福建省三明第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

三明一中2025—2026学年上学期12月月考 高一数学试卷 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.c0s210°=() A.3 2 B.3 D 2.在下列函数中，既是偶函数又在(0,1)上单调递增的函数有() A.y=cosx B.y=sinx C.y=24 D.y=x3 3.函数f()=nx+分x-2的零点所在的区间是（) A.(0,1) B.(1,2） C.(2,3) D.(3,4) 4.已知tana=3,则sina-2cosa=() 2sin2a+cos2a B. 3 C. 19 D.io 5.函数y=(2*+2)lnx的图象大致为() B -10 。 D. 1 6.若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数y=x2, x∈1,2与函数y=x2,x∈-2，-1为“同族函数”.下面函数表达式中，可以用来构造“同族函数”的是() A.y=tanx B.y=log2x C.y=x3 D.y=2* 7.牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为T,，经过t分钟后的温度T满 足T-T。=2 h称为半衰期，其中T,是环境温度，若T,=30°C,现有一杯80℃的热水降 至70℃用时2分钟，那么水温从70℃降至50℃，用时为（) (参考数据：1g2≈0.30) A.3分钟 B.4分钟 C.5分钟 D.6分钟 8.已知f)=log。og膏当x∈兮3]时，f≥mg恒成立，则m的取值范用是《) A-6, B.[-6,-3+2W2] C.[-3-2√2，-3+2W2] D.(-∞，-3+2W2] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列命题正确的是() A.若3=6,2°=6，则上+=1 a b B。小于的角是锐角 C.2023°是第三象限的角 D.函数f(x)=Vx-1Vx+1与函数g(x)=√x2-1为同一个函数 10.已知二次函数f(x)=a2+ax+1,则下列说法正确的是() A当a=1时，f(创2 B. 当a=1时，f因23 C.若f(x)>0恒成立，则0<a<4 D.若f(x)在(-1,0)内有零点，则a≥4 11.函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=∫(x)为奇函数，该结论可 以推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函 数已知酸8间-2子似>0（） A.若m=1,则函数y=g(x)-1为奇函数 B.若m=1,则g(-10)+g(-9)+…+g(9)+g(10)=20 C.函数g(x)的图象必有对称中心 D.vweR,8[log,(2m)+x灯+8[log,(2m-]<月 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.一个扇形的弧长和面积都是3亚，则这个扇形的圆心角的弧度数为 4 13.已知sinc写-0=号，则cos6+7石)等于 6 4.已知商数f)=le(径-x-2-,则不等式2x-0+/0+2s0的解类为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.(13分)已知集合A={xx2-8x+12>0,B={a≤x≤a+2}. (1)若a=1,求C(AUB); (2)若A⌒B=⑦，求a的取值范围. 1-x 16.(15分)已知函数f(6)=1og21+x (1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数∫(x)的奇偶性，并说明理由； (3)若f(m)-f(-m)<2,求m的取值范围. 17.(15分)在单位圆中，已知锐角C的终边与单位圆交于点A(x1,y)，将角x的终边绕原点O按照逆时 针方向旋转分，交单位圆于点B(2),点B关于x轴的对称点为C(6,). V B (1)若x= 1cos兀-0)s1n2+0的值， , cos(2π+a)sin-a) 2》若x-+4-为=65 ,求tanc. 18.17分)已知函数f()=23 2+2x1 (1)①求f(0),f(2),f(0)+f(2)的值： ②求f(-1),f(3),f(-1)+f(3)的值： (2)根据(1)结果，猜测∫(x)+f(2-x)的值，证明该等式，并用文字叙述该等式的几何意义； (3)判断函数f(x)的单调性（不用证明）.若f(-a2)+f(5-2a)>2,求实数a的取值范围. 19.(17分)已知函数f(x)=log2(x2-2ax+a), (1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围； (2)x∈[1,2]，f(x)≥0，求实数a的取值范围： (3)已知函数g(x)=log2(x-1),若F(x)=f(x)-g(x)恰有一个零点，求实数a的取值范围. 三明一中2025一2026学年上学期12月月考 高一数学科答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 5 6 8 C C D B 0 B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 AC ACD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 3元 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.(本小题满分13分) (1)A={x2-8x+12>0}={xx<2或x>6,(2分) 当a=1时，B={xl<3},… …(3分)】 AUB={xK3或x>6}' (5分) CR（AUB)={x3<X≤6)… (7分) (2)当B=☑时，满足条件A⌒B=☑， 此时有☑>☑十2，无解，故B≠☑；… …(9分) a≤a+2, 由A∩B=0得{a>2,解得2<a≤4 …（12分) a+2≤6， 所以a的取值范围是[2,4]… …(13分) 16.（本小题满分15分) 【小问1详解】 由条件得-x>0,则1-x-)<0,解得-1<x<1, 1+x 所以f(x)的定义域为(-1,1) (4分） 【小问2详解】 函数f(x)奇函数，理由如下： 1+X=-lo821+x 因为定义域为(-l),且f(-=log:-x 1-x=-f(x), 所以函数f(X)为奇函数.(8分) 【小问3详解】 法一： 因为函数f(x)为奇函数，所以f(m)-f(-m)<2,即f(m)+f(m)<2,得f(m)<1, 1-m<1,故}=m<2, 则1og21+m 1+m 因为m∈(-1，)，则1+m>0,可得1-m<21+m),解得m> 3 故m的取值范围为（一，）……严 (15分) 法二： 1-m-log2 1-m 因为f(m)-f-m=log21+m -m÷1+m)=1og, 1+m=log (1+m 1-m -m}=21og21+m 1-m 1+m 1-m<1,故 由fm)-f-m<2,得1o:1+m -m<2, 1+m 1 因为m∈(-1,1)，则1+m>0,可得1-m<2(1+m),解得m>-二 31 故m的取值范围为(3)。 17.（本小题满分15分) 【小问1详解】 由三角函数定义得，cosa=x1,sina=y1. 方=2为锐角，osa=sina=V1-cos2a=2y 1 1 3 5og-oa中>中aE02x+Q=wan223 1 cosr-a)sn(+a）-x 33V2 (7分) cos(t+a)sin(-c)122 【小问2详解】 解法：由题意得，与=c0(子+0-5ma,为sn(任+cosa,与=马=-sina, y3=-》2=-C0sa, ∴x-xl=cosa+sina,以-⅓l=sina+cosa, a为锐角，k-6+h,-20na+eosa)=65,即6ina+cosa=35 5 (sina+cosa)sincoa+2sina cosa 9 5 9 2 ..1+2sina cosa=,sin a cosa= ..sinacosa 2 tana sin2a+cos2a-5,即间 tan2a+1-5' 解得tana=2或tana= (15分） 解法二：由题意得，x2=cos +-a,为m(任+oa,==- 3=-y2=-C0sa, ∴s-xl=cosa+sina,y-⅓l=sina+cosa, a锐角.÷5-+y-为=26ima+o0s=6y5, 即sina+cosa= 35 5 sina= 2W5 sina=⑤ 5 .'sin2a+cos2 a=1,. 5 或 5 25' cosa= cosa= 5 .tana=2或tana= 2 18.(本小题满分17分) 【小问1详解】 ①f0=2-2. 别号®刨04fo+=号2. ②f(-)= 号r创-202-八-0+)-=号2：4别 【小问2详解】 猜想f(x)+f(2-x)=2,证明过程如下： f()+f(2-x)=2×2+2×2x2x2* 2+2x2+22x=2+2+23-*.、2-2 1+2 2 22*+2 1+2+1+21+2==2: (8分)》 几何意义：f(x)的图象关于(1,1)中心对称 (9分)》 【小问3详解】 函数f(x)在R上单调递增，理由如下： 任取x,X2∈R,x<X2, 225(1+2-）-25(1+2-） 2 西)西)+22 (1+2*-)1+2 25+251-25-25+场-1 24-29 (1+2-)1+29-）(1+2-1+2-可” 因为y=2在R上单调递增，x<x2,所以2-2<0， 2-25 1+2*>01+2>0,故f）-f)-+20+2可0. 即f(x)<f(x),f(x)在R上单调递增， 因为f(x)+f(2-x)=2,f-a2)+f(5-2a)>2, 所以f(5-2a)>2-f(-a2)=f(2+a2), 故5-2a>2+a2,解得-3<a<1, 故实数a的取值范围为(-3,1) …(17分) 19.(本小题满分17分) 【详解】(1)由题意得x2-2ax+a>0恒成立， 故△=(-2a)2-4a<0,解得0<a<1, 故实数a的取值范围是(0，)； 3分) (2)x∈[l,2],f()=log2(x2-2ax+a）20, 故x2-2ax+a≥1在x∈[1,2]上恒成立， 即x2-2ax+a-1≥0在x∈[l,2]上恒成立， 令h(x)=x2-2ax+a-1,对称轴为x=a, 当a<1时，h(x)=x2-2ax+a-1在xeL,2]上单调递增， 只需h(1)=12-2a+a-1≥0，解得a≤0， a≤0与a<1取交集得a≤0： 当1≤a≤2时，h(x)=x2-2ax+a-1的最小值为h(a)=-a2+a-1, 故只需-a2+a-1≥0，解得☑： 当a>2时，h(x)=x2-2ax+a-1在x∈[l,2]上单调递减， 只需h(2)=22-4a+a-1≥0，解得a≤1， a≤1与a>2取交集得0， 综上，实数a的取值范围为a≤0： (9分 (3)g(x)需满足x-1>0,故x>1, F四=log,-2ax+a小-1bg,x-)=lo8:22+2恰有个零点. x-1 由（1)知，若0<a<1,此时f(x)的定义域为R, 若a≤0，x2-2ax+a=0的两根为x=2a+y4a- -atla-a. 为=a-Va2-a<0, 其中(1-a)2-(a2-a=1-a>0,故(1-a)2>a2-a,1-a>√a2-a, 故x=a+V√a2-a<1,所以f()的定义域为(-o,x)U(x,+oo), 若a=l,此时f(x)定义域为(-oo,-1)U(1,+oo), 综上，当a≤1时，F(x)=f(x)-g(x)的定义域为(1，+o), 令-2r+a=1→2-(2a+1)x+a+1=0在(，+o)只有1个解， x-1 变形得到a=-+1,令2x-1=1>1, 2x-1 则a=-x+1_1+3 2x-14+g't>1, 下面证明0-子+名在：同上单调港减，在e5树]上单调递赠， 设4,4∈5)，4<， 则66-8子君字经 因为，5∈1,5)，4<5，所以5∈(13)，4-4<0,45-3<0， 故4(6)-u(52)>0,u(5)>u(), 所以0=+品在1e)上单调造诚， 同理可证)-+名在1e个5+网)上单调递增， 其中个-盟0=， 要想a=+名在化+m)只有1个解、需满足a=5或a21, 4 2 又as1,所以a=5或a=1, 2 a>1,x2-2ax+a=0的两根为x=a+Va2-a>1,为2=a-Va2-a, 其中(a-1)2-(a2-a=l-a<0,故(a-l)2<a2-a,a-1<√a2-a, 故x2=a-Va2-a<1,所以f(x)的定义域为(-o,x)U(x,o), 则F(x)=f-g()的定义域为a+Va2-a,+o, 故-2ax+a=1→x-(2a+1)x+a+1=0在(a+匠-a,+)只有1个解， x-1 令r()=2-(2a+1)x+a+1,其中△=[-(2a+1]-4(a+1)=4a2-3>0, 放需满足ra+a-a)水0，即(a+2-a-(2a+a+匠-回+a+l<0, 化简得1-a-√a2-a<0,显然，当a>1时，上式恒成立， 故a>1时，满足要求， Q= 综上，实数a的取值范围为”2或a≥1 (17分）