23.3.4 相似三角形的应用（第3课时：重心的概念及其性质） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

23.3.4 相似三角形的应用（第3课时：重心的概念及其性质） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 【基础夯实】 一、单选题 1．如果点是的重心，是边的中点，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长至点，使得，连接，连接并延长交于点，证明，得出，，从而可得，再证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，连接并延长交于点， ∵点是的重心， ∴为的中点， ∴， ∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 2．如图，在中，，点是的重心，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的重心性质及直角三角形面积公式，首先根据直角三角形面积公式求出 的面积，再利用三角形重心的性质：重心与三个顶点连线将三角形分成面积相等的三个三角形，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵ 点 是的重心， ∴， ∵， ∴． 3．如图，在中，交边于点，设点是的重心，若点在线段上，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C．平分 D．且平分 【答案】A 【分析】先根据三角形重心的定义得到为的中线，然后根据三角形中线的性质和等腰三角形的性质对各选项进行判断． 【详解】解：点是的重心， 为的中线， ，所以A选项符合题意； 只有当时，平分，所以B选项、C选项、D选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点． 4．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的重心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】三角形三条中线的交点，叫做它的重心，据此解答即可． 【详解】根据题意可知，直线经过的边上的中点，直线经过的边上的中点，∴点是重心．故选A． 【点睛】本题考查三角形的重心的定义，解题的关键是熟记三角形的重心是三角形中线的交点． 5．如图，为的重心，经过点，，分别交，于点，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接并延长交于点，根据重心的性质得出，再利用相似三角形的判定与性质即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长交于点， ∵为的重心 ， ∴为的中线，且， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．如图，点是的重心，是边上一点，，连接，连接并延长分别交于点、，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的重心，三角形中位线定理，关键是由，推出．取中点M，连接，由三角形重心的性质得到，E是中点，由三角形中位线定理推出，，判定，推出，得到，求出，即可得到的值． 【详解】解：取中点M，连接， ∵点G是的重心， ∴，E是中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题 7．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标点，，点，则的重心坐标为________． 【答案】 【分析】取、的中点、，连接、交于点，则点是的重心，根据中点坐标公式可得，，利用待定系数法求出直线和的解析式，再求出两直线的交点坐标即可得解． 【详解】解：如图，取、的中点、，连接、交于点，则点是的重心， ，，， ，， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 联立，解得：， ，即的重心坐标为． 8．如图，的两条中线、相交于点G，如果，那么__________． 【答案】12 【分析】此题主要考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的两倍．根据D，E分别是三角形的中点，得出G是三角形的重心，再利用重心的概念可得：进而得到，再根据是的中线可得进而得到答案． 【详解】解：∵的两条中线、相交于点G， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线， ∴． 故答案为：12． 9．如图，在中，，点G是的重心，如果，那么______． 【答案】 【分析】根据重心的性质，可得，再用勾股定理求出，进而得到即可． 【详解】解：点G是的重心， ，则， ， ， ． 10．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过的重心，若的面积为6，则的值为_______． 【答案】2 【分析】设点的坐标为，先根据等腰三角形的性质、三线合一和的面积为6，得出的值，再由三角形重心坐标公式写出的坐标，代入反比例函数中即可求得的值． 【详解】解：设点的坐标为，点在第一象限，，， ∵， ∴是等腰三角形， 点在轴的正半轴上，过点作于点， 又∵等腰三角形三线合一， ∴点是的中点，， ∴，， ∴，， ∴的面积， ∵是的重心，设， ，， ∴， ∵反比例函数的图象经过的重心，将的坐标代入反比例函数中，得， ． 三、解答题 11．如图，在中，中线相交于点G， (1)若，求的长； (2)若的面积为1，求的面积． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）根据题意可得点G是的重心，由重心的性质可得，据此求出的长即可得到答案； （2）根据三角形的中线平分三角形的面积得到，再由（1）得，据此可得． 【详解】（1）解：∵在中，中线相交于点G， ∴点G是的重心， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴； 由（1）得， ∴， ∴． 12．已知：如图，为的中位线，与交于点M，过点B作，交的延长线于点N，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：如图，设与相交于点， ∵为的中位线， ∴点、分别为、的中点， ∴，是的中线， ∴是的中线，即点是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． (2) 证明：由（1）可知，四边形是平行四边形，点是的三条中线的交点， ∴，点是的重心， ∴，， ∴． 【分析】（1）设与相交于点，由为的中位线，可得是的中线，则，证明，得，即可证明结论； （2）由四边形是平行四边形，点是的三条中线的交点，可得，，即可证明结论． 【详解】（1）略； （2）略． 13．【探究课题】三角形重心性质的探究． 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一个三角架从重心O处将三角形平稳支撑起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图1中，的值是多少？ (1)【解决问题】若的面积为6，______，______． (2)【解决问题】求的值． (3)【拓展应用】如图2，在中，点是的重心，连接，并延长，分别交边，于点，．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 【答案】(1)3；6 (2) (3)4 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算． （1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出答案； （2）根据，即可得出答案； （3）点是的重心，类比（1），（2）可知，，，求得，，，，再根据，，即可求解． 【详解】（1）解：∵点为的重心， ∴，，分别是，，边上的中点， ，，， ， ； （2）解：∵，， ∴． （3）解：点为的重心，类比（1），（2）可知，，， ∵，， ∴，，，， ∵， ∴，， 则， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $23.3.4相似三角形的应用（第3课时：重心的概念及其性质) 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 【基础夯实】 一、单选题 1.如果点G是△ABC的重心，D是边AC的中点，那么BG:GD的值为() B.2 A.2 C.2 D.3 2.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3,BC=2,点O是△ABC的重心，则△OAB的面积是() A.2 B.1.5 C.1 D.0.5 3.如图，在△ABC中，AD交边BC于点D,设点G是△ABC的重心，若点G在线段AD上，则下列结论中正确的是 () A G B D A BD=CD B.AD⊥BC C.AD平分∠BAC D.AD⊥BC且AD平分∠BAC 4.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△MBC的 答案第1页，共2页 重心是() …… G E D B A.点D B.点E C.点F D,点G EF 5.如图，P为AABC的重心，EF经过点P,EF∥BC,分别交AB,AC于点E,F,则BC的值为（） F B 2 A.3 B C.4 BD=1 6.如图，点G是AABC的重心，D是AB边上一点，AD4,连接CD,连接AG并延长分别交BC、CD于点E FG F,则EF的值为() G E A.4 B.3 D.2 二、填空题 乙.如图，在平面直角坐标系中，已知4MBC的三个顶点的坐标点1(-1,0)，B(3,0),点C2,3列，则△MBC的重心坐标 为 答案第2页，共2页 3 1A B -2-10 12345x -2 8.如图，△MBC的丙条中线4D、BE相交于点G,如果 ，那么 AABC= E G B D 9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点G是△ABC的重心，如果BC=8,DG=2,那么AB= D G 10.如图，在平面直角坐标系O少中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，AO=AB,反比例函数 y=冬C≠0)的图象经过A4OB的重心G,若。4OB的面积为6，则k的值为一 G B x 三、解答题 11.如图，在△ABC中，中线AE、CF相交于点G, 答案第3页，共2页 E (1)若AG=4,求AE的长； (2)若△ABC的面积为1，求△EGC的面积. 12.已知：如图，DE为△ABC的中位线，BD与CE交于点M,过点B作BN∥CE,交AM的延长线于点N,连接CN (I)求证：四边形BMCN是平行四边形： (2)求证：AM=MN 13.【探究课题】三角形重心性质的探究. 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心.取一块质地均匀的三角形纸板ABC,如果用一个三角 架从重心O处将三角形平稳支撑起来，那么纸板就会处于水平状态。 AO 【提出问题】探究图1中，D0的值是多少？ H B B 图1 图2 ()【解决问题】若△BOC 的面积为6，oc= S△MOB= OD (2②)【解决问题】求OA的值， (3)【拓展应用】如图2，在△ABC中，点O是△ABC的重心，连接BO,CO并延长，分别交边AC,AB于点D,E 若BD⊥CE,BD=3,CE=6,直接利用上面的结论，求四边形AEOD的面积. 答案第4页，共2页 答案第5页，共2页 迎⑦迁‘迎9嵬嵩易