立直线，根据交点横坐标的约束列不等式，最终得且；②点需同时是的关联点与的强关联点．的关联点在两条竖线上，分别设的坐标，结合强关联点的直角条件与角度约束列方程与不等式，分四类情况讨论求解，整合范围并排除点重合的特殊值，得且． 【详解】（1）解：由题意得，为直角三角形且直角顶点是或，则是线段的关联点， ∵，， ∴是水平线段， 当时，则，为竖直线，即在直线上（点除外）； 当时，则，为竖直线，即在直线上（点除外）， ：不在上，不是关联点； ：不在上，不是关联点； ：在上，且，是关联点； ：在上，且，是关联点； （2）解：①当时，，， 当直角在点时，即， ∴， 设， ∴，， 又∵ ∴ 解得， ∴当直角在点时，点在直线上， ∵点G为线段的强关联点， ∴， ∴， ∴，即， 将代入，则， ∵， ∴关于的抛物线开口向上，如图， 令，此时 解得， 由图可得，当时，即时，此时x为， ∴强关联点G是直线上的线段， 同理可得，直角在时，由，可得， ∵， ∴， ∴ 同理可得，， ∴强关联点G是直线上的线段， ∵强关联点G在上， ∴， 解得， ∵， ∴ 解得； ， 解得， ∵， ∴ 解得， 综上所述，的取值范围为且； ②由题意得，的关联点G，直角顶点在或上， ∴在竖直线（不与重合）或（不与重合）上， 的强关联点G，直角顶点在或上，且， 当在竖直线时，设，当直角顶点为点时，即， ∴， ∵，，， ∴ 解得， ∵， ∴，即， ∴， 同理可得，， 当与重合时， 解得（舍去）； 当与重合时，（舍去）； 当直角顶点为点时，即， 由，同理可得，， ∵， ∴，即， ∴， 同理可得，． 当与重合时， 解得（舍去）； 当与重合时， 解得（舍去）； 当在竖直线时，设， 当直角顶点为点时，即， 由勾股定理，同理可得，． ∵， ∴， 同理可得，， 当与重合时， 解得（舍去）； 当与重合时，（舍去）； 当直角顶点为时，即， 由勾股定理，同理可得，， ∵， ∴， 同理可得，， 当与重合时， 解得（舍去）； 当与重合时， 解得（舍去）； 综上所述，t的范围为，． 【点睛】先拆解定义，将“关联点”转化为过线段端点的垂线（直角在端点），“强关联点”增加的约束；解题时按直角顶点分类讨论，联立方程结合范围求解．常见错误：遗漏分类情况、忽略点不可重合的约束、角度与边长转化出错． 35．（2026·山东枣庄·三模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标3倍，则称这个点为“三倍点”．如：等都是“三倍点”． (1)已知二次函数．①若该函数图象向左平移5个单位，其顶点刚好是三倍点，求该函数表达式；②点在该函数图象上，其中，若的最小值是，求的值； (2)若二次函数的图象上不存在“三倍点”，令，求的取值范围． 【答案】(1)①，②； (2) 【分析】（1）①该函数图象向左平移5个单位，解析式为：，顶点坐标为，再结合新定义求解即可； ②先判断顶点在的范围内，求得，从而求得抛物线的表达式及的值； （2）由二次函数的图象上不存在“三倍点”，可得无解，进一步可得，最后根据二次函数的性质，可求得答案． 【详解】（1）解：①∵二次函数， ∴该函数图象向左平移5个单位，解析式为：， ∴顶点坐标为， ∵顶点刚好是三倍点， ∴， 解得：， ∴该函数解析式为：； ②∵， 抛物线的对称轴为直线， ∵， 当时，的最小值是， ， ， ，抛物线的表达式为， 当时，； （2）解：二次函数的图象上不存在“三倍点”， ∴无解， 整理得：， 判别式， 解得：， 而 ， 当时，， ∵，则图象开口向上， 当时，随的增大而减小， ∴时，． 36．（2026·安徽合肥·二模）对于代数式和定义一种新运算：． (1)求二次函数的顶点坐标； (2)已知：二次函数（为常数，且）； （i）若函数的对称轴为直线，求的值； （ii）若与的函数图象交点为，过点作一条直线，该直线与两个函数图象交于、两点，当、两点横坐标的差为5时，求的值． 【答案】(1)顶点坐标 (2)（i）；（ii）或 【分析】（1）根据新定义可得，再配方得出顶点式，即可得出答案； （2）（i）根据新定义得出，再根据对称轴得出关于m的方程，求出解即可； （ii）由（1）得函数，即可求出函数图象与轴交点，再根据函数过，可知交点为，然后设点坐标为，点坐标为，接下来表示出直线的解析式，再将直线的解析式和联立，由两根之和可得，同理可得：，再根据横坐标之差得，结合已知条件得，求出解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 所以二次函数的顶点坐标； （2）解：（i） 对称轴为直线， ， 解得， 的值为1； （ii）由（1）得函数， 令， 解得，． 函数图象与轴交点分别是和． 函数过，则交点为， 过点作一条直线分别与两个函数图象交于、两点， 可设点坐标为，点坐标为， 直线的解析式为． ， ， ∴． 又与交于点、， ， 即， 由两根之和得：． 又与交于点、， 同理可得：， 则， 当、两点横坐标的差为5时，， 或． 学科网（北京）股份有限公司 $