22.3.4 第2课时 利用相似三角形证明线段关系-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（华东师大版·新教材）

©第2课时 利用相似三角形证明线段关系 基础在线沙知识要点分类练 知识点3三角形的重心 4.在△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重 知识点1利用相似三角形证明线段之间的 心，如果AG=6,那么线段DG的长为() 乘积关系 A.2 B.3 C.6 D.12 1.(西安月考)将两个全等的等腰直角三角形摆 5.如图所示，在△ABC中，G为 放成如图所示的样子（图中所有的点、线在同 重心，连结AG并延长，交边 一平面内).求证： BC于点D,若△ABC的面积 (1)△ABEp△DCA; 为6cm,则△BGD的面积为 (2)BC=2BE·CD. 6.(绍兴期中)如图，点P是△ABC的重心，过点 P作AC的平行线，分别交AB、BC于点D、 E;过点D作DF∥BC交AC于点F.求证： AF-TFC. 知识点2利用中位线证明线段之间的关系 2.(新乡月考)如图，PQ是△ABC的中位线，M 是PQ中点，连结CM并延长与AB相交于点 N,则部等于 ( 2 能力在线沙方法规律综合臻… A B c 0. 2 7.如图，△ABC中，G是重心，三条中线AD=9, CF=12,BE=15,延长AD至点H,使DG= DH,则△ABH的面积为 B 第2题图 第3题图 3.如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上， 第7题图 第8题图 DF=2BF.连结EF并延长，与CB的延长线 8.(中考·内蒙古)如图，在菱形ABCD中，AB 相交于点M.若BC=8,则线段CM的长为 =4√5，对角线BD的长为16，E是AD的中 ( 点，F是BD上一点，连结EF.若BF=3,则 A号 B.10 c D.11 EF的长为 第22章 68 9.如图，已知在四边形ABCD中，∠ADB= (2)如图②，在矩形ABCD中，E、F分别为边 ∠ACB,延长AD、BC相交于点E.求证： AB、BC的中点，连结DE、EF、DF,取ED中 (1)△ACEP△BDE; 点G,EF中点H,连结DH和GF相交于点 (2)BE·CD=AB·DE. K,若四边形EHKG的面积为2，则矩形 ABCD的面积为 图① 图② 12.(六安期末)如图，E是矩形ABCD的边CD 的中点，AF⊥BE于点F,AF的延长线交 BC于点G,连结DF, (1)求证：△ABGp△BCE; 10.如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是 (2)若BF=2,EF=15,求AF的长； AD上-点，且哈能-0，∠BAD=∠BCA (3)求证：2CE=BG·DF (1)求证：AC=BC·CD; (2)若E是△ABC的重心，求AC:AD的值， G ③拓展在线》塔优报尖掇升解 11.(教材P88例题9拓展) (1)如图①，在四边形ABCD中，AD⊥AB, BC⊥AB,且AD=3,AB=BC=6,点E是 AC的中点，连结BE并延长交CD于点F, 则EF的长为 69探究在线九年级数学（上）·HD:∠EAD=∠CFD=90°，∠ADE=∠DCF=60°， 22.3.4相似三角形的应用 .△EADO△DFC 第1课时相似三角形在测量中的应用 综上，与△CDF相似的三角形有△AFD、△AEF 基础在线 △ABD、△EAD. 1.D2.B3.B4.C5.90 22.3.3相似三角形的性质 能力在线 基础在线 6.A7.10 1.A2.C3.4:34.6 8.(1)·太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻， 5.AD:DB=4:3, 竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处， ∴.AD:AB=4:7 .DE∥BC, 0-膘 ∴.△ABCc∽△ADE :标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，即DE= ,CF、EG分别是△ABC与△ADE的中线， DF,..CD=CA. 裙-器即号-年C=1即cF的长为7m (2)如图，令BN与DE的交点为H, 则四边形BCDH和MNHD是矩形， 6.B7.D8B9.号 .DE=2.1m,DF=2.1m, DM=1 m,MN=1.2 m 10.(1)证明：：DF∥AB,DE∥BC, .CD=BH,BC=DH=MN=1.2 m, MD .∠DFC=∠ABF,∠AED=∠ABF. NH=DM=1 m. .∠DFC=∠AED. .'EH=DE-DH=0.9 m. :DE∥BC,.∠DCF=∠ADE. 设AB=x,则AC=AB+BC=(1.2+x)m, '.△DFC∽△AED. BH=CD=(1.2+x)m. (2).'CD= CD 1 3AC.DA-2 ∴.NB=BH+NH=(2.2+x). (R)-()- EH/AB△NEHA△NMB,器-沿， 能力在线 0.9=1 x=2.2十x解得x=19.8. 11.B12.A13.C 答：纪念碑AB的高度为19.8m. 14.设PD=x,则EF=x. (3)纪念碑的实际高度为19.64m,小红求出纪念碑AB的 '矩形EFGH的周长为24， 高度约为18.5m,(2)中纪念碑AB的高度为19.8m,则 ∴.EF+EH=12,∴.EH=12-x. 小红的结果误差较大，理由是：纪念碑AB位于有台阶的 .EH∥BC,AD⊥BC, 平台BC上，点C的位置无法正确定位，使得CD的长存 .∴.△AEH∽△ABC,AP⊥EH. 在误差，影响计算结果.（理由不唯一，合理即可） 畏品即。= 16 拓展在线 9.A 解得x1=4,x2=一8（不合题意，舍去）， 第2课时利用相似三角形证明线段关系 ∴.x=4,即PD=4. 基础在线 ∴SAe=7BC.PD=2×10×4=20, 1.(1)△ABC和△GAF都是等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=45°，∠GAF=45°，.∠B=∠FAG. 15.(1)证明：，DE∥BC, '.△ADN∽△ABM,△ANE∽△AMC. :∠ADC是△ABD的一个外角， ∴.∠ADE=∠B+∠BAD=∠DAE+∠BAD=∠BAE. N别 .△ABEp△DCA. 器器 (2)'AABE∽△DCA,S-BE CD AC .AB·AC=BE·CD. 又，点M是BC的中点， ∴.BM=CM..DN=EN. 又：AB=AC=2BC, 2 (:DE/Bc△ONN则8器-8剂号， DE/BC△D0EO△C0B÷8器-8器-号 7BC=BE·CD. ∴.BC2=2BE·CD. DE∥BC,.△ADE∽△ABC. 2.B3.B4.B5.1cm DE24 6.连结BP并延长，交AC于点Q,如图所示： S△ABC BC)=25' 设S△ADE=4x(x>0),则S△ABc=25x, :点P是△ABC的重心影=2. PQ ,四边形BCED的面积为42， =2. .25x一4x=42.解得x=2. DE/AC小器- ..SAANC=50. 唧品 拓展在线 16.(1)(2)如图所示 DF/BC小瓷品安 即AF=合FC 能力在线 图② 7.488.√85 一探究在线·九年 9.(1)∠ADB=∠ACB,∠BDE=∠ACE. 2.如图，延长CE,交AM的延长线于点F. 又.'∠CEA=∠DEB,.△ACE∽△BDE. .'AB∥CF,∴.∠BAM=∠F, (2):△ACE∽△BDE, △BDM∽△CEM,△BAM∽△CFM, 品唧'隐 熙胱器驰 又：∠DEC=∠BEA,∴.△ECD∽△EAB. ÷器-铝即BE,CD=AB,DE CB-C8 又，BA=2BD,.CF=2CE 10DE明：A是0∠BAD=∠BCA, 又：AM平分∠BAC,∴.∠BAM=∠CAM. .∠CAM=∠F..AC=CF=2CE. ∴△BADn△ACE.∴.∠B=∠EAC. 3.(1)AB2=AD·AC, :∠ACB=∠DCA,.△ABC∽△DAC. S-器Ac=BCCD 铝器 '∠BAC=∠DAB, (2),△BAD∽△ACE,.∠BDA=∠AEC ∴.△ABC∽△ADB. ∴∠CDE=∠CED..CD=CE. .∠ACB=∠ABD, E是△ABC的重心， :∠BAE=∠CAF, BC=2BD=2CD,AE=号AD, .△ABE∽△ACF. (2)由(1)知，△ABC∽△ADB,△ABE∽△ACF, .AC=BC·CD=2CD2 △BAD△ACE,00 0肥0器肥器。 ∴号AD=BDCE∴AD=号CD. BF=CR,認-器，脚既-品 .'∠EBF=∠DBC,.△EBF∽△DBC, .∠BEF=∠BDC, ∴.EF∥AC. 拓展在线 11.(1)√2(2)16 4.“AD=号AB,点E,F把AB三等分， 12.(1)证明：在矩形ABCD中，∠C=∠ABG=90°， .AE=EF=FB=AD=(>0), AF⊥BE, 则AB=CD=3k. ,.∠GAB+∠AGB=∠CBE+∠AGB=90° :CD∥AB,∴∠DCG=∠FAG,∠CDG=∠AFG. ,.∠GAB=∠CBE,∴.△ABG∽△BCE. (2).∠FAB=∠CBE,∠AFB=∠C=90°， △AP0acG品-部号骆-号 六△BAF4△EBC,AS-BE 在Rt△AFD中，DF2=AD2十AF2=5k2,.DF=√5k. BE EC' 由题意可知，EC=AB, FG25k.G=256-5,EF-=5· =解得AB=2m AB 能器 又，∠AFD=∠GFE,∴△AFDO△GFE. 在Rt△BAF中， .∠EGF=∠DAF=90°..EG⊥DF AF=√AB-BF=√(2√/17)2-22=8. 微专题7证比例式或等积式的技巧 (3)证明：如图，延长AD和BE交点H, 1.过点D作DG∥BC,交AC于点G,则 l △DGF∽△ECF,△ADG∽△ABC. 器-器提品 ,∠CEB=∠DEH,∠C=∠HDE=9O°，DE=CE, AD=CE÷0-器即AB,DF '.△BEC≌△HED(AAS) BC·EF. .DH=BC=AD. 2.,四边形ABCD是平行四边形， 'AF⊥BE,∴.DF=AD=BC .AE∥DC,∠A=∠C 由(I)知，△ABGn△BCE,心BGEC, AB BC .∠CDF=∠E ,E是矩形ABCD的边CD的中点， AFCD△DAE.E- ∴AB=CD=2CE瓷8e 3..AD⊥BC,DE⊥AB, ∴.∠ADB=∠AED=90° ..2CE2=BG·DF 又∠BAD=∠DAE, 微专题6利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系 .△ABD∽△ADE. 1.DE∥BC,∴△ADNO△ABM,招器-铝同理可得 ÷铝铝即AD=AE·AB AD_DEDE_DO DO_DNDN_DN 同理可得AD=AF·AC. AB BC'BC OC'OCMC'BMMC' ∴.BM=MC. ∴AE·AB=AP·ACA铝-S 及数学（上）·HD 23