精品解析：重庆市第八中学校2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

重庆八中 2026—2027 学年度(上)高二年级第一次月考 数学试题 一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由方程求出直线的斜率，再求出直线倾斜角即可. 【详解】因为直线的方程为：， 即， 所以直线的斜率为， 又且 所以直线的倾斜角为， 故选：D. 2. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得圆心到直线的距离，结合弦长公式即可求得结果. 【详解】圆心到直线的距离为， 所求弦长为． 故选：C． 【点睛】本题考查直线截圆所得弦长的求解，属简单题. 3. 若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据过点，得出，结合，可得，即可得出椭圆方程. 【详解】因为椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，所以，， 则，所以椭圆方程为. 故选：B 4. 已知圆与圆相交于A，B两点，则两圆公共弦所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两圆方程相减可得答案. 【详解】，① ，② ①②得. 故选：B. 5. 在 中，角所对的边分别为 ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，又， 所以，又，所以. 6. 已知正四棱锥的底面边长为，若半径为1的球与该正四棱锥的各面均相切，则正四棱锥的体积为（ ） A. B. 12 C. D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，先判断正四棱锥的内切球的球心在其高线上，过点作于点，连接，过点作于点，证明平面，得，通过计算依次求得，直至求得高线长，即可求其体积. 【详解】 因为球与该正四棱锥的各面均相切，所以该球的球心在的高线上， 过点作于点，连接，过点作于点. 因平面，平面，则， 又平面，则平面， 因平面，故，又平面，故平面. 依题意，，因为底面边长为，所以， 在中，，则， 因，则，则， 故，则. 故选：B. 7. 实数，满足，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】设，，，问题转化为直线上的动点到直线和点的距离之和的最小值，数形结合求最小值即可. 【详解】设，，， 表示直线上的动点到直线和点的距离之和， 令关于直线的对称点，则，可得， 所以关于直线的对称点，则， 当且仅当时取等号，故所求最小值是到的距离为. 选择：D 8. 已知实数满足，，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】依题可得点在圆上，且，原问题等价为求解点和点到直线距离之和的倍的最大值，据此数形结合确定的最大值即可. 【详解】 由题意，可知在圆上， 由,可得,则, 因， 而和可理解为点到直线的距离和. 如图，取中点，连接,分别作于点，于点，于点， 则，且. 又,即点的轨迹方程为， 要使最大值，需使取最大值， 由图知，显然当线段经过圆心时，的值最大. 由点到直线的距离为， 故，此时， 故. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查距离公式的应用，等价转化、数形结合的思想，属于难题. 解题关键在于根据条件数形结合，将两个方程理解为单位圆上的两点，由条件得，将所求式理解为点到直线距离之和的倍，根据圆的性质和梯形中位线性质即可求得其最大值. 二、选择题: 本题 共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对得 6 分， 部分选对得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 已知直线经过点 ，若在两坐标轴上的截距相等，则直线 的方程可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【详解】当直线在两坐标轴上的截距为时，直线的方程为； 当直线在两坐标轴上的截距不为时，设直线的方程为， 又直线经过点 ，代入得，所以直线的方程为. 10. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 的直线 与椭圆相交于 两点， 则下列说法正确的有（ ） A. 的周长为 16 B. 内切圆半径的最大值为 2 C. 若点 ，则 的最大值 9 D. 若 ，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由椭圆的定义可得 的周长为 ，从而判断A；由三角形内切圆半径与三角形周长和面积的关系可得内切圆半径的最大值，判断B；结合椭圆的定义及三角不等式求得的最大值，判断C；设直线的方程，联立椭圆方程，结合韦达定理，求得，判断D. 【详解】由 ，知. 所以 的周长为， 故A正确； 设内切圆半径为，， 的周长为， 面积为， 所以，得. 所以 内切圆半径的最大值小于 2，故B错误； 由椭圆的定义，得， 所以， 当为延长线与椭圆的交点时取等号，故最大值为，故C正确； 设， 由 ，得，所以. 当直线的斜率不存在时，其方程为， 代入，得，. 所以，不合题意； 当直线的斜率存在时，设其方程为， 由，得. 所以. 因为， 所以， 即，， 所以或. 当时，，无解； 当时，，，， 所以，故D正确. 11. 已知圆关于直线和直线对称，圆经过点，点是直线上的一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为.则下列说法正确的是（ ） A. 圆的标准方程 B. 四边形周长的最小值为 C. 直线过定点 D. 若是圆上一点，的取值与无关，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题是圆的综合题，要结合圆的方程，直线与圆的位置关系，切线长公式以及直线过定点问题和绝对值函数的性质，逐项进行分析解答. 【详解】A：圆关于直线和对称，因此圆心是这两条线的交点. 联立方程：解得，即圆心. 圆C经过点，半径为圆心到的距离， 因此圆的标准方程为，A正确； B：四边形的周长为（为切线长）. 切线长因此周长为 要使周长最小，需最小（在直线上）. 的最小值为圆心到直线的距离： 此时周长最小值为，B正确； C：设满足以为直径的圆的方程为 与圆的方程相减得公共弦(即切点弦)的方程 整理得代入 变形为代入上式，整理得， 联立，可得，说明直线所过定点为错误； ：由， 表示圆上的点到直线、距离和的倍， 要使的取值与无关，只需圆在两条直线之间，如上图， 又到的距离，即直线与圆相离， 若过圆心，则，即直线过圆心，则为，显然， 所以，只需在圆的另一侧与圆相切或相离即可，即且， 所以，即D选项正确. 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知直线 和 ，则与的距离是_____. 【答案】 【解析】 【分析】先判定两条直线互相平行，再代入平行直线间的距离公式计算结果. 【详解】直线与， 因为，即对应系数完全相等，常数项不同，因此两直线互相平行，  所以与的距离是. 13. 已知实数 满足 ，则 的最大值为_____ 【答案】 【解析】 【分析】将所求代数式转化为圆上动点与定点连线的斜率，利用圆心到切线的距离等于半径求解斜率最大值. 【详解】设，其几何意义为圆上的动点与定点连线的斜率，当直线与圆相切时，斜率取得最大值或最小值， 整理得直线的方程为， 已知该圆的圆心为，半径，当直线为圆的切线时，圆心到直线的距离等于半径，即 ，得， 得 ，化简得，解得或，因此的最大值为，即的最大值为. 14. 如图，过椭圆上一点作椭圆的切线分别交轴于点 ，则 _____.（若在椭圆上，则处的切线方程为 ) 【答案】3 【解析】 【分析】设，根据切线方程求出，利用求出即可. 【详解】设，且且， 则处的切线方程为，则， 故， ， 因为，所以，得（舍）或， 则，故. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线 与直线 . （1）当 时，求实数 的值； （2）当 时，求实数 的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 直线 与直线 . 当 时，， 所以. 【小问2详解】 当 时，， 即，即， 解得或. 若，，即； ，所以. 若，；. 所以与重合. 综上所述，. 16. 在平面直角坐标系中，已知点，若动点满足 . （1）求点的轨迹方程； （2）若 ，判断是否存在点满足，若存在，请求出点； 若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）不存在． 【解析】 【分析】（1）由数量积公式求解即可； （2）假设存在点满足，得，再联立两个圆的方程判断是否相交即可． 【小问1详解】 ， 由，得，得， 故点的轨迹方程为：． 【小问2详解】 假设存在点满足， 则， 得， 联立两方程，两式相减，得， 将代入，得， 判别式， 则不存在满足条件的点． 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ， . （1）证明: 为钝角三角形； （2）若的面积为，求的周长； （3）若点满足，求. 【答案】（1）证明：在中，由正弦定理得 ， 即， 则，又，则， 又，由正弦定理得，，所以， 由余弦定理得，即A为钝角， 所以为钝角三角形． （2）9 （3） 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理结合两角和的正弦公式，对已知条件进行边角互化，可得，，再利用余弦定理即可判断，从而得出证明； （2）根据（1）中所求，可得，再利用面积公式建立等量关系，即可求出，从而求出，即可求出三角形周长. （3）由余弦定理及正弦定理进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，由（1）知，则， 由，得， 所以，则， 所以，因此， 所以的周长为9． 【小问3详解】 由（1）知，， ， 不妨设，得，由，得， ， 在中，，得， 由正弦定理得，，得， ， 得． 18. 如图，底面为正方形的四棱锥中，，，记，． （1）证明：为直角三角形； （2）当四棱锥的体积最大时，求平面与平面所成角的余弦值； （3）记直线与平面所成角为，求的最大值． 【答案】（1）证明：在中，因为， 所以为直角三角形，即， 又因为四边形为正方形，所以，则， 因为平面， 所以平面，又平面， 所以，所以为直角三角形． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理逆定理得，再结合正方形的性质得，，根据线面垂直的判定及性质即可证明； （2）建立空间直角坐标系，由面面角的向量公式求解即可； （3）建立空间直角坐标系，由线面角的向量公式及导数即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当四棱锥的体积最大时，平面， 因为平面，所以， 又平面，所以平面， 以为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 则，平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则取，则， 则， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 【小问3详解】 以为原点，以所在直线为轴，以过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，所以， 则， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 因为， 则， 设，则， 令得， 当时，，则在单调递增， 当时，，则在单调递减， 所以，且当时，，当时，， 所以， 所以， 所以的最大值为． 19. 常用测量距离的方式有3种．设，，定义欧几里得距离；定义曼哈顿距离，定义余弦距离，其中（O为坐标原点）． （1）求满足的点H的轨迹所围成的图形面积； （2）若，，求的取值范围： （3）动点P在直线上，动点Q在函数图象上，求的最小值． 【答案】（1）2 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）设，则， 根据的符号去绝对值，作出图形求面积即可； （2）因，令，可知与有交点，根据直线与圆的位置关系求解； （3）设动点，则，分类讨论去绝对值，结合二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 设，则， 当，时，则；当，时，则; 当，时，则；当，时，则． 如图，点的轨迹是一个边长为的正方形， ∴点的轨迹所围成的图形面积为 【小问2详解】 因， 令，则， 即与有交点， 也即半圆与直线有交点， 下面，先计算直线与半圆相切和经过点时的情况． 由圆心到直线的距离解得，， 由题知此时，即; 又由，代入点，解得． 如图， 由题知，要使两者有交点，需使，此时， 因，则有; 【小问3详解】 设动点，， 则， 因，所以， ①当时，， 此时，当且仅当时取得; ②当时，， 此时； ③当时，， 此时， 又， 所以， 综合得，当时取等号． 即的最小值为. 【点睛】关键点点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题,在新环境下研究“旧”性，主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆八中 2026—2027 学年度(上)高二年级第一次月考 数学试题 一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆与圆相交于A，B两点，则两圆公共弦所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 在 中，角所对的边分别为 ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 6. 已知正四棱锥的底面边长为，若半径为1的球与该正四棱锥的各面均相切，则正四棱锥的体积为（ ） A. B. 12 C. D. 36 7. 实数，满足，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 6 8. 已知实数满足，，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 8 二、选择题: 本题 共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对得 6 分， 部分选对得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 已知直线经过点 ，若在两坐标轴上的截距相等，则直线 的方程可以为（ ） A. B. C. D. 10. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 的直线 与椭圆相交于 两点， 则下列说法正确的有（ ） A. 的周长为 16 B. 内切圆半径的最大值为 2 C. 若点 ，则 的最大值 9 D. 若 ，则 11. 已知圆关于直线和直线对称，圆经过点，点是直线上的一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为.则下列说法正确的是（ ） A. 圆的标准方程 B. 四边形周长的最小值为 C. 直线过定点 D. 若是圆上一点，的取值与无关，则实数的取值范围是 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知直线 和 ，则与的距离是_____. 13. 已知实数 满足 ，则 的最大值为_____ 14. 如图，过椭圆上一点作椭圆的切线分别交轴于点 ，则 _____.（若在椭圆上，则处的切线方程为 ) 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线 与直线 . （1）当 时，求实数 的值； （2）当 时，求实数 的值. 16. 在平面直角坐标系中，已知点，若动点满足 . （1）求点的轨迹方程； （2）若 ，判断是否存在点满足，若存在，请求出点； 若不存在，请说明理由. 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ， . （1）证明: 为钝角三角形； （2）若的面积为，求的周长； （3）若点满足，求. 18. 如图，底面为正方形的四棱锥中，，，记，． （1）证明：为直角三角形； （2）当四棱锥的体积最大时，求平面与平面所成角的余弦值； （3）记直线与平面所成角为，求的最大值． 19. 常用测量距离的方式有3种．设，，定义欧几里得距离；定义曼哈顿距离，定义余弦距离，其中（O为坐标原点）． （1）求满足的点H的轨迹所围成的图形面积； （2）若，，求的取值范围： （3）动点P在直线上，动点Q在函数图象上，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $