天津市南开中学2026-2027学年第一学期学情调查(一)高三数学试卷

南开中学2026-2027学年度第一学期学情调查（一） 高三数学试卷 考试时间120分钟 卷 一、选择题（每题5分，共45分) 1.设全集U={eZ0≤x≤6}，集合A={3,4,5},则C,A=() A.{L,2} B.{0.12 C.{1,2,6} D.{01,2,6} 2.已知a,b∈R,则“a2>b3“是“a3>b3”的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是() 3 A.f(因=20-可 B.()=2+可 c.f(22-可 D.f四22-可 x2+1 2 4.已知a=n写，b=0.322,c=logn0.23,则（) A.c<a<b B.b<c<a C.u<b<c D.b<a<c 5.若<a<元，化简cos 1+sina +cosa. 1-sina V1-sina 的结果是() 1+sina A.-2sina B.2sina C.-2 D.2 试卷第1页《共4页) 6.在aABC中，角AB,C的对边分别是a,6,c,若A=60,b=4, b+c =2万，则 sin B+sinC △ABC的面积为() A. B.1 C.5 D.55 4 7.已知适数回=2如or+引o>0,对eR都有f网得)，且在无 上单调，则⊙的取值集合为() A.{I0,18 B.{2,10y C.{210,16 D.{10,16 8.已知向量a在单位向量e上的投影向量为-e,且ld=4,b-(a+e=2,则 V2eR,2e-b的最小值为() A.25-2 B.√3-2 c.5-2 D.25 9、己知函数f()= [xe-,x≥0， -x2-2x,x<0. 若函数g(x)=f(x)-a2-ex(keR)(e为自然对 数的底数)恰有4个零点，则k的取值范围是() A.（me网 B. (*0 c.（m-eui+ IT卷 二、填空题（每题5分，共30分）》 10.已知z=1+i,则= 11 的展开式中常数项是-160，则Q=一 12.已知a=(3k-1,k+1),b=(L,k),若a,b同向，则k= 13.为帮助学生减压，高三某班准备了“幸运抽奖箱”，箱中共有10张卡片，其中6张 为“获奖卡”.每位同学随机抽取3张，抽到获奖卡可兑换奖品，每人抽完后箱中恢复原 先10张卡片，甲同学参加了一次抽奖活动，则甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率为 试卷第顷（共4页） :若该班有60名同学，每人都恰参加一次抽奖活动，则至少抽到1张“获奖 卡”的人数的均值是 14.直线4和2是圆x2+y2=3的两条切线，若4与2的交点为(2,4)，则4与2的夹角 的正切值等于一 15、若a,b∈R,对r满足x2-10x-11≤0时，都有(3a+b)x2+2br-5a-1s0恒成 立，则2a+b的最小值是 三、解答题(16题14分，17-19每题15分，20题16分，共75分) 16.已知函数f(x)=2sina0x:cos r+引马o>,者在意R, f)s5f()恒成立时，内-的最小值为空 (1)求函数∫(x)的解析式及其单调递增区间： (2)若将函数∫x)的图象上所有点的纵坐标不变，将其图象向右平移元个单位得到函数 24 g网的图象首：[引 ，求g(x)的最大值与最小值，及其对应的x的值 17.如图，已知直三棱柱ABC-ABC,中，底面ABC为等腰直角三角形 ∠BAC=90°，AB=AA=2,M、N、P、D分别是CC、BC.AB、BC1的中点 (I)求证：PN∥平面AACC; (2)求平面PMN与平面ABC夹角的余弦值； (3)求C到平面PMW的距离 试卷第3页（共4页） 18.如图，平面内因点A,8,C,P,满是∠BAC-受C=1,Bp1BC, B 《诺C-之B即-5，（求a8P的面积：⑧求P以. O老An=行a即.5，求∠PMB 2 19. 已知椭圆r: 苦+片=40>60离0率转9· 2 在椭圆上. (I)求曲线T的方程； (2)设直线1是过原点O的一条动直线直线1与圆O:x2+y2=a2交于M,N两点， A(2,0),直线MA,NA与曲线Γ的交点分别为点B,C. ()直线BC是否过定点，过的话求出定点坐标，否则，说明理由： (i)是否存在直线l,使得四边形OBAC为梯形？若存在，求出直线1的方程；若不存 在，说明理由。 20.已知定义域为R的函数f(x)=ax3+2sinx-mx,且曲线f()在点(0，f(0)处的切 线方程为y=x. (1)求m的值； (2)当a=1时，研究f(x)的单调性： (3)若f(x)20在x∈[0，+∞)上恒成立，求a的取值范围. 试卷第4页（共4页） 南开中学2026-2027学年度第一学期学情调查（一）数学答案 一、单选题 2 3 5 6 7 8 9 D D A C C D B C A 二、填空题 10 11 12 13 14 15 √5 2 1 3:58 1 √5 -1 7 三、解答题 16、 (1)先化简函数： f()-2sinwa cos(w+ 2 用余弦加法定理展开 1 √ +)=0-号mu2,代入得 f()2sina(co √3 sin wa)士Y3=sin wa cosw-V3sin2uz+V月 2 用二倍角公式sin wx coswx= 1 2sin2uwe、 sinwa= 1-cos 2wx 3 化简得： f(x)= 2sin 2wz-V3.1-cos 2wz V3 1 2 22sin 2wn+V3 号cos2ar=snl2wr+) T=5得周期肛=元，又 由21-c2lmm=2=2 T==, 故w=1,解析式为： f到=血(2z+) 求单调递增区间：令 +2m≤2z+号≤7+2e2),解得： [kr-铝+哥e四 π 2)向右平移贸个单位得 9=fe-7)=mpe-7)+引=sm(2x+） 当xeo1时，2z+∈原： 最大值1，对应2：+行=号 亚= 8. ，对应2+=◆= 最小值-V② 综上： (1)解析式f@)=im(z+), 单调递增区间 [-登版+ke2 回最大值1（任=专，最小值-号e-音 2 17、 (1)证明：因为底面ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90° 所以AB1AC, 因为侧棱AA1与底面ABC垂直， 所以AA11AB,AA11AC,即AA,AB,AC两两垂直， 所以，如图，以A为坐标原点，AB,AC,AA1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 因为AB=2,AA1=2,M,N.PD分别是CC1BC,AB1,BC1的中点， 2 所以P(1,0,2),N(1,1,0),A(0,0,0),B(2,0,0), 所以P=(0,1,-2),易知平面A1ACC1的法向量为AB=(2,0,0) B 所以P·AB=0,即PN1AB=0,， 因为PN￠平面A1ACC1, 所以PN//平面A1ACC1 B (2)解：由(1)P(1,0,2),N(1,1,0),M(0,2,1),A(0,0,0),A1(0,0,2),B(2,0,0), 所以PN=(0,1,-2),MN=(1,-1,-1), 设平面PMW的一个法向量为元=(x,y,z), 则0即化g令=1得元=20 由题，易知平面ABC的一个法向量为AA=(0,0,2), 所以cos(AA,=AA过：，2=4 AA1同2×√1年=14 所以平面PMW与平面ABC夹角的余弦值为 14 (3) CP* 3-4+0V14 d= √9+4+114 18、 ())因为AC=安BC=1,∠BAC=受 所以AB-停，sin-ABC=分∠ABC=君 又BP1BC,所以LABP=3,BP=V3, 所以5a即方×号xV5x号-2 8 间PAP=BAP+BP2-2BA:BPeos-ABP=}+3-2xxV3X专-是 2 所以PA-是 (2)因为LABP=石所以LABC=AB=BCcos-ABC= 所以PA2=BA2+BP2-2BA·BPcosLABP -2x××号2 4 2 4 所以AP=6-V2 4 oAB=AP2 2AB·AP 2xxY6-V2 2 4 所以LPAB=3严 4 19、 ()解：椭圆离心率e=3、￡=V3 2a=2 (-1座国上，9： a2 62-1 .a2=b2+c2.a2=4,b2=1 ∴衡圆方程为苦+护=1答：苦+子=1 (2)()解： 直线过原点，与圆x2+y2=4交于M,N M,N关于原点对称 ,直线MA,NA与椭圆交于B,C ∴.设M(2cos0,2sin0),N(-2cos0,-2sin) :直线MA的斜率kMA=、sin9 c0s0-1 1 六直线MA的方程为y=-左-2) .·代入椭圆方程得(t2+4)x2-16x+16-4t2=0 -4t .℃B三2+4，B=2+ :直线NA的斜率kNA=t .直线NA的方程为y=t(x-2) 代入椭圆方程得(1+4t2)x2-16t2x+16t2-4=0 i.ac= 8t2-2 -4t 1+42,3c=1+4把 ~直线BC的斜率kBC=15 -4t -4t 1、 .直线BC的方程为y=15(+2) 直线BC过定点(-0答：(-号0叭， ()解：四边形OBAC为梯形 .∴OB‖AC或OA‖BC ,OA在x轴上，BC斜率为0时B,C重合 仅考虑0BAC:知a=票k0= -2t 4-女=t:t≠02=6t=士v6 22v6 :直线的斜率k=,2t 5 六直线的方程为y=士2v6, ,2v6 5答：= E。 5 20、 (1)由题意知f′(x)=3ax2+2cosx-m, 且曲线y=f(x)在点(O,f(O)处的切线方程为y=x, 所以f′(0)=1，即2-m=1,解得m=1. (2)由(1)知，m=1,则当a=1时，f′(x)=3x2+2c0sx-1. 令f′(x)=g(x),则g'(x)=6x-2sinx=2(3x-sinx), 令h(x)=3x-sinx,则h'(x)=3-cosx>0, 所以h(x)在R上单调递增，且h(O)=0, 所以x>0时，h()=29')>0,所以g()=f')在(0，+∞)上单调递增： 当x<0时，h()=9'()<0,所以g()=f'(w)在(-∞，0)上单调递减. 所以f'(x)mm=f'(O)=1>0,所以f(x)在R上单调递增， (3)由曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y=x,得f(O)=0, 又f′(x)=3ax2+2cosx-1,所以fx)=ax3+2sinx-x. 当x=0时，f(0)=0,则fx)≥0恒成立，所以aeR. 当x>0时，由f()≥0，得a≥x-2simx x3 令F)=-2si,则F')）=23six-xos2 3 x4 令G(x)=3sinx-x-xCOSx,则G′(x)=xsinx+2coSx-1, 再令H(x)=xsinx+2cosx-1,则H′(x)=xcOSx-sinx, 令K(x)=xcosx-simx,则K′'(x)=-xsinx. ①当x>元t时，令()=2stx+号-xx>m), 则L冈=2sx+号-1>-2+号-1=0， 所以L(x)在(，+o)上单调递增，此时Lx)>L(π)=0， 故当xa,十四)时，F的=二2<京 x3 ②当0<x≤π时，K'(x)=-xsix<0,故K(x)在(0，π上单调递减， 又K(O)=0,所以H'(x)=K(x)<K(O)=0,故Hx)在(O,上单调递减， 因为H(0)=1>0,H(m)=-3<0, 所以存在xo∈(0，π)，使得G′(xo)=H(xo)=0, 于是G(x)在(O,xo)上单调递增，在(xo,π)上单调递减. 由于G(0)=0,G(m=0,于是x∈(0，]时，G(x)≥0，此时F'(x)≥0， 所以F)在(O,m]上单调递增，F()在(O,可上的最大值为F(m）=之. 由O2知F)=2在0，+四)上的最大值为之 所以a≥之，即a的取值范围是[之，+∞).