北京市清华大学附属中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

G24级试卷参考答案及评分标准 数学 (2026.10) 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项. 1.A2.D3.C4.B5.A6.A7.C8.D9.A10.C 第二部分（非选择题 共110分) 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分 11.（-L,0U(0,+∞) 12.-7 13.10V3 π2 14.33 15.①③④ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 16.（)设等差数列{a,}的首项为4，公差为d,由题知： 2a,+3d=0 3a+6d=3 2分 解得4=-3，d=2 …4分 故0，=4+(n-1)d=-3+2(n-)=2n-5 …6分 ()由题知：6，=(2=(2=2 …7分 C2k1=021=4k-7(k=1,2,,n） 8分 数5+g+6=-341++4n-7=（3tn-7加-2-5n 2 …10分 cg=bk=2-2(（k=l1,2,n） …11分 +0++c3m=20+22+…+22m-2=1x1-4=4_1 故 1-433.…13分 Z.=G+g+6+C++Gn1+6,=2m2-5n+4- 33 in2x-co2-2sn 17.(I) …2分 受+252x-名号+2m3名+m5x骨+m 62 6 3 故单调递增区间为6 3 」，keZ. …5分 (D由80)=-l知4=1.8()=2in20r 6 …6分 08角对称石0So0超 因为0<ω≤3，所以 …9分 2T+2kT 法1：x=2m或3 2元 因为在[-m,0]上恰有三个实数根，所以实根为0，一了，-2元，…12分 _8m<-m≤-2 故3 ,m的取值范围为 2 …14分 因为 m正i2h+2e2 2时6 或6 513[-m-，-17<-m-s13 以有6666’6，故 6 6，…12分 m的取值范围为 23 …. …14分 选②：只能得到关于0的不等式，无法唯一确定取值、 3k,ke2, 20--7+2km→0=2 选③：由题可知362 医60<s3,maa-分，g-2n-哥副 之后过程同①. 18.(I)当a=l时，f(x)=nx-VE f()=11=2-E x 2vx 2x …2分 k=f0支.f0=-1 …4分 故切线方程为 …5分 (Ⅱ)由题知，a>0 …6分 f)=11=2-G x 2x 2x …8分 令f'()=0,x=4. …9分 (0,4) (4,+0) f'(x) 0 f(x) 个 极大 …10分 f(x)=f(4)=In(4a)-2 …11分 由题知： n(4a）-2≤0解得4，于是 04 …13分 19.【解】(I)在△BCD中，由正弦定理： CD.sin 2π BD CD BD= 36 2π sin sin sin 3 4,解得 4 ，…4分 (Ⅱ)在△BDE中，由余弦定理： DE2=BD2+BE2-2BD·BE·COS∠DBE 即：5BE2-36BE-140=0,解得BE=10(负值舍去) in∠DBE=V1-cos2∠DBE=4 又有 5 eDx BExsin∠D服=方6x10手24 5 …10分 sin∠ABE=AE·sinA3 (Ⅲ) BE 5,且∠ABE为锐角 S如∠iBE-}6om2D8E5=sn T-∠DBE ∠DBA= ,也为锐角，所 2 由DE2+BD2=BE2, ∠BDE=T-∠DBA 2 所以AB/DE.15分 f(x)=(-mx+m-n)+2m 20.(1) (e*+2 …2分 f(0)=1 由题意， f'(0)=0 1 3m-n=0 9 ……4分 m=1 解得(n=3 …5分 f)=+3f(x)=-e+2)+2 (2)由(1) e+2, (e+2j 记8()=-e(x+2)+2,则g'()=-e(+3), 当x变化时，8()，g()变化如下表， （-0,-3) -3 （-3,+0) g 0 8 极大值 …8分 当x<-3时，x+2>0,e>0,则8()=-e(x+2)+2>0 当x=0时，8(0)=0 由上表，当x<0时，8()>0，当x>0时，g()<0, …10分 xeR,(e+2>0 ∴当x<0时，f()>0,当x>0时，f()<0, “f()的单调增区间为(-0,0），单调减区间为(0，+0)】 …11分 (3)存在一个点满足题意。 点4(a,f(a》关于原点的对称点B(-a,f(-a》在面线y=f()上，等价于f(-a)=-f(@）, 令h(a)=f(-a)+f(a),(a>o),则r(a)=-f'(-a)+f'(a) …12分 由(2，当a>0时，f'(a)0,f'(-a)>0, 则'(a=-f'(-a)+f(a)<0, 则h(@）在(0，+）上单调递减， …13分 卧得 h(10)=f(-10)+f(10)= -7 13 e10+2e0+2 <-1<0 10 :.h(a在2 内存在唯一零点， 即符合题意的点A有且只有一个. …15分 21.解：(I)P(12,2)={12,34,5} …2分 P(-1,-1,2)={-2,-1,01,2} …4分 (Ⅱ)任取两个不同子列，分别记为B、C,考虑这两个子列不同的项（即恰在一个子列中出现的项）， 设其中下标的最大值为广，则j之1，不妨设为B中的项. .…5分 若广=1，则B中所有项之和减去C中所有项之和为4>0， …6分 若j≥2，则B中所有项之和减去C中所有项之和之a,-(a+a,+…+a,-)>0 …8分 从而任意两个不同子列的和都不相等，因此P(a,4,a,》=2”-1 …9分 ()设数列4，a,…,a正项有S个，负项有t个，其中5≥2，t≥2，S+t=n.将正项记为， 为，…，。>0，负项记为片，-少，，-儿，其中片，乃，，少>0.定义前缀和： X=+x++,(0≤i≤)，规定X,=0: y=片+%++y,(0≤j≤），规定%=0， 考虑以下（+1+个数：5=X-y,0≤i≤3,0≤j≤1.…10分 引理：这+1t+个数互不相同. 证明：用反证法，假设=5，且6)≠（化，，即 X;-Y=Xk-Y 若i=k,则少=业.由于片，乃，，y>0,前缀和严格递增，故j=1,与)≠(k,)矛盾。 因此i≠k. 不妨设i<k,则X,<X.将等式移项得 X-X;=Y-Y 左边X-X>0,故右边-Y>0,即>y.由前缀和严格递增，得>j.于是X-X=y-Y, 即+++2++x=y+y2十…+% 注意到i+1,j+1≥1，于是正项+1，…，x与负项一y1,…,一少构成的子列，其和为0，与 0gP(4,…,0矛盾，故所有的/互不相同.… …12分 在这(+t+)个数中，o0=X-=0对应空集，不属于P(a,a,):其余（s+t+)-1个数 都是非空子列的和，均在P(aa,)中，因此 P(a,,an)≥(s+1)(t+1)-1=st+s+t 将1=n-S代入上式可得s++i=s(n-s)+n=-s2+n:s+n 注意到2≤s≤n-2,上式在S=2(或对称地取S=n-2)时取得最小值，于是 P(a,,an)≥2(n-2)+n=3n-4. …13分 下面构造达到该下界的数列，取 L山， ,-a-.-a- 14分 该数列的任意非空子列和都形如m-t(1-),其中0≤m≤n-2,t∈0,12号，且m,t不同时为0. 子列和计数： t的取值 子列和 个数 t=0 1,2,…,n-2 n-2 t=1 -(n-1).-(m-2）,,-1 n-1 t=2 -2(n-）.-(2n-3）,,-n n-1 子列和均不为0，且三部分互不重叠，故 P(a,,a=(n-2)+(n-1)+(n-1)=3n-4 P（a1,a儿的最小值为3n=4 G24级试卷 数 学 （2026.10） 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．下列函数为奇函数且在定义域内单调递增的是（ ） A． B． C． D． 3．复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知平面向量，，若，则（ ） A．10 B． C．或 D．1或 5．在中，“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知角，的终边都落在第一象限，且关于直线对称，，则（ ） A． B． C． D． 7．杨梅的保鲜时间很短，技术人员采用某种保鲜方法后可使得杨梅采摘之后的时间（单位：小时）与失去的新鲜度满足函数关系其中，为常数．已知采用该种保鲜方法后，杨梅采摘10小时之后失去10%的新鲜度，采摘40小时之后失去20%的新鲜度．如今我国物流行业蓬勃发展，为了保证杨梅销售时的新鲜度不低于85%，则物流时间（从杨梅采摘的时刻算起）不能超过（ ） （参考数据：） A．20小时 B．25小时 C．28小时 D．35小时 8．在平面直角坐标系中，，．设，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．已知函数若，的值域均为，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 10．为公差不为0的等差数列，为公比不为1的等比数列．①存在，使得有无穷多项是中的项；②存在，使得有无穷多项是中的项．则（ ） A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．函数的定义域为________． 12．数列是公差为3的等差数列，为其前项和，若，则符合题意的的一个值为________． 13．在中，若，，，则的面积等于________． 14．已知函数， （ⅰ）若，将函数沿轴向右平移个单位后得到的函数图象关于轴对称，则________； （ⅱ）若在上单调，则的最大值为________． 15．已知函数的定义域为，，给出下面四个结论： ①若，，则； ②若，，有，则为常函数； ③若，，则； ④若，，，则． 其中，全部正确结论的序号为________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题13分） 已知等差数列满足：，． （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）已知，，求前项的和． 17．（本小题14分） 已知函数． （Ⅰ）求的单调递增区间； （Ⅱ）已知函数，，，满足．再从下面三个条件中选择一个条件，使得存在且唯一确定．若在上恰有三个实数根，求的取值范围． ①向左平移个单位后图象关于原点中心对称； ②在上单调递增； ③对任意的，恒成立． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（本小题13分） 已知函数． （I）当时，求曲线在处的切线方程； （Ⅱ）若，恒成立，求的取值范围． 19．（本小题15分） 北京市规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形．考虑到比赛期间需要运送一些补给物品，项目设计需要预留出，为赛道内的两条服务通道（不考虑宽度），，，，，为赛道．，，，，，． （Ⅰ）求服务通道的长度； （Ⅱ）求的面积； （Ⅲ）判断与是否平行？并说明理由． 20．（本小题15分） 已知函数，曲线在处的切线方程为． （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）是否存在，，使得点关于原点的对称点在曲线上，若存在，求出符合题意的点的个数．若不存在，说明理由． 21．（本小题15分） 对于任意数列，，…，，从中选取第项、第项、…、第项（，），称新数列，，…，为数列，，…，的一个长度为的子列．记为其全部子列之和所组成的集合，记为集合中元素的个数． （Ⅰ）对于数列：1，2，2与：，，2，直接写出集合与； （Ⅱ）若，正项数列，，，满足：，都有，求的值； （Ⅲ）若，数列，，，各项都是整数，且正项与负项的个数都不小于2，如果，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $