6.2角 同步讲义 2026-2027学年苏科版数学七年级上册

第6章 6.2 角 内 容 导 航 题型1 角的概念 题型2 钟面角 题型3 度分秒的换算 题型4 角平分线的定义 题型5 角的计算 题型6 余角和补角 题型7 角的大小比较 考 点 演 练 题型1 角的概念 解｜题｜知｜识 （1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． （2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示． （3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角． （4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． 【典例1】下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，∠MON的边ON经过的点是（　　） A．A B．B C．C D．D 【变式2】如图，能用∠1、∠ABC、∠B三种方法，表示同一个角的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】对于同一平面内以O为端点的射线与∠MON，其中∠MON＝60°，给出如下定义：OP1，OP2，…，OPn﹣1，OPn是∠MON内或与射线OM，ON重合的n条不同的射线（n≥3），这些射线与射线l形成的小于平角的角的大小分别为α1，α2，…αn﹣1，αn，若这n条射线满足α1+α2+…+αn﹣1＝αn，则称这n条射线为∠MON关于射线l的一个基准射线族，其中αn为该基准射线族的基准角度． （1）如图1，当射线OA与射线l恰为∠MON的两条三等分线时，判断射线OM，OA，ON是否为∠MON关于射线l的一个基准射线族？如果是，求出它的基准角度；如果不是，请说明理由； （2）如图2，∠MON的边ON与射线l重合，固定射线l的位置不动，将∠MON以每秒5°的速度绕着点O逆时针转动一周．当转动时间为t秒时，OP1，OP2，…，OPn﹣1，OPn是∠MON关于射线l的一个基准射线族． ①若t＝8，求该基准射线族的基准角度αn的最大值； ②若n的最大值等于6，直接写出t的取值范围． 题型2 钟面角 解｜题｜知｜识 （1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12＝30°． （2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数． （3）钟面上的路程问题 分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60＝6° 时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60＝0.5°． 【典例1】钟表上显示的时间是3时30分，此时，时针和分针的夹角的度数是（　　） A．60° B．75° C．90° D．100° 【变式1】在9时整和3时整，时钟的时针和分针两指针呈现相同的角度，请问下列时钟两指针呈现角度一样的是（　　） A．八点半和三点半 B．十一点半和十二点五分 C．一点半和两点半 D．九点半和三点半 【变式2】12：10时针和分针所夹的较小角为（　　） A．平角 B．钝角 C．直角 D．锐角 【变式3】淇淇在商场买了一块机械手表，爱钻研的淇淇发现了手表上的数学问题，如图1所示是一块手表，可以看成如图2的数学模型（点A和点D是表带的两端，点A，B，C，D在同一条线段上）． （1）已知表盘直径BC为3cm，CD：AB＝2：1，若B是AC中点，求AD的长度； （2）在某个时刻，分针ON指向表盘上的数字“6”（此时ON与OC重合）．时针为OE，淇淇一看现在正好是8：30，如图3所示． ①求8：30时分针和时针夹角的度数； ②作射线OF，使∠EOF＝20°，求此时∠BOF的度数； （3）如图4所示．自8：30之后，OM始终是∠EON的角平分线（分针还是ON），在一小时以内，直接写出经过多少分钟后，∠EOM的度数是25°． 题型3 度分秒的换算 解｜题｜知｜识 （1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． （2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法． 【典例1】下列说法正确的是（　　） A．与+3互为相反数 B．若x＝2是方程ax﹣4＝10的解，则a的值为7 C．用一平面截一个正方体，截面的形状可能是七边形 D．35.5°＜35°6' 【变式1】将31.62°化成度分秒表示，结果是（　　） A．31°6′2″ B．31°37′12″ C．31°37′2″ D．31°37′ 【变式2】一副三角板按如图方式摆放，若∠1＝61°42'，则∠2＝（　　） A．28°18' B．28°58' C．18°18' D．18°58' 【变式3】计算： （1）89°35′+20°25′（结果用度、分、秒表示）． （2）123°24′﹣60°36′（结果用度表示）． 题型4 角平分线的定义 解｜题｜知｜识 （1）角平分线的定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． （2）性质：若OC是∠AOB的平分线 则∠AOC＝∠BOC∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC． （3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践． 【典例1】已知三条不同的射线OA，OB，OC，有下列条件： ①； ②∠AOB＝2∠AOC； ③∠AOC+∠COB＝∠AOB； ④． 其中，能确定OC平分∠AOB的有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式1】如图，点A，O，B在同一条直线上，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．若∠BOD＝150°，则∠AOE的度数为（　　） A．110° B．120° C．130° D．150° 【变式2】如图所示，把平角∠AOB放置在量角器上，O与量角器的中心重合，射线OC，OD分别对准刻度65°和155°，在∠BOC内部做射线OE，使OD平分∠BOE，则∠COE的度数为（　　） A．45° B．55° C．60° D．65° 【变式3】填空，完成下列说理过程 如图，点A，O，B在同一条直线上，OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC． （1）求∠DOE的度数； （2）如果∠COD＝65°，求∠AOE的度数． 解：（1）如图，因为OD是∠AOC的平分线， 所以∠COD∠AOC． 因为OE是∠BOC的平分线， 所以∠COE 　 ． 所以∠DOE＝∠COD+　 （∠AOC+∠BOC）∠AOB＝ 　 　 °． （2）由（1）可知 ∠BOE＝∠COE＝ 　 ﹣∠COD＝ 　 　 °． 所以∠AOE＝ 　 ﹣∠BOE＝ 　 　 °． 题型5 角的计算 解｜题｜知｜识 （1）角的和差倍分 ①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC∠AOB． （2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60． （3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除． 【典例1】已知∠AOB＝30°，OD平分∠AOB，∠BOC＝80°，则∠DOC的度数为（　　） A．110° B．50°或110° C．95° D．95°或65° 【变式1】如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则α、β、γ三个角的数量关系为（　　） A．α+β+γ＝90° B．α+β﹣γ＝90° C．α﹣β+γ＝90° D．α+2β﹣γ＝90° 【变式2】已知∠AOC＝110°，过点O作射线OB、OM，使∠AOB＝20°，OM是∠BOC的平分线，则∠AOM的度数为（　　） A．35° B．45°或65° C．40° D．55°或65° 【变式3】在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请利用一副含有45°角的直角三角板ABC和含有30°角的直角三角板BDE尝试完成探究． 【实验操作】 （1）若边BA和边BE重合摆成图①的形状，则∠CBD＝　 ； （2）保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板BDE的60°角的顶点重合，然后摆动三角板BDE，请问：当∠ABE为多少度时，∠CBD＝90°．请说明理由； 【拓展延伸】 （3）试探索：保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板BDE的60°角的顶点重合，然后摆动三角板BDE，使得∠ABD是∠ABE的两倍，请直接写出∠ABE的度数． 题型6 余角和补角 解｜题｜知｜识 （1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． （2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． （3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等． （4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联． 注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系． 【典例1】如图所示，已知∠COD＝30°，∠AOC＝∠BOD＝90°，则∠AOB的度数是（　　） A．130° B．140° C．150° D．160° 【变式1】如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中∠α＝∠β的图形个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】已知∠α＝45°30′，则∠α的余角等于（　　） A．45°70′ B．45°30′ C．44°70′ D．44°30′ 【变式3】定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个角分成的两个角中有一个角与已知的钝角互为补角，则称该射线为这个钝角的“割补线”． （1）如图1，∠MON＝130°，∠MOP＝80°，请判断OP是否为∠MON的“割补线”并说明理由； （2）若OP平分∠MON，且OP为∠MON的“割补线”，求∠MON的大小； （3）如图2，∠MON＝150°，在∠MON的内部作射线OC，OD，OE，使OD为∠NOC的平分线，OE为∠MOC的“割补线”，当OC为∠DOE的“割补线”时，请直接写出∠NOC的度数． 题型7 角的大小比较 解｜题｜知｜识 （1）比较角的大小有两种方法： ①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大． ②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置． （2）表示法： ①∠AOB＞∠A′O′B′， ②∠AOB＝∠A′O′B′， ③∠AOB＜∠A′O′B′． 【典例1】已知∠α＝39°18′，∠β＝39.18°，下面结论正确的是（　　） A．∠α＞∠β B．∠α＝∠β C．∠α＜∠β D．无法确定 【变式1】如图，若∠AOC＞∠BOD，则下列结论正确的是（　　） A．∠AOB＞∠COD B．∠AOB＝∠COD C．∠AOB＜∠COD D．∠AOB与∠COD的大小关系不确定 【变式2】下列说法中正确的有（　　）个． ①八棱柱有8条侧棱，16条棱，10个面； ②倒数等于本身的数是+1、﹣1、0； ③x3+y3是6次多项式； ④8.5°＞8°5′； ⑤如果a＝b，那么ac＝bc． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3】有公共顶点的两个角，∠AOB＝∠COD，且OE为∠BOC的角平分线． （1）如图1，请探索∠AOE和∠DOE的大小关系，并说明理由； （2）如图2，∠AOE和∠DOE是否仍然满足（1）中关系？请说明理由； （3）若∠AOB＝90°，∠AOC＝64°，求出∠BOE的度数． 过 关 验 收 1. 下列说法与如图的几何图形相符的是（　　） A．点D在直线n上 B．射线OD与射线DO为同一条射线 C．直线AC与直线n为同一条直线 D．∠AOB也可以表示为∠O 2. 下列叙述正确的是（　　） A．角的两边越长，角度越大 B．连结两点间的线段叫做这两点间的距离 C．两点之间线段最短 D．到线段两端点距离相等的点是线段的中点 3. 如图所示，图（1）中共有1个锐角；图（2）中共有3个锐角；图（3）中共有6个锐角；按此规律，图（n）中共有 　 个锐角（用含n的代数式表示）． 4. （1）如图1，已知线段MN，在MN上逐一画点．数一数，图①中有几条线段？图②中有几条线段？图③中有几条线段？当线段上有（n十1）个不相同的点时，共有多少条线段？ （2）如图2，已知∠MON，在∠MOV内逐一画射线．图①②③中分别有多少个角（不大于平角）？当∠MON内有（n十1）条射线时，共有多少个角？ （3）小亮在解答（2）题时，在上面的各图中画一条直线和各射线相交，从而将（2）题变成了与（1）题中相应的问题予以考虑和解决，你认为这样做可以吗？ 5. 下午2点整（如图所示），时钟的分针与时针所成角的度数为（　　） A．90° B．80° C．70° D．60° 6. 当分针指向12，时针这时恰好与分针成30°的角，此时是（　　） A．9点钟 B．10点钟 C．11点钟或1点钟 D．2点钟或10点钟 7. 在指针式时钟表盘上，上午10点半的时候，时针和分针所成夹角的大小为　 　 度． 8. 如图，小华从下午2：00开始对钟面进行了一个小时的观察，了解到钟面上的分针每小时旋转360度，时针每小时旋转30度．请你完成小华思考的下列问题： （1）钟面上的分针旋转的速度为　 　 度/分钟，时针旋转的速度为　 度/分钟； （2）若钟面上的分针与时针重合，此时为2点多少分？（保留准确结果） （3）若钟面上的分针与时针夹角恰好为90°，则此时为2点多少分？（直接写出结果） 9. 如图，O是直线AB上的一点，作射线OC．若∠BOC＝56°48′，则∠AOC的度数为（　　） A．124°52′ B．124°12′ C．123°52′ D．123°12′ 10. 如图，将三角尺的直角顶点放在直线l上的点A处，若∠1＝60°36'，则∠2的度数为 　 　 ． 11. 计算：48°37'+53°35'＝　 　 ． 12. 计算： （1）36﹣76+（﹣15）﹣45； （2）﹣12022×（﹣7）+|4﹣9|﹣27÷（﹣3）2； （3）119°57′+32°41′﹣70°25′13″． 13. 如图，已知∠BED＝∠EDC，DC平分∠ADF，若∠BED＝135°，则∠ADE的大小为（　　） A．45° B．65° C．80° D．90° 14. 下列说法正确的是（　　） A．两点之间直线最短 B．用一个放大镜能够把一个图形放大，也能够把一个角的度数放大 C．将一个角分成两个角的射线叫角的平分线 D．直线l经过点A，那么点A在直线l上 15. 如图，点O在直线AB上，过O作射线OC，∠BOC＝100°，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线B的下方．若三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 　 　 ． 16. 如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线． （1）如果∠BOD＝90°，∠AOD＝40°．那么∠COE是多少度？ （2）若∠AOB＝120°，你能求出∠COE是多少度吗？ 17. 将一张正方形纸片ABCD如图所示的方式折叠，AE，AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D′，若∠B′AD′＝10°，则∠EAF的度数为（　　） A．50° B．40° C．45° D．60° 18. 如图1，点A，O，B依次在直线MN上；如图2，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒4°的速度旋转，设旋转时间为t秒（0≤t≤90）．下列说法正确的是（　　） A．当t值为10秒时，∠AOB＝100° B．整个运动过程中，不存在∠AOB＝90°的情况 C．当∠AOB＝60°时，两射线的旋转时间t一定为20秒 D．当t值为36秒时，射线OB恰好平分∠MOA 19. 将一张长方形纸片ABCD按如图所示的方式进行折叠，EF，FG为折痕，点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′，点B′在FG上，点C′在AD上，若∠CFG＝28°，则∠EFC′的度数为　 　 ． 20. 如图，∠AOB＝120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°；射线OD从OB开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t（0≤t≤15）． （1）当t为何值时，射线OC与OD重合； （2）当t为何值时，∠COD＝90°； （3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由． 21. 如果∠α和∠β互补，且∠α＜∠β，那么下列式子中一定表示∠α的余角的有（　　）个 ①90°﹣∠α；②∠β﹣90°；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 22. 如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则α，β，γ三个角的数量关系为（　　） A．α+β+γ＝90° B．α+β﹣γ＝90° C．α﹣β+γ＝90° D．α+2β﹣γ＝90° 23. 按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（　　） A．∠1与∠3互余 B．∠2＝90° C．AE平分∠BEF D．∠1与∠AEC互补 24. 如图，点O是直线AB上的一点，∠AOE＝∠FOD＝90°，OB平分∠COD． （1）试说明∠AOF＝∠EOD； （2）求∠EOC+∠AOF的度数． 25. 如图，用同样大小的三角板比较∠CAD和∠EBF的大小，下列判断正确的是（　　） A．∠CAD＝∠EBF B．∠CAD＜∠EBF C．∠CAD＞∠EBF D．没有量角器，无法确定 26. 小正方形网格如图所示，点A、B、C、D、O均为格点，那么∠AOB　 　 ∠COD（填“＞”、“＜”或“＝”）． 27. 比较大小：16.32°　 　 16°32′（填“＞”“＜”或“＝”）． 28. 如图，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起． （1）试判断∠ACD与∠BCE的大小关系，并说明理由； （2）若∠BCD＝30°，求∠ACE的度数； （3）猜想∠ACE与∠BCD的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 6.2 角 内 容 导 航 题型1 角的概念 题型2 钟面角 题型3 度分秒的换算 题型4 角平分线的定义 题型5 角的计算 题型6 余角和补角 题型7 角的大小比较 考 点 演 练 题型1 角的概念 解｜题｜知｜识 （1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． （2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示． （3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角． （4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． 【典例1】下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误； B、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误； C、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误； D、图中∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确； 故选：D． 【变式1】如图，∠MON的边ON经过的点是（　　） A．A B．B C．C D．D 【答案】B 【解答】解：如图，边ON经过的点是B， 故选：B． 【变式2】如图，能用∠1、∠ABC、∠B三种方法，表示同一个角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、顶点B处有四个角，不能用∠B表示，错误； B、顶点B处有一个角，能同时用∠ABC，∠B，∠1表示，正确； C、顶点B处有三个角，不能用∠B表示，错误； D、顶点B处有四个角，不能用∠B表示，错误． 故选：B． 【变式3】对于同一平面内以O为端点的射线与∠MON，其中∠MON＝60°，给出如下定义：OP1，OP2，…，OPn﹣1，OPn是∠MON内或与射线OM，ON重合的n条不同的射线（n≥3），这些射线与射线l形成的小于平角的角的大小分别为α1，α2，…αn﹣1，αn，若这n条射线满足α1+α2+…+αn﹣1＝αn，则称这n条射线为∠MON关于射线l的一个基准射线族，其中αn为该基准射线族的基准角度． （1）如图1，当射线OA与射线l恰为∠MON的两条三等分线时，判断射线OM，OA，ON是否为∠MON关于射线l的一个基准射线族？如果是，求出它的基准角度；如果不是，请说明理由； （2）如图2，∠MON的边ON与射线l重合，固定射线l的位置不动，将∠MON以每秒5°的速度绕着点O逆时针转动一周．当转动时间为t秒时，OP1，OP2，…，OPn﹣1，OPn是∠MON关于射线l的一个基准射线族． ①若t＝8，求该基准射线族的基准角度αn的最大值； ②若n的最大值等于6，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）射线OM，OA，ON是∠MON关于射线l的一个基准射线族，基准角度为40°；（2）100°；（3）t＜3或57＜t． 【解答】解：（1）如图1：∵射线OA与射线l恰为∠MON的两条三等分线，∠MON＝60°， ∴∠MOB＝∠BOA＝∠AON＝20°， ∴∠NOB＝40°， ∴∠NOB＝∠BOM+∠AOB， ∴射线OM，OA，ON是∠MON关于射线l的一个基准射线族，基准角度为40°； （2）①如图2：t＝8时，∠NON'＝5°×8＝40°，∠M'ON＝60°+40°＝100°， ∴∠M'ON＝∠N'ON+∠MON， ∴该基准射线族的基准角是∠M'ON， ∴该基准射线族的基准角度αn的最大值100°； ②∵n的最大值等于6， ∴n＝6时，存在∠P1OB+∠P2OB+∠P3OB+∠P4OB+∠P5OB＝∠P6OB，且n＝7时不成立， 分以下四种情况讨论： 如图3，当0≤t＜24时，即∠MON在直线OB上侧，对应n＝6， ∵OP1，OP2，…，OP6在∠MON内或与射线OM，ON重合， ∴∠PiOB≥∠NOB＝（5t）° （i＝1，2，3，4，5），∠P6OB≤MOB＝（5t+60）°， ∴5×（5t）°≤∠P1OB+∠P2OB+∠P3OB+∠P4OB+∠P5OB＝∠P6OB≤（5t+60）°， ∴i≤3，当且仅当OP1，OP2，…，OP5与ON重合时取等， ∵OP1，OP2，…，OP5互不相同， ∴等式不成立，t＜3， ∵n＝7时等式不成立， ∴∠P1OB+∠P2OB+∠P3OB+∠P4OB+∠P5OB+∠P6OB＞P7OB恒成立， ∴∠P1OB+∠P2OB+∠P3OB+∠P4OB+∠P5OB+∠P6OB的最小值大于∠P7OB的最大值， ∴6×（5t）°＞（5t+60）°，即t， ∵OP1，OP2，…，OP7互不相同， ∴t时∠P1OB+∠P2OB+∠P3OB+∠P4OB+∠P5OB+∠P6OB＞6×（5t）°≥∠P7OB满足要求， ∴t， ∴t＜3； 如图4，24≤t≤36时，即射线OB的反向延长线在∠MON内部或与一边重合， ∵∠PiOB≥∠NOB≥5°×24＝120° 或∠PiOB≥∠MOB≥5°×24＝120° （i＝1，2，3，4，5）， ∴∠P1OB+∠P2OB+∠P3OB+∠P4OB+∠P5OB≥5°×24＞∠P6OB， ∴此时不存在符合条件的t； 如图5，当36＜t＜60时，及∠MON在直线OB下侧，对应n＝6， ∵OP1，OP2，…，OP6在∠MON内或与射线OM，ON重合， ∴∠PiOB≥∠MOB＝（360﹣60﹣5t）°＝（300﹣5t）°（i＝1，2，3，4，5），∠P6OB≤∠NOB＝（360﹣5t）°， ∴5×＝（300﹣5t）°≤∠P1OB+∠P2OB+∠P3OB+∠P4OB+∠P5OB＝∠P6OB≤（360﹣5t）°， ∴t≥57，当且仅当OP1，OP2，…，OP5与OM重合时取等号， ∵OP1，OP2，…，OP5互不相同， ∴等式不成立，t＞57， ∵n＝7时等式不成立， ∴∠P1OB+∠P2OB+∠P3OB+∠P4OB+∠P5OB+∠P6OB＞∠P7OB恒成立， ∴∠P1OB+∠P2OB+∠P3OB+∠P4OB+∠P5OB+∠P6OB的最小值大于∠P7OB的最大值， ∴6×（300﹣5t）°＞（360﹣5t）°， ∴t， ∵OP1，OP2，…，OP7互不相同， ∴t时，∠P1OB+∠P2OB+∠P3OB+∠P4OB+∠P5OB+∠P6OB＞6×（300﹣5t）°＝（360﹣5t）°≥∠P7OB满足要求， ∴t， ∴57＜t； 如图6，当60≤t≤72时，即射线OB的反向延长线在∠MON内部或与一边重合，取∠P7OB＝21°（∠P7OB∠MON即可）， ∠PiOB＝i°（i＝1，2，3，4，5）， ∴∠P1OB+∠P2OB+∠P3OB+∠P4OB+∠P5OB+∠P6OB＝∠P7OB， ∴n＝7成立， ∴不满足要求； 综上所述，t＜3或57＜t． 题型2 钟面角 解｜题｜知｜识 （1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12＝30°． （2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数． （3）钟面上的路程问题 分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60＝6° 时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60＝0.5°． 【典例1】钟表上显示的时间是3时30分，此时，时针和分针的夹角的度数是（　　） A．60° B．75° C．90° D．100° 【答案】B 【解答】解：∵一个圆为360°，有12个大格， ∴一个大格为360°÷12＝30°， 一个圆有60个小格， ∴一个小格为：360°÷60＝6°， ∴3时30分夹角为：30°×2+2.5×6°＝60°+15°＝75°； 故选：B． 【变式1】在9时整和3时整，时钟的时针和分针两指针呈现相同的角度，请问下列时钟两指针呈现角度一样的是（　　） A．八点半和三点半 B．十一点半和十二点五分 C．一点半和两点半 D．九点半和三点半 【答案】A 【解答】解：A．八点半时，时针与分针间隔2.5大格，夹角为2.5×30°＝75°；三点半时，时针与分针相隔2.5大格，夹角为75°，两角相等，符合题意； B．十一点半时，时针与分针间隔5.5大格，夹角为5.5×30°＝165°；十二点五分时，夹角为5×6°﹣5×0.5°＝27.5°，两角不相等，不符合题意； C．一点半时，夹角为4.5×30°＝135°，两点半时，夹角为3.5×30°＝105°，两角不相等，不符合题意； D．九点半时，夹角为3.5×30°＝105°，三点半时，夹角为75°，两角不相等，不符合题意． 故选：A． 【变式2】12：10时针和分针所夹的较小角为（　　） A．平角 B．钝角 C．直角 D．锐角 【答案】D 【解答】解：如图，由钟面角的定义可知， ∠AOC＝∠COD30°， ∠AOB＝305°， ∴∠BOD＝30°×2﹣5°＝55°， 即12：10时针和分针所夹的较小角是55°， 故选：D． 【变式3】淇淇在商场买了一块机械手表，爱钻研的淇淇发现了手表上的数学问题，如图1所示是一块手表，可以看成如图2的数学模型（点A和点D是表带的两端，点A，B，C，D在同一条线段上）． （1）已知表盘直径BC为3cm，CD：AB＝2：1，若B是AC中点，求AD的长度； （2）在某个时刻，分针ON指向表盘上的数字“6”（此时ON与OC重合）．时针为OE，淇淇一看现在正好是8：30，如图3所示． ①求8：30时分针和时针夹角的度数； ②作射线OF，使∠EOF＝20°，求此时∠BOF的度数； （3）如图4所示．自8：30之后，OM始终是∠EON的角平分线（分针还是ON），在一小时以内，直接写出经过多少分钟后，∠EOM的度数是25°． 【答案】（1）12； （2）①75°；②∠BOF＝125°或∠BOF＝85°； （3）或． 【解答】解：（1）∵B是AC中点， ∴AB＝BCAC＝3cm， ∴AC＝6cm； ∵CD：AB＝2：1； ∴CD：3＝2：1； ∴CD＝6cm； ∴AD＝AC+CD＝12cm， 即AD的长度为12cm； （2）①分针的速度为360°÷60＝6°（每分）； 时针的速度为30°÷60＝0.5°（每分）； 30分钟时针走的路程为0.5°×30＝15°，即时针从8点到8：30走的路程为15°， ∴∠EON＝15°+2×30°＝75°， 即8：30时分针和时针夹角的度数为75°； ②当OF在∠EON内部时，∠NOF＝∠EON﹣∠EOF＝75°﹣20°＝55°， ∴∠BOF＝180°﹣∠NOF＝125°； 当OF在∠EON外部时，∠BOF＝180°﹣（∠EON+∠EOF）＝180°﹣（75°+20°）＝85°． 即∠BOF的度数为125°或85°； （3）设经过时间为t分钟，时针与分针得速度差为6°﹣0.5°＝5.5°， ∴∠EON＝|75°﹣5.5t|， ∵OM平分∠EON， ∴∠EOM， ∴或25°， 解得t或t． 题型3 度分秒的换算 解｜题｜知｜识 （1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． （2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法． 【典例1】下列说法正确的是（　　） A．与+3互为相反数 B．若x＝2是方程ax﹣4＝10的解，则a的值为7 C．用一平面截一个正方体，截面的形状可能是七边形 D．35.5°＜35°6' 【答案】B 【解答】解：A．﹣3与+3互为相反数，故不合题意； B．若x＝2是方程ax﹣4＝10的解，即2x﹣4＝10，解得a的值为7，故符合题意； C．正方体有六个面，截面与其六个面相交最多得六边形，不可能是七边形，故不合题意； D．∵35.5°＝35°30'， ∴35.5°＞35°6'，故不合题意． 故选：B． 【变式1】将31.62°化成度分秒表示，结果是（　　） A．31°6′2″ B．31°37′12″ C．31°37′2″ D．31°37′ 【答案】B 【解答】解：∵0.62°＝0.62×60′＝37.2′，0.2×60″＝12″， ∴31.62°＝31°37′12″． 故选：B． 【变式2】一副三角板按如图方式摆放，若∠1＝61°42'，则∠2＝（　　） A．28°18' B．28°58' C．18°18' D．18°58' 【答案】A 【解答】解：由题意得，∠1+∠2＝90°， ∵∠1＝61°42'， ∴∠2＝90°﹣61°42'＝28°18'． 故选：A． 【变式3】计算： （1）89°35′+20°25′（结果用度、分、秒表示）． （2）123°24′﹣60°36′（结果用度表示）． 【答案】（1）110°； （2）62.8°． 【解答】解：（1）89°35′+20°25′＝109°60′ ＝110°； （2）123°24′﹣60°36′＝62°48′ ＝62.8°． 题型4 角平分线的定义 解｜题｜知｜识 （1）角平分线的定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． （2）性质：若OC是∠AOB的平分线 则∠AOC＝∠BOC∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC． （3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践． 【典例1】已知三条不同的射线OA，OB，OC，有下列条件： ①； ②∠AOB＝2∠AOC； ③∠AOC+∠COB＝∠AOB； ④． 其中，能确定OC平分∠AOB的有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【解答】解：①当OC平分∠AOB时，∠AOC＝∠BOC∠AOB，能确定OC平分∠AOB； ②如图1，∠AOB＝2∠AOC 所以不能确定OC平分∠AOB； ③∠AOC+∠COB＝∠AOB 不能确定OC平分∠AOB； ④如图2，∠BOC∠AOB，不能确定OC平分∠AOB； 所以只有①能确定OC平分∠AOB． 故选：C． 【变式1】如图，点A，O，B在同一条直线上，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．若∠BOD＝150°，则∠AOE的度数为（　　） A．110° B．120° C．130° D．150° 【答案】B 【解答】解：∵A、O、B共线， ∴∠AOB＝180°， ∵已知∠BOD＝150°， ∴∠AOD＝180°﹣150°＝30°， ∵OD平分∠AOC， ∴∠AOC＝2∠AOD＝2×30°＝60°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣60°＝120°， ∵OE平分∠BOC， ∴∠BOE∠BOC120°＝60°， ∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣60°＝120°． 故选：B． 【变式2】如图所示，把平角∠AOB放置在量角器上，O与量角器的中心重合，射线OC，OD分别对准刻度65°和155°，在∠BOC内部做射线OE，使OD平分∠BOE，则∠COE的度数为（　　） A．45° B．55° C．60° D．65° 【答案】D 【解答】解：∵∠AOD＝155°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝25°， ∵OD平分∠BOE， ∴∠EOD＝∠BOD， ∴∠BOE＝2∠BOD＝50°， ∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝130°， ∵∠AOC＝65°， ∴∠COE＝∠AOE﹣∠AOC＝65°， 故选：D． 【变式3】填空，完成下列说理过程 如图，点A，O，B在同一条直线上，OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC． （1）求∠DOE的度数； （2）如果∠COD＝65°，求∠AOE的度数． 解：（1）如图，因为OD是∠AOC的平分线， 所以∠COD∠AOC． 因为OE是∠BOC的平分线， 所以∠COE 　∠BOC ． 所以∠DOE＝∠COD+　∠COE （∠AOC+∠BOC）∠AOB＝ 　90　 °． （2）由（1）可知 ∠BOE＝∠COE＝ 　∠DOE ﹣∠COD＝ 　25　 °． 所以∠AOE＝ 　∠AOB ﹣∠BOE＝ 　155　 °． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，因为OD是∠AOC的平分线， 所以∠COD∠AOC． 因为OE是∠BOC的平分线， 所以∠COE∠BOC． 所以∠DOE＝∠COD+∠COE（∠AOC+∠BOC）∠AOB＝90°． （2）由（1）可知 ∠BOE＝∠COE＝∠DOE﹣∠COD＝25°， 所以∠AOE＝∠AOB﹣∠BOE＝155°． 故答案为（1）∠COE；∠COE；90；（2）∠DOE（或者90°）；25；∠AOB（或者180°）；155． 题型5 角的计算 解｜题｜知｜识 （1）角的和差倍分 ①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC∠AOB． （2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60． （3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除． 【典例1】已知∠AOB＝30°，OD平分∠AOB，∠BOC＝80°，则∠DOC的度数为（　　） A．110° B．50°或110° C．95° D．95°或65° 【答案】D 【解答】解：∵OD平分∠AOB，∠AOB＝30°， ∴． 情况1：当∠AOB在∠BOC外部时， ∵∠BOC＝80°， ∴∠DOC＝∠BOD+∠BOC＝15°+80°＝95°． 情况2：当∠AOB在∠BOC内部时， ∵∠BOC＝80°， ∴∠DOC＝∠BOC﹣∠BOD＝80°﹣15°＝65°． 综上，∠DOC的度数为95°或65°， 故选：D． 【变式1】如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则α、β、γ三个角的数量关系为（　　） A．α+β+γ＝90° B．α+β﹣γ＝90° C．α﹣β+γ＝90° D．α+2β﹣γ＝90° 【答案】C 【解答】解：如图： ∵∠DOE＝90°﹣α， ∴∠BOD＝90°﹣∠DOE＝α， ∵∠BOC＝90°﹣γ， 又∵β＝∠BOD﹣∠BOC， ∴β＝α﹣（90°﹣γ）＝α﹣90°+γ， ∴α﹣β+γ＝90°， 故选：C． 【变式2】已知∠AOC＝110°，过点O作射线OB、OM，使∠AOB＝20°，OM是∠BOC的平分线，则∠AOM的度数为（　　） A．35° B．45°或65° C．40° D．55°或65° 【答案】B 【解答】解：根据题意得： 如图所示，当射线OB在∠AOC内部时， 由条件可知∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝90°， ∵OM是∠BOC的平分线， ∴， ∴∠AOM＝∠AOC﹣∠COM＝65°； 如图所示，当射线OB在∠AOC外部时， 由条件可知∠BOC＝∠AOC+∠AOB＝130°， ∵OM是∠BOC的平分线， ∴， ∴∠AOM＝∠BOM﹣∠AOB＝45°， 综上，∠AOM＝65°或45°． 故选：B． 【变式3】在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请利用一副含有45°角的直角三角板ABC和含有30°角的直角三角板BDE尝试完成探究． 【实验操作】 （1）若边BA和边BE重合摆成图①的形状，则∠CBD＝　105°　 ； （2）保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板BDE的60°角的顶点重合，然后摆动三角板BDE，请问：当∠ABE为多少度时，∠CBD＝90°．请说明理由； 【拓展延伸】 （3）试探索：保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板BDE的60°角的顶点重合，然后摆动三角板BDE，使得∠ABD是∠ABE的两倍，请直接写出∠ABE的度数． 【答案】（1）105°； （2）∠ABE＝165°或∠ABE＝15°时，∠CBD＝90°； （3）20°或60°． 【解答】解：（1）∵是三角板， ∴∠ABC＝45°，∠ABD＝60°， ∴∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝45°+60°＝105°， 故答案为：105°； （2）∠ABE＝165°或∠ABE＝15°． 理由：如图①， ∵∠DBE＝60°，∠ABC＝45°， ∴∠ABE＝∠EBD+∠ABC﹣∠CBD＝60°+45°﹣90°＝15°； 如图②， ∵∠DBE＝60°，∠ABC＝45°， ∴∠ABE＝360°﹣（∠EBD+∠ABC+∠CBD）＝360°﹣（60°+45°+90°）＝165°； （3）当边BE在边AB右侧时， 如图③，设∠ABE＝x， 则有2x＝x+60°， 解得x＝60°， 即此时∠ABE＝60°， 当边BE在边AB左侧时，如图④， 设∠ABE＝x， 则有x+2x＝60°， 解得x＝20°， 即此时∠ABE＝20°； 综上所述，∠ABE的度数为20°或60°． 题型6 余角和补角 解｜题｜知｜识 （1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． （2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． （3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等． （4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联． 注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系． 【典例1】如图所示，已知∠COD＝30°，∠AOC＝∠BOD＝90°，则∠AOB的度数是（　　） A．130° B．140° C．150° D．160° 【答案】C 【解答】解：∵∠COD＝30°，∠AOC＝∠BOD＝90°， ∴∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝60°， ∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝150°， 故选：C． 【变式1】如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中∠α＝∠β的图形个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：根据角的和差关系可得第一个图形∠α＝∠β＝45°， 根据等角的补角相等可得第二个图形∠α＝∠β， 第三个图形∠α+∠β＝180°，不相等， 根据同角的余角相等可得第四个图形∠α＝∠β， 因此∠α＝∠β的图形个数共有3个， 故选：C． 【变式2】已知∠α＝45°30′，则∠α的余角等于（　　） A．45°70′ B．45°30′ C．44°70′ D．44°30′ 【答案】D 【解答】解：∵∠α＝45°30′，互为余角的两个角的和为90°， ∴∠α的余角为＝90°﹣α＝89°60′﹣45°30′＝44°30′， 故选：D． 【变式3】定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个角分成的两个角中有一个角与已知的钝角互为补角，则称该射线为这个钝角的“割补线”． （1）如图1，∠MON＝130°，∠MOP＝80°，请判断OP是否为∠MON的“割补线”并说明理由； （2）若OP平分∠MON，且OP为∠MON的“割补线”，求∠MON的大小； （3）如图2，∠MON＝150°，在∠MON的内部作射线OC，OD，OE，使OD为∠NOC的平分线，OE为∠MOC的“割补线”，当OC为∠DOE的“割补线”时，请直接写出∠NOC的度数． 【答案】（1）是，理由见解析； （2）120°； （3）48°或． 【解答】解：（1）OP是∠MON的“割补线”，理由如下： 由条件可知∠NOP＝∠MON﹣∠MOP＝50°， ∴∠NOP+∠MO＝180°， ∴OP是∠MON的“割补线”； （2）由条件可知， ∴∠MON＝2∠MOP， ∵OP为∠MON的“割补线”， ∴∠MOP+∠MON＝180°， ∴∠MOP+2∠MOP＝180°， ∴∠MOP＝60°， ∴∠MON＝180°﹣∠MOP＝180°﹣60°＝120°； （3）设∠NOD＝∠COD＝α， ∴∠MOC＝∠MON﹣∠NOC＝150°﹣2α， ∵OE为∠MOC的“割补线”， ∴∠COE+∠MOC＝180°或∠MOE+∠MOC＝180°， ∴∠COE＝180°﹣∠MOC＝30°+2α或∠MOE＝30°+2α， ①当∠COE＝30°+2α时， ∵OC为∠DOE的“割补线”， ∴∠DOC+∠DOE＝180°或∠COE+∠DOE＝180°， 当∠DOC+∠DOE＝180°时， α+α+30°+2α＝180°， ∴， 此时∠MOC＝150°﹣2α＝75°＜90°（不符合题意，舍去）； 当∠COE+∠DOE＝180°时， 30°+2α+α+30°+2α＝180°， ∴α＝24°， ∴∠NOC＝2α＝48°； ②当∠MOE＝30°+2α时， 则∠COE＝150°﹣2α﹣（30°+2α）＝120°﹣4α， ∵OC为∠DOE的“割补线”， ∴∠DOC+∠DOE＝180°或∠COE+∠DOE＝180°， 当∠DOC+∠DOE＝180°时， α+α+120°﹣4α＝180°， ∴α＝﹣30°（不符合题意，舍去）； 当∠COE+∠DOE＝180°时， 120°﹣4α+α+120°﹣4α＝180° ∴， ∴， 综上所述，∠NOC的度数为48°或． 题型7 角的大小比较 解｜题｜知｜识 （1）比较角的大小有两种方法： ①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大． ②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置． （2）表示法： ①∠AOB＞∠A′O′B′， ②∠AOB＝∠A′O′B′， ③∠AOB＜∠A′O′B′． 【典例1】已知∠α＝39°18′，∠β＝39.18°，下面结论正确的是（　　） A．∠α＞∠β B．∠α＝∠β C．∠α＜∠β D．无法确定 【答案】A 【解答】解：∵∠α＝39°18′＝39.3°，∠β＝39.18°，39.3°＞39.18°， ∴∠α＞∠β． 故选：A． 【变式1】如图，若∠AOC＞∠BOD，则下列结论正确的是（　　） A．∠AOB＞∠COD B．∠AOB＝∠COD C．∠AOB＜∠COD D．∠AOB与∠COD的大小关系不确定 【答案】A 【解答】解：∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠BOD＝∠COD+∠BOC， 又∵∠AOC＞∠BOD， ∴∠AOB+∠BOC＞∠COD+∠BOC， ∴∠AOB＞∠COD， 故选：A． 【变式2】下列说法中正确的有（　　）个． ①八棱柱有8条侧棱，16条棱，10个面； ②倒数等于本身的数是+1、﹣1、0； ③x3+y3是6次多项式； ④8.5°＞8°5′； ⑤如果a＝b，那么ac＝bc． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【解答】解：①八棱柱有8条侧棱，24条棱，10个面；原说法错误； ②倒数等于本身的数是+1、﹣1；原说法错误； ③x3+y3是3次多项式；原说法错误； ④8.5°＝8°30'＞8°5′；原说法正确； ⑤如果a＝b，那么ac＝bc．原说法正确； 故选：A． 【变式3】有公共顶点的两个角，∠AOB＝∠COD，且OE为∠BOC的角平分线． （1）如图1，请探索∠AOE和∠DOE的大小关系，并说明理由； （2）如图2，∠AOE和∠DOE是否仍然满足（1）中关系？请说明理由； （3）若∠AOB＝90°，∠AOC＝64°，求出∠BOE的度数． 【答案】（1）∠AOE＝∠DOE，理由详见解答过程． （2）满足，理由详见解答过程． （3）13°或77°． 【解答】解：（1）∠AOE＝∠DOE，理由如下： ∵OE为∠BOC的角平分线， ∴∠BOE＝∠COE． ∵∠AOB＝∠COD， ∴∠AOB+∠BOE＝∠COD+∠COE． ∴∠AOE＝∠DOE． （2）∠AOE＝∠DOE，理由如下： ∵OE为∠BOC的角平分线， ∴∠BOE＝∠COE． ∵∠AOB＝∠COD， ∴∠AOB﹣∠BOE＝∠COD﹣∠COE． ∴∠AOE＝∠DOE． （3）经分析，有以下2种情况： ①OC在∠AOB内． ∵∠AOB＝90°，∠AOC＝64°， ∴∠AOB﹣∠AOC＝26°． ∵OE为∠BOC的角平分线， ∴∠BOE． ②OC在∠AOB外． ∵∠AOB＝90°，∠AOC＝64°， ∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝154°． 又∵OE为∠BOC的角平分线， ∴∠BOE77°． 综上，∴∠BOE＝13°或77°． 过 关 验 收 1. 下列说法与如图的几何图形相符的是（　　） A．点D在直线n上 B．射线OD与射线DO为同一条射线 C．直线AC与直线n为同一条直线 D．∠AOB也可以表示为∠O 【答案】C 【解答】解：根据点和直线的关系，直线的性质逐项分析判断如下： A、点D不在直线上n，原说法错误，不符合题意； B、射线OD与射线DO为同一条射线，原说法错误，不符合题意； C直线AC与直线n为同一条直线，正确，符合题意； D、∠AOB不可以表示为∠O，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 2. 下列叙述正确的是（　　） A．角的两边越长，角度越大 B．连结两点间的线段叫做这两点间的距离 C．两点之间线段最短 D．到线段两端点距离相等的点是线段的中点 【答案】C 【解答】解：A．角的大小与角的两边的长短无关，与两条边叉开的大小有关，故A错误； B．连结两点间的线段的长度叫做这两点间的距离，故B错误； C．两点之间，线段最短，故C正确； D．到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故D错误； 故选：C． 3. 如图所示，图（1）中共有1个锐角；图（2）中共有3个锐角；图（3）中共有6个锐角；按此规律，图（n）中共有　　 个锐角（用含n的代数式表示）． 【答案】． 【解答】解：∵图（1）中共有个锐角； 图（2）中共有个锐角； 图（3）中共有个锐角； 以此类推，图（n）中共有个锐角． 故答案为：． 4. （1）如图1，已知线段MN，在MN上逐一画点．数一数，图①中有几条线段？图②中有几条线段？图③中有几条线段？当线段上有（n十1）个不相同的点时，共有多少条线段？ （2）如图2，已知∠MON，在∠MOV内逐一画射线．图①②③中分别有多少个角（不大于平角）？当∠MON内有（n十1）条射线时，共有多少个角？ （3）小亮在解答（2）题时，在上面的各图中画一条直线和各射线相交，从而将（2）题变成了与（1）题中相应的问题予以考虑和解决，你认为这样做可以吗？ 【答案】（1）3，6，10，； （2）3，6，10，； （3）可以． 【解答】解：（1）图①中，线段MN上有1个点，共有3条线段，即； 图②中，线段MN上有2个点，共有6条线段，即； 图③中，线段MN上有3个点，共有10条线段，即； …； 以此类推，当线段MN上有（n+1）个点时，共有条线段； （2）图①中，∠MON内有1条射线，共有3个角，即； 图②中，∠MON内有2条射线，共有6个角，即； 图③中，∠MON内有3条射线，共有10个角，即； …； 以此类推，∠MON内有（n+1）条射线时，共有个角． （3）可以，当小亮作一条直线分别与各射线相交时，就可以把求角的个数转化为求线段的条数，如图所示： 由（1）（2）求解过程可知，把求角的个数转化为求线段的条数，规律是一样的，从而将（2）题变成了与（1）题中相应的问题予以考虑和解决． 5. 下午2点整（如图所示），时钟的分针与时针所成角的度数为（　　） A．90° B．80° C．70° D．60° 【答案】D 【解答】解：下午2点整，时针和分针中间相差两大格． ∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°， ∴下午2点整分针与时针的夹角是2×30°＝60°． 故选：D． 6. 当分针指向12，时针这时恰好与分针成30°的角，此时是（　　） A．9点钟 B．10点钟 C．11点钟或1点钟 D．2点钟或10点钟 【答案】C 【解答】解：∵钟表上每一个大格之间的夹角是30°， ∴当分针指向12，时针这时恰好与分针成30°的角时，距分针成30°的角时针应该有两种情况，即距时针1个格， ∴只有11点钟或1点钟是符合要求． 故选：C． 7. 在指针式时钟表盘上，上午10点半的时候，时针和分针所成夹角的大小为　105　 度． 【答案】105． 【解答】解：上午9点半时，分针指向数字6，时针在数字9的基础上再转30分钟，故计算出数字9和数字6之间的夹角（小于平角），再加上时针30分钟所转的角度可得： ＝90°+15° ＝105°， ∴上午9点半的时候，时针和分针所成夹角的大小为105°． 故答案为：105． 8. 如图，小华从下午2：00开始对钟面进行了一个小时的观察，了解到钟面上的分针每小时旋转360度，时针每小时旋转30度．请你完成小华思考的下列问题： （1）钟面上的分针旋转的速度为　6　 度/分钟，时针旋转的速度为　0.5　 度/分钟； （2）若钟面上的分针与时针重合，此时为2点多少分？（保留准确结果） （3）若钟面上的分针与时针夹角恰好为90°，则此时为2点多少分？（直接写出结果） 【答案】（1）6，0.5； （2）当钟面上的分针与时针重合，此时为2点分； （3）当钟面上的分针与时针夹角恰好为90°，则此时为2点分． 【解答】解：（1）∵钟面上的分针每小时旋转360度， ∴钟面上的分针旋转的速度为：（度/分钟）， ∵时针每小时旋转30度， ∴时针旋转的速度为：（度/分钟）， 故答案为：6，0.5； （2）设2点x分时，钟面上的分针与时针重合， 6x＝30×2+0.5x， 解得， 即当钟面上的分针与时针重合，此时为2点分； （3）设2点x分时，钟面上的分针与时针夹角恰好为90°， 分三种情况讨论： ①分针未追上时针前，钟面上的分针与时针夹角小于90°，故此情况不存在； ②分针追上并超过时针后，第一次钟面上的分针与时针夹角为90°时，则有： 6x﹣（30×2+0.5x）＝90， 解得， ③分针追上并超过时针后，第二次钟面上的分针与时针夹角为90°时，则有： 360﹣6x+（30×2+0.5x）＝90， 解得x＝60，此时已3点钟，不符合题意； 综上，当钟面上的分针与时针夹角恰好为90°，则此时为2点分． 9. 如图，O是直线AB上的一点，作射线OC．若∠BOC＝56°48′，则∠AOC的度数为（　　） A．124°52′ B．124°12′ C．123°52′ D．123°12′ 【答案】D 【解答】解：∵∠BOC＝56°48′，∠BOC+AOC＝180°， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝123°12′． 故选：D． 10. 如图，将三角尺的直角顶点放在直线l上的点A处，若∠1＝60°36'，则∠2的度数为 　150°36′　 ． 【答案】150°36′． 【解答】解：如图： ∵∠BAC＝90°，∠1＝60°36'， ∴∠3＝∠BAC﹣∠1＝89°60′﹣60°36′＝29°24′， ∴∠2＝180°﹣∠3＝179°60′﹣29°24′＝150°36′， 故答案为：150°36′． 11. 计算：48°37'+53°35'＝　102°12'　 ． 【答案】102°12' 【解答】解：48°37'+53°35'＝101°72'＝102°12'， 故答案为：102°12'． 12. 计算： （1）36﹣76+（﹣15）﹣45； （2）﹣12022×（﹣7）+|4﹣9|﹣27÷（﹣3）2； （3）119°57′+32°41′﹣70°25′13″． 【答案】（1）﹣100； （2）9； （3）82°12′47″． 【解答】解：（1）36﹣76+（﹣15）﹣45 ＝36﹣76﹣15﹣45 ＝36﹣（76+15+45） ＝36﹣136 ＝﹣100； （2）原式＝﹣1×（﹣7）+5﹣27÷9 ＝7+5﹣3 ＝9； （3）原式＝151°98′﹣70°25′13″ ＝152°38′﹣70°25′13″ ＝82°12′47″． 13. 如图，已知∠BED＝∠EDC，DC平分∠ADF，若∠BED＝135°，则∠ADE的大小为（　　） A．45° B．65° C．80° D．90° 【答案】D 【解答】解：∵∠BED＝∠EDC＝135°， ∴∠CDF＝180°﹣∠EDC＝180°﹣135°＝45°， ∵DC平分∠ADF， ∴∠ADC＝∠CDF＝45°， ∴∠ADE＝∠EDC﹣∠ADC＝90°． 故选：D． 14. 下列说法正确的是（　　） A．两点之间直线最短 B．用一个放大镜能够把一个图形放大，也能够把一个角的度数放大 C．将一个角分成两个角的射线叫角的平分线 D．直线l经过点A，那么点A在直线l上 【答案】D 【解答】解：（1）对于A选项，直线没长度，故A错误． （2）放大镜能够把一个图形放大，不能够把一个角的度数放大，故B错误． （3）对于C选项，没有提到所分角的相等，故C错误． （4）直线过A点，则A一定在直线上． 综上可得只有D正确． 故选：D． 15. 如图，点O在直线AB上，过O作射线OC，∠BOC＝100°，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线B的下方．若三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 　5或23　 ． 【答案】5或23． 【解答】解：∵∠BOC＝100°， ∴∠AOC＝80°， 当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，如图： ∠BON∠AOC＝40°， 此时，三角板旋转的角度为90°﹣40°＝50°， ∴t＝50°÷10°＝5； 当ON在∠AOC的内部时，如图： 三角板旋转的角度为360°﹣90°﹣40°＝230°， ∴t＝230°÷10°＝23； ∴t的值为：5或23． 故答案为：5或23． 16. 如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线． （1）如果∠BOD＝90°，∠AOD＝40°．那么∠COE是多少度？ （2）若∠AOB＝120°，你能求出∠COE是多少度吗？ 【答案】（1）∠COE＝65°； （2）∠COE＝60°． 【解答】解：（1）因为OB与OD互相垂直， 所以∠BOD＝90°， 因为OE是∠BOD的平分线， 所以∠DOE∠BOD， 因为OC是∠AOD的平分线，∠AOD＝40°， 所以∠COD∠AOD＝20°， 所以∠COE＝∠DOE+∠COD＝45°+20°＝65°； （2）因为OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线， 所以∠COD∠AOD，∠DOE∠BOD， 因为∠AOB＝120°， 所以∠AOD+∠BOD＝120°， 所以∠COD+∠DOE（∠AOD+∠BOD）＝60°， 即∠COE＝60°． 17. 将一张正方形纸片ABCD如图所示的方式折叠，AE，AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D′，若∠B′AD′＝10°，则∠EAF的度数为（　　） A．50° B．40° C．45° D．60° 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠DAB＝90°， 由翻折可得：∠BAE＝∠B′AE，∠DAF＝∠D′AF， ∴2∠DAF+2∠BAE＝∠DAB+∠B′AD′， 即：2（∠DAF+∠BAE）＝90°+10°＝100°， ∴∠DAF+∠BAE＝50°， ∴∠EAF＝90°﹣（∠DAF+∠BAE）＝90°﹣50°＝40°． 故选：B． 18. 如图1，点A，O，B依次在直线MN上；如图2，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒4°的速度旋转，设旋转时间为t秒（0≤t≤90）．下列说法正确的是（　　） A．当t值为10秒时，∠AOB＝100° B．整个运动过程中，不存在∠AOB＝90°的情况 C．当∠AOB＝60°时，两射线的旋转时间t一定为20秒 D．当t值为36秒时，射线OB恰好平分∠MOA 【答案】D 【解答】解：A、当t＝10s时， OA顺时针旋转20°， OB逆时针旋转40°， 此时∠AOB＝120°，故A选项错误； B、设旋转xs时，∠AOB＝90°， 当0＜x＜45时，有∠NOA＝180°﹣2x°，∠NOB＝4x°， 则有180﹣2x﹣4x＝90， 解得：x＝15， ∴整个运动过程中，存在∠AOB＝90°的情况，故B选项错误； C、设旋转xs时，∠AOB＝60°， 当0＜x＜45时，有∠NOA＝180°﹣2x°，∠NOB＝4x°， 则有180﹣2x﹣4x＝60， 解得：x＝20， 当45＜x＜90时，有∠NOA＝180°﹣2x°，∠NOB＝360°﹣4x°， 则有180﹣2x+360﹣4x＝60， 解得：x＝80， ∴两射线的旋转时间t为20秒或80秒时∠AOB＝60°，故C选项错误； D、当t＝36s时，∠MOA＝36×2°＝72°， ∠MOB＝180°﹣4°×36＝36°， ∵， ∴OB恰好平分∠MOA，故D选项正确． 故选：D． 19. 将一张长方形纸片ABCD按如图所示的方式进行折叠，EF，FG为折痕，点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′，点B′在FG上，点C′在AD上，若∠CFG＝28°，则∠EFC′的度数为　48°　 ． 【答案】48°． 【解答】解：由折叠性质可得：∠BFE＝∠B′FE，∠C′FG＝∠CFG＝28°， ∵∠BFG+∠CFG＝180°， ∴∠BFG＝180°﹣∠CFG＝152°， ∵∠BFG＝2∠EFG， ∴， ∴∠EFC′＝∠EFG﹣∠C′FG＝48°， 故答案为：48°． 20. 如图，∠AOB＝120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°；射线OD从OB开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t（0≤t≤15）． （1）当t为何值时，射线OC与OD重合； （2）当t为何值时，∠COD＝90°； （3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意可得， 20t＝5t+120 解得t＝8， 即t＝8min时，射线OC与OD重合； （2）由题意得， 20t+90＝120+5t或20t﹣90＝120+5t， 解得，t＝2或t＝14 即当t＝2min或t＝14min时，射线OC⊥OD； （3）存在， 由题意得，120﹣20t＝5t或20t﹣120＝5t+120﹣20t或20t﹣120﹣5t＝5t， 解得t＝4.8或t或t＝12， 即当以OB为角平分线时，t的值为4.8min；当以OC为角平分线时，t的值为min，当以OD为角平分线时，t的值为12min． 21. 如果∠α和∠β互补，且∠α＜∠β，那么下列式子中一定表示∠α的余角的有（　　）个 ①90°﹣∠α；②∠β﹣90°；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：由题意可得：∠α+∠β＝180°， ∴∠α的余角为90°﹣∠α． ①90°﹣∠α，直接是余角，正确． ②∠β﹣90°＝（180°﹣∠α）﹣90°＝90°﹣∠α，是余角，正确． ③，不一定等于90°﹣∠α，错误． ④90°﹣∠α，是余角，正确． 故选：C． 22. 如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则α，β，γ三个角的数量关系为（　　） A．α+β+γ＝90° B．α+β﹣γ＝90° C．α﹣β+γ＝90° D．α+2β﹣γ＝90° 【答案】C 【解答】解：如图： 由条件可知α+∠1＝∠1+β+∠2＝∠2+γ＝90°， ∴∠1＝90°﹣α，∠2＝90°﹣γ， ∴β＝90°﹣90°+α﹣90°+γ＝α+γ﹣90°， 即α﹣β+γ＝90°， 故选：C． 23. 按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（　　） A．∠1与∠3互余 B．∠2＝90° C．AE平分∠BEF D．∠1与∠AEC互补 【答案】C 【解答】解：根据折叠的性质可知，∠1＝∠AEB，∠3＝∠FEC， ∵∠1+∠AEB+∠3+∠FEC＝180°， ∴2（∠1+∠3）＝180°，即∠1+∠3＝90°，故A不符合题意； ∴∠2＝90°，故B不符合题意，C符合题意； ∵∠1+∠AEC＝180°，故D不符合题意． 故选：C． 24. 如图，点O是直线AB上的一点，∠AOE＝∠FOD＝90°，OB平分∠COD． （1）试说明∠AOF＝∠EOD； （2）求∠EOC+∠AOF的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）180°． 【解答】（1）证明：∵∠AOE＝∠FOD， ∴∠AOF+∠EOF＝∠EOD+∠EOF， ∴∠AOF＝∠EOD； （2）解：∵OB平分∠COD， ∴∠BOC＝∠DOB， ∵∠AOE＝90°， ∴∠BOE＝90°， ∴∠BOD+∠DOE＝∠EOF+∠DOE＝90°， ∴∠BOD＝∠EOF， ∴∠BOC＝∠EOF， ∵∠EOC＝∠EOB+∠BOC， ∴∠EOC＝∠EOB+∠EOF， ∴∠EOC+∠AOF＝∠EOB+∠EOF+∠AOF， ＝∠EOB+∠AOE＝90°+90°＝180°． 25. 如图，用同样大小的三角板比较∠CAD和∠EBF的大小，下列判断正确的是（　　） A．∠CAD＝∠EBF B．∠CAD＜∠EBF C．∠CAD＞∠EBF D．没有量角器，无法确定 【答案】B 【解答】解：由题意得：∠CAD＜45°，∠EBF＞45°， ∴∠CAD＜∠EBF， 故选：B． 26. 小正方形网格如图所示，点A、B、C、D、O均为格点，那么∠AOB　＞　 ∠COD（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】＞ 【解答】解：如图，取格点E，使OA＝OE，作射线OE， 则∠AOB＝∠DOE， ∵∠DOE＞∠COD， ∴∠AOB＞∠COD， 故答案为：＞． 27. 比较大小：16.32°　＜　 16°32′（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】＜． 【解答】解：∵0.32°＝0.32×60＝19.2′＜32′ ∴16.32°＜16°32′． 故答案为：＜． 28. 如图，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起． （1）试判断∠ACD与∠BCE的大小关系，并说明理由； （2）若∠BCD＝30°，求∠ACE的度数； （3）猜想∠ACE与∠BCD的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）∠ACD＝∠BCE． 理由如下： ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝∠BCE+∠BCD＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE； （2）150°； （3）∠ACE+∠BCD＝180°， 理由如下： ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD+∠BCD+∠BCE+∠BCD＝180° ∴∠ACE+∠BCD＝180°． 【解答】解：（1）∠ACD＝∠BCE． 理由如下： ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝∠BCE+∠BCD＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE； （2）∵∠BCD＝30°，∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACE＝∠ACB+∠DCE﹣∠BCD＝90°+90°﹣30°＝150°； （3）∠ACE+∠BCD＝180°， 理由如下： ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD+∠BCD+∠BCE+∠BCD＝180° ∴∠ACE+∠BCD＝180°． 学科网（北京）股份有限公司 $