精品解析：湖南长沙市明达高级中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷

长沙市明达中学2025下学期高二12月月考 数学试卷 命题人：何光明 审题人：陈家乐 时量：120分钟 满分：150分 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部为（ ） A. 2025 B. C. 1121 D. 1120 3. 已知 ，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 4. 已知数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知，则的最小值为（ ） A. 0 B. 2 C. 6 D. 8 6. 若，则 A. B. C. D. 2 7. 若长方体的长、宽、高分别为，则长方体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列各式不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 记等差数列的前项和为，，，则（　　） A. B. C. D. 11. 已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，则（ ） A. 双曲线的一条渐近线方程为 B. 椭圆和双曲线共焦点 C. 椭圆的离心率 D. 椭圆和双曲线的图象有4个公共点 三、填空题 12. 以为圆心，5为半径的圆的标准方程是______. 13. 已知数列为等比数列，且，公比，则该数列的前4项的和等于___________． 14. 椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上的动点，为圆上的动点，则的最大值为_______________． 四、解答题 15. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． （1）斜率是3，且经过点； （2）斜率为4，在轴上的截距为； （3）经过两点； （4）在x轴、y轴上的截距分别是，． 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c; （1）若， ， ，求a; （2）若， ， ，求B; 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱的中点． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到直线的距离． 18. 已知数列满足：，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）若，求数列的前项和. 19. 已知双曲线的渐近线方程是，且过点. （1）求的标准方程； （2），分别为双曲线的左、右顶点，，分别为的左、右焦点，与轴不垂直的直线与双曲线的左支相交于，两点，记直线，，，的斜率分别为已知. （i）证明直线过定点，并求出该定点的坐标； （ii）求面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市明达中学2025下学期高二12月月考 数学试卷 命题人：何光明 审题人：陈家乐 时量：120分钟 满分：150分 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的定义求解即得. 【详解】因，， 则. 故选：B 2. 复数的虚部为（ ） A. 2025 B. C. 1121 D. 1120 【答案】D 【解析】 【分析】由虚部的概念即可求解. 【详解】由可知，虚部为1120. 故选：D 3. 已知 ，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量数乘的运算法则可得答案. 【详解】. 故选：B． 4. 已知数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据递推公式一一计算即可. 【详解】因为，， 所以，，，. 故选：A 5. 已知，则的最小值为（ ） A. 0 B. 2 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用基本不等式可得答案. 【详解】因为， 所以，  当且仅当  即时取等号. 故的最小值为8. 故选：D 6. 若，则 A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角三角函数间的关系，待求式化为正切即可. 【详解】因为， 所以选C. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数间的关系，属于中档题. 7. 若长方体的长、宽、高分别为，则长方体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得长方体对角线长得外接球直径，再计算球的表面积即可． 【详解】由已知得长方体的对角线长为，所以外接球半径为， 球的表面积为， 故选：A． 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】这道题考查的是椭圆的离心率.抓住已知角，设，先在中用一次余弦定理解出与的关系，然后在中再用一次余弦定理求出与的关系，最后得出结论即可. 【详解】设，由，得，由椭圆定义可知， 在中，由余弦定理得，解得或（舍去）， 在中，， ，解得离心率. 故选：D. 二、多选题 9. 下列各式不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】向量加、减法的坐标运算逐项排除可得答案． 【详解】对于A，若，，则，A错误； 对于B，若，，则，B正确； 对于C，若，，则，C错误； 对于D，若，，则，D错误. 故选：ACD 10. 记等差数列的前项和为，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，由题意可得，计算可得判断A；可求判断B；，可判断C；计算可得判断D. 【详解】设等差数列的公差为， 又等差数列的前项和为，，， ∴，解得，，故A正确； ，故B错误； ，∴，故C正确； ，，∴，故D正确． 故选：ACD． 11. 已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，则（ ） A. 双曲线的一条渐近线方程为 B. 椭圆和双曲线共焦点 C. 椭圆的离心率 D. 椭圆和双曲线的图象有4个公共点 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别分析椭圆与双曲线的性质，可判断ABC的真假；联立方程组，解方程组可得椭圆与双曲线公共点的个数，判断D的真假. 【详解】对椭圆：焦点在轴上，且，，所以，所以椭圆的焦点为，离心率为. 对双曲线：焦点在轴上，其渐近线方程为. 所以，AC正确，B错误. 对D：由， 所以或或或. 即椭圆和双曲线的图象有4个公共点，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12. 以为圆心，5为半径的圆的标准方程是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆心和半径结合圆的标准方程即可得结果. 【详解】以为圆心，5为半径的圆的标准方程是. 故答案为：. 13. 已知数列为等比数列，且，公比，则该数列的前4项的和等于___________． 【答案】 【解析】 【分析】直接运用等比数列前项和公式进行求解即可. 【详解】因为数列为等比数列，且，公比， 所以该数列的前4项的和为， 故答案为： 14. 椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上的动点，为圆上的动点，则的最大值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据椭圆方程及椭圆的定义得出焦点坐标及，再根据圆与椭圆的位置关系结合两点间的距离公式计算求解． 【详解】 椭圆，， ， 根据椭圆的定义，椭圆上任意点满足，右焦点坐标， 圆的标准方程为， 圆心为，半径， ， ， ，当在的延长线与椭圆交点时取等号， ， ， 故答案为：． 四、解答题 15. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． （1）斜率是3，且经过点； （2）斜率为4，在轴上的截距为； （3）经过两点； （4）在x轴、y轴上的截距分别是，． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，结合点斜式方程，即可求解； （2）根据已知条件，结合斜截式方程，即可求解； （3）根据已知条件，结合两点式方程，即可求解； （4）根据已知条件，结合截距式方程，即可求解. 【小问1详解】 直线斜率是3，且经过点， 则直线方程为，化为一般式方程为； 【小问2详解】 直线斜率为4，在轴上的截距为， 则直线方程为，化为一般式方程为； 【小问3详解】 直线经过两点， 则直线方程为，化为一般式方程是为； 【小问4详解】 直线在x轴、y轴上的截距分别是，， 则直线方程为，化为一般式方程为. 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c; （1）若， ， ，求a; （2）若， ， ，求B; 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理直接求解. （2）利用正弦定理直接求解. 【小问1详解】 在中，， ， ， 由余弦定理得，， 所以. 【小问2详解】 在中，， ， ， 由正弦定理得，，即，由，得， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱的中点． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到直线的距离． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系（1）求出向量与坐标，由向量夹角余弦公式可得答案； （2）求出平面的法向量，由向量法求解即可； （3）由空间向量法，求点到直线距离公式可得答案. 【小问1详解】 如图，建立空间直角坐标系，则. 故，，则直线与所成角的余弦值为： ； 【小问2详解】 由（1）， 设平面法向量为，则， 则可取，又，则直线与平面所成角的正弦值为： ； 【小问3详解】 由（1），，又， 则到直线的距离为：. 18. 已知数列满足：，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）若，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由等比数列的定义及通项公式可得结果； （2）由等差数列和等比数列的前项和计算可得结果； （3）利用错位相减法求前项和的方法计算可得结果. 【小问1详解】 由，得，， 当时，，则，解得， 所以是首项为，公比为2的等比数列，则. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 所以. 【小问3详解】 由（1）知，所以，所以， 即，， 两式相减得， 所以. 19. 已知双曲线的渐近线方程是，且过点. （1）求的标准方程； （2），分别为双曲线的左、右顶点，，分别为的左、右焦点，与轴不垂直的直线与双曲线的左支相交于，两点，记直线，，，的斜率分别为已知. （i）证明直线过定点，并求出该定点的坐标； （ii）求面积的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）设直线的方程为，，， 又，， 所以 同理，， 所以，所以， 由消去得，， 所以， 所以， 整理，得， 即 整理，得， 解得或， 当时，直线过点，不合题意，舍去， 当时，直线过点，满足题意， 所以直线过点. （ii） 【解析】 【分析】（1）由已知渐近线方程，设设双曲线的方程为，代入点求解即可； （2）（i）设直线的方程为,联立直线与双曲线，由韦达定理代入关系式，化简整理得的关系，求得定点； （ii）由（2）得的关系，代入韦达定理，代入面积表达式，换元结合基本不等式求最值即可.. 【小问1详解】 设双曲线的方程为， 因为双曲线过点， 所以， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）因为， 又，所以， 由直线与双曲线的左支有两个交点，且与坐标轴不垂直， 得，令， 则，， 因为在上单调递减， 所以， 所以得的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $