第1-2单元填空题高频易错题考点汇总训练（七大类型）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册《典例全解·题型通关》

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 第1-2单元填空题高频易错题考点汇总训练（七大类型） 目录 考点一菱形的性质与判定 1 考点二矩形的性质与判定 2 考点三正方形的性质与判定 3 考点四一元二次方程的认识 4 考点五一元二次方程的解法 4 考点六一元二次方程的根与系数的关系 5 考点七一元二次方程的应用 5 考点一菱形的性质与判定 1．如图，用七支长度相同的铅笔，排成一个菱形和一个等边，使得点分别在和上，那么的度数为________． 2．如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接．若，则的长为___________． 3．菱形空窗是中国古典园林里极具代表性的造景元素．某菱形空窗的尺寸如图所示（边框厚度忽略不计），则其透光面积为__________． 4．如图，在中，为边上一点（不与点，重合）．按如下步骤作图： ①以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交，于点，； ②以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，再以点为圆心，以长为半径画弧，交前面的弧于点，作射线交于点； ③分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线，分别交，于点M，N，连接，． 根据以上作图，可判断四边形的形状是__________． 考点二矩形的性质与判定 5．如图，在矩形中，，．对角线，相交于点．点，分别是，的中点，连接，则的周长为______． 6．如图所示，含角的三角尺放置在矩形纸片的内部，三角尺的三个顶点恰好在矩形的边上，若，则________． 7．如图，四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．当____________时，． 8．如图，一块矩形纸片，长，宽，将这块矩形纸片沿对角线对折（折痕与折叠后得到的图形用虚线表示），得到，则___________． 考点三正方形的性质与判定 9．如图，在正方形中，若，点E在上，点F在上，则①；②；③，④．其中一定成立的是_______． 10．如图，四边形是菱形，，，点是边上的一动点，过点作于点，于点，连接，则的最小值为_______． 11．如图，在中，为边上的高，点和点分别为高和边上的动点，且．连接、，若，，，则的最小值为________．（结果保留根号） 12．如图，将个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点、、、是各正方形的对角线交点，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为_______． 考点四一元二次方程的认识 13．有一个一元二次方程，未知数为y，二次项系数为，一次项系数为3，常数项为，请你写出它的一般形式：_______________． 14．若是关于x的一元二次方程，则m的值为______． 15．已知是方程的一个实数根，则代数式的值为 __． 16．已知一个关于的一元二次方程的两个根分别是和2，则这个关于的一元二次方程是__________． 考点五一元二次方程的解法 17．关于x的一元二次方程 有一根为0，则________． 18．用配方法解一元二次方程，得，则的值为_______． 19．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”例如：与是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是_____． 20．用换元法解关于的方程，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程为______． 考点六一元二次方程的根与系数的关系 21．已知一元二次方程的一个根为1，则另一个根为_______． 22．已知方程和，有且只有一个公共根，且两个方程的非公共根之积等于，则______． 23．已知关于x的一元二次方程，如果方程的两个实数根与满足，则m的值是______． 24．已知一元二次方程（）（其中a，b，c为有理数）有两个不相等的实数根，其中一根为，则另一根为_________． 考点七一元二次方程的应用 25．某公司5月份的营业额为万，7月份的营业额为万，已知月到月每月的增长率相同，则增长率为______． 26．如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 27．2026年7日1日是建党105周年纪念日，在该月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若方框圈出的四个数中，最小的数与最大的数的乘积为84，则该方框圈出的最小的数为________． 28．某校七年级计划组织一次篮球赛，各班均组织一队参加比赛，赛制为单循环形式（每两班之间都比赛一场），共需安排场比赛，则七年级的班级个数为______． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 第1-2单元填空题高频易错题考点汇总训练（七大类型） 目录 考点一菱形的性质与判定 1 考点二矩形的性质与判定 4 考点三正方形的性质与判定 8 考点四一元二次方程的认识 13 考点五一元二次方程的解法 14 考点六一元二次方程的根与系数的关系 16 考点七一元二次方程的应用 18 考点一菱形的性质与判定 1．如图，用七支长度相同的铅笔，排成一个菱形和一个等边，使得点分别在和上，那么的度数为________． 【答案】 【分析】设，则，根据三角形内角定理可得，进而可得，再根据可得，联立求出x，即可求出． 【解答】解：由题意知菱形和等边的边长相等， ，，，， ，，， 设，则， ， 等边中，， ， 又， ， ，即， ． 2．如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接．若，则的长为___________． 【答案】4 【分析】利用菱形的性质及中位线定理即可求解． 【解答】解：四边形为菱形， ，， 又点为的中点，即， 为的中位线， ． 3．菱形空窗是中国古典园林里极具代表性的造景元素．某菱形空窗的尺寸如图所示（边框厚度忽略不计），则其透光面积为__________． 【答案】2400 【分析】根据勾股定理以及菱形的性质求出菱形的另一条对角线的长，再根据菱形的面积公式解答即可． 【解答】解：如图，在菱形中，对角线交于点O，则， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为， 即其透光面积为． 4．如图，在中，为边上一点（不与点，重合）．按如下步骤作图： ①以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交，于点，； ②以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，再以点为圆心，以长为半径画弧，交前面的弧于点，作射线交于点； ③分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线，分别交，于点M，N，连接，． 根据以上作图，可判断四边形的形状是__________． 【答案】菱形 【分析】根据作图步骤①②可得同位角相等，从而判定 ；根据步骤③可得是线段的垂直平分线；结合平行线的性质和垂直平分线的性质，通过证明对角线互相垂直平分来判定四边形的形状． 【解答】解：由作图步骤①②可知，， ， ， 设与相交于点，如图， 由作图步骤③可知，是线段的垂直平分线， ，． ， ， 在和中， ， ， ． ，， 四边形是平行四边形， 又 ， 平行四边形是菱形． 考点二矩形的性质与判定 5．如图，在矩形中，，．对角线，相交于点．点，分别是，的中点，连接，则的周长为______． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得，，，在中可得，推出，再根据三角形中位线定理即可得到结论． 【解答】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线，，， ∴， ∴， ∴的周长为． 6．如图所示，含角的三角尺放置在矩形纸片的内部，三角尺的三个顶点恰好在矩形的边上，若，则________． 【答案】 【分析】根据长方形的性质可得，，利用直角三角形的两个锐角互余求出，从而求出，然后根据平行线的性质可得，从而求出结论． 【解答】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴． 由三角尺可知：， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．如图，四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．当____________时，． 【答案】9或11 【分析】当，则四边形为平行四边形或等腰梯形时，再根据平行四边形和等腰梯形的性质求解即可． 【解答】解：依题意得：， ， ， ， ∵ 若，分为两种情况： ①当四边形为平行四边形时， 即， ， 解得， ②如图所示，当四边形为等腰梯形时， 过点作，交于点，过点作，交于点， ∵ ∴ ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， 即， 解得； 综上可知，经过或时，． 8．如图，一块矩形纸片，长，宽，将这块矩形纸片沿对角线对折（折痕与折叠后得到的图形用虚线表示），得到，则___________． 【答案】/ 【分析】利用矩形性质和折叠性质，证明得到，，设，在中，利用勾股定理求得x值即可解答． 【解答】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， 由折叠性质得，， ∴，，又， ∴， ∴，， 设，则， 在中，由得， 解得，故． 考点三正方形的性质与判定 9．如图，在正方形中，若，点E在上，点F在上，则①；②；③，④．其中一定成立的是_______． 【答案】①②③④ 【分析】延长至点G，使得，连接，根据正方形性质证明，得，可得，可判定，得，可得，故①正确；设正方形边长为x，结合①结论可得，故，因此②正确；由①知，，，得，即得，故③正确；由①知，，即得，故④正确． 【解答】如图，延长至点G，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴①正确； 设正方形边长为x，则， 由①知，， ∴， ∴， ∴②正确； 由①知，，， ∴， ∴， ∴③正确； 由①知，， ∴， 即， ∴④正确， ∴正确的有①②③④． 10．如图，四边形是菱形，，，点是边上的一动点，过点作于点，于点，连接，则的最小值为_______． 【答案】/ 【分析】利用矩形对角线相等的性质将转化为，由垂线段最短，用面积法求出点到的垂线段长度，即为最小值． 【解答】解：如图，连接，过点作于点， 四边形是菱形，，， ，， 四边形是矩形， ， 当，即当与重合时，取得最小值， ，， ，， ， ， 可得， 解得， 故的最小值为． 11．如图，在中，为边上的高，点和点分别为高和边上的动点，且．连接、，若，，，则的最小值为________．（结果保留根号） 【答案】 【分析】过点作，且，分别连接，则，证明，得到，当点在上时，取得最小值，且最小值为线段的长，在中，由勾股定理得到，即可得到答案． 【解答】解：过点作，且，分别连接，则， ， 在中，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 当点在上时，点三点共线，取得最小值，且最小值为线段的长，在中，由勾股定理得到， 即的最小值为． 12．如图，将个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点、、、是各正方形的对角线交点，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为_______． 【答案】 【分析】根据正方形的性质，每一个阴影部分的面积等于正方形的，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解． 【解答】解：如图连接正方形对角线， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵正方形边长， ∴正方形面积， ∴， 同理可知：四块阴影的面积都是， ∴所有正方形重叠的部分（阴影部分）面积和． 考点四一元二次方程的认识 13．有一个一元二次方程，未知数为y，二次项系数为，一次项系数为3，常数项为，请你写出它的一般形式：_______________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程一般形式的定义，代入题目给出的对应系数即可得到结果． 【解答】解：一元二次方程的一般形式为， 其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项． ∵题目给出二次项系数，一次项系数，常数项， ∴代入得该方程的一般形式为． 14．若是关于x的一元二次方程，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列条件求解． 【解答】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴需满足， 由解得或又由得， ∴． 15．已知是方程的一个实数根，则代数式的值为 __． 【答案】4 【分析】先把代入方程，再化简，最后整体代入求解． 【解答】解：∵是方程的一个实数根， ∴， ， ． 16．已知一个关于的一元二次方程的两个根分别是和2，则这个关于的一元二次方程是__________． 【答案】（答案不唯一，合理即可） 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，即可构造出所求的一元二次方程． 【解答】设一元二次方程的两根为，， 根据根与系数的关系可得：，， 当二次项系数为时，一元二次方程的形式为， 即． 考点五一元二次方程的解法 17．关于x的一元二次方程 有一根为0，则________． 【答案】 【分析】已知方程为一元二次方程，且一根为，先将根代入方程求的可能值，再结合一元二次方程二次项系数不为排除不符合的解． 【解答】解：∵方程是一元二次方程， ∴，即， ∵方程有一个根为， ∴将代入原方程得：， 解得或， ∵， ∴． 18．用配方法解一元二次方程，得，则的值为_______． 【答案】 【分析】按照配方法的步骤将原方程化为的形式，得到和的值，再计算即可 【解答】解：，移项得， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得，即，对比，得，， 19．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”例如：与是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是_____． 【答案】2027 【分析】本题考查了新定义，配方法的应用，根据同族二次方程的定义，两个方程必须具有相同的c和k，由第二个方程确定，，令第一个方程中的c相等，解出（舍去），再令k相等，解出，代入代数式，结合配方法求最小值，即可作答． 【解答】解：∵关于的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴，，， 解得，， 则 ， 当时，则， ∴， 即代数式的最小值是， 故答案为：． 20．用换元法解关于的方程，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解分式方程，掌握换元法的计算是关键． 根据换元法计算即可． 【解答】解：设，则， ∴原分式方程变形得，， ∴化为整式方程为：， 故答案为： ． 考点六一元二次方程的根与系数的关系 21．已知一元二次方程的一个根为1，则另一个根为_______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和，结合已知根计算另一个根即可． 【解答】解：设方程的另一个根为， 一元二次方程中，，， 根据根与系数的关系，可得， ∵ 已知一个根， ∴ ， 计算得， 即方程的另一个根为． 22．已知方程和，有且只有一个公共根，且两个方程的非公共根之积等于，则______． 【答案】 【分析】设公共根为a，根据两个方程有且只有一个公共根，先求出，再利用根与系数的关系表示出两个非公共根，根据非公共根之积的条件即可得到的值． 【解答】解：设两个方程的公共根为， 解得：， 两个方程有且只有一个公共根， ， ， 设方程的非公共根为，方程的非公共根为， ，即；，即， 两个非公共根之积等于， ，即． 23．已知关于x的一元二次方程，如果方程的两个实数根与满足，则m的值是______． 【答案】 【分析】先利用根与系数的关系得到两根和与两根积的表达式，再将已知等式变形，得到关于的方程，求解后验证即可得到的值． 【解答】解： ∵原方程为关于的一元二次方程，且有两个实数根， ∴计算判别式得 ， ， ∴对任意实数，方程都有两个实数根， ∵，是原方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， ∵， ∴通分变形得， 代入和的表达式得， 两边同乘，且， 得， 整理得， 解得， 经检验，得，符合条件． 24．已知一元二次方程（）（其中a，b，c为有理数）有两个不相等的实数根，其中一根为，则另一根为_________． 【答案】 【分析】一元二次方程系数，，均为有理数，已知根是含的无理数，根据根与系数的关系，两根之和与两根乘积都为有理数，因此另一根需抵消已知根的无理部分，推导得另一根． 【解答】解：设方程另一根为， ∵，，为有理数，， ∴根据根与系数的关系，是有理数，也是有理数， 要使和为有理数，中必须含抵消无理项，设，为有理数， 则， ∵乘积为有理数，无理项的系数必须为0， ∴，解得， ∴， ∴方程的另一个根为． 考点七一元二次方程的应用 25．某公司5月份的营业额为万，7月份的营业额为万，已知月到月每月的增长率相同，则增长率为______． 【答案】 【分析】设增长率为，根据月份和月份的营业额列出关于的一元二次方程，舍去不符合实际意义的负根后即可得到结果． 【解答】解：设增长率为， 根据题意得， 解得，（不合题意，舍去）， 即增长率为． 26．如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 【答案】 【分析】设切去正方形的边长为 ，根据矩形的长和宽分别减去 表示出底面的长和宽，利用矩形面积公式列一元二次方程求解，并根据实际意义检验根的合理性即可． 【解答】解：设矩形纸板各角应切去正方形的边长为． 根据题意，得 ． 整理，得 ． 解得 ． 当 时，，不合题意，舍去． 所以 ，即矩形纸板各角应切去正方形的边长为1． 27．2026年7日1日是建党105周年纪念日，在该月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若方框圈出的四个数中，最小的数与最大的数的乘积为84，则该方框圈出的最小的数为________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握日历的特征，根据已知得出最大数与最小数的差值是解题的关键． 设圈出的四个数中最小数为，则最大的数为，根据圈出的四个数中最小数与最大数的乘积为，即可得出关于的一元二次方程，求解即可． 【解答】解：设这个最小数为，则最大数为， 依题意，得， 整理，得， 解得，，（不合题意，舍去）， 故答案为：这个最小数为6． 28．某校七年级计划组织一次篮球赛，各班均组织一队参加比赛，赛制为单循环形式（每两班之间都比赛一场），共需安排场比赛，则七年级的班级个数为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（单循环比赛场次问题），解题关键是根据单循环比赛场次公式列出方程求解． 设七年级有个班级，根据单循环比赛场次公式（总场数为）列方程解方程得班级个数． 【解答】解：设七年级班级个数为，则比赛总场数为， 根据题意得， 整理得， 解得或（舍去）， 七年级的班级个数为． 学科网（北京）股份有限公司 $