第1-2单元填空题高频易错题考点汇总训练（七大类型）-2026-2027学年数学九年级上册《典例全解·题型通关》

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 第1-2单元填空题高频易错题考点汇总训练（七大类型） 目录 考点一一元二次方程的概念 1 考点二一元二次方程的解法 2 考点三一元二次方程的根与系数的关系 4 考点四用一元二次方程解决问题 5 考点五反比例函数的概念 8 考点六反比例函数的图形与性质 10 考点七用反比例函数解决问题 12 考点一一元二次方程的概念 1．已知关于x的一元二次方程的一次项系数为0，则a的值为______． 【答案】 【分析】方程为一元二次方程，因此二次项系数不为0，已知一次项系数为0，据此列等式和不等式求解即可． 【解答】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数，即， ∵原方程的一次项系数为， ∴，解得结合，可得． 2．将一元二次方程化为一般形式（），则一次项系数是_______． 【答案】 【分析】将原方程整理为符合的一元二次方程一般形式，再确定一次项系数即可. 【解答】解：将原方程所有项移到等式左侧，整理得 ∴一次项为，一次项系数为. 3．已知一元二次方程 的一个根为m，则 的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，由已知可得，再整体代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【解答】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴，即， ∴． 故答案为：． 4．若方程是关于的一元二次方程，则的值可以是______________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】（答案不唯一，任意满足的数均可） 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，得到的取值范围，任选一个符合条件的数即可． 【解答】解：∵是关于的一元二次方程 ∴ 解得 因此任意不等于1的数都符合题意，例如． 考点二一元二次方程的解法 5．一元二次方程的解是_____． 【答案】 【分析】将方程移项变形后，利用平方根的定义直接开平方求解． 【解答】解：移项得 ， 解得：，． 6．已知等腰三角形的三边长为，，，其中，满足，则的周长是______________． 【答案】15 【分析】对等式配方，利用平方的非负性求出的值，再结合等腰三角形性质与三角形三边关系确定三边长，最后计算周长． 【解答】解：， ， ， ． ，， ，， ，． 若腰长为3，则三边为，不满足三角形三边关系； 故腰长只能为6，三边为 ∴三角形的周长． 7．已知实数满足，则代数式的值为___________． 【答案】 【分析】利用换元法将原方程转化为一元二次方程，求解后根据为实数，舍去不符合题意的解，得到结果． 【解答】解：设， 则原方程变形为， 因式分解得， 解得或， 当时，得，即， ∵该方程的判别式， ∴该方程无实数根，不符合题意，舍去， 当时，得，即， 该方程的判别式，方程有两个不相等的实数根，符合题意， ∴的值为． 8．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为，方程有两个不相等实数根时判别式大于，分别求解不等式得到的范围． 【解答】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 计算得， 化简得， 解得． 综上，的取值范围是且． 考点三一元二次方程的根与系数的关系 9．若实数m，n满足，，且，则的值为______． 【答案】 【分析】两个等式结构相同，且，可知，是一元二次方程的两个不相等实数根，利用根与系数的关系结合完全平方公式变形即可求解． 【解答】解：∵满足，满足，且， ∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程的根与系数的关系可得：，， ∵， 将，代入得：， ∴． 10．已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是______． 【答案】 【分析】直接根据一元二次方程的根与系数的关系即可求解． 【解答】解：设方程的另一个根为， 根据一元二次方程的根与系数的关系可得：， 解得：， ∴方程的另一个根是． 11．设是方程的两个实数根，则的值为_____ 【答案】 【分析】利用方程根的定义对所求式子变形降次，再结合一元二次方程根与系数的关系计算结果． 【解答】解：∵是方程的实数根， ∴，整理得， ∴， ∵是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得， ∴． 12．若方程的两个实数根为，，则的值是______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求代数式通分变形后代入数值计算即可． 【解答】解：∵方程的两个实数根为，， ∴根据根与系数的关系可得 ，， ∵， 将，代入， 得原式． 考点四用一元二次方程解决问题 13．某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有64个人被感染．则每轮感染中平均一个人会感染___________个人． 【答案】 【分析】设每轮感染中平均一个人感染个人，根据两轮感染后的总感染人数列出一元二次方程，求解即可． 【解答】解：设每轮感染中平均一个人会感染个人， ∵初始有名感染者，第一轮后总感染人数为，第二轮新增感染者人数为，且两轮后总感染人数为， ∴ 解得，（舍去）． 14．某公司工业机器人在今年月产值达到万元，预计月产值将增至万元．设该公司、两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为_______________ 【答案】 【分析】已知5月产值和两个月增长后7月的产值，根据增长率的计算方法表示出7月产值，即可列出方程． 【解答】解：∵5月产值为万元，月均增长率为， ∴6月产值为万元， ∴7月产值为万元， ∵预计7月产值为万元， ∴可列出方程． 15．阳光小区内有一块正方形空地，设计师打算设计成如图所示的图形，它由四个边长相等的小正方形组成一个大正方形，且每个小正方形的设计方案相同，其中米，设米，，在每个小正方形中的五边形区域铺设白色地砖，在和区域中铺设浅绿色地砖，当大正方形中铺设白色地砖的总面积为108平方米时，的长为____米． 【答案】3 【分析】根据题意，以一个五边形区域为等量关系，列出一元二次方程，求解即可． 【解答】解：由题意，得， 整理，得， 解得， ∴的长为3米． 16．某校在初三年级组织了“追光少年，青春飞扬”篮球比赛，在小组赛阶段设置了单循环赛制（即每两支球队之间进行一场比赛），已知小组赛阶段共比赛28场，则参加小组赛的球队有__________支． 【答案】 【分析】设球队数量为，根据单循环赛制的场次计算规则列出一元二次方程，舍去负根得到结果． 【解答】解：设参加小组赛的球队有支． ∵每两支球队之间只进行一场比赛，每支球队要和其余支球队各比赛一场，每场比赛会被重复计算两次， ∴总比赛场次为． 根据题意列方程得， 整理得， 因式分解得， 解得，． ∵球队的数量为正整数， ∴舍去，得到． 即参加小组赛的球队有支． 考点五反比例函数的概念 17．从这些数中任选两个不同的数分别记作和，那么点在反比例函数图象上的概率是___________． 【答案】 【分析】本题考查列举法求概率，涉及反比例函数图象上点的坐标特征，读懂题意，准确列举符合题意的点是解决问题的关键 根据反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数图象上需满足，从中任选两个数记作和，考虑所有有序对，计算满足的概率即可得到答案． 【解答】解：从中任选两个数记作和，所有可能的有序对共有种，列举如下： 时，可取，有三种； 时，可取，有三种； 时，可取，有三种； 时，可取，有三种； 满足的有序对有、、、，共四种， 点在反比例函数图象上的概率为， 故答案为：． 18．下列函数关系式：①；②；③；④；⑤；其中表示是的反比例函数的是______． 【答案】③④ 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，形如（ 为常数，）的函数是反比例函数．逐一判断各选项是否符合此形式． 【解答】解：①变形为，含有常数项，不符合反比例函数形式； ②是二次函数，不符合反比例函数形式； ③可化为，其中，符合反比例函数形式； ④可化为，其中，符合反比例函数形式； ⑤分母是而非，不符合反比例函数形式； 综上分析可知：是的反比例函数的是③④． 故答案为：③④． 19．已知点在反比例函数的图象上，则的值为_________． 【答案】4 【分析】若点在反比例函数图象上，则点的坐标满足反比例函数解析式，将点坐标代入解析式即可求出的值． 【解答】解：点在反比例函数的图象上， 将，代入得：， 则． 20．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过的顶点A，点B、C分别在x轴负半轴、y轴负半轴上，，则点A的坐标是____________． 【答案】 【分析】先推导出得到点A的纵坐标为2，进而代入反比例函数的解析式求出，即可解答． 【解答】解：在中， ∴点A的纵坐标为2， 将代入，得 ， 解得， ∴点A的坐标是． 考点六反比例函数的图形与性质 21．如图，已知直线分别与轴、轴相交于两点，与的图象相交于，两点，连接，给出下列结论：①；②；③；④不等式的解集是或，其中正确结论的序号是______． 【答案】①②③④ 【分析】根据一次函数和反比例函数的性质得到，故①正确；把、代入中得到故②正确；把、代入得到，求得，，根据三角形的面积公式即可得到；故③正确；根据图象得到不等式的解集是或，故④正确． 【解答】解：①由图象知，，， ，故①正确； ②把、代入中得， ，故②正确； ③把、代入得， 解得， ， ， 已知直线与轴、轴相交于、两点， ，， ，， ，， ，故③正确； ④由图象知不等式的解集是或，故④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了反比例函图象与一次函数图象与系数的关系，反比例函数与一次函数的交点，求两直线的交点坐标，三角形面积的计算，正确的理解反比例函数与一次函数的交点的特点是解题的关键． 22．反比例函数的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的的值是______． 【答案】1（答案不唯一，即可） 【分析】对于反比例函数，当比例系数时，图象位于第一、第三象限，据此列出关于的不等式，求解得到的取值范围，任取范围内一个值即可． 【解答】解：反比例函数的图象位于第一、第三象限， ， 解得， ∴只要取大于的任意实数都符合条件，例如（答案不唯一）． 23．已知反比例函数（为常数）的图象，在每个象限内，随的增大而增大，则的取值范围是_______________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的增减性确定比例系数的范围，列不等式求解即可． 【解答】解：∵ 反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而增大， ∴ 比例系数， ∴ 解得． 24．若一个正比例函数的图象与反比例函数y=的图象交于，两点，则的值为________ ． 【答案】 【分析】正比例函数与反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此两交点关于原点对称，得到两点坐标的关系，再结合交点在反比例函数上得到的值，代入所求式子计算即可． 【解答】解：∵正比例函数图象与反比例函数图象均关于原点中心对称， ∴两交点，关于原点对称， ∴，， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ， ， ， ． 考点七用反比例函数解决问题 25．近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于度的近视眼镜，则焦距的取值范围是________． 【答案】 【分析】由待定系数法可求解反比例函数解析式，再令，可求得的值，结合图象即可得解． 【解答】解：∵近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系， ∴设， ∵点在此函数的图象上， ∴， ∴， 当时，，解得， ∴若配制一副度数小于度的近视眼镜，则焦距的取值范围是． 26．小慧用小孔成像实验装置研究像高和物距的关系．在保持物体高度、小孔到光屏的距离不变的条件下，像高与小孔到物体的距离成反比例函数关系．已知当小孔到物体的距离为时，光屏上的像高为．若要使像高为，则小孔到物体的距离为____________． 【答案】 【分析】已知与成反比例函数关系，先设出反比例函数表达式，利用已知条件求出比例系数，再代入目标像高计算对应小孔到物体的距离即可． 【解答】解：设与的反比例函数解析式为， 将，代入解析式，得， 解得， 反比例函数解析式为， 当时，代入得， 解得， 即小孔到物体的距离为． 27．饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为________．    【答案】12 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的应用．首先求得两个函数的解析式，然后将代入两个函数求得两个时间相减即可确定答案． 【解答】解：设一次函数关系式为：， 将，代入，得， 解得， ， 设反比例函数关系式为：， 将代入，得， ， 中， 令，解得； 反比例函数中，令，解得：， （min）， 水温不低于的时间为min． 故答案为：． 28．邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友，每包的本数x和包数y如下表： 每包的本数x（单位：本） 10 20 40 包数y（单位：包） 60 30 15 当每包本数时，则包数y为______． 【答案】12 【分析】本题考查了反比例函数的应用． 观察表中数据，每包本数x与包数y的乘积均为600，求出反比例关系式，将代入计算即可． 【解答】解：由表可得，，，， ∴， 即 当时，． 故答案为：12． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 第1-2单元填空题高频易错题考点汇总训练（七大类型） 目录 考点一一元二次方程的概念 1 考点二一元二次方程的解法 1 考点三一元二次方程的根与系数的关系 2 考点四用一元二次方程解决问题 2 考点五反比例函数的概念 2 考点六反比例函数的图形与性质 3 考点七用反比例函数解决问题 3 考点一一元二次方程的概念 1．已知关于x的一元二次方程的一次项系数为0，则a的值为______． 2．将一元二次方程化为一般形式（），则一次项系数是_______． 3．已知一元二次方程 的一个根为m，则 的值为______． 4．若方程是关于的一元二次方程，则的值可以是______________．（写出一个符合题意的数即可） 考点二一元二次方程的解法 5．一元二次方程的解是_____． 6．已知等腰三角形的三边长为，，，其中，满足，则的周长是______________． 7．已知实数满足，则代数式的值为___________． 8．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________． 考点三一元二次方程的根与系数的关系 9．若实数m，n满足，，且，则的值为______． 10．已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是______． 11．设是方程的两个实数根，则的值为_____ 12．若方程的两个实数根为，，则的值是______． 考点四用一元二次方程解决问题 13．某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有64个人被感染．则每轮感染中平均一个人会感染___________个人． 14．某公司工业机器人在今年月产值达到万元，预计月产值将增至万元．设该公司、两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为_______________ 15．阳光小区内有一块正方形空地，设计师打算设计成如图所示的图形，它由四个边长相等的小正方形组成一个大正方形，且每个小正方形的设计方案相同，其中米，设米，，在每个小正方形中的五边形区域铺设白色地砖，在和区域中铺设浅绿色地砖，当大正方形中铺设白色地砖的总面积为108平方米时，的长为____米． 16．某校在初三年级组织了“追光少年，青春飞扬”篮球比赛，在小组赛阶段设置了单循环赛制（即每两支球队之间进行一场比赛），已知小组赛阶段共比赛28场，则参加小组赛的球队有__________支． 考点五反比例函数的概念 17．从这些数中任选两个不同的数分别记作和，那么点在反比例函数图象上的概率是___________． 18．下列函数关系式：①；②；③；④；⑤；其中表示是的反比例函数的是______． 19．已知点在反比例函数的图象上，则的值为_________． 20．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过的顶点A，点B、C分别在x轴负半轴、y轴负半轴上，，则点A的坐标是____________． 考点六反比例函数的图形与性质 21．如图，已知直线分别与轴、轴相交于两点，与的图象相交于，两点，连接，给出下列结论：①；②；③；④不等式的解集是或，其中正确结论的序号是______． 22．反比例函数的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的的值是______． 23．已知反比例函数（为常数）的图象，在每个象限内，随的增大而增大，则的取值范围是_______________． 24．若一个正比例函数的图象与反比例函数y=的图象交于，两点，则的值为________ ． 考点七用反比例函数解决问题 25．近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于度的近视眼镜，则焦距的取值范围是________． 26．小慧用小孔成像实验装置研究像高和物距的关系．在保持物体高度、小孔到光屏的距离不变的条件下，像高与小孔到物体的距离成反比例函数关系．已知当小孔到物体的距离为时，光屏上的像高为．若要使像高为，则小孔到物体的距离为____________． 27．饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为________．    28．邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友，每包的本数x和包数y如下表： 每包的本数x（单位：本） 10 20 40 包数y（单位：包） 60 30 15 当每包本数时，则包数y为______． 学科网（北京）股份有限公司 $