精品解析：山东烟台市莱州市第一中学2024-2025学年高一上学期第一次质量检测数学试题

2024级高一数学第一次质量检测（数学） 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. “(2x－1)x＝0”是“x＝0”的(　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 当时，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 若y1＝3x2－x＋1，y2＝2x2＋x－1，则y1与y2的大小关系是（ ） A. y1<y2 B. y1＝y2 C. y1>y2 D. 随x值变化而变化 5. 已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 在上定义运算：，若不等式对任意实数x恒成立，则a最大为（ ） A. B. C. D. 7. 若不等式的解为(其中)，则不等式的解为 A. 或 B. C. 或 D. 8. 若不等式对满足条件的恒成立，则整数k的最大值为（ ） A. 5 B. 4 C. 7 D. 9 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 下列结论中错误的有（ ） A. 集合的真子集有7个 B. 已知命题，则 C. 函数与函数表示同一个函数 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若实数，，满足，则； B. 若，则函数的最小值为； C. 不等式的解集为； D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是． 11. 若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ） A. ab有最大值 B. 有最小值 C. 的最小值是 D. 的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，则___________. 13. 若正数满足，则的最小值为___________． 14. 设命题实数满足，其中，命题实数满足，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围为___________. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）已知实数x，y满足，，求的取值范围． （2）已知实数，求的最小值． （3）已知x，且，试求的取值范围． 16. 设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题与命题一真一假，求实数的取值范围． 17. （1）若的解集为，求实数a，b的值； （2）解关于x的不等式（）. 18. 近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡，就地过年”的倡议.为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在春节期间留住员工在本市过年并加班追产.为此，该地政府决定为当地某企业春节期间加班追产提供（万元）的专项补贴.企业在收到政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）.同时企业生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益销售金额政府专项补贴成本. （1）求企业春节期间加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的函数关系式； （2）当政府的专项补贴为多少万元时，企业春节期间加班追产所获收益最大？ 19. 已知二次函数，其中a，b， （1）若且， ①证明：函数的图象与x轴必有两个不同的交点； ②设函数在x轴上截得的线段长为l，求l的取值范围； （2）若且不等式的解集为，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高一数学第一次质量检测（数学） 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. “(2x－1)x＝0”是“x＝0”的(　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】，所以答案选择B 【考点定位】考查充分条件和必要条件，属于简单题. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式可求得集合，由补集和交集定义可求得结果. 【详解】由得：，即， 或，. 故选：A. 3. 当时，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】采用特殊值法排除错误的选项即可确定正确的不等式. 【详解】当时，满足，不满足，选项A错误； 当时，满足， 不满足，也不满足，选项B、D错误； ，则，，则， 由不等式的性质可得，选项C正确. 4. 若y1＝3x2－x＋1，y2＝2x2＋x－1，则y1与y2的大小关系是（ ） A. y1<y2 B. y1＝y2 C. y1>y2 D. 随x值变化而变化 【答案】C 【解析】 【分析】利用作差法比较大小. 【详解】y1－y2＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0， 所以y1>y2. 故选:C. 【点睛】本题考查比较大小，考查作差法，考查运算能力，属于基础题. 5. 已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】求解一元二次方程，得 ，易知. 因为，所以根据子集的定义， 集合必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合的子集个数，即有个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高. 6. 在上定义运算：，若不等式对任意实数x恒成立，则a最大为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据运算的定义可得等价于，利用二次函数的性质可求左式的最小值，从而可得关于的不等式，求出其解后可得实数的最大值. 【详解】原不等式等价于， 即对任意x恒成立. ， 所以，解得， 故选：D 7. 若不等式的解为(其中)，则不等式的解为 A. 或 B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意用m，n表示出a，b和c，再把不等式化为以m，n为系数的不等式，求出解集即可. 【详解】因为不等式的解为，所以，且， 所以，， 所以不等式，可化为， 又， 所以， 即； 又， 所以不等式化为，且； 所以解不等式得或， 即不等式的解集是. 故选：C. 【点睛】本题考查含有参数的一元二次不等式的解法，求解过程中注意系数的正负，属于基础题. 8. 若不等式对满足条件的恒成立，则整数k的最大值为（ ） A. 5 B. 4 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】将不等式化为，利用基本不等式求出，即可得解. 【详解】因为，所以，，， 不等式， 即， 即 又 当且仅当时，取等号， 则，即， 则整数k的最大值为 【点睛】本题考查基本不等式求最值. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 下列结论中错误的有（ ） A. 集合的真子集有7个 B. 已知命题，则 C. 函数与函数表示同一个函数 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由集合元素个数与真子集个数间的关系可判断A项；由命题的否定可判断B项； 求出两个函数的定义域可判断C项；根据抽象函数定义域的求法可判断D项. 【详解】对于A项，因为集合，所以该集合有个真子集，所以A项正确； 对于B项，命题的否定，所以B项错误； 对于C项，由得或，所以函数的定义域为， 由得，所以函数的定义域为， 由于函数与函数定义域不同，所以不是同一函数，所以C项错误； 对于D项，由于函数的定义域为，所以， 令得，所以函数的定义域为，所以D项错误. 故选：BCD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若实数，，满足，则； B. 若，则函数的最小值为； C. 不等式的解集为； D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是． 【答案】AC 【解析】 【分析】由不等式的性质可判断A；由换元法和对勾函数的单调性可判断B；由二次不等式的解法可判断C；对讨论，结合二次函数的图象和性质可判断D． 【详解】若实数，，满足，可得，则，故A正确； 若，设 ，函数 即， 由对勾函数的性质可知，函数在递增， 则函数的最小值为  ，故B错误； 不等式即为，解得， 即不等式的解集为，故C正确； 当时，不等式恒成立， 若，则恒成立； 若，则，解得． 综上的取值范围是，故D错误． 故选：AC 11. 若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ） A. ab有最大值 B. 有最小值 C. 的最小值是 D. 的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】由，则A可得； 由，则可解决B选项； 由，根据1的妙用，可以构造基本不等式，可解决C选项； 由 ，可解决D选项. 【详解】因为正实数a、b满足， 所以，当且仅当时，等号成立，故ab的最大值为，故A选项正确； ，则，当且仅当时，等号成立，故有最大值，故B选项错误； ， 当且仅当时，取等号，故的最小值是，故C正确； ， 当且仅当时，取等号，故的最小值是，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出集合，，再求出，由此即可求出. 【详解】令，解得， 所以， 函数的值域为， 所以， 所以， 所以 13. 若正数满足，则的最小值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】由基本不等式乘1法即可求解. 【详解】， 由基本不等式： ，当且仅当即时取等号， 又，则． 所以的最小值为3. 故答案为：3． 14. 设命题实数满足，其中，命题实数满足，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简命题或，命题，利用p是q的必要不充分条件，可得实数a的取值范围. 【详解】由，得，其中，得或， 由，得，则， 是的必要不充分条件，即且 设或，， 则是的真子集， 所以或， 即或 所以实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）已知实数x，y满足，，求的取值范围． （2）已知实数，求的最小值． （3）已知x，且，试求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由不等式的性质求解． （2）由基本不等式求最小值． （3）由，可得，从而有，进一步即可求出的取值范围． 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以的取值范围是 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为 【小问3详解】 由，，得，当且仅当时等号成立， 由得， ， 令，则， 即， 解得舍去，或， 即，当且仅当时等号成立， 所以的取值范围是． 16. 设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题与命题一真一假，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出在上最小值后可求参数的取值范围； （2）求出为真命题时参数的取值范围，从而可求两个命题一真一假时参数的取值范围. 【小问1详解】 若为真命题，则成立， 而，有，所以，． 【小问2详解】 若为真命题，即存在，使得不等式成立， 只需，故. 若为假命题，为真命题，则，故. 若为假命题，为真命题，则，故. 综上：或． 17. （1）若的解集为，求实数a，b的值； （2）解关于x的不等式（）. 【答案】（1），（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）由根与系数的关系即可求解； （2）根据零点分布情况对分类讨论即可求解. 【详解】（1）因为的解集为， 所以方程的两个根为，1（）， 由韦达定理得：，解得； （2）不等式等价于， 当时，不等式为，不等式的解集为； 当时，不等式化为，不等式的解集为； 当时，方程的两个根分别为：，1. 当时，两根相等，故不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为或； 当时，，不等式的解集为或； 综上：当时，不等式的解集为. 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 18. 近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡，就地过年”的倡议.为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在春节期间留住员工在本市过年并加班追产.为此，该地政府决定为当地某企业春节期间加班追产提供（万元）的专项补贴.企业在收到政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）.同时企业生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益销售金额政府专项补贴成本. （1）求企业春节期间加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的函数关系式； （2）当政府的专项补贴为多少万元时，企业春节期间加班追产所获收益最大？ 【答案】（1），其中 （2）当政府的专项补贴为万元时，企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为万元 【解析】 【分析】（1）计算出销售金额、成本，结合题意可得出的函数关系式，以及该函数的定义域； （2）由结合基本不等式可求得的最大值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 解：由题意可知，销售金额为万元， 政府补贴万元，成本为万元， 所以，，其中. 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 其中， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以当时，企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为万元； 即当政府的专项补贴为万元时，企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为万元. 19. 已知二次函数，其中a，b， （1）若且， ①证明：函数的图象与x轴必有两个不同的交点； ②设函数在x轴上截得的线段长为l，求l的取值范围； （2）若且不等式的解集为，求的最小值. 【答案】（1）①若且，则， ， 函数必有两个不同的零点； ② （2） 【解析】 【分析】（1）①由题意可得，进而根据判别式为正判断即可； ②由及可得，再根据弦长求解范围即可. （2）根据开口方向与判别式可得且，进而可得，令，结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 ①略 ②由及，得， ， 不妨设函数的零点为，则， 函数在x轴上截得的弦长. 【小问2详解】 根据题意且， 且， ， 令， 则， 当且仅当，即，也即时取等号. 的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $