第25-26章 填空题高频易错题考点汇总训练（七大类型）-2026-2027学年人教版九年级上册数学

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 第25-26单元填空题高频易错题考点汇总训练（七大类型） 目录 考点一一元二次方程的概念 1 考点二解一元二次方程 2 考点三实际问题与一元二次方程 5 考点四二次函数的概念 8 考点五二次函数的图象和性质 10 考点六二次函数与一元二次方程 13 考点七实际问题与二次函数 16 考点一一元二次方程的概念 1．下列关于x的方程：①；②；③；④，其中是一元二次方程的有_______．（请填写序号） 【答案】④ 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，对四个方程逐一判断即可． 【解答】解：①方程中未说明，当时，方程为一元一次方程，因此①不是一元二次方程； ②方程，整理得，是一元一次方程，因此②不是一元二次方程； ③方程，分母含有未知数，不是整式方程，因此③不是一元二次方程； ④方程，只含一个未知数，是整式方程，且未知数最高次数为2，符合一元二次方程的定义，因此④是一元二次方程． 综上所述，是一元二次方程的是④． 2．将方程化为一元二次方程的一般形式后，若二次项系数为正数，则一次项系数为__________． 【答案】 【分析】将原方程展开移项，整理为二次项系数为正的一元二次方程一般形式，即可得到一次项系数． 【解答】解：展开原方程左边，得移项整理为一般形式，得，此时二次项系数为，是正数，因此一次项系数为． 3．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为，据此列不等式求解的取值范围． 【解答】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴一元二次方程的二次项系数不为， 即,解得． 4．若是一元二次方程的一个根，则的值是__________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，再利用整体代入法计算所求式子的值． 【解答】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴将代入方程得 ， 整理得 ， ∴． 考点二解一元二次方程 5．定义新运算，若，则的值为___________． 【答案】 【分析】先根据定义化简新运算，再从内到外计算，最后解方程得到结果． 【解答】解：由题意得， ， ∴， ∴ ， ∴ 解得． 6．已知关于的方程，若等腰三角形的底边长为3，两腰长是该方程的两个实数根，则该三角形的周长为_______． 【答案】11 【分析】等腰三角形两腰相等，因此方程有两个相等实数根，先利用一元二次方程根的判别式求出的值，再解出方程得到腰长，验证三边关系后计算周长． 【解答】解：∵ 等腰三角形两腰长相等，两腰长是原方程的两个实数根， ∴ 原方程有两个相等的实数根，则判别式， 即， 解得， 将代入原方程，得， 解得， 即三角形腰长为， ∵ ，，满足三角形三边关系， ∴ 三角形周长为． 7．如图，在中，，是的中线，交边于点，若，，则的长为____________． 【答案】 【分析】连接，由直角三角形的性质得到，；可证明垂直平分，得到；设，则；由勾股定理得，，据此可得，解方程即可得到答案． 【解答】解：如图所示，连接， ∵在中，，是的中线， ∴，； ∵， ∴垂直平分， ∴； 设，则； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 8．已知一元二次方程的两个实数根为，则代数式的值为___________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，展开所求代数式后代入计算即可． 【解答】解：∵一元二次方程的两个实数根为， ∴，， ∴ ． 考点三实际问题与一元二次方程 9．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“ 甲流 ”初期，有 1 人感染了“ 甲流病毒 ”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有 225 人感染了“ 甲流病毒 ”，则每轮传染中平均一个人传染了 ____ 人． 【答案】14 【分析】根据传染过程确定两轮传染后总感染人数的等量关系，列一元二次方程求解，舍去不符合实际意义的根即可得到结果． 【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了人， 根据题意，得 ， 整理得：， 解得，， 因为传染人数不能为负数，所以舍去，． ∴每轮传染中平均一个人传染了人． 10．随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零部件4月份生产5000个，6月份生产7200个．求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为___________． 【答案】 【分析】设该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为，根据4月和6月的产量列一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：设该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 即该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为． 11．陕西阎良是我国知名的“中国甜瓜之乡”．某甜瓜种植户通过电商平台销售自家的优质甜瓜，平均每天可售出20箱，每箱可盈利30元．经市场调研发现：在每箱降价不超过15元的前提下，该甜瓜每箱每降价1元，每天可多售出5箱．若此种植户某天销售该甜瓜共获得利润1200元，设该甜瓜每箱降价x元，则根据题意可列方程为________． 【答案】 【分析】分别表示出降价元后每箱的利润和每天的销售量，根据总利润计算公式列方程即可． 【解答】解：由题意可得，每箱降价元后，每箱盈利为元，原来平均每天售出20箱，每降价1元每天可多售出5箱，因此每天的销售量为箱，总利润等于每箱利润乘以每天销售量，已知总利润为1200元，因此可列方程为． 12．四边形中，，，，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点、的位置如图所示，有下列结论：当时，；当时，的最大面积为；有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的序号为___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，三角形面积的计算，熟练应用数形结合思想和二次函数的性质是解题的关键．当时，点在上， 求出、，可判断；当时，点在上，利用三角形面积公式表示出的面积，利用二次函数的性质，可判断；分两种情况：当点在上时，当点在上时，结合的面积为，列出方程，可判断． 【解答】解：根据题意得：点在上的运动时间为，点在上的运动时间为，点在上的运动时间为， 当时，点在上， 此时，， ， ，故正确； 当时，点在上， 此时，， ， ， ， 抛物线开口向下，当时，随的增大而增大， ， 当时，取得最大值，最大值为， 即当时，的最大面积为，故正确； 当点在上时，，此时， ， 的面积为， ， 解得，（舍去）， 当时，的面积为； 当点在上时， ， ，， ，即， 此时， 解得， 当时，的面积为； 有两个不同的值满足的面积为，故正确． 故答案为：． 考点四二次函数的概念 13．某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查列函数解析式，根据月平均增长率问题，11月份产量为，12月份产量为，从而得到函数关系式． 【解答】解：依题意，月平均增长率为，则11月份化肥产量为，12月份化肥产量为， 故， 故答案为：． 14．在平面直角坐标系中，已知点．任取其中三点可以确定一条抛物线（其对称轴是与y轴平行的直线）的概率是___________． 【答案】 【分析】先求出从4个点中任取3个点，结合抛物线的特点得到所有等可能结果，再判断不能确定抛物线的三点共线的结果数，最后根据概率公式计算概率． 【解答】解：设四个点分别为，，，， 根据题意，从4个点中任取3个点，共有4种等可能的结果，即， ∵三点共线，无法确定抛物线， ∴需验证三点是否共线如下： 设过点和的直线解析式为， 代入坐标得， 解得，，即直线解析式为， 将代入解析式，左边，右边，等式成立， ∴点在直线上，即三点共线，不能确定抛物线； ∵当时，，， ∴不能确定抛物线； ∴可以确定抛物线， ∴所求概率为． 15．若函数是关于x的二次函数，则常数m的值是_________． 【答案】 【分析】根据二次函数定义，得到的最高次数为，且二次项系数不为，据此列方程和不等式求解即可． 【解答】解：∵函数是关于的二次函数， ∴的最高次数满足，且二次项系数， 整理方程得， 因式分解得， 解得或， ∵， ∴， ∴． 16．已知点，都在抛物线上，则_____．（用“”，“”或“”填空） 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的函数值，通过直接计算点A和点B的纵坐标值进行比较． 【解答】解：对于抛物线， 当时， ； 当时， ． 因为， 所以 故答案为：． 考点五二次函数的图象和性质 17．若二次函数的图象开口向上，则实数的值可能是___________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，只要是正数即可） 【分析】二次函数开口向上时，二次项系数满足，只需写出一个符合条件的即可． 【解答】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴，任意取一个满足条件的正实数即可，例如． 18．将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新的抛物线是___________． 【答案】 【分析】根据抛物线平移的“左加右减，上加下减”规律，即可求出平移后的新抛物线解析式． 【解答】解：将抛物线向左平移个单位长度，得到的抛物线解析式为， 再向上平移个单位长度，得到新抛物线解析式为． 19．如图，在矩形中，，点在边上，，动点，分别在边和上，且，点在上，则的面积的最大值为___________． 【答案】 【分析】过点作于点，设，根据矩形的性质，求出，根据等腰三角形的性质，推出，根据平行线的性质，推出，根据勾股定理求出，，根据三角形的面积公式，得到，根据函数的最值，即可求解． 【解答】解：如图，过点作于点，设． 四边形为矩形， ，，， ． ， ， ． ， ， ， 由勾股定理得． ， ， ， ，由勾股定理， ， 当时，存在最大值，最大值为． 20．如图，已知抛物线与x轴分别交于A，O两点，顶点为M．将抛物线关于y轴对称得到抛物线，则抛物线过点O，与x轴的另一个交点为B，顶点为N，连接，，，则四边形的面积为_____． 【答案】3 【分析】把抛物线的解析式化为顶点式得到点的坐标，再求出点的坐标，根据关于轴对称的点的特点求出点的坐标，结合梯形面积公式求解即可． 【解答】解：∵抛物线的函数解析式为， ∴抛物线的顶点的坐标为， 当时，， 解得，， ∴点A的坐标为． 和关于y轴对称， ∴点N和点M关于y轴对称，点B和点A关于y轴对称， ， ； ， ∴四边形是梯形； ，，， ． 考点六二次函数与一元二次方程 21．若一元二次方程的根分别为，，则二次函数的图象与x轴的交点坐标分别是_______________． 【答案】和/和 【分析】一元二次方程的根就是二次函数的图象与轴交点的横坐标，轴上点的纵坐标为，据此可直接写出交点坐标． 【解答】解：∵一元二次方程的两根是，，一元二次方程的两根就是二次函数的图象与轴交点的横坐标，且轴上点的纵坐标为， ∴二次函数的图象与轴的交点坐标为． 22．如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 【答案】 【分析】设点，，，的纵坐标是其中，可以求出点的坐标是，点的坐标是，根据对称性质可知点的坐标是，点的坐标是，根据可得，即可求出，根据的值即可求出的长度． 【解答】解：设点，，，的纵坐标是其中， 则有， 解得：，， 点的坐标是，点的坐标是， 两条曲线关于轴对称， 点的坐标是，点的坐标是， ，，， ， ， 解得：， ， ， ． 23．已知二次函数及直线，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据题意画出对应的图象，先解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，然后求出直线经过该抛物线的顶点C时的坐标，从而得到m的值，进而得出m的取值范围． 【解答】解：如图，在x轴下方作直线，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时点C为翻折抛物线的顶点，则直线在x轴与切线的两条直线之间，两个图象有4个交点， 令，解得：或2，即，， ∴翻折抛物线的表达式为：， ∴顶点C的坐标为， 当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是． 24．定义：如果一个函数，当时，函数值y满足，且，则把该函数称为在范围内的“k倍界”函数．例如，一次函数，当时，，且由，得，则一次函数称为在范围内的“3倍界”函数．若关于x的二次函数是在范围内的“2倍界”函数，则_________． 【答案】或 【分析】先求出关于x的二次函数图象的对称轴为直线，得到当或时，二次函数的函数值相等，分和两种情况讨论即可． 【解答】解：∵， ∴关于x的二次函数图象的对称轴为直线， ∵， ∴当或时，二次函数的函数值相等， 当时，二次函数有最小值为， 在范围内，当或时，有最大值为， ∵二次函数是在范围内的“2倍界”函数， ∴， ∴； 当时，二次函数有最大值为， 在范围内，当或时，有最小值为， ∴， ∴； 综上，或． 考点七实际问题与二次函数 25．已知一个直角三角形两直角边长之和为，则这个直角三角形的最大面积为____________． 【答案】 【分析】设这个直角三角形的一条直角边长为，其面积为，则另一条直角边长为，利用三角形面积公式得到面积的二次函数表达式，利用二次函数的性质求最大值即可． 【解答】解：设这个直角三角形的一条直角边长为，其面积为，则另一条直角边长为， 由题意得：， ∴， 又∵这个直角三角形的面积， ∴在内，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为200， 即这个直角三角形的最大面积为． 26．如图1，在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿的方向匀速运动；到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为ts，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段的长为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，由图2可得：当点P运动到点A处时，，由此可得的长，进而可得的长．理解题意，结合图象，运用数形结合的思想是解题的关键． 【解答】解：由图2可得：当点P运动到点A处时，， ∴， ∴． 故答案为：． 27．如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面，其形状可以用抛物线表示，施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，点在抛物线上，若，则脚手架的高度为_________米． 【答案】6 【分析】本题考查了二次函数的应用问题，设出点D的坐标并代入解析式是解题的关键．设，然后用m表示D点的坐标，将D点坐标代入抛物线解析式求出m，从而可得到的值． 【解答】解：，矩形脚手架在大棚正中， 设，，则， D点坐标为， 将代入， 得， 解得或（舍）， ， 故答案为：6． 28．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高_______m时，水柱落点距离O点． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数 在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质 是解题关键． 由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高时，可设将代入解析式得出喷头高时，可设 将代入解析式得联立可求出和的值，设喷头高为时，水柱落点距点，则此时的解析式为将代入可求出． 【解答】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化， 当喷头高时，可设， 将代入解析式得出①； 喷头高时，可设； 将代入解析式得 ②； 联立可求出， 设喷头高为时，水柱落点距点， ∴此时的解析式为 将代入可得 解得 ， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 第25-26单元填空题高频易错题考点汇总训练（七大类型） 目录 考点一一元二次方程的概念 1 考点二解一元二次方程 1 考点三实际问题与一元二次方程 2 考点四二次函数的概念 2 考点五二次函数的图象和性质 3 考点六二次函数与一元二次方程 4 考点七实际问题与二次函数 4 考点一一元二次方程的概念 1．下列关于x的方程：①；②；③；④，其中是一元二次方程的有_______．（请填写序号） 2．将方程化为一元二次方程的一般形式后，若二次项系数为正数，则一次项系数为__________． 3．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是_______． 4．若是一元二次方程的一个根，则的值是__________． 考点二解一元二次方程 5．定义新运算，若，则的值为___________． 6．已知关于的方程，若等腰三角形的底边长为3，两腰长是该方程的两个实数根，则该三角形的周长为_______． 7．如图，在中，，是的中线，交边于点，若，，则的长为____________． 8．已知一元二次方程的两个实数根为，则代数式的值为___________． 考点三实际问题与一元二次方程 9．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“ 甲流 ”初期，有 1 人感染了“ 甲流病毒 ”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有 225 人感染了“ 甲流病毒 ”，则每轮传染中平均一个人传染了 ____ 人． 10．随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零部件4月份生产5000个，6月份生产7200个．求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为___________． 11．陕西阎良是我国知名的“中国甜瓜之乡”．某甜瓜种植户通过电商平台销售自家的优质甜瓜，平均每天可售出20箱，每箱可盈利30元．经市场调研发现：在每箱降价不超过15元的前提下，该甜瓜每箱每降价1元，每天可多售出5箱．若此种植户某天销售该甜瓜共获得利润1200元，设该甜瓜每箱降价x元，则根据题意可列方程为________． 12．四边形中，，，，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点、的位置如图所示，有下列结论：当时，；当时，的最大面积为；有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的序号为___________． 考点四二次函数的概念 13．某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为______． 14．在平面直角坐标系中，已知点．任取其中三点可以确定一条抛物线（其对称轴是与y轴平行的直线）的概率是___________． 15．若函数是关于x的二次函数，则常数m的值是_________． 16．已知点，都在抛物线上，则_____．（用“”，“”或“”填空） 考点五二次函数的图象和性质 17．若二次函数的图象开口向上，则实数的值可能是___________．（写出一个即可） 18．将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新的抛物线是___________． 19．如图，在矩形中，，点在边上，，动点，分别在边和上，且，点在上，则的面积的最大值为___________． 20．如图，已知抛物线与x轴分别交于A，O两点，顶点为M．将抛物线关于y轴对称得到抛物线，则抛物线过点O，与x轴的另一个交点为B，顶点为N，连接，，，则四边形的面积为_____． 考点六二次函数与一元二次方程 21．若一元二次方程的根分别为，，则二次函数的图象与x轴的交点坐标分别是_______________． 22．如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 23．已知二次函数及直线，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是________． 24．定义：如果一个函数，当时，函数值y满足，且，则把该函数称为在范围内的“k倍界”函数．例如，一次函数，当时，，且由，得，则一次函数称为在范围内的“3倍界”函数．若关于x的二次函数是在范围内的“2倍界”函数，则_________． 考点七实际问题与二次函数 25．已知一个直角三角形两直角边长之和为，则这个直角三角形的最大面积为____________． 26．如图1，在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿的方向匀速运动；到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为ts，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段的长为_________． 27．如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面，其形状可以用抛物线表示，施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，点在抛物线上，若，则脚手架的高度为_________米． 28．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高_______m时，水柱落点距离O点． 学科网（北京）股份有限公司 $