湖南永州市第一中学2026-2027学年高二上学期九月核心素养测试数学试题

2026年高二年级九月核心素养测试答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1 2 3 4 6 8 D A D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 BC BD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.1 14.7 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)【小问1详解】解得A=2,T=π，p= 4’0=2, 所以函数f(x)的解析式为f(x)=2si 2x+ …6分 【小间2详解】由0得(y=2n2+到引 将函数∫(x)的图象向左平移兀个单位，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）， 可得g(x)=2cosx,当x∈0，π时，-1≤cosx≤1，所以-2≤2cosx≤2，即-2≤g(x)≤2， 所以函数g(x)在区间[0，π上的最大值为2，最小值为-2.…13分 16.(15分)【小问1详解】因为bcos 4+√3 bsin A=a+c, 由正弦定理可得sinBcosA+√3 sinBsinA=sinA+sinC, 在△ABC中，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,sinA≠O, 所以sinBcosA+√3 sinBsinA=sinA+sinAcosB+cosAsinB, 整星得3smB-as月=2sma-)-1,所以sm0-君)号 1/4 因为BeQ),B-∈卫5买所以B-文-平，B=天 …7分 6 6’6 66 3 【小问2详解】因为s4BC的中线BD=2,B-骨图为BD-2(A+BG, -(B+B+BB)+2accosB)+a) 即4≥42ac+ao),可得acs16, 当且仅当a=c= 3 43时取等号， 3 所以△1C的面积S-ar血B≤分*台9-5所以60C面积的聚大值为4 。X -X …15分 2323 3 17.(15分)【详解】(1)定点D的坐标为(1,2). (2)设弦AB的中点为M(x,y),圆C的圆心为C(O,1),由垂径定理可得CM⊥AB 因为M在直线I上，直线I恒过DL,2),故CM⊥MD,即CM.DM=0, 代入CM=(xy-1),DM=(x-1,y-2)得：x(x-1)+(y-10(y-2)=0, 展开并配方得引 该轨迹为圆C内部的圆弧。…7分 (3)设圆心C到直线I的距离为d,圆C的半径R=√5， 由弦长公式得1AB2√R2-d2=2W5-dF,因此d最大时AB最小， 由于直线l恒过定点DL,2),故dCD|,当且仅当CDL1时d取最大值|CD|, 计算得1CDFV-02+(2-1)=V2,|4B1=2V5-(W2>=25. 时直线CD的斜率k山.由CDL1得kom=,解得m三-1.5 18.(1)由题意，连接AD,如图所示，由D为BC的中点，E为PD的三等分点（靠近P点），则 AE-AF+PE-AP+PD-AP+(AD-AF) …4分 (2)因为PA⊥平面ABC,BCC平面ABC,所以PA⊥BC,过点A作AM⊥PB,垂足为M,如图所 示，因为平面PAB⊥平面PBC,平面PAB∩平面PBC=PB,AMC平面PAB, 所以AM⊥平面PBC,又BCC平面PBC,所以AM⊥BC, 又AMOPA=A,AMC面PAB,PAC面PAB,则BC⊥平面PAB, 因为PBC平面PAB,所以BC⊥PB, 2/4 过E作EN⊥PB,垂足为N,由EN,BCC平面PBC, 所以EN //BC,所以EN⊥平面PAB,则∠EAN为直线AE与平面PAB所成角， 由题意可类EN-n-若aC石ac-A-名PN-PB有m+A-FT 3 根据余弦定理得：Aw:=PA+Pw-2PA,PNcs45=P+ -2x1x巨.5 3 329 所以AN= 5,AE=EN+AN 3 1 EN 设直线AE与平面PAB所成角为0，在直角三角形ANE中有：sin6= 6 √2 AE√21 21 6 所以直线AE与平面PAB所成角的正弦值为 …10分 21 (3)由(2)知，PA⊥AB,PA⊥BC,BC⊥AB,以A为原点，以AC,AP所在直线分别为y,2轴， 在平面ABC内，以与AC垂直的直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系， M D 则Aa0caf停9 brma59小9g 设G0,m,0),H(0,0,n),m>0,n>0,则GF= 由于G,H,E,F四点共面，则存在实数，u,使得G五=GF+GE, 4 12 即{-m= 2 4 -m2+ 4-m业，解得22m+n=22m, 2 n= 3/4 而2W2m+n≥2√2√2m,故22m≥2W22mn,解得mm≥V2, 当且仅当2m=,即m=号a=2时等号成立。 而F到平面PAC的距离为{x巨-V2 224 所以VRoH=V-AGH=3S。AGn 432m wn≥ 4-24 24 12 当且仅当m= √2 1=2时等号成立. …17分 19.(17分)(1)设4的斜率为k=tana, 则马，的斜率为3 tanB,两直线的夹角为y, 则tany=|tan(a-P- tana-tanB 等号成立的条件是k=士5，所以a7的最小值为5，则两直线的夹角7的最小值为号：…5分 [k,k2=2 (2)设直线PR,P2,QR的斜率分别为k,k2,k3,则kk,=3,得k=2,k=1,k=3或k=-2,k2=-1,k=-3, k,k=6 当k=2,k2=1,k3=3时，直线PR的方程为y=2(x-1),直线PQ的方程为y=x+1,联立得，P(3,4); 当k=-2,k=-1,k=-3时，直线PR的方程为y=-2(x-1),直线PQ的方程为y=-x+1,联立得，P(L,0), 与点C重合，舍去；故所求为P(3,4): ……10分 (3)由题意可设：y+万=(x+2习-y+2k-5=0,4:+万=六(+2)即六y5+0, 2k-2 +2 2k2-1 其中k≠0，故4d2 2W2× V1+k2 1 k2+1V4k2+1 1+ 4k2 =2√2 4k4-4k2+1=22 9k2 22 9 1- 4k4+5k2+1 4k4+5k2+1 42+ 25 由于4秋+尺+5≥24石+59（等号成立的条件是 2 9 9 9 所以42+ -e[0,0即 4联2+15c0,) 所以dd∈「0,22). …17分 4/42026年高二年级九月核心素养测试 数学 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。) 1.若函数f(x)=(x-1)+ax是偶函数，则实数a=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.已知点P(1,2)为圆x2+y2+x-4y+m=0外一点，则实数m的取值范围为() A.(2,+o) B.[2,+∞) c.(2 3.设x,yeR,向量a=(xl),b=(,y,),c=(2,-4,2),且a1c,b11c,则a+=() A.2√5 B.10 C.3 D.4 4.从P点发出的光线I经过直线x-y-2=0反射，若反射光线恰好通过点Q(5,1),且点P的坐标为(3，-2)， 则光线1所在的直线方程是() A.x=3 B.y=1 C.x-2y-7=0 D.x+2y+1=0 5.已知O为坐标原点，过点(2,7)的直线l分别与x,y轴的正半轴交于M,N两点，则当△MON的面积取得 最小值时，直线！的纵截距为( A.4 B.7 C.8 D.14 11 x+2' x≤2的定义域为R.若f(r)的值域为 7 6.设a>0且a≠1，函数f(x) :+o 则a的取 3+logax,x>2 值范围为( A.V2.+o) B.[4,+∞) c.(,2] D.(1,4] 7.如图，菱形ABCD边长为2，∠BAD=60°，E为边AB的中点，将△ADE沿DE折起，使A到A',连接AB, 且A'D⊥DC,平面与ABE平面ACD的交线为l,则下列结论中错误的是( A.平面A'DE⊥平面A'BE B.CD// C.BC与平面ADE所成角的余弦值为) D.二面角E-A'B-D的余弦值为 7 1/4 8.已知圆x2+y2=9上的动点M和定点A(-1,0),B(2,2),则3引MA+|MB|的最小值为 A.26 B.55 C.42 D.2N10 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。) 9.若复数z=-1-4i,则下列结论正确的是() A.z的虚部为-4i B.z的共轭复数为-1+4i C.=v17 D音 10.已知圆C的方程为x2+(y-2)2=1,点Q(0,3),点P是x轴上的一个动点，过点P作圆C的两条切线， 切点分别为A,B,则() A.存在切点A,B使得∠AQB为直角 B.直线AB过定点(O,) C.QA.QB的取值范围是0， D.△QAB面积的取值范围是0， 11.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证， 思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，曲线C:x2+y2x+|y川 就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论，其中结论正确的有() A.曲线C围成的图形的面积是2+元 B,曲线C围成的图形的周长是2√2元 C.曲线C上的任意两点间的距离不超过2 D.若Pm,)是曲线C上任意一点，则3m+4n-12的最小值是17-52 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.) 12.若直线lx+(1+a)y+a-2=0与l2:2ax+4y-16=0平行，则a= 13.将直线y=2x+4绕其与x轴的交点顺时针旋转45°所得的直线的斜率为 14.如图所示，二面角C-1-B为60°，A,B是棱l上的两点，AC,BD分别在半平面C,B内，且AC⊥1， BD⊥I,AB=2,AC=3,BD=4,则CD的长 D 2/4 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（(13分)已知函数f)=Asin(@x+o4>0w>0l4引 的部分图象如图所示.图中最高点坐标为 [G2小与朵商点阳部的一个对陈中心华标为g小】 (1)求函数∫(x)的解析式； 2)将函数了()的图象向左平移、个单位，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不 变)，得到函数g(x)的图象.求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值. 16.(15分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且bcosA+√3 bsinA=a+c. (1)求角B; (2)若△ABC的中线BD=2,求△ABC面积的最大值， 17.(15分)已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+2-m=0,设直线与圆相交于A,B两点 (1)若直线l恒过定点D,求出点D坐标： (2)求弦AB中点的轨迹方程； (3)相交弦AB长度的最小值及相应的m的值. 3/4 18.(17分)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC,AB=AP=1,AC=√2.D 为BC的中点，E为PD的三等分点（靠近P点）. (1)请用AB,AC,AP表示AE; (2)求直线AE与平面PAB所成角的正弦值： (3)设F为AB的中点，过EF的平面与射线AC、AP分别交于点G、H,求三棱锥A-FGH体积的最 小值. 19.(17分)已知点P和非零实数入，若两条不同的直线L1,1,均过点P,且斜率之积为入，则称直线L,, 1,是一组P共线对，如直线：y=2x,4:)=是一组0，共辄线对，其中0是坐标原 点 (1)已知L,1,是一组“O3共轭线对”，求1,12的夹角的最小值： (2)已知点A(0,)、点B(-1,0)和点C(I,O)分别是三条直线PQ,QR,RP上的点(A,B,C与P,Q, R均不重合)，且直线PR,PQ是“P2共轭线对”，直线QP,QR是“Q3共轭线对”，直线RP,RQ 是“R。共轭线对”，求点P的坐标： (3)已知点Q(2,-√2)，直线，2是Q:共轭线对，当4的斜率变化时，求原点0到直线，2 的距离之积的取值范围。 4/4