精品解析：江西省鹰潭市余江区第一中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

2026级高一数学第一次月考 本卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，则集合的子集个数为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 16 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 5. 某科技馆欲靠一面长墙规划一块面积为的矩形机器人表演区，为了保证观演效果，表演区的左、右两侧以及前方均需留出宽的观演区，则表演区与观演区所形成的矩形演区面积的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数满足条件与时的函数值相等，则时的函数值为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 7 7. “，”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 若，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列命题中为真命题的是（ ） A. ， B. 是的充分不必要条件 C. 集合与集合表示同一集合 D. 设全集为，若，则 10. 已知，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. D. 的最小值为3 11. 对于有序数组，称运算满足如下规则： ① ； ② 若为正整数，； 我们称有序数组为平衡组，当且仅当均为非负整数，且． 下列说法正确的是（ ） A. 若都是平衡组，则一定是平衡组 B. 若是平衡组，为正整数，则一定是平衡组 C. 是平衡组 D. 存在两个平衡组，使得 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知实数，满足，，则的范围是____________ 13. 已知正实数，满足，则的最小值为__________． 14. 若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合或，， （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 16. 已知实数满足． （1）求的最大值； （2）求的最大值及最小值． 17. 已知命题，，命题，. （1）当命题为假命题时，求实数的取值范围； （2）若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围. 18. 2026年，某市低空经济蓬勃发展，一家物流企业开通“无人机即时配送”服务，并设立配送站.经市场调研，该站每日配送单量（单位：单）与每单配送费（单位：元）满足关系式（其中）.已知配送站每日的固定成本为19200元，每完成一单配送，需支付电费、耗材费、设备保养费等可变成本，每单可变成本为4元. （1）若要保证配送站每日利润（单位：元）不为负数，求每单配送费的取值范围；（每日利润每日配送总收入每日可变总成本每日固定成本） （2）为提升运力，该站购进一批新型无人机，购机费用为32万元.投入使用后，这批无人机使用年的累计维保总费用为万元.请问：这批无人机使用多少年后更新，可以使年平均总费用最低？请求出最低年平均总费用.（年平均总费用（购机费用维保总费用）使用年数） 19. 已知正数满足． （1）求的取值范围． （2）证明：存在常数，使得为定值． （3）记的最小值为． ①求的值； ②若正数满足，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026级高一数学第一次月考 本卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，则集合的子集个数为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【详解】集合，集合有4个元素， 所以集合的子集个数为. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】命题“，”的否定为命题“，”. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】因为，所以， 对不等式两边同乘正数，则， 即，所以由可以推出，必要性成立， 若，取，，则，， 所以且，，但是不满足， 所以由不能推出，充分性不成立， 综上所述：是的必要不充分条件. 4. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题可知：, 或， 所以. 5. 某科技馆欲靠一面长墙规划一块面积为的矩形机器人表演区，为了保证观演效果，表演区的左、右两侧以及前方均需留出宽的观演区，则表演区与观演区所形成的矩形演区面积的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形面积公式，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】如图所示：设矩形为表演区，，则有， 由题意可知：， 所以， 设矩形的面积为， 所以， 由， 由基本不等式，得， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，表演区与观演区所形成的矩形演区面积的最小值是. 6. 二次函数满足条件与时的函数值相等，则时的函数值为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由二次函数的对称性，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为函数满足条件与时的函数值相等， 所以的图象关于直线对称， 则与时的函数值相等，均为5. 故选：A. 7. “，”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，，所以， 当，，当且仅当，即时取等号，所以， 则，， 选项A，能推出，不能推出，故是它的一个充分不必要条件； 选项B是它的充分必要条件，选项C、D，是既不充分也不必要条件. 8. 若，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】， ， 当且仅当，即时取等号， 所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列命题中为真命题的是（ ） A. ， B. 是的充分不必要条件 C. 集合与集合表示同一集合 D. 设全集为，若，则 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，当时，,故A是真命题； 对于B，若，则或,若，则,所以是的必要不充分条件，故B不正确； 对于C，集合与集合不表示同一集合，前者为点集，后者为数集，故C错误； 对于D，由，可得若则，则，故D是真命题. 10. 已知，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. D. 的最小值为3 【答案】CD 【解析】 【详解】对于A，由，，， 则， 当且仅当，即时等号成立，故A错误； 对于B，由，，，得，且， 则， 当且仅当，即时等号成立， 而，则的最大值不为，故B错误； 对于C，由，，， 则， 即，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，由，，， 则， 当且仅当，即时等号成立，故D正确. 11. 对于有序数组，称运算满足如下规则： ① ； ② 若为正整数，； 我们称有序数组为平衡组，当且仅当均为非负整数，且． 下列说法正确的是（ ） A. 若都是平衡组，则一定是平衡组 B. 若是平衡组，为正整数，则一定是平衡组 C. 是平衡组 D. 存在两个平衡组，使得 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于选项A，设，均为平衡组， 则，，且各分量为非负整数.， 且， 又均为非负整数，故是平衡组，故A正确； 对于选项B，若是平衡组，则，为非负整数，， ，为非负整数，故是平衡组，故B正确； 对于选项C，对，，不满足，不是平衡组，故C错误； 对于选项D，设为平衡组，则， 由， 得，代入， 得，符合上式. 取一组非负整数解：， 则，二者均为平衡组，且， 故存在两个平衡组，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知实数，满足，，则的范围是____________ 【答案】 【解析】 【分析】由待定系数可得，利用不等式的可加性结合题设条件即可求的范围. 【详解】由题意，实数a，b满足，， 令，即 可得，解得， 所以， 则 ，， 所以. 故答案为：. 13. 已知正实数，满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】应用常值代换结合基本不等式计算求解. 【详解】正实数，满足， 则， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 14. 若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【详解】已知不等式 的解集为 ，说明二次项系数 ， 且 和 是一元二次方程 的两个实根， 所以，所以 ， 代入不等式 ，得0，因为， 所以，所以，所以, 不等式的解集为 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合或，， （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1) 代入求出集合，先求在全集下的补集，再与集合取交集得到结果； (2) 由转化为，分和两类讨论，列出对应不等式组求解的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 或 或或（也可写为） 【小问2详解】 因为，所以， 当时，，解得； 当时，或解得或 所以实数的范围是. 16. 已知实数满足． （1）求的最大值； （2）求的最大值及最小值． 【答案】（1）最大值为6． （2）的最大值为，最小值为． 【解析】 【分析】（1）由已知条件及基本不等式可求得的取值范围，进而得到其最大值. （2）将已知等式变形为，再结合基本不等式建立关于的不等式求解. 【小问1详解】 因为，所以， 当且仅当时，等号成立． 故的最大值为6． 【小问2详解】 因为，所以， 解得，则， 当且仅当时，取得最大值，当且仅当时，取得最小值． 故的最大值为，最小值为． 17. 已知命题，，命题，. （1）当命题为假命题时，求实数的取值范围； （2）若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）原命题为假命题则命题的否定为真命题，然后讨论二次项系数，结合二次不等式即可求得结果； （2）原命题为假命题则命题的否定为真命题，讨论的取值，然后求得的取值范围.通过讨论命题为真命题和为假命题，或命题为假命题和为真命题，建立不等式组，解得的取值范围. 【小问1详解】 命题为假命题，，为真命题， 则或，解得； 【小问2详解】 若命题为假命题，则，为真命题， 则当时，，则，解得， 当时，在恒成立，∴， ∴. 若命题和中有且仅有一个是假命题， 则或，解得或. 18. 2026年，某市低空经济蓬勃发展，一家物流企业开通“无人机即时配送”服务，并设立配送站.经市场调研，该站每日配送单量（单位：单）与每单配送费（单位：元）满足关系式（其中）.已知配送站每日的固定成本为19200元，每完成一单配送，需支付电费、耗材费、设备保养费等可变成本，每单可变成本为4元. （1）若要保证配送站每日利润（单位：元）不为负数，求每单配送费的取值范围；（每日利润每日配送总收入每日可变总成本每日固定成本） （2）为提升运力，该站购进一批新型无人机，购机费用为32万元.投入使用后，这批无人机使用年的累计维保总费用为万元.请问：这批无人机使用多少年后更新，可以使年平均总费用最低？请求出最低年平均总费用.（年平均总费用（购机费用维保总费用）使用年数） 【答案】（1） （2）这批无人机使用4年后更新年平均总费用最低，最低年平均总费用为24万元。 【解析】 【分析】（1）由题意可得，进而解不等式即可求解； （2）由题意可得，进而结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意，，， 令，得，即， 则，解得， 因此，要保证配送站每日利润不为负数，每单配送费的取值范围为. 【小问2详解】 由题意，年平均总费用为， 当且仅当，即时等号成立， 则这批无人机使用4年后更新，可以使年平均总费用最低，最低年平均总费用为24万元. 19. 已知正数满足． （1）求的取值范围． （2）证明：存在常数，使得为定值． （3）记的最小值为． ①求的值； ②若正数满足，证明：． 【答案】（1） （2） 由，则， 则当时，有恒成立， 即存在，使得为定值； （3）①， ②由，则，则需证明， ，当且仅当时等号成立， 同理可得、， 当且仅当、时等号成立， 则， 则， 即，当且仅当时等号成立，即得证. 【解析】 【分析】（1）用表示后，结合为正数计算即可得； （2）计算可得，则可得时，为定值； （3）①借助基本不等式“1”的活用计算即可得；②借助基本不等式可得、、，结合计算即可得证. 【小问1详解】 由，则，则，解得或， 又，则，即的取值范围为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①由（2）知，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $