2026-2027学年浙教版数学九年级上册专题复习：几何中折叠问题

2026-2027年浙教版九上专题复习：几何中折叠问题 【思维导图】 折痕过定点 隐形 边等 折痕过中点 直角三角形 全等 折痕是角分线 等腰三角形 角等 铺折直角 线三垂白 折 垂直 kk负倒 轴对称 折痕是中垂线 平分 中点坐标公式 线三垂直 等腰三角形 翻折后的新图形 常见模型解决问题 十字架 【知识梳理】本质：折叠就是轴对称变换，折痕是对称轴。折叠前后的两个图形全等， 这是所有折叠题的突破口。 一、核心性质（必背) 全等性：折叠前后重合部分全等对应边相等，对应角相等。例：△ABC沿折痕折叠得到△A'BC,则 △ABC≌△A'BC,AB=A'B,∠A=∠A'O 折痕的性质： 折痕是对称轴： 对应点的连线被折痕垂直平分。 若A折叠后落到A',则折痕垂直平分线段AA'。 角度关系 重合角相等： 折叠产生两倍角：折痕平分对应点连线的夹角。 线段关系折叠后重合的线段长度不变；经常出现：一条线段被拆成两段，折叠后线段转移（最常用）。 一阶学习（基础训练） 1.如图，已知菱形ABCD,AD=4,点E是CD上一点，连接BE,△BCE沿BE翻折，点C的对称点 F 刚好落在边D上，BF,BE与对角线1C分别交于点G,H,若MF=BF,则CH AC ,则的长度为( D AV5+1 &.V5-1 c.2V5+2 0.2w5-2 2.如图1，在矩形ABCD中，P为边AD上一点，连结BP,将矩形沿BP折叠，记△APB与矩形重叠部 分的面积为5，设AP的长为x,5关于x的函数图象如图2所示，则下列说法错误的是() 图1 图2 =1 A.当0≤x≤1，S为关于x的一次函数 8a=2, 2 313 C.当1≤x≤a,S为关于x的二次函数 D.图象过点(2’24 3.如图是一张矩形纸片ABCD,点E是AD中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A、B的对应 23 BF 1 AD 点分别为A'、B,AE与BC相交于点G,BA的延长线经过点C,若GC2,则AB的值为 410 2W15 5 A.2N2 B.5 C.3 D.2 二阶学习（提升训练） 1.将弧BC沿弦BC折叠，交直径AB于点D,若AD=8,DB=12,则BC的长是· D B 2.己知矩形ABCD,AB=5,AD=3,E是BC上一点，连结DE,将△DCE沿着DE折叠，点C的对应点 C'恰好落在边A上，连结AB与C'D交于R,则C"F=一· DF E F C'B 3如图，在△MBC中，∠B1C=90°，D为BC上的中线，将△1DC沿直线D每折得到△1DC CD与4B交于点F,连接CC与4B,1D分别交于点E,0.连接8C,则 F E OBC'∠CC'B= BE 3 BF AE4,则FE 3 E 4如图是以点为圆心， B为直径的圆形纸片.点C在O0上，将该圆形纸片沿直线C0对折，点落 A CO 上的点D处（不与点A重合），连结D,BD ⊙ D 在 ,分别延长BA和CD,并相交于点E.若 EA =k EO ,BD=2,用含k的代数式表示O0的面积是—一 H小 B 5如图，扇形10B B的圆心角∠1OB>60°，点C在OB上，将△10C沿1C折叠得 △ADC.CD交 弧4B于点E,连接4E,恰有E=D,者CE=DE=2,则O0的半径长是 ⊙0， 6.如图，在 AC 9O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦1C翻折交MB于点D,连接 CD .如果 1D=6,DB=2,则1C的长为 4 B D 0 C ABCD,AD=8,DC=10 AADG AG 7.如图，已知矩形 ，将 沿 翻折得 △1BG,将△CGH沿GH 沿 翻 GFH 折得 点F正好落 所在直线上，间当CH=3时，4F GE B 8.如图，点E是菱形ABCD的边AB上，将△ADE沿DE折叠，点A的对应点F恰好在边BC上，若 BE=6,BF=5,则DE的长为一 D E B 三阶学习（培优训练） 1.【基础巩固】 (1)如图1，点A,F,B在同一直线上，若∠A=∠B=∠EFC,求证：△AFE~△BCF; 【尝试应用】 5 (2)如图2，AB ⊙0 半圆的直径，弦长 AC=BC=4 E F ”,分别是 AC AB 上的一点， ∠CFE=45° 若设BF=x,E=y 求出'与”的函数关系 【拓展提问】 (3)已知D是等边△ABC边AB上的一点，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF,点E, P AC BC 分别在和上.如图3，如果 AD:BD=l:nCE:CF ，求 的值（用含”的代数式表示）· A D E B 图1 图2 图3 D,E 2如图，在△1BC中，点D,E分别在边BC、1C上，把△1BD沿4D折叠，点B落在1C边上的B 6 处，把aCDE沿DE折叠，点C恰好与点A重合. E B' B D (1)求证：△ABD-△CBA, BD=4,CD=5 (2)当 求EB的长 1 3如图，△ABC内接于⊙0D是的AC上一点，连结4D,BD,CD,将△BDC沿直线BC折叠，点D 的对应点E在AC的延长线上 (1)求证：△ABD是等腰三角形， D …0 (2若∠ABE=90,D是的AC的中点，⊙O的半径是r. ①求BD的长（用含r的代数式表示）； ②计算四边形ABCD的面积用含r的代数式表示).2026-2027年浙教版九上专题复习：几何中折叠问题 【思维导图】 折痕过定点 隐形 边等 折痕过中点 直角三角形 全等 折痕是角分线 等腰三角形 角等 铺折直角 线三垂白 折 垂直 kk负倒 轴对称 折痕是中垂线 平分 中点坐标公式 线三垂直 等腰三角形 翻折后的新图形 常见模型解决问题 十字架 【知识梳理】本质：折叠就是轴对称变换，折痕是对称轴。折叠前后的两个图形全等， 这是所有折叠题的突破口。 一、核心性质（必背) 全等性：折叠前后重合部分全等对应边相等，对应角相等。例：△ABC沿折痕折叠得到△A'BC,则 △ABC≌△A'BC,AB=A'B,∠A=∠A'O 折痕的性质： 折痕是对称轴： 对应点的连线被折痕垂直平分。 若A折叠后落到A'，则折痕垂直平分线段AA。 角度关系 重合角相等： 折叠产生两倍角：折痕平分对应点连线的夹角。 线段关系折叠后重合的线段长度不变；经常出现：一条线段被拆成两段，折叠后线段转移（最常用）。 一阶学习（基础训练） 1.如图，已知菱形ABCD,AD=4,点E是CD上一点，连接BE,△BCE沿BE翻折，点C的对称点 好落在边1D上，BF,BE与对角线1C分别交于点G,H,若4F=BF,则CH AC ,则的长度为( D A.V5+1 8.V5-1 c.25+2 D.2V5-2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形、相似三角形、平行线的判定与性质，灵活运用相关判 定与性质是解题的关键. 先i证△BMF≌ABCE(SAS), 得到BF=BE=4,再证△CBE∽aECH,设CH=x,结合相似比建立方 程求解即可. 【详解】解：由题可知AF=EF=CE,△BCE≌△BFE, ∴.BC=BF=4∠BEC=∠BEF 在△BAF和△BCE中， AF=EF ∠BAF=∠BCE AB=BC △BAF≌△BCE(SAS) .BF BE=4, ∴.∠BCE=∠BEC 在菱形ABCD中，AF=CE,CA为∠BCD的角平分线， DE DE AFCE,则EF∥AC, ∠DEF=∠DCA=∠BCE 2 ∠BEC+∠BEF+∠DEF=∠BCE+∠BcE+BCE=IS0 解得∠BCE=72°，则∠DCA=∠BCA=36°， ∴.∠EHC=180°-∠CEH-∠ECH=180°-72°-36°=72° 即∠CEH=∠CHE=72°，则CH=CE, ∠CBE=180°-∠BCE-∠BEC=180°-72°-72°=36° ∴.∠CBE=∠BCH=36° ∴.CH=BH 设CH=t,则 BH=CE=x,EH=4-x .∠CBE=∠ECH=36°，∠BCE=∠CEH=72° 3 ∴，ACBE∽△ECH CB CE 4 x ECEH,即x4-x, 整理得2+4x-16=0,解得x=-2+2W5或x=-2-25 (舍去)， 即CH=2V5-2 故选：D 2.如图1，在矩形ABCD中，P为边AD上一点，连结BP,将矩形沿BP折叠，记△A'PB与矩形重叠部 分的面积为S,设AP的长为x,S关于x的函数图象如图2所示，则下列说法错误的是() a 图1 图2 A.当0≤x≤1，S为关于的一次函数 B.a=2, 6 2 313 C.当1≤x≤a,S为关于x的二次函数 D.图象过点2’24 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分点A'在矩形ABCD内部和外部两种情况讨论，根据重叠部分的面积为S,列出关 系式，逐一判断即可 AP=A'P=X,AB=A'B,∠BA'P=∠A=90° 【详解】解：根据题意： 当点A在矩形ABCD内部时（包含边界）， 则重叠部分的面积为 =Sm=Sm号4P4B=方4Bx ,AB的长为定值， ∴·此时，S为关于x的一次函数； 由函数图象可得：当AP=1时，点A'刚好落在BC边上， .当0≤x≤1，S为关于×的一次函数；故A选项说法正确： 如图，当AP=1时， 此时，BA'与BC重合，则∠BAP=90°， .∠A=∠ABC=90° 此时，四边形ABA'P是矩形， AB=A'B, 此时，四边形ABA'P是正方形， .AB=AP=1, 1 此时， S-5.wo-5.w-4PAB-3AP-3xE-b 2 1 b= 2, 当点A'在矩形ABCD外部时， 如图，过点P作 PH⊥BC A'P,B 于点H,设 C交于点G,则四边形ABHP是矩形， ·∠BHP=∠BA'P=90°，AB=A'B=PH,∠PGH=∠BGA ·△BAG≌aPHG(AAS) 设G=m,则GH=m,PG=P-AG=AP-AG=x-m】 在RtPGH中，PG=PH+GH,即(x-m)=1P+m2 .m x2-1x1 2x22x, 则重叠部分的面积为 x1=+1 s=5aSm9mSw方4p4a08-8x-空)音， 2 “此时，5不是关于x的二次函数：则当 ≤x≤Q,5不是关于x的二次函数：故C选项说法错误： 由函数图象可得：当AP=a时，点P与点D重合， S=+1=a15 此时，44x44a8, .a=2,故选项B说法正确： 3 113 当3时，5=+324 X= 2 44× 2 313 ∴图象过点2'24，故选项D说法正确； 故选：C 3.如图是一张矩形纸片ABCD,点E是AD中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A、B的对应 6 BF 1 AD 点分别为A、B,AE与BC相交于点G,BA'的延长线经过点C,若GC2,则AB的值为 410 2V15 5 A.2√2 B.5 C.3 D.2 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接C4,过点G作G7L D于点T,然后设4B,1D=yBF=kGC=2k 得出 AE-DE= 2',由翻折的性质知 E=EA= 2',BF=FB=k,∠AEF=∠GEF,求出 CG GA ET=1 EG=FG=y-3k,接着推出CF'FB',求出 2,EG=5k-3k=2k,最后利用勾股定理求出AB, 即可得出结果。 【详解】如图，连接CA,过点G作GTLAD于点T, F B' AB=x AD=y 设 BF 1 .GC2, 设BF=k,则GC=2k, ,点E是AD中点， AE-DE-2Y 由翻折的性质 AE-EA=I =2',BF=FB'=k,∠AEF=∠GEF, AD//CB ∴.∠AEF=∠EFG ∴.∠GEF=∠GFE ..EG=FG=y-3k Gr--0-刘= c,A,B GAlFB' ，共线， CG GA' ∴.CFFB, 2k3、1 2 ..y-k k :.y2-7y+10k2=0 .y=2k (舍去)或5 AE-DE-5k 8 CDTG 四边形 是矩形， ET-Ik ·.CG=DT=2k, .EG=5k-3k=2k B-D-67-2ao-T-2j-- AD 5k 2v15 AB 15, k 3 2 故答案为：C. 二阶学习（提升训练） 1.将弧BC沿弦BC折叠，交直径AB于点D,若AD=8,DB=I2,则BC的长是 D B 【答案】8V5 【解析】 【分析】连接CA、CD,根据翻折的性质可得CD所对的圆周角是∠CBD,再根据1C所对的圆周角也 是∠CBA,然后求出AC=CD,过点C作CE L AB-于E,根据等腰三角形三线合一的性质可得 1 AE=ED= AD 2,根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，然后证明△ACE和△CBE相似， C 根据相似三角形对应边成比例求出 E,再求出BE,然后利用勾股定理列式计算即可求出BC的长 9 【详解】解：如图，连接CA、CD, 根据折叠的性质， CD所对的圆周角是∠CBD :AC所对的圆周角是∠CBA,且∠CBA=∠CBD, :.AC=CD(相等的圆周角所对的弦相等)， AE-ED-1AD-1x8-4 过点C作CE⊥AB于E, 2 21 .BE=BD+DE=12+4=16. ,AB是直径， .∠ACB=90°， ∴.∠A+∠B=90°， 又.∠A+∠ACE=90°， .∠ACE=∠B, 又，∠AEC=∠CEB=90°， .△ACE∽△CBE, AE CE ∴.CEBE, 即CE=AE-BE=4x16=64 在RtBCE中，BC2=CE2+BE=64+162=320 :BC=V320=8V5 故答案为： 8V5 10 E D ------- B 2.已知矩形ABCD,AB=5,AD=3,E是BC上一点，连结DE,将△DCE沿着DE折叠，点C的对应点 C'恰好落在边AB上，连结AB,与c'D交于R,则DF=45 C'F-16-· E C'B 45 【答案】 16 【分析】作CH∥AD,交AE于点H,由矩形的性质得CD=AB=5,BC=AD=3,BE∥AD,∠B= ∠BAD=90°，则CH∥BE,所以△AC'H∽△ABE,由折叠得C'D=CD=5,CE=CE=3-BE, 求背4C=4,则8C=1.-S-手由分完租得18g=(3-5),求背BG 3 DFAD_45 C'℉C'H16,于是得到问题的答案. 【解答】解：作CH∥AD,交AE于点H, ,四边形ABCD是矩形，AB=5,AD=3,点E在BC上， ∴.CD=AB=5,BC=AD=3,BE∥AD,∠B=∠BAD=90°， ∴.CH∥BE, ∴.△ACH∽△ABE ,将△DCE沿DE折叠，点C的对应点C'落在边AB上， ..C'D=CD=5,C E=CE=3-BE, 1C=C'D2-AD=5-32-4, BC =AB-AC =1,C'H=AC'_4 BE AB 5 11 .BC'24+BE2=C E2, ∴.12+BE2=(3-BE)2, 解衍86兰 c音号治 ,AD∥C'H, ∴.△ADF∽△HC'F, DF-AD-3-45 .CFCH1616, 15 故答案为：16 H C'B 3.如图.在△1BC中，∠B1C=90,D为BC上的中线，将 DC沿直线1D翻折得到△1DC ADC、 ，则<CCB CD与4B交于点F,连接C与4B,D分别胶T点E,0,连接BC, 一一.若 BE3 BE AE4,则FE B C D 14 【答案】 ①.90° ②.3 12 【解析】 【分析】由折叠的性质可得AD垂直平分线段CC',DC=DC',即∠DOC=90°，由题意可得 OD=1BC BD=DC=DC',推出∠CCB=90°，进而可得AD‖BC',由中位线定理可 26,设 BC'=2mOD=m 则 ,再由平行线分线段成比例定理计算即可得解. △AD 【详解】解：将 C沿直线4D翻折得到△ADC, ∴AD垂直平分线段CC',DC=DC' .∠D0C=90°， .AD为BC上的中线， :BD=DC=DC', .∠CCB=90°， .∠CCB=∠DOC, ,AD‖BC DC=DB,CO=OC', .OD-BC 2, 设BC'=2m,则OD=m, :AO∥BC, 13 BC BE 3 .OA AE 4, -m 3 :D=0D+OA=1 m :AD∥BC BF BC'2m 6 4F AD= 11 3 m BE 3 AE4' ∴设BE=3k,则AE=4k,AB=7k, :BF=B=2 -1717 EF=BE-BF=9 42k14 BF_17 ·EF9 3 14 故答案为：90°，3. 4如图是以点为圆心，1B为直径的圆形纸片.点C在©0上，将该圆形纸片沿直线C0对折，点B落 .C,⊙O CO 在OO上的点D处（不与点A重合》，连结MD,BD,分别延长BA和CD,并相交于点E,若 .⊙0 14 EA =k EO,BD=2,用含k的代数式表示⊙O的面积是 H E A 4π 【答案】4-k2 【解析】 【分析】根据直径或半圆所对圆周角为直角，折叠的性质可得∠OFB=∠OFD=90°=∠ADB, BF=DF-2 D-1X 2=1,OC1AD,证明△EADE0C,得到D=h0C,证明 2 OF=1AD=1KOC-OC OF= △BOF∽ABAD,得到 2 2 2 ，则 2,在RtAOOF中，由勾股定理得 4 OB2= 到 4-k2,结合圆的面积公式即可求解。 【详解】解：AB为直径， .∠ADB=90°， ,折叠， .AC⊥BD, OC,BD 如图所示，设 交于点F, 15 H B ∠OFB=∠OFD=90°=∠ADB, BF=DF= ×2=1 2 2 OC I AD ∴.△EADD△EOC, EA_AD=k ..EO OC, .AD=kOC, OF‖AD ∴.△BOFr△BAD BO OF 1 .BA AD 2, :0r-0-5k0c- 2 2 2 .OC=OA=OB, .OF=kOB 2 在RaO0F中，OB2=OF2+BF: 中， 082=5o8+1 2 2 16 OB2= 4 解得， 4-K2, .⊙O的面积是 *OB2=4π 4-k2 4π 故答案为：4-K2 AOB 5.如图，扇形的圆心角 A0B>60°，点C在OB上，将△10C沿1C折蚕得 △ADC,CD交 4B于点E,连接1E,恰有1E=D,若CE=DE=2,则O0的半径张是 【答案】 2V分 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，根据题目的 已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键 连接EO,作AF⊥CD于点F,利用折叠的性质可得：AD=AO,∠ACD=∠ACO,∠D=∠AOC, 证明 △AOE 是等边三角形，可得∠01E=60°，利用四边形内角和可得 ∠AC0=∠DCA=∠DC0=60° 进而可得∠CAF=30°，EF=DF=1,从而可得CF=3,再在 Rt△ACF RtAAEF AE 和 中，利用勾股定理求出的长，即可解答 17 【详解】解：连接EO,作AF⊥CD于点F,如图， B 则EO=AO,∠AFC=90°」 ”将△40C沿4C ,△ADC CD 沿折叠得到 D交B于点E .AD=AO∠ACD=∠ACO∠D=∠AOC AE=AD, ,AE=AO=EO,EF=DF,∠D=∠AED, △AOE ∠AOC=∠AED 是等边三角形， ∴.∠OAE=60°∠AOC+∠AEC =∠AED+∠AEC =180° .∠OCD+∠OAE =360°-（∠AOC+∠AEC) =180° .∠OCD=180°-∠OAE=120° ∠4CD40cD=0 .∠CAF=90°-∠ACD=30° 18 CE=DE=2 .EF=DF-LDE=1 ∴.CF=CE+EF=3 .AC=2CF=6, ∴.AF=VAC2-CF2 =V62-32 =35 .AE=OA =AF2+EF2 =V3+1 =2V5 三00的半径长是2V7 故答案为： 27. ⊙0 6.如图，在 0中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦 翻折交AB C CD 点D,连接 .如果 AD=6 DB=2AC ,则的长为—一 B D C 19 【答案】214 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，圆的基本性质，如 图，过C作CG L AB于G,连接OC、BC,设折叠前后点D的对应点为E,先证明 ∠ADC+∠B=180° ∠B=∠BDC CD=BC DG 进而证明 ，得到 ,由三线合一求出，再求出 OC,OG的长，进而求出CG,进一步求出1G的长，即可利用勾股定理求出答案. 【详解】解：如图，过C作CG⊥AB于G,连接OC、BC,设折叠前后点D的对应点为E, 由折叠的性质可得∠ADC=∠AEC, .∠AEC+∠B=180°， G B D E .∠ADC+∠B=180°. ∠ADC+∠BDC=1800 :∠B=∠BDC :.CD=BC :DG-BG-1BD-1 20 :AB=AD+BD=8,且AB为直径， ..OA=OB=OC=4, .OD=2, .0G=3, .CG2=0C2-0G=7 AG=AD+DG=7. :AC=√AG2+CG=24 故答案为：2V14 7.如图，已知矩形 BCD,MD-=8DC=10,将△1DG沿4C 沿 折得△4BG,将△CGH沿GH 翻折得1 沿 翻 △GFH 折得 ,点F正好落 时AF= G所在直线上，间当CH= B 【答案】217 【解析】 【分析】根据矩形的性质和翻折的性质得出相等的边和直角，假设DG=x,则CG=10-x,证明 △ADG∽△GCH 利用对应边成比例列出方程求解，然后分情况进行讨论求出“的长度即可. ABCD 【详解】解：·四边形 矩形， 21 :∠D=∠C=909,AB=CD=10,BC=AD=8 假设DG=x,则CG=10-x, 由翻折的性质得， ∠AGD=∠AGE,∠HGF=∠HGC,DG=EG,FG=CG∠E=∠D=90°AE=AD=8 :∠AGH=900 :∠AGD+∠HGC=900 又：∠AGD+∠DAG=90°， :∠HGC=∠DAG :△ADGAGCH AD DG ..CG CH, 即10-x3, 解得x=6或x=4, 当士= 时， DG=EG=6,CG=FG=4 .EF=EG-FG=6-4=2, 由勾股定理得，AF=√AE2+EF2=V64+4=2√7 当x=4时， DG=EG=4,CG=FG=6 .EF=FG-EG=6-4=2, 22 由勾股定理得，AF=VAE2+EF2=√64+4=2√7 综上， AF=217 故答案为： 217 8.如图，点E是菱形ABCD的边AB上，将△ADE沿DE折叠，点A的对应点F恰好在边BC上，若 BE=6,BF=5,则DE的长为一 D 【答案】66 【解析】解：在菱形ABCD中，∠A=∠C,AD=CD, 根据折叠的性质可得∠A=∠AFE=∠C=a,AD=DF=CD, ∴.∠BFE=∠CDF=∠BFD-a, 如图，延长CB至点G,使EG=EB=6, D C 公 N E B 则∠G=∠EBG=∠C=C, ∴.△EGF∽△FCD, 23 CD=DF, ∴.∠C=∠DFC=Q, ∴.∠EFG=∠DFC=Q=∠EBG, ∴.△EBG∽△FEG, EG_BG 六GF-EG即5+BG=6, 解得BG=4(负值舍去)， ∴.FG=9, .'EF=AE=9,AB=AD=15, .∴.CF=BC-BF=10, 过D作DM⊥AE于点M,过D作DN⊥AB于点N, 则CM=FM=2CF=5, ∴.DM=VCD2-CM=10V2, 在△ADN和△CDM中， ∠ANM=∠MCD ∠A=∠C AD=CD ∴.△ADN≌△CDM(AAS), .'DN=DM=102,AN=CM=5, 24 .∴.EN=4, 在Rt△DEN中，DE=√DN+EN2=V200+16=6v6. 故答案为：6V6, 三阶学习（培优训练） 1.【基础巩固】 (1)如图1，点A,F,B在同一直线上，若∠A=∠B=∠EFC,求证：△AFE~△BCF: 【尝试应用】 (2)如图2， 是半圆©0的直径，弦长4C=BC=4EF AB ⊙0 E,F分别是1C,1B上的一点， ∠CFE=45 ,若设BF=X,1E=),求出'与*的函数关系。 【拓展提问】 (3)已知D是等边△ABC边AB上的一点，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF,点E, P AC BC 分别在心和心上.如图3，如果 AD:BD=1:nCE:CF ,求 的值（用含”的代数式表示）· A D E F 图1 图2 图3 【答装4见新：②=4+0≤x≤4)，3)CE:Cr=a+2)(m+l) 【解析】 【分析】(1)利用已知得出∠E=∠CFB,进而利用相似三角形的判定方法得出即可： (2)利用(1)得出△AFE一△BCF,由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到y和x的数量 25 关系，进而求出y与x的函数关系式： (3)首先证明△ADE∽△BFD,表示出ED,DF,EA,DB,AD,BF,再利用相似三角形的性 质解决问题即可. 【详解】(1)证明：：∠A=∠EFC,∠A+∠E+∠EFA=180°=∠EFA+∠EFC+∠CFB. .∠E+∠EFA=∠EFA+∠CFB, .∠E=∠CFB, ,∠A=∠B, △AFE~△BCF: (2)解：AB是⊙0 是的直径， .∠ACB=90°， AB=AC2+BC2=42 .AC=BC, .∠A=∠B=45°， ∴.∠A=∠B=∠CFE=45° 由(1)可得△AFE一△BCF, AE AF y42-x ∴.BF=BC,即x4· =+0≤xs4) (3)解：连接DE,DF, 26 图3 :△EFC与△EFD关于EF对称， .∠EDF=∠ECF=6O°，EC=ED,FC=FD, .∠BDF+∠EDF=∠BDE=∠A+∠DEA, ,∠EDF=∠A=60° .∠BDF=∠DEA ∴.△ADE∽△BFD, AD =x,CE=DE=a,CF=DF=b. AD:BD=1:n. .DB=nx, :4B=(n+1)x=AC=BC .AE nx-a,BF nx-b, .△ADE∽△BFD, DE EA AD DF DB BF' a nx-a ..b nx (n+1)x-b, 由前两项得，nar=b[(n+l)x-a]O. 由后两项得，[(n+l)x-a[(n+)x-b]=mx2, :(n+l[(n+1)x-a]-b[(n+a)-b]=r2, 27 (n+1)[(n+1)x-a]-nax=m2 解得，0=八+n+ -x 2n+1, 由(1) 得2=n+)x-a(n+1)x-n+n+1， 2n+1 =n+2 nx nx 2n+1' :.CE:CF=(n+2):(2n+1） 2如图，在△1BC中，点D,E分别在边BC、1C上，把△MBD沿AD折叠，点B落在4C边上的B D,E 处，把△CDE沿DE折叠，点C恰好与点A重合. B B D (1)求证：△ABD~△CBA. BD=4,CD=5 EB' (2)当 ，求的长 0 【答案】(1)见解析 (2)4 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键. (1)由折叠的性质推出∠BAD=∠C,即可证明相似： (2)由折叠的性质可知，AB=AB',AD=CD=5,AE=CE,根据相似三角形对应边成比例可求 28 AC= 15 15 AB=6(负值舍去)， 2,进而得AB=6,E= 4,即可得解. 【小问1详解】 解：由折叠的性质可知，∠BAD=∠BAD,∠C=∠DAE, .∠BAD=∠C :∠B=∠B, ∴，△ABD∽△CBA 【小问2详解】 .·BD=4.CD=5 解： ∴.BC=9 由折叠的性质可知，AB=AB,AD=CD=5,AE=CE, .'△ABD∽ACBA AB BD AD BC AB AC AB 4 5 9AB-AC, AC= 15 ∴.AB=6(负值舍去)， 2, 15 AE= ∴.AB=6, 4, EB'=AB'-AE=9 4. 3如图，△ABC内接于OOD是的AC上一点，连结AD,BD,CD,将△BDC沿直线BC AC E 折叠，点D的对应点E在AC的延长线上. C D 29 0 (1)求证：△ABD是等腰三角形 (2若∠ABE=90,D是的AC的中点，O0的半径是r ①求BD的长（用含r的代数式表示）： ②计算四边形ABCD的面积用含r的代数式表示)： 【答案】证明：，将△BDC沿直线BC折叠，点D的对应点E在AC的延长线上， △BCD≌△BCE .∴.BD=BE'∠BDC=∠E'∠CBD=∠CBE' .'∠CAB=∠CDB'∠DAC=∠CBD ∴.∠CAB=∠E'∠DAC=∠CBE. ,'∠ACB=∠CBE+∠E' '.∠ACB=∠DAC+∠CAB=∠DAB' ·∠ADB=∠ACB' ..∠ADB=∠DAB ·△ABD是等腰三角形. 06+ 2 2,②3+23， 4 【解析】(1)证明：将△BDC沿直线BC折叠，点D的对应点E在AC的延长线上， △BCD≌△BCE 30 ∴.BD=BE'∠BDC=∠E'∠CBD=∠CBE' .∠CAB=∠CDB'∠DAC=∠CBD ∴.∠CAB=∠E'∠DAC=∠CBE. .∠ACB=∠CBE+∠E' .∴.∠ACB=∠DAC+∠CAB=∠DAB' .:∠ADB=∠ACB .∴.∠ADB=∠DAB ∴·△ABD是等腰三角形. (2)0D是的4的中点， ∴.AD=CD ∴.∠ABD=∠CBD' .∠CBD=∠CBE' ∠CBD=∠CBE=∠ABD=∠ABE=30', 3 ∴∠ABC=60°. .∠ADB=∠DAB ∴.BA=BD'∠ADB=∠DAB=7S' BD=BE ∴.BA=BE ∴.∠BAE=∠E=45°. ∴.∠CDB=∠E=45°， 连接OA,OD,过点C作CH⊥BD于点H,如图， 31 .∠AOD=2∠ABD=60° .OA=OD' ∴△OAD为等边三角形， ∴.AD=OA=r :D是的AC上一点， .AD=CD ∴.CD=AD=r. .'CH⊥BD ∴△CDH为等腰直角三角形， 乐DH=CH=2cD-2 r, 2 .'BH=_ CH =2 tan30 3 2 3 BD=BH+DH=6+2 r 2 ②过点D作DM⊥AB于点M,过点C作CH⊥BD于点H,如图， E 20:BA=BD=62,GH=2 2 r, 32 .DM⊥AB'∠ABD=30°， DM=号BD=6+2, 4 :四边形ABCD的面积=S6m+S6D =ABDM+号DCH =x6+2,x6+2,+×6+2巨r 22 4 22 2 =3+25,2. 4 33