第1-2单元解答题高频易错题考点汇总训练（七大类型）-2026-2027学年苏科版数学九年级上册《典例全解·题型通关》

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 第1-2单元解答题高频易错题考点汇总训练（七大类型） 目录 考点一一元二次方程的概念 1 考点二一元二次方程的解法 2 考点三一元二次方程的根与系数的关系 3 考点四用一元二次方程解决问题 6 考点五反比例函数的概念 8 考点六反比例函数的图形与性质 10 考点七用反比例函数解决问题 14 考点一一元二次方程的概念 1．证明：无论m取何值，关于x的方程都是一元二次方程． 【答案】证明：， ∵无论m取何值，都大于0， ∴无论m取何值，二次项系数都不等于， ∴此方程都是一元二次方程． 【解答】略 2．已知每幅年画售价为300元时，平均每天可以卖出20幅．根据调查，每降价1元，平均每天可多卖出1幅，若要使一天的销售总额为22000元，设每幅年画降价x元，请你根据题意列出一元二次方程，并将其化为一般形式． 【答案】，化为一般形式为 【分析】先写出降价后的单价和销量，利用 “销售额 = 单价 × 数量” 列出方程，再去括号、移项整理为一元二次方程的一般形式． 【解答】解：根据题意可知每幅年画降价x元时，售价为元/幅，平均每天的销量为幅，可列方程为， 化为一般形式为： ， ， ， ． 3．若是关于的一元二次方程的一个解，求的值． 【答案】 【分析】把代入方程得到的值，再将所求代数式变形后代入计算． 【解答】解：∵是方程的一个解 ∴ 整理得 ∴ ． 考点二一元二次方程的解法 4．解方程： （1） （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解答】（1）解： ，； （2）解： 或 ，． 5．已知一个三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程的一个根，求这个三角形的周长． 【答案】这个三角形的周长为17 【分析】先根据因式分解法解方程求得或，再根据三角形三边关系确定第三边的长，进而可求解． 【解答】解：方程可化为， 解得或， 当时，由知，这个三角形的第三边长为7，则这个三角形的周长为； 当时，由知，这个三角形的第三边长不可能为10，此三角形不存在， 综上，这个三角形的周长为17． 6．年，中国载人航天的征程令人期待．神舟二十号、神舟二十一号、天舟九号蓄势待发，昊龙货运航天飞机、轻舟货运飞船也将携手朱雀三号、力箭二号闪亮登场．这些新成员的加入，让中国空间站——天宫的发展充满无限的遐想．某航模店购进了“神舟”和“天宫”两种模型．已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多元，同样花费元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多个．求每个“天宫”模型的进价是多少元． 【答案】元 【分析】设每个“天宫”模型的进价是x元，则每个“神舟”模型的进价是元，由题意可得， ，解方程即可． 【解答】解：设每个“天宫”模型的进价是x元，则每个“神舟”模型的进价是元， 由题意可得， ， 整理，得， 解得， 而价格不能为负数， 故舍去， 故， 经检验，是原方程的根， 答：每个“天宫”模型的进价是20元． 考点三一元二次方程的根与系数的关系 7．已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根为某直角三角形的两条直角边长，且该直角三角形的斜边长为，周长为，求这个直角三角形的面积． 【答案】6 【分析】设关于的一元二次方程的两个不相等的实数根为，，根据根与系数的关系得出，，根据直角三角形的斜边长及周长得出，即可求出，进而得出，即可得出直角三角形的面积． 【解答】解：设关于的一元二次方程的两个不相等的实数根为，， ∴，， ∵，为某直角三角形的两条直角边长，直角三角形的斜边为，周长为， ∴， ∴ 解得， ， 直角三角形的面积为． 8．已知关于x的一元二次方程 有两个实数根和． （1）求实数m的取值范围； （2）是否存在m的值使得 成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由 【答案】（1）； （2）不存在的值，使得 成立． 理由如下： 、 是一元二次方程 的两个实数根， ， ． ， ， 解得，． 中 ， ∴不符合要求， 矛盾， 不存在的值，使得成立． 【分析】（1）根据，建立不等式解答即可； （2）利用一元二次方程的根与系数关系定理，解答即可． 【解答】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根和， ， 解得； （2）解：略． 9．已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，试求的值． 【答案】13 【分析】根据根与系数的关系得到，代入得到，求出，分情况求解即可． 【解答】解：根据题意，得． 由得， ， 即， 解得， 当时，原方程为， ， 原方程无实数根， 即不合题意，舍去； 当时， 原方程为， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ． 考点四用一元二次方程解决问题 10．新冠病毒持续影响全国人民的生活，有研究表明，新冠病毒变异株仍具有较强的传染性，当一个人感染了该病毒后，在没有防控的情况下，若经过两轮传染后共有25人感染，那么，每轮传染中平均一个人传染了多少人？ 【答案】每轮传染中平均一个人传染了4人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮传染中感染了x人，第二轮传染中感染了人，根据1人感染了后经过两轮传染共有25人感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x人， 则第一轮传染中感染了x人，第二轮传染中感染了人， 依题意得：，即 解得，（不合题意，舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染了4人． 11．某服装店出售某种品牌的童装，进价为50元/件，原来售价为100元/件，每天可以出售40件，经市场调查发现每件童装每降价1元，平均每天可以多售出2件．若每天要获得2400元的利润，并使顾客得到更大的优惠，求每件该童装需降价多少元？ 【答案】每件该童装需降价20元 【分析】设每件该童装需降价元，根据利润每件的利润销售量建立方程，解方程，并结合要使顾客得到更大的优惠得出的值即可． 【解答】解：设每件该童装需降价元， 由题意得：， 整理得：， 解得或， ∵要使顾客得到更大的优惠， ∴， 答：每件该童装需降价20元． 12．列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． （1）求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ （2）春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 【答案】（1）360个；240个 （2）80 【分析】本题考查分式方程和一元二次方程的实际应用： （1）设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个，根据题意列分式方程，解方程即可． （2）先根据（1）中结论求出工人总数，再根据该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，列一元二次方程，解方程即可． 【解答】（1）解：设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个． 根据题意，得． 化为整式方程，得， 解方程，得． 经检验，是原方程的解． 则． 答：每名工人每日加工甲种腊肉礼盒360个，每名工人每日加工乙种腊肉礼盒240个． （2）解：工人总数为：（人）． 根据题意，得． 整理得． 解得，（舍去）． 答：的值为80． 考点五反比例函数的概念 13．已知点A在反比例函数的图象上，点A与点B关于原点对称，那么点B在函数的图象上吗？请说明理由． 【答案】点在函数的图象上．理由是： 点A在反比例函数的图象上，可设， ∴， ∵点A与点B关于原点对称， ∴， ∵， ∴点在函数的图象上． 【分析】根据反比例函数图象的性质进行解答即可． 【解答】略 14．已知某长方体游泳池的体积V是，用恰当的函数表达式来表示底面积与该游泳池的高度之间的关系，指出它是什么函数，并写出这个函数的比例系数及当时S的值． 【答案】函数表达式为，是h的反比例函数，这个函数的比例系数是360，当时， 【分析】由题意得到，即可得到比例系数，再将代入求解即可． 【解答】解：由题意，得（定值）， ∴ 是h的反比例函数，比例系数是360， 当时，． 15．已知函数． （1）当为何值时，该函数是一次函数？ （2）当为何值时，该函数是正比例函数？ （3）当为何值时，该函数是反比例函数？ 【答案】（1）当时，该函数是一次函数 （2）当时，该函数是正比例函数 （3）当时，该函数是反比例函数 【分析】本题考查根据正比例函数，一次函数，反比例函数的定义求参数的值，熟练掌握相关定义，是解题的关键： （1）根据一次函数的定义，得到，进行求解即可； （2）根据正比例函数的定义，得到，进行求解即可； （3）根据反比例函数的定义，得到，进行求解即可． 【解答】（1）解：由题意，得：，解得， 即当时，该函数是一次函数． （2）由题意，得，解得， 即当时，该函数是正比例函数． （3）由题意，得，解得， 即当时，该函数是反比例函数． 考点六反比例函数的图形与性质 16．如图，在平面直角坐标系中，的边经过原点，点，关于轴对称，点的坐标为，反比例函数的图象经过点． （1）求此反比例函数的表达式； （2）将向上平移，当点落在反比例函数的图象上时，求出平移的距离． 【答案】（1）反比例函数的表达式为 （2）平移的距离为 【分析】（1）利用轴对称的性质求得点B的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）求解，设将向上平移个单位，点D落在反比例函数的图象上，即点落在反比例函数的图象上，据此求解即可． 【解答】（1）解：∵的边经过原点，点，关于轴对称，点的坐标为， ∴点B的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点B， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵的边经过原点，点，关于轴对称，点的坐标为，点B的坐标为， ∴，， ∴，， 设将向上平移个单位，点D落在反比例函数的图象上， 即点落在反比例函数的图象上， ∴， 解得． 将向上平移2个单位，点D落在反比例函数的图象上， ∴平移的距离为． 17．反比例函数的图象如图所示． （1）判断k是正数还是负数． （2）如果和为这个函数图象上的两点，那么与的大小关系是怎样的？ 【答案】（1）是正数 （2） 【分析】（1）根据反比例函数图象的位置可直接判断的符号，图象分布在第一、三象限，则为正数． （2）利用时反比例函数在第三象限的增减性，即可比较和的大小． 【解答】（1）解：由图可知，反比例函数的图象位于第一、第三象限， ，即是正数． （2）解：， 当时，随的增大而减小， ，且，都在函数图象上， ． 18．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标分别为，． （1）点的坐标是____； （2）若过点的反比例函数的图象经过直线上的点，且点的坐标为，求的值及反比例函数的解析式； （3）若（）中的反比例函数的图象与相交于点，连接，在直线上找一点，使得是等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）或或 【分析】（）根据矩形的性质解答即可求解； （）先求出点坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式，进而求出的值即可； （）先求出点坐标，设，再根据等腰三角形的定义分三种情况解答即可求解． 【解答】（1）解：∵矩形， ∴轴， ∵， ∴， ∴点的坐标是； （2）解：∵矩形，， ∴，轴， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； （3）解：由（）知， 把代入，得， ∴， ∵点在直线上， ∴可设， ∵是等腰三角形， ∴有如下三种情况： ①当时，则， 解得或， ∴或； ②当时，则， 此时方程无解； ③当时，则， 解得， ∴； 综上，点的坐标为或或． 考点七用反比例函数解决问题 19．如图，某玻璃器皿制造公司要制造容积为（不计直玻璃管部分）的圆锥形漏斗． （1）漏斗口的面积（单位：）与漏斗的深（单位：）有怎样的函数关系？ （2）如果漏斗口的面积不超过，那么漏斗的深至少为多少？ 【答案】（1） （2）至少为 【分析】（1）直接由圆锥体积公式求解即可； （2）令，代入（1）中所求函数解得，结合反比例函数中与的关系分析求解即可． 【解答】（1）解：由圆锥体积公式可得， 漏斗口的面积与漏斗的深的函数关系为； （2）解：把代入可得， 解得（）， 对于函数，当时，越大，越小， 当漏斗口的面积不超过时，那么漏斗的深至少为． 20．为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校教室进行药物喷洒消毒，她完成一间教室的药物喷洒需要5．消毒药物在一间教室内空气中的浓度（单位：）与时间（单位：）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时与的函数关系式为，药物喷洒完成后与成反比例函数关系，两个函数图象的交点为．当教室空气中的药物浓度不高于时，对人体健康无危害，假设校医早上开始对九年级一班教室进行药物喷洒消毒，早上该班学生能否安全进入教室？请通过计算说明． 【答案】 能安全进入教室，理由如下： 一间教室的药物喷洒时间为5， 当时，，故点， 设反比例函数表达式为，将点A的坐标代入上式并解得， 故反比例函数表达式为， ， 当时，， 故校医早上开始对九年级一班教室进行药物喷洒消毒，早上该班学生能安全进入教室． 【分析】本题考查一次函数和反比例函数图象性质：对于，当时，，求出；设反比例函数表达式为，将点A的坐标代入求出k；在反比例函数中，令，求出y与1进行比较即可． 【解答】略 21．智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温（）与通电时间（）之间的关系如图所示． （1）当时，求与之间的函数关系式（写出的取值范围）； （2）加热一次，求水温不低于的时间． 【答案】（1） （2）加热一次，水温不低于的时间为 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用． （1）待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出的值，即可； （2）先求出时，与之间的函数表达式，再求出时，的值，即可求解． 【解答】（1）解：当时，设与之间的函数关系式为， 将点代入，得， ∴与之间的函数关系式为， 当时，， ， ∴与之间的函数关系式为． （2）解：当时，设一次函数的表达式为， 将点代入一次函数的表达式，得， 解得：， ∴一次函数的表达式为， 令，则； 在降温过程中，当水温为时，有，则， ∵， ∴加热一次，水温不低于的时间为． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 第1-2单元解答题高频易错题考点汇总训练（七大类型） 目录 考点一一元二次方程的概念 1 考点二一元二次方程的解法 2 考点三一元二次方程的根与系数的关系 2 考点四用一元二次方程解决问题 3 考点五反比例函数的概念 4 考点六反比例函数的图形与性质 5 考点七用反比例函数解决问题 7 考点一一元二次方程的概念 1．证明：无论m取何值，关于x的方程都是一元二次方程． 2．已知每幅年画售价为300元时，平均每天可以卖出20幅．根据调查，每降价1元，平均每天可多卖出1幅，若要使一天的销售总额为22000元，设每幅年画降价x元，请你根据题意列出一元二次方程，并将其化为一般形式． 3．若是关于的一元二次方程的一个解，求的值． 考点二一元二次方程的解法 4．解方程： （1） （2）． 5．已知一个三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程的一个根，求这个三角形的周长． 6．年，中国载人航天的征程令人期待．神舟二十号、神舟二十一号、天舟九号蓄势待发，昊龙货运航天飞机、轻舟货运飞船也将携手朱雀三号、力箭二号闪亮登场．这些新成员的加入，让中国空间站——天宫的发展充满无限的遐想．某航模店购进了“神舟”和“天宫”两种模型．已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多元，同样花费元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多个．求每个“天宫”模型的进价是多少元． 考点三一元二次方程的根与系数的关系 7．已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根为某直角三角形的两条直角边长，且该直角三角形的斜边长为，周长为，求这个直角三角形的面积． 8．已知关于x的一元二次方程 有两个实数根和． （1）求实数m的取值范围； （2）是否存在m的值使得 成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由 9．已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，试求的值． 考点四用一元二次方程解决问题 10．新冠病毒持续影响全国人民的生活，有研究表明，新冠病毒变异株仍具有较强的传染性，当一个人感染了该病毒后，在没有防控的情况下，若经过两轮传染后共有25人感染，那么，每轮传染中平均一个人传染了多少人？ 11．某服装店出售某种品牌的童装，进价为50元/件，原来售价为100元/件，每天可以出售40件，经市场调查发现每件童装每降价1元，平均每天可以多售出2件．若每天要获得2400元的利润，并使顾客得到更大的优惠，求每件该童装需降价多少元？ 12．列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． （1）求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ （2）春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 考点五反比例函数的概念 13．已知点A在反比例函数的图象上，点A与点B关于原点对称，那么点B在函数的图象上吗？请说明理由． 14．已知某长方体游泳池的体积V是，用恰当的函数表达式来表示底面积与该游泳池的高度之间的关系，指出它是什么函数，并写出这个函数的比例系数及当时S的值． 15．已知函数． （1）当为何值时，该函数是一次函数？ （2）当为何值时，该函数是正比例函数？ （3）当为何值时，该函数是反比例函数？ 考点六反比例函数的图形与性质 16．如图，在平面直角坐标系中，的边经过原点，点，关于轴对称，点的坐标为，反比例函数的图象经过点． （1）求此反比例函数的表达式； （2）将向上平移，当点落在反比例函数的图象上时，求出平移的距离． 17．反比例函数的图象如图所示． （1）判断k是正数还是负数． （2）如果和为这个函数图象上的两点，那么与的大小关系是怎样的？ 18．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标分别为，． （1）点的坐标是____； （2）若过点的反比例函数的图象经过直线上的点，且点的坐标为，求的值及反比例函数的解析式； （3）若（）中的反比例函数的图象与相交于点，连接，在直线上找一点，使得是等腰三角形，请直接写出点的坐标． 考点七用反比例函数解决问题 19．如图，某玻璃器皿制造公司要制造容积为（不计直玻璃管部分）的圆锥形漏斗． （1）漏斗口的面积（单位：）与漏斗的深（单位：）有怎样的函数关系？ （2）如果漏斗口的面积不超过，那么漏斗的深至少为多少？ 20．为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校教室进行药物喷洒消毒，她完成一间教室的药物喷洒需要5．消毒药物在一间教室内空气中的浓度（单位：）与时间（单位：）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时与的函数关系式为，药物喷洒完成后与成反比例函数关系，两个函数图象的交点为．当教室空气中的药物浓度不高于时，对人体健康无危害，假设校医早上开始对九年级一班教室进行药物喷洒消毒，早上该班学生能否安全进入教室？请通过计算说明． 21．智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温（）与通电时间（）之间的关系如图所示． （1）当时，求与之间的函数关系式（写出的取值范围）； （2）加热一次，求水温不低于的时间． 学科网（北京）股份有限公司 $