23.3.4 相似三角形的应用（第2课时：相似三角形的动点问题） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

23.3.4 相似三角形的应用（第2课时：相似三角形的动点问题） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 【基础夯实】 1．如图，在中，，点P从点A出发，沿以的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿以的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为． (1)当时，求证：； (2)在运动过程中，点组成的三角形与能否相似？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 2．如图，在中，动点M从点A出发，在边上以每秒的速度向点B运动，同时动点N从点C出发，在CA边上以每秒的速度向点A运动，点M，N的运动时间为t秒（），连接． (1)______，______，______；（用含t的代数式表示） (2)若与相似，求t的值． 3．如图，在中，，，，动点Q从B点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时点P从A点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动．设点Q，P移动的时间为t秒，且． (1) ， ，   (用含t的代数式表示) (2)当t为何值时，与相似? 4．如图，在中，，，．点P从点C出发，沿折线向终点A运动，在上以每秒3个单位长度的速度运动，在上以每秒4个单位长度的速度运动，点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，P、Q两点同时出发，当一点到达端点时另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)线段的长 ．（用含t的代数式表示） (2)当与的一边平行时，求t的值． 5．如图，在矩形中，，，动点P以的速度从点A出发，沿向点C移动，同时动点Q以的速度从点C出发．沿向点B移动，设P、Q两点移动后，的面积为． (1)当运动时间为多少秒时，与相似； (2)在P、Q两点移动的过程中，的面积能否等于？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 6．如图1，在锐角中，是边上的高，，动点P沿线段从点A向点D运动，过点P作，交于E，交于F，以为边向下作正方形． (1)设长为x，利用相似三角形的性质，可用含x的代数式表示正方形的边长为___________；如图2，当_________时，恰好落在边上，此时长为_________； (2)如图3，当在外部，且正方形与公共部分的面积为6时，求点P的位置（即求的值）． 7．如图，在矩形中，，，点自点A出发，以每秒的速度向点D移动，同时点F从点D出发，以每秒的速度向点C移动，若移动时间为t且． (1)当t是多少时，； (2)四边形的面积是否为定值？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由． (3)能否与相似？如果能，请求出所有t的值，如果不能，请说明理由． 8．如图，在矩形中，，，点是的中点．点，分别从点，两点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点，的速度均为，当点到达点时，两个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为． (1)当秒时，的值是多少？ (2)当为何值时，以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形相似？请说明理由． 9．如图，矩形中，，，点为边上一动点，交于点． (1)若与的周长比为，求的长． (2)点从点出发沿边以每秒个单位长度的速度向点移动，移动时间为秒．请通过计算说明：当为何值时，？ 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点． (1)求点、的坐标； (2)如果点的坐标为，点为线段上一个动点，连接，是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标，如果不存在，请说明理由． 11．如图，中，，是的中点，厘米，厘米，点从出发，以2厘米/秒的速度沿匀速向点运动，点同时以1厘米/秒的速度从出发，沿匀速向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设它们的运动时间为秒．    (1)_____厘米； (2)当为何值时，； (3)是否存在值，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出值，若不存在，说明理由． 12．如图，在矩形中，，点分别从三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点的速度为，点F的速度为，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，的面积为． (1)当秒时，S的值是多少？ (2)若点F在矩形的边上移动，当t为何值时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似？请说明理由． 13．如图所示，在平面直角坐标系中直线为分别与坐标轴交于A、C两点，点P从点A开始向终点B以速度移动，点Q从B点向终点C以的速度移动，P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (3)若与相似，求t的值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.3.4 相似三角形的应用（第2课时：相似三角形的动点问题） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 【基础夯实】 1．如图，在中，，点P从点A出发，沿以的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿以的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为． (1)当时，求证：； (2)在运动过程中，点组成的三角形与能否相似？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)证明：由题意，，， ∴， ， ， ． ， (2)能，或 【分析】（1）利用两边对应成比例夹角相等的两个三角形相似即可得证； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：能． 由题意，，， ∴， ∵， ∴， ①当时，，即， 解得（舍去）或， ； ②当时，有，即， 解得或（舍去）， ． 综上所述，当的长为或时，点组成的三角形与相似． 2．如图，在中，动点M从点A出发，在边上以每秒的速度向点B运动，同时动点N从点C出发，在CA边上以每秒的速度向点A运动，点M，N的运动时间为t秒（），连接． (1)______，______，______；（用含t的代数式表示） (2)若与相似，求t的值． 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题考查相似三角形的性质，勾股定理，列代数式，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，，由，得到，即可解答． （2）由勾股定理求出，分类讨论：① ②，根据相似三角形的性质，逐项求解即可． 【详解】（1）解：∵动点M从A向B以运动，运动时间为t， ∴； ∵动点N从C向A以运动， ∴； ∵，且， ∴． 故答案为：． （2）在中，，，由勾股定理，得． ∵与有公共角， ∴相似需满足“两边对应成比例且夹角相等”，分以下两种情况： ①时 ， ∵， ∴， 又∵， ∴， 解得； ②， ∵， ∴， 又∵， ∴， 解得． ∴或． 3．如图，在中，，，，动点Q从B点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时点P从A点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动．设点Q，P移动的时间为t秒，且． (1) ， ，   (用含t的代数式表示) (2)当t为何值时，与相似? 【答案】(1)，， (2)或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，勾股定理，解题的关键是相关知识的灵活运用． （1）由勾股定理求出，再由动点得到，，过点Q作，证明，求出， 最后根据计算即可； （2）①当时，， ②当时，，两种情况利用相似三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 由题意得， ∴， 过点Q作，交于点H， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：，，； （2）解：①当时，， ∴， ∴， 解得； ②当时，， ∴， ∴， ∴， 当或时，与相似． 4．如图，在中，，，．点P从点C出发，沿折线向终点A运动，在上以每秒3个单位长度的速度运动，在上以每秒4个单位长度的速度运动，点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，P、Q两点同时出发，当一点到达端点时另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)线段的长 ．（用含t的代数式表示） (2)当与的一边平行时，求t的值． 【答案】(1)当时，；当时， (2)或 【分析】（1）分和两种情况进行讨论求解即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵，点P从点C出发，沿折线向终点A运动，在上以每秒3个单位长度的速度运动， ∴点P到达点B的时间为（秒）， ∵，，， ∴， ∵点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动， ∴点Q到达点C的时间为（秒）， ∵在上以每秒4个单位长度的速度运动，， ∴点P到达点A的时间为（秒）， ∴当时，， 故； 当时，； （2）解：由题意，， ∴， 如图所示，当时，即点P在上运动时，当时， ∴ ∴ ∴ ∴； 如图所示，当时，即点P在上运动时，当时， ∴ ∴ ∴ ∴； 综上所述，当与的一边平行时，或． 5．如图，在矩形中，，，动点P以的速度从点A出发，沿向点C移动，同时动点Q以的速度从点C出发．沿向点B移动，设P、Q两点移动后，的面积为． (1)当运动时间为多少秒时，与相似； (2)在P、Q两点移动的过程中，的面积能否等于？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)或秒 (2)解：的面积能等于． 根据题意得：， ∴， 如图，过点P作于点H，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∵的面积等于， ∴， 解得：， 即此时t的值为2或3． 【分析】（1）根据勾股定理可得的长，从而得到，然后分两种情况：当时，当时，结合相似三角形的性质，即可求解； （2）过点P作于点H，则，根据，可得，再根据的面积等于，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：在矩形中，， ∵，， ∴， 根据题意得：， ∴， 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：； 综上所述，当运动时间为或秒时，与相似； （2）略 6．如图1，在锐角中，是边上的高，，动点P沿线段从点A向点D运动，过点P作，交于E，交于F，以为边向下作正方形． (1)设长为x，利用相似三角形的性质，可用含x的代数式表示正方形的边长为___________；如图2，当_________时，恰好落在边上，此时长为_________； (2)如图3，当在外部，且正方形与公共部分的面积为6时，求点P的位置（即求的值）． 【答案】(1)，， (2)2 【分析】（1）证明，根据相似三角形的对应高之比等于相似比求解即可；证明四边形是矩形，得出，根据列出关于x的方程，求解即可； （2）设，由（1）同理可求，，根据正方形与公共部分的面积为6，得出四边形的面积为6，则可列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，，， ∴ ∴， 又，， ∴， ∴； ∵正方形， ∴，， 又， ∴四边形是矩形， ∴， 又， ∴， 解得， ∴； （2）解：设， 由（1）同理可求，， ∵在外部， ∴， ∵正方形与公共部分的面积为6， ∴四边形的面积为6， ∴， 解得， 即的值为2． 7．如图，在矩形中，，，点自点A出发，以每秒的速度向点D移动，同时点F从点D出发，以每秒的速度向点C移动，若移动时间为t且． (1)当t是多少时，； (2)四边形的面积是否为定值？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由． (3)能否与相似？如果能，请求出所有t的值，如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，36 (3)或 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据题意，列出方程进行求解即可； （2）用矩形的面积减去两个直角三角形的面积进行求解即可； （3）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴，， 由题意，， ∴， 当时，则，解得； （2）解：是定值； ∵， ∴， ∴四边形的面积 ； （3）解：能， ∵矩形， ∴，， 由题意，得， ∴， 当时，， ∴，解得； 当时，， ∴，解得； 综上：当或时，能与相似． 8．如图，在矩形中，，，点是的中点．点，分别从点，两点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点，的速度均为，当点到达点时，两个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为． (1)当秒时，的值是多少？ (2)当为何值时，以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形相似？请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）根据运动情况得到，，再根据求解，即可解题； （2）分两种情况：①当时，②当时，结合相似三角形性质列式求解，即可解题． 【详解】（1）解：当时，， ， ． ∵点是的中点，， ∴． ∴ ． （2）解：当运动时间为时，，． ①当时， 则， 即． 解得：． ②当时， 则时， 即． 解得：，． 综上所述，或或． 9．如图，矩形中，，，点为边上一动点，交于点． (1)若与的周长比为，求的长． (2)点从点出发沿边以每秒个单位长度的速度向点移动，移动时间为秒．请通过计算说明：当为何值时，？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是矩形，，，则，又与的周长比为，则，然后代入即可求解； （）先证明，所以，则，解得即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵与的周长比为， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，解得， 即当时，． 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点． (1)求点、的坐标； (2)如果点的坐标为，点为线段上一个动点，连接，是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在；点的坐标为或 【分析】（1）根据一次函数的解析式，分别令、，求得对应的、的值，可得点、的坐标； （2）确定是等腰直角三角形，过点作于点，确定是等腰直角三角形，然后分和两种情况讨论，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点， 当时，得：；当时，得：， ∴，； （2）存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似． 理由：∵，，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ，，， ∴， 如图，过作于点， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 当时， 则，即， ∴， ∴， ∴， 此时点的坐标为； 当时， 则，即， 解得：， ∴， ∴， 此时点的坐标为； 综上所述，存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似；点的坐标为或． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的与坐标轴的交点，坐标与图形性质，相似三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，利用分类讨论及数形结合的思想解决问题是解题的关键． 11．如图，中，，是的中点，厘米，厘米，点从出发，以2厘米/秒的速度沿匀速向点运动，点同时以1厘米/秒的速度从出发，沿匀速向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设它们的运动时间为秒．    (1)_____厘米； (2)当为何值时，； (3)是否存在值，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)10 (2) (3)或时，与相似 【分析】本题考查等腰三角形性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定； （1）由等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长度； （2）当时，，利用相似三角形的性质，建立方程求解即可； （3）根据题意，分类讨论，当时，利用建立方程求解；当时，利用建立方程求解. 【详解】（1）解：∵在中，是的中点，厘米， ∴，厘米， ∴在中，厘米 （2）解：由题意得：， ∵厘米，厘米 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： （3）解：当时，， ∴ 解得： 当时，， ∴ 解得：. 综上所述：或时，与相似. 12．如图，在矩形中，，点分别从三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点的速度为，点F的速度为，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，的面积为． (1)当秒时，S的值是多少？ (2)若点F在矩形的边上移动，当t为何值时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似？请说明理由． 【答案】(1)； (2)，或． 【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形面积公式、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例的分类讨论是解题的关键． （1）当时，先计算各点移动的距离得到相关线段长度，再用矩形面积减去三个直角三角形的面积，求出的面积． （2）点在上时，先表示出、、、的长度，分“”和“”两种相似情况，利用相似三角形对应边成比例列方程求解． 【详解】（1）解：当时, ，，， ，， 矩形面积：， ， ， ， ； （2）解：点在上， ，即， 此时，，，， 情况1：当时， ， ， 即， 解得， 情况2：当时， ， ，即 解得， 综上，或时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似． 13．如图所示，在平面直角坐标系中直线为分别与坐标轴交于A、C两点，点P从点A开始向终点B以速度移动，点Q从B点向终点C以的速度移动，P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (3)若与相似，求t的值． 【答案】(1)秒或秒 (2)3秒 (3)秒或秒 【分析】本题考查直角三角形中的动点问题，涉及一元二次方程的应用以及相似三角形的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意分类思想的运用； （1）在中，利用勾股定理，列出方程进行求解即可； （2）分的面积为面积的和的面积为面积的，列出方程进行求解即可． （3）设经过t秒时，与相似，分① 时，②当时，两种情况进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：对于， 当时，；当时，， ∴， 设经过秒后，的长度等于， 由题意，得：， ∴， 在中，， ， ， 整理，得：， 解得：； ∴秒或秒后，的长度等于． （2）解：设经过秒，线段能将分成面积的两部分， 依题意有：的面积， ①当的面积为面积的时， 则：， 整理，得：， 解得：； ②当的面积为面积的时， 则：， 整理，得：， ， ∴方程无实数根； ∴经过3秒时，线段能将分成面积的两部分． （3）解：设经过秒时，与相似， 时， ， ， ． ②当时， ， ， ， 综上所述，秒或秒时，与相似． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $