天津市耀华中学2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试题

天津市耀华中学2027届高三第一次月考 数学学科试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题　共60分） 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数的部分图象大致是（ ） A． B． C． D． 4．若，，，则（ ） A． B． C． D． 5．下列函数中既是偶函数，又在区间内是增函数的为（ ） A．， B．， C．，且 D．， 6．已知，，当时，则（ ） A． B． C． D． 7．已知向量，，若，则向量在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 8．已知，，则（ ） A． B． C． D． 9．函数在下列哪个区间上单调递减（ ） A． B． C． D． 10．已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，，…，，则（ ） A．8 B． C．12 D． 11．已知函数，为函数的零点，直线为函数图像的对称轴，且在区间上是单调函数，则的最大值为（ ） A．11 B．9 C．7 D．5 12．函数的图象在点处的切线与直线垂直（是自然对数的底数），函数满足，若关于的方程在区间上恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题　共90分） 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题卡上． 13．已知是虚数单位，化简的结果为________． 14．在的展开式中，的系数为________． 15．小鑫在一场篮球比赛中投了3次篮，他的投篮命中率为0.4，且每球是否命中均相互独立，设他投篮命中的次数为，则的期望是________；在已知他至少命中1次的条件下，他恰好命中1次的概率为________． 16．已知不等式对任意满足的实数，恒成立，则实数的最大值是________． 17．已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足．（1）当与共线时，________；（2）的最小值是________ 18．在中，角，，所对边分别为，，，的中点为，，且，延长到点，使点为线段的中点，则下列结论正确的有________．（填序号） ①②的面积的最大值为 ③若为锐角三角形，的取值范围为 ④的最小值为 三．解答题：本大题共5小题，共60分，将解题过程及答案填写在答题卡上． 19．（本题满分14分）已知函数． （Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）求函数的单调减区间； （Ⅲ）在中，、、分别是角、、的对边，若，，的面积，求的值． 20．（本题满分15分）在四棱锥中，侧面平面，四边形为直角梯形，，，，，为等边三角形，点，分别为，的中点． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求平面与平面所成角的余弦值； （Ⅲ）点在线段上，且，求点到平面的距离． 21．（本题满分15分）已知椭圆的离心率为，且过点，点、分别为椭圆的左右焦点． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）设点为第一象限内椭圆上的点，若，求点的坐标； （Ⅲ）过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得的值为定值？若存在，求出定点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由． 22．（本题满分16分）函数的定义域为，，的导函数，为处的切线． （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ），证明：除点外，曲线均在上方； （Ⅲ）若时，直线过且与垂直，，分别于轴的交点为与，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $