二次函数综合：平行四边形存在性问题、菱形存在性问题、矩形存在性问题专项训练-2026-2027学年人教版九年级数学上册

二次函数综合：平行四边形存在性问题、菱形存在性问题、矩形存在性问题专项训练 二次函数综合：平行四边形存在性问题、菱形存在性问题、矩形存在性问题专项训练 考点目录 平行四边形存在性问题 菱形存在性问题 矩形存在性问题 考点一 平行四边形存在性问题 例1．（26-27九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，抛物线经过、、三点． (1)求、、的值； (2)在抛物线对称轴上找一点，使的值最小时，求点的坐标； (3)点为轴上的动点，轴左侧的抛物线上是否存在点，使以、、、四点构成的四边形是以为边的平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1，， (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）首先将点代入抛物线解析式并解得的值，即可确定该抛物线解析式，然后计算，的值； （2）首先确定该抛物线的对称轴为，且点关于直线对称，易得，当点在同一直线上时，取最小值，即取最小值；设直线的解析式为，利用待定系数法确定直线的解析式，进而确定点坐标即可； （3）分点N在x轴下方和点N在x轴上方两种情况讨论，结合平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线解析式为， 当时，可得， 解得， ∵，且点在点左侧， ∴，即， 将点代入抛物线， 可得； （2）∵抛物线的解析式为， ∴其对称轴为直线， 由（1）可知，，，且点为对称轴上一点， 由抛物线的对称性可知，点关于直线对称， ∴， ∴，当点在同一直线上时，取最小值，即取最小值，连接，交对称轴于点，如图所示， 设直线的解析式为， 将点，点代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； （3）存在点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形， 分两种情况讨论，如图所示， ①当点N在x轴下方时，四点构成平行四边形，如图所示， ∴， ∴， 对于抛物线，当时， 可得，解得， ∵， ∴， ∴； ②当点N在x轴上方时，四点构成平行四边形，如图所示，过点作轴于点D， ∴，， ∴ 在与中， ， ∴， ∴，即点的纵坐标为3， 对于抛物线，当时， 可得，解得， ∵点在轴左侧的抛物线上， ∴， ∴． 综上所述，符合条件的点N的坐标为或． 例2．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）如图1，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图2，若是线段上一动点，过作轴的平行线交抛物线于点，交于点，设点的横坐标为，的面积为S．求S关于的函数关系式；当取何值时，S有最大值，求出S的最大值； (3)若是轴上一个动点，过作直线交抛物线于点，随着点的运动，在轴上是否存在这样的点，使以，M，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，当时，S有最大值，最大值为 (3)存在，点的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可． （2）求出直线的函数解析式，用含t的式子表示出点H、N的坐标，得出，再根据求出S关于t的函数关系式，最后根据二次函数的性质解答即可； （3）求出点B坐标，得到的长，再分、M在点A的左侧且，和当M点在点A的右侧，时三种情况，画出图形解答即可求解． 【详解】（1）解：将和代入得 , 解得, ∴该抛物线的解析式为； （2）解：设直线的函数解析式为，把和代入得 ， 解得， ∴直线的函数解析式为， ∵点的横坐标为，轴，交于点， ∴，, ∴， ∴, ∵, ∴当时，S有最大值，最大值为; （3）解：存在，理由如下： 把代入得， 解得，， ∴， ∴， 如图，当时，四边形为平行四边形， ∴， 把代入得， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点M在点A的左侧，时，四边形是平行四边形， 过点Q作轴于D，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴点Q的纵坐标为， 把代入得， 解得，（不符合，舍去）， ∴点M的横坐标为， ∴； 如图，当M点在点A的右侧，时，四边形是平行四边形， 过点Q作轴于E，则， 同理可得． 例3．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图1，抛物线交轴于点和点，交轴于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，连接和，交于点，交轴于点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标； (3)如图2所示，若点是抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，请问在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2) (3)符合条件的点有三个，坐标为：，， 【分析】（1）先推导出，再根据待定系数法进行求解即可； （2）先求出，即，根据三角形的内角和求出，推导出，得到，可推导出是等腰直角三角形，求出，继而求出直线解析式是，联立直线与抛物线，求出点D的横坐标，再求出，即可解答； （3）分类讨论：当为对角线和菱形边时，利用直线与x轴成角关系建立关于P的横坐标的方程，进而求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， 将，分别代入，得 ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时， ， 解得， ∴，即， ∵，， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 设直线解析式是，把，分别代入，得 ， ∴， ∴直线解析式是， 联立直线与抛物线：，得 ， 解得（点B，舍去），， 将代入，得 ， ∴； （3）解：设直线解析式是， 把，代入，得 ， ∴， ∴直线解析式是． ①当为菱形的对角线时，如图2， 设，则， ∴， ，四边形是菱形， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，即轴， ∴， ， 解得（不合题意舍去）或， 此时， ． ②当为菱形的边时，如图， 作于点H，   设，则， ∴，， ， ∴． ∴ 解得：，，（不合题意舍去）． 或． ∴，， 如图所示， 综上所述，符合条件的点有三个，坐标为：，，． 变式1．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点，与y轴的交点为C，顶点为D． (1)求该抛物线的表达式及D点的坐标； (2)点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②点P在抛物线上，点Q在y轴上，是否存在以B、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为：，点的坐标为 (2)①②点P的坐标为或或 【分析】（1）将A点和B点坐标代入表达式，解二元一次方程组即可得到抛物线的表达式，将表达式化为顶点式，就可以得到D点的坐标； （2）①先求出点C和点P的坐标，再求出所在直线的表达式，过点P向x轴作垂线交于点E，数形结合，写出面积的表达式即可得到结果； ②利用平行四边形的性质求解，进行分类讨论，为对角线时，点B和点D的中点坐标也是点P和点Q的中点坐标；为边时，且，设和所在直线的表达式为、，则，再分别求出和，联立求解即可 ． 【详解】（1）解：，两点在抛物线的图象上， 将，两点代入得：， 解得：， 抛物线的表达式为：； ∵， 点的坐标为； （2）解：①过点P向x轴作垂线，交于点E，如下图所示： 在中，当时，， 抛物线与y轴交于点C， 点的坐标为， 设所在直线的表达式为：， 将和代入得：， 解得：， 所在直线的表达式为， P点在抛物线的图象上，P点的横坐标为m， 点的坐标， ∵在中，当时，， ∴， ， ， 的最大面积是； ②设，， 点B、D、P、Q构成的四边形是平行四边形， 分为以下两种情况进行讨论： 第一种：以为对角线，根据平行四边形对角线互相平分的性质进行求解：中点的坐标为，则的中点坐标也为， ，， 解得：，， 的坐标为； 第二种：以为边，根据平行四边形对边平行且相等的性质进行求解，即，， 设所在直线的表达式为， 将，代入得：， 解得：， ∴所在直线的表达式为． 设所在直线的表达式为， 将，代入得：， 解得：， ∴所在直线的表达式为． ， ， 即， 得：， ∵，， 又， ， 解得：， 当时，点P的坐标为； 当时，点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 变式2．（2026·四川广安·模拟预测）如图，抛物线经过，，三点 (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，请求出最小值及此时P的坐标； (3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)存在；或或 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）连接，交抛物线的对称轴于点P，连接，根据轴对称的性质得出，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即最小，求出此时点P的坐标即可； （3）分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别根据中点坐标公式，列出方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵，，三点在抛物线上， ， 解得：， 抛物线的解析式为：． （2）解：连接，交抛物线的对称轴于点P，连接，如图所示： 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小，且最小值为： 抛物线的解析式为， 其对称轴为直线：， 设直线的解析式为， ，， ， 解得， 直线的解析式为． 当时，． ； （3）解：存在． 设点M的坐标为，点N的坐标为， ①当为对角线时，根据中点坐标公式可得： ， 解得：（舍去）或， 此时点N的坐标为； ②当为对角线时，根据中点坐标公式可得： 解得：或， ∴此时点N的坐标为或； ③当为对角线时，根据中点坐标公式可得： 解得：（舍去）或， 此时点N的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 考点二 菱形存在性问题 例1．（25-26九年级上·山东威海·阶段检测）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点P仅在线段上运动，如图，求四边形面积的最大值； (3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为 (3)点Q的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，分别用含的代数式表示出、的坐标，进而可得，再根据，构建二次函数，然后利用二次函数的性质求最大值； （3）分四种情形：当点M在线段上，，四边形是菱形时；当是菱形的对角线时，四边形是正方形；当点M在延长线上时，，四边形是菱形时；当点M在延长线上时，，四边形是菱形．分别求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中，得， 解得，， ∴这个二次函数的表达式为y； （2）解：对于二次函数的表达式，令，则， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入，得 ，解得， ∴直线的表达式为， 设， ∵轴． ，， ∴ ∴ ， ∴当时，有最大值； （3）解：∵，，，， ∴，，，， 分以下三种情况： ①如图中，当点M在线段上，，四边形是菱形时． ，， ， 解得或（舍去） ． ， ， ． ②如图，当是菱形的对角线时， 根据菱形的性质可得， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ， 解得或0（舍去）， ∴． ③如图，当点M在延长线上时，，四边形是菱形时， 则有， 解得或0（舍去）， ， ， ． ④如图，当点M在延长线上时，，四边形是菱形，此时，，， 则有， 解得或， 都不满足， 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或． 例2．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，抛物线经过点．为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若点在线段上且位于抛物线对称轴左侧，当为何值时，的面积为4？ (3)在（2）的条件下，若点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点和点，使得以点为顶点的四边形是菱形？若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点D的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）表示，再表示三角形的面积求解即可； （3）设，利用勾股定理，中点坐标公式，分类求解即可； 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：抛物线对称轴， 设， ∴当时，， ∴， 当时，得，整理，得， 解得（舍去）． ∴点的坐标为； （3）解：根据题意，得点的坐标为，， ， 设， 当为对角线时，如图，点C的横坐标为，此时纵坐标为， 故为，根据菱形的对称性质，得到点为 当为边时，也为边时，根据题意，得， 过作轴的垂线，垂足为，在中由勾股定理得， ， 解得， 故或， 设，，根据中点坐标公式，得 ， 解得， 故； 设，，根据中点坐标公式，得 ， 解得， 故； 当为边时，为对角线时， 过作轴的垂线，垂足为，在中由勾股定理得， ，解得（舍去），， 故 设，，根据中点坐标公式，得 ， 解得， 故； 综上可知点D的坐标为或或或 ． 例3．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，抛物线：交轴于点和点B，交y轴于点，顶点记为． (1)求抛物线的函数表达式及顶点的坐标． (2)连接，若线段上有一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长的最大值． (3)在（2）中，当的长最大时，将该抛物线平移，设平移后的抛物线为，抛物线的顶点记为，它的对称轴与x轴交于点．怎样平移才能使得以、、、为顶点的四边形是菱形？ 【答案】(1)； (2) (3)向右平移个单位长度，向下平移个单位长度或向左平移个单位长度，向下平移个单位长度 【分析】（1）把、两点坐标代入抛物线一般式，解二元一次方程组求得、，即可得到抛物线函数表达式；将表达式配方为顶点式，直接写出顶点的坐标即可； （2）先用待定系数法求直线的解析式，设点横坐标为，用表示、的坐标，通过两点纵坐标差写出关于的二次函数，利用二次函数性质求出的最大值即可； （3）先确定最大时点、的坐标，设平移后顶点，则，根据的位置，分在轴上方、下方两种情况，依据菱形邻边相等列方程求、，舍去无解情况，根据顶点坐标的变化量即可确定抛物线的平移方式． 【详解】（1）解：把、代入，得 ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 化为顶点式，得， ∴点的坐标为； （2）解：设直线的表达式为，代入、得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 设点的横坐标为，则，， ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∵，在取值内， ∴当时，； （3）解：由（2）当的长最大时，，点，点， 设平移后抛物线顶点，抛物线对称轴为直线，对称轴交轴于点， 根据的位置，可分两种情况讨论： ①如图，当点在轴上方时，四边形是菱形，则， ∴， 解得或， ，即， 解得或（不合题意，舍去）； ∴的坐标为或， ∵抛物线的顶点为， ∴当的坐标为时，，，抛物线向右平移个单位长度，向下平移个单位长度； 当的坐标为时，，，抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度； ②当点在轴下方时，四边形是菱形，则， ∴， 两边平方，得， 移项并整理，得， ∴此方程无实数根， 故此情况不成立； 综上，抛物线向右平移个单位长度，向下平移个单位长度或向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，能使得以、、、为顶点的四边形是菱形． 变式1．（25-26九年级上·广东湛江·阶段检测）如图，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． (3)点为抛物线的顶点，点是轴上的一个动点，点是坐标平面内一个动点，是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)四边形面积的最大值为，； (3)或或或或 【分析】把代入中求出b，c的值即可； 先求出，求出，，求出直线的解析式为，设，则，，则；再由得到，故当时，最大，最大值为，此时点的坐标为； 先求出顶点的坐标，设，分为菱形的对角线、为菱形的对角线和为菱形的对角线三种情况，画出图形，利用菱形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：把代入中，得 ， 解得 ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵二次函数与y轴交于点C， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴； ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大值为， ∴此时点P的坐标为； （3）解：存在， ∵， ∴， 设， 当为菱的对角线时，如图， ∴， ∴， 整理得，， 解得或， ∴或； 当为菱形的对角线时，如图， ∴， ∴， 整理得，， 解得， ∴； 当为菱形的对角线时，如图， ∴， ∴， 整理得，， 解得或， ∴或； 综上，存在点坐标为或或或或使得以为顶点的四边形是菱形． 变式2．（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A、B，C三点的坐标； (2)求直线的函数表达式． (3)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)直线的函数表达式为 (3)存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为或 【分析】（1）分别令即可求出、、三点的坐标； （2）根据、三点的坐标求直线的函数表达式即可； （3）根据直线的表达式设点，然后分为四边形是菱形和四边形是菱形两种情况分别讨论即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， ∴， 当时，， ∴； （2）解：∵， 设直线的表达式为：； 将代入得：， 解得：， ∴直线的函数表达式为； （3）解：存在： 设直线的表达式为：； 将代入得：， 解得：， 故直线的表达式为：； 设点的坐标为，其中， ， ， ， ∴当时，以点为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况： 如图，当时，四边形为菱形， ， ， 解得：（舍去）， ∴点的坐标为， ∵点B向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点C， ∴点D向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为； 如图，当时，四边形为菱形， ， ， 解得：(舍去)， ∴点的坐标为， ∵点C向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点B， ∴点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E， ∴点的坐标为； 综上，存在点，使得以点为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质、一次函数图象的性质、一次函数的解析式、勾股定理、菱形的性质，熟练掌握菱形的性质和待定系数法是解题的关键． 考点三 矩形存在性问题 例1．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为交轴于、两点，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，的横坐标为或或或 【分析】（1）根据二次函数的顶点坐标列出关于的方程组，求解即可； （2）分三种情况：①若是斜边，则；②若是斜边，则；③若是斜边，则，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线交轴于、两点， 当时，得， 解得：或， ∴，， 设，则， ，， ∵构成的四边形是矩形， ∴是直角三角形， ①若是斜边，则， ∴， 解得：，（舍去），（舍去），此时点的横坐标为或； ②若是斜边，则， ∴， 解得：或（舍去），此时点的横坐标是； ③若是斜边，则， ∴， 解得：或（舍去），此时点的横坐标为； 综上所述，点的横坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数与几何图形的综合，矩形的性质，勾股定理等知识的综合运用，掌握二次函数与几何图形的综合运用，矩形的性质是解题的关键． 例2．（25-26九年级上·辽宁丹东·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线，点D为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上C、D两点之间的距离是 ； (3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值； (4)点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)或，或或 【分析】（1）先由题意得出A，B的坐标，再用待定系数法求出解析式即可； （2）根据两点的距离公式即可求出的长度； （3）先设出E的坐标，然后将的面积表示出来，求出最大值即可； （4）根据对角线的情况分三种讨论，再由矩形的性质求出点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴， 将，代入解析式，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：抛物线的解析式为， 当时，，当时，， ∴，， ∴． （3）解：如图，过点作轴于点，交于点，过点作于点， 设直线BC的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴直线BC的解析式为， 设，且，则， ∴， ∴ ， ∵， 当时，S△BCE有最大值为． （4）解：设，， 由（1）知，由（2）可知， 如图，当为矩形的对角线时， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分，， ∴由中点坐标公式，得， 解得， ∵，， ∵，即， ∴， 解得或， ∴或， 如图，当为矩形的对角线时， 同理，由中点坐标公式得， 解得， ∴，， 同理， ∴， 解得， ∴， 如图，当为矩形的对角线时， 同理，由中点坐标公式得， 解得：， ∴，， 同理，， ∴， 解得， ∴， 综上，点Q的坐标为或，或或． 变式1．（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与几何图形，矩形的性质，勾股定理， 对于（1），直接将点代入关系式，求出方程组的解即可； 对于（2），先根据面积之间的关系求出点E的横坐标为1，再代入关系式即可； 对于（3），先求出对称轴为，再设点，然后分三种情况：以为矩形的对角线时，以为矩形的边时，若以为矩形的对角线时，根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：将点代入关系式， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解：如图， ∵，且， ∴， ∴． ∵点A，B关于对称轴对称， ∴点E的横坐标为1，此时， 即点； （3）解：∵抛物线， ∴对称轴为， 设点， 如图，以为矩形的对角线， 由中点的坐标可知， 解得． ∵， ∴， ∴， 解得或4， ∴点或； 如图，以为矩形的边时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点； 若以为矩形的对角线时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点， 综上所述，点P的坐标为或或或． 变式2．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如图1，抛物线交x轴于A，两点，交y轴于点．点P是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点P的坐标为时，求四边形的面积； (3)当动点P在直线上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)9 (3)在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，此时点Q的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，过点P作于点E，利用点的坐标表示出线段、、、、的长度，再根据，进行计算即可； （3）画出符合题意的矩形，交y轴于点E，交x轴于点F，连接，过点P作轴于点M，过点Q作轴于点N，利用等腰直角三角形的判定与性质及矩形的判定与性质得到，利用待定系数法求得直线的解析式与抛物线的解析式联立方程组求得点P的坐标，则，进而得到、的长度，即可得出结果； 【详解】（1）由题意可得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）连接，过点P作于点E，如图， ∵点P的坐标为， ∴，， 令，则， 解得或， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ； （3）在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，理由如下：如图，四边形为符合条件的矩形，交y轴于点E，交x轴于点F，连接，过点P作轴于点M，过点Q作轴于点N， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴和为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴和为全等的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立方程组得， 解得或， ∴， ∴， ∴，∴， ∴， 综上所述，在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，此时点Q的坐标为； 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数综合：平行四边形存在性问题、菱形存在性问题、矩形存在性问题专项训练 二次函数综合：平行四边形存在性问题、菱形存在性问题、矩形存在性问题专项训练 考点目录 平行四边形存在性问题 菱形存在性问题 矩形存在性问题 考点一 平行四边形存在性问题 例1．（26-27九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，抛物线经过、、三点． (1)求、、的值； (2)在抛物线对称轴上找一点，使的值最小时，求点的坐标； (3)点为轴上的动点，轴左侧的抛物线上是否存在点，使以、、、四点构成的四边形是以为边的平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）如图1，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图2，若是线段上一动点，过作轴的平行线交抛物线于点，交于点，设点的横坐标为，的面积为S．求S关于的函数关系式；当取何值时，S有最大值，求出S的最大值； (3)若是轴上一个动点，过作直线交抛物线于点，随着点的运动，在轴上是否存在这样的点，使以，M，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 例3．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图1，抛物线交轴于点和点，交轴于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，连接和，交于点，交轴于点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标； (3)如图2所示，若点是抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，请问在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点，与y轴的交点为C，顶点为D． (1)求该抛物线的表达式及D点的坐标； (2)点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②点P在抛物线上，点Q在y轴上，是否存在以B、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2．（2026·四川广安·模拟预测）如图，抛物线经过，，三点 (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，请求出最小值及此时P的坐标； (3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 考点二 菱形存在性问题 例1．（25-26九年级上·山东威海·阶段检测）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点P仅在线段上运动，如图，求四边形面积的最大值； (3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，抛物线经过点．为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若点在线段上且位于抛物线对称轴左侧，当为何值时，的面积为4？ (3)在（2）的条件下，若点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点和点，使得以点为顶点的四边形是菱形？若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 例3．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，抛物线：交轴于点和点B，交y轴于点，顶点记为． (1)求抛物线的函数表达式及顶点的坐标． (2)连接，若线段上有一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长的最大值． (3)在（2）中，当的长最大时，将该抛物线平移，设平移后的抛物线为，抛物线的顶点记为，它的对称轴与x轴交于点．怎样平移才能使得以、、、为顶点的四边形是菱形？ 变式1．（25-26九年级上·广东湛江·阶段检测）如图，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． (3)点为抛物线的顶点，点是轴上的一个动点，点是坐标平面内一个动点，是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 变式2．（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A、B，C三点的坐标； (2)求直线的函数表达式． (3)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由； 考点三 矩形存在性问题 例1．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为交轴于、两点，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（25-26九年级上·辽宁丹东·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线，点D为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上C、D两点之间的距离是 ； (3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值； (4)点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 变式1．（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 变式2．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如图1，抛物线交x轴于A，两点，交y轴于点．点P是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点P的坐标为时，求四边形的面积； (3)当动点P在直线上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； 2 学科网（北京）股份有限公司 $