精品解析：福建省三明市第二中学2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年第一学期三明二中阶段（一）考试 高一数学试题 （考试时间:120 分钟 满分 150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列五个关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合中元素无序性和集合相等判断①；根据子集定义判断②；根据空集的性质判断③和④；根据元素与集合关系判断⑤. 【详解】①：集合的元素具有无序性，和的元素完全相同，两集合相等，正确； ②：任何集合都是自身的子集，故正确； ③：是包含元素0的非空集合，不含任何元素，二者不相等，故错误； ④：空集是任何集合的子集，故正确； ⑤：0是集合中的元素，故正确. 2. 命题“” 的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】命题“” 的否定是“”. 3. 已知集合，且中只有一个元素，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系求解即可. 【详解】因为集合，且中只有一个元素，则必有，且不属于集合， 所以,则实数的取值范围是 4. 已知，则“”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，由，所以或或， 所以是的既不充分也不必要条件，故A错误； 对于B，由，得，当时，满足，但是不成立， 反过来，当时，满足，但是不成立， 所以是的既不充分也不必要条件，故B错误； 对于C，由，所以， 所以是的充分不必要条件，故C正确； 对于D，由，所以是的充要条件，故D错误. 5. 已知p：，q：，若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合充分必要条件与集合包含关系的转化即可求解． 【详解】设，设， 若p是q的必要不充分条件，则是的真子集， 当时，，满足题意， 当时，，则，解得， 当时，，显然不符合题意， 故a的范围为 故选：C 6. 若命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得到全称量词命题的否定，分和两种情况，得到答案 【详解】命题“，都有”为假命题， 故命题“，都有”为真命题， 当时，，解得，满足要求； 当时，需满足，解得且， 综上，实数的取值范围为. 7. 已知x，y，z都是正数，则，，这三个数（ ） A. 都大于2 B. 都小于2 C. 至多有一个大于2 D. 至少有一个不小于2 【答案】D 【解析】 【分析】将三个代数式求和，结合基本不等式得到总和的最小值，再通过特例排除和反证法判断各选项正误. 【详解】首先计算三个代数式的和： 已知x，y，z均为正数，由基本不等式：对任意正数a，有，当且仅当时等号成立， 因此，当且仅当时等号成立，对选项逐一判断： 对于A项：当时，三个代数式的值均为2，不满足都大于2，故A错误； 对于B项：若三个数都小于2，则三者之和小于6，与三者之和矛盾，故B错误； 对于C项：取，此时，存在两个数大于2，故C错误； 对于D项：假设三个数都小于2，则三者之和小于6，与三者之和矛盾，因此三个数至少有一个不小于2，故D正确. 8. 关于的不等式 恰有2个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对不等式进行化简，再由不等号是小于号，得到二次函数开口向上，从而讨论和两种情况即可. 【详解】原不等式可化简为， 即， ∵不等式恰有2个整数解， ∴，即或， 当时，，， 不等式解集为， ∵，∴两个整数只能取，即，解得； 当时，，， 不等式解集为，∵， ∴两个整数只能取，即，解得. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 定义：若且则称为伙伴关系集合.集合的非空子集中，具有伙伴关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由伙伴关系集合定义结合题设可得答案. 【详解】对于A，注意到不在集合中，故不是伙伴关系集合，A错误； 对于B，均在集合中，故是伙伴关系集合，B正确； 对于C，在集合中，故为伙伴关系集合，C正确； 对于D，均在集合中，故为伙伴关系集合，D正确. 10. 已知，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，且，则 【答案】AC 【解析】 【详解】对于选项A： ∵ ，可知，即，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变. ∴ ，故A正确. 对于选项B： 取反例：，，，，满足，， 此时，，，不满足，故B错误. 对于选项C： 作差得. ∵ ，∴ ，. ∴ ，即，故C正确. 对于选项D： 取反例：，，，满足且， 此时，，，即，不满足. 故D错误. 11. 设，，，则（ ） A. 最小值为 B. 最小值为 C. 最小值为 D. 最大值为 【答案】ABD 【解析】 【详解】已知，故. 对选项A： ∵ ，∴ ，代入得： , 该式为关于的二次函数，开口向上，对称轴为，且, ∴ 当时，取最小值，代入得，故A正确. 对选项B： . ∵ ，∴ ， 当且仅当即，即时等号成立, 故最小值为，B正确. 对选项C： 由基本不等式得, 代入得，整理得，当且仅当，即时等号成立， 即存在最大值，当时，，无最小值，故C错误. 对选项D： 令，，两边平方得： , 由C得 ，代入得, ∴ ，当且仅当时等号成立，代入解得，满足取值范围， 故最大值为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，若，则的取值是___________. 【答案】0或2 【解析】 【详解】∵，∴， 当时，即， 此时成立， 当时，解得或， 若，则，，此时成立， 若，违反集合中元素互异性，不合题意， 综上所述，或. 13. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为________ 【答案】 【解析】 【分析】先根据不等式的解集与一元二次方程根的关系，求得的值，再结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由不等式的解集为，即是方程的两个实数根， 所以，可得， 则不等式，即为，即， 化简得，解得或， 即不等式的解集为. 14. 已知，b为正实数，且，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由条件可得，据此利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以， ，b为正实数，所以，， ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，全集 （1）求; （2）若集合，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）；或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的基本运算即可求解； （2）由，分或，两种情况讨论即可求解. 【小问1详解】 由题意得：，或， 所以或； 【小问2详解】 由，所以或， 当时，，解得， 当时，， 综上所述，， 所以. 16. 已知关于x的不等式的解集为. （1）求实数a，b的值； （2）若，求关于x的不等式的解集. 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与其对应的方程的根之间的关系，结合韦达定理计算即可求解； （2）原不等式可变形为，分类讨论：、、、，解出对应不等式的解集即可. 【小问1详解】 由题意知，，即. 因为不等式的解集为， 所以是方程的两个实根， 有，解得, 此时不等式为，符合题意， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，， 则不等式可变形为， 若，则，解得， 此时原不等式的解集为； 若，则方程的解为或， 当即时，原不等式的解集为； 当即时，原不等式的解集为； 当即时，原不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 17. 已知集合 集合 命题 A，x∈B，命题q （1）若命题为真命题，求实数a的取值范围； （2）若命题p和命题q至少有一个为真命题，求实数a的取值范围 【答案】（1）实数的取值范围是 （2）实数的取值范围为 【解析】 【分析】根据为真命题列不等式，分离参数换元求出函数值域，由此求得的取值范围； 求得，均为假命题时的取值范围，进而求得命题和命题至少有一个为真命题时的取值范围. 【小问1详解】 若命题为真命题，即对任意， 不等式，恒成立， 变形得在上恒成立， 设，令，由，得， ， 函数，，值域为，该函数不存在最大值， 要保证对所有都成立，需要大于函数的最大值，但函数值可以无限增大，不存在这样的实数， 所以满足条件的不存在， 实数的取值范围是. 【小问2详解】 先求命题为真时的范围， 命题：， ①若，则，解得，此时，为假， ②若，则，即， 当时，满足或，解得或， 结合，得或时为假， 因此为真时，， 命题和命题至少有一个为真命题，就是为真，或者为真， 由知不可能为真，所以只需为真， 故实数的取值范围是. 18. 中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． （1）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【答案】（1）当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低 （2） 【解析】 【分析】（1）首先由题意抽象出甲工程队的总造价的函数，再利用基本不等式求最值，结合等号成立的条件，即可求解； （2）由题意，转化为不等式恒成立，参变分离后，根据基本不等式，即可得答案. 【小问1详解】 设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 所以 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； 【小问2详解】 由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， 因为， 当且仅当，，即时，的最小值为12， 即，所以的取值范围是. 19. 设实数，若满足，则称比更接近. （1）设比更接近0，求的取值范围； （2）判断“”是“比更接近”的什么条件？并说明理由； （3）设且，，试判断与哪一个更接近. 【答案】（1） （2）充分不必要条件，理由： “比更接近”，等价于 所以“”是“比更接近”的充分不必要条件 （3）更接近 【解析】 【分析】（1）由题得，解不等式可得解； （2）利于不等式的性质和充分条件，必要条件的应用即可求解； （3）利于已知比较与的大小，即可求解. 【小问1详解】 由题意，得，即 整理得，解得 所以的取值范围是 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， ①当时，， 此时： 又在上是增函数， ，即， 即，此时更接近； ②当时，， 此时：， 又在上是增函数， 即，， 即，即更接近； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期三明二中阶段（一）考试 高一数学试题 （考试时间:120 分钟 满分 150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列五个关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 2. 命题“” 的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，且中只有一个元素，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则“”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 已知p：，q：，若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知x，y，z都是正数，则，，这三个数（ ） A. 都大于2 B. 都小于2 C. 至多有一个大于2 D. 至少有一个不小于2 8. 关于的不等式 恰有2个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 定义：若且则称为伙伴关系集合.集合的非空子集中，具有伙伴关系的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，且，则 11. 设，，，则（ ） A. 最小值为 B. 最小值为 C. 最小值为 D. 最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，若，则的取值是___________. 13. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为________ 14. 已知，b为正实数，且，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，全集 （1）求; （2）若集合，且，求实数的取值范围. 16. 已知关于x的不等式的解集为. （1）求实数a，b的值； （2）若，求关于x的不等式的解集. 17. 已知集合 集合 命题 A，x∈B，命题q （1）若命题为真命题，求实数a的取值范围； （2）若命题p和命题q至少有一个为真命题，求实数a的取值范围 18. 中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． （1）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 19. 设实数，若满足，则称比更接近. （1）设比更接近0，求的取值范围； （2）判断“”是“比更接近”的什么条件？并说明理由； （3）设且，，试判断与哪一个更接近. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $